江西省上饶县中学高三数学上学期第一次月考试题 理(零

上饶县中学2015届高三年级上学期第一次月考
数 学 试 卷（理零）
时间：120分钟 总分：150分 选择题：（每小题5分，小计50分）
1．已知集合
2
{|20}A x x x =--…，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B ⋂=（ C ） A ．(1,2) B ．(1,2] C ．[1,1)- D ．(1,1)- [
2．已知命题p ：存在x R ∈，使得10lg x x ->；命题q ：对任意x R ∈，都有2
0x >，
则（ D ）
A ．命题“p 或q ”是假命题
B ．命题“p 且q ”是真命题
C ．命题“非q ”是假命题
D ．命题“p 且‘非q ’”是真命题
3．已知α
为第二象限角，
sin cos αα+=
，则cos2α=（ C ）
A
． B
． C
．- D
．
4．一元二次方程022
=++a x x 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ C ）
A. 0<a
B. 0>a
C. 1-<a
D. 1>a
5.在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若2cos a b C =，则此三角形一定是( C )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
6．曲线
3
()2f x x x =+-在点P 处的切线的斜率为4，则P 点的坐标为（ B ）
A. (1,0)
B. (1,0)或(1,4)--
C. (1,8)
D. (1,8)或(1,4)-- 7． 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC，DF ＝μDC.若AE →·AF →＝1，CE →·CF →
＝－23，则λ＋μ＝( C )
A.12
B.23
C.56
D.712
9.设,a b r r 是非零向量，若函数()()()f x xa b a xb =+-r r r r
g
的图象是一条直线，则必有（ A ）A ．a b ⊥r
r
B ．a b r r P
C ．||||a b =r r
D ．||||a b ≠r r
B
A
C
D
8
．已知定义在区间[3,3]-上的函数()y f x =满足()()0f x f x -+=，对于函数()y f x =的图像上任意两点
1122(,()),(,())
x f x x f x 都有
1212()[()()]0
x x f x f x -⋅-<．若实数,a b 满足
22(2)(2)0f a a f b b -+-…，则点(,)a b 所在区域的面积为（ A ）
A ．8
B ． 4
C ． 2
D ． 1
10．如图，半径为2的圆内有两条圆弧，一质点M 自点A 开始 沿弧A B C O A D C ------做匀速运动，则其在水平方向 （向右为正）的速度()v v t =的图象大致为（ B ）
二、填空题（每小题5分，小计25分）
11． 已知偶函数()f x 在[0，＋∞)单调递减，(2)0f =，若(1)0f x ->，则x 的取值范围是________．(－1，3)
12． 若将函数()sin(2)
4f x x π
=+的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．3π
8
14.如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD =则AD BC =r
r g __________.
15． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c.已知cos cos 2b C c B b +=，则a
b
＝________．2
15. 给出下列四个命题：
①命题"0cos ,">∈∀x R x 的否定是"0cos ,"≤∈∃x R x ；
②函数)
10(11)(≠>+-=a a a a x f x x 且在R 上单调递减；
③设)(x f 是R 上的任意函数， 则)(x f |)(x f -| 是奇函数，)(x f +)(x f -是偶函数；
④定义在R 上的函数()x f 对于任意x 的都有
4
(2)()f x f x -=-
,则()x f 为周期函数；
⑤命题p:x R ∃∈，2lg x x ->;命题q ：x R ∀∈，20x >。

则命题()p q ∧⌝是真命题；
其中真命题的序号是 ①④⑤ （把所有真命题的序号都填上）。

二、填空题(每小题5分，共25分)。

11、 12、
13、 14、 15、 三、解答题(第16、17、18、19题各12分，第20题13分，第21题14分，共75分)。

16．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，已知2
2
2
b c a bc +=+． （1）求角A 的大小；
（2）若
2
22sin 2sin 122B C +=，判断ABC ∆的形状．
16. 解：（1）2222cos b c a bc A +-=，又222
b c a bc +=+，∴
1cos ,23A A π
==. （2）∵
2
22sin 2sin 122B C
+=，∴1cos 1cos 1B C -+-=
∴
2cos cos 1,cos cos(
)13B C B B π
+=+-=，
∴
22cos cos
cos sin sin 1
33B B B ππ
++=1cos 12B B +=，
∴sin()16B π+=，∵0B π<<，∴
,33B C ππ
==
, ∴ABC ∆为等边三角形．
17.设命题p ：函数
3()1f x x ax =--在区间[－1,1]上单调递减；命题q ：函数2ln(1)y x ax =++的值域是R.如果命题p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范
围.
17[解答] p 为真命题⇔f′(x)＝3x2－a≤0在[－1,1]上恒成立⇔a≥3x2在[－1,1]上恒成立⇔a≥3.
q 为真命题⇔Δ＝a2－4≥0恒成立⇔a≤－2或a≥2. 由题意p 和q 有且只有一个是真命题.
p 真q 假⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
a≥3，
－2<a<2⇔a ∈∅；p 假q 真⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
a<3，
a≤－2或a≥2⇔a≤－2或2≤a<3.
综上所述：a ∈(－∞，－2]∪[2,3).
18． 已知函数f(x)＝(x2＋bx ＋b)1－2x (b∈R )．
(1)当b ＝4时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围． 18．解：(1)当b ＝4时，f′(x)＝－5x （x ＋2）
1－2x
，由f′(x)＝0，得x ＝－2或x ＝0.
所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)
单调递增；当x∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x ＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f(0)＝4.
(2)f′(x)＝－x[5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x
<0，
依题意当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b≤19. 所以b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，19.
19.已知命题p ：|
31
1-+
x |≤ 2；命题)0(012:2
2>≤-++m m x x q 。

若p ⌝是q ⌝的
必要而不充分条件，求实数m 的取值范围。

19. 解：由：
2|31
1|≤-+
x ，解得48≤≤-x ， 记{}48|≤≤-=x x A
由
)0(0122
2>≤-++m m x x ，得 m x m +-≤≤--11
记{}0,11|>+-≤≤--=m m x m x B ∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，
∴p 是q 的充分不必要条件，即B A ≠⊂，又0>m ，则只需
⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤--≥+-0814
1m m m
解得7≥m ，故所求实数m 的取值范围是),7[+∞.
20．已知向量a ＝(m ，cos 2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b，且y ＝f(x)的图像过点⎝
⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；
(2)将y ＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图像，若y ＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间． 20．解：(1)由题意知，f(x)＝＝msin 2x ＋ncos 2x. 因为y ＝f(x)的图像过点⎝
⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2π3，－2，
所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝msin π6＋ncos π6
，－2＝msin 4π3＋ncos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋3
2n ，－2＝－32m －1
2n ，
解得m ＝3，n ＝1.
(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.
由题意知，g(x)＝f(x ＋φ)＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)．
由题意知，x20＋1＝1，所以x0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)． 将其代入y ＝g(x)得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g(x)＝
2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x.
由2k π－π≤2x ≤2k π，k∈Z 得k π－π
2≤x ≤k π，k∈Z，
所以函数y ＝g(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k∈Z.
21．已知函数
2
()(1)ln 1.f x a x ax =+++
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）设1a <-，若对任意
12(0,)
x x ∈+∞、，恒有
1212
()()4f x f x x x --…，求a 的
取值范围．
解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞.2121()2.
a ax a f x ax x x +++'=+= 当0a …时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞单调递增；
当1a -„时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞单调递减；…………………（2分）
当10a -<<时，令()0f x '=
，解得
x =
即
0,x ⎛∈ ⎝时，()0f x '>
；
x ⎫∈+∞⎪⎪
⎭时，()0.f x '<； 故()f x
在0,
⎛
⎝
单调递增，在
⎫+∞⎪⎪⎭单调递减；…………（6分） （2）不妨设
12
x x „，而1a <-，由（1）知()f x 在(0,)+∞单调递减，从而对任意
12(0,)
x x ∈+∞、，恒有
1212
()()4f x f x x x --…
⇔1221()()4()f x f x x x --… ⇔1122()4()4f x x f x x ++…
令()()4g x f x x =+，则
1
()24a g x ax x +'=
++
等价于()g x 在(0,)+∞单调递减，即
1
()240a g x ax x +'=
++„，从而
222
222
41(21)42(21)2212121x x x x a x x x ------==-+++„，
故a 的取值范围为
(],2.-∞-
上饶县中学2015届高三年级上学期第一次月考 数学试卷答案（理零）。