哈尔滨工业大学运筹学教案排队论的应用案例分析PPT课件

最大排队乘客数：
Q=Q1-Q0=λ×t0-μ×t0
(4)
排队中最大延误时间：
ts=t1-t0 (若ts≤0，则表示没有排队产生) (5)
平均排队乘客数：
Q

1 2
(Q1

Q2 )

1 2
(

)
t0
(6)
排队平均延误时间：
排队乘客总的延误时间：
t

1 2
(t1

t0)
D=Q ts
2.@pel(load,S)
该函数返回值是当到达负荷为load，系统中有S个服务台且不 允许排队时系统损失的概率，也就是顾客得不到服务离开的概 率
3.@pfs(load,S,K)
该函数的返回值是当到达负荷为load ，顾客数为K,平行服务台 数量为S时，有限源的Poisson服务系统等待或返修顾客数的 期望值
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等待制排队模型的基本参数
1.顾客等待的概率:Pwait=@peb(load,S), 其中S是服务台或服务员的个数，load= λ / μ =RT, 其中R= λ ,T= 1/μ ，R是顾客的平均到达率，T是平 均服务时间
2.顾客的平均等待时间：Wq= Pwait·T/(S-load), 其中T/(S-load)可以看成一个合理的长度间隔，
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对一个排队系统来说，最大的排队乘客数为134人，排队 乘客的总的延误时间为73、38 min，而对整个站台来 说，有两个这样的排队系统，因此在一列车到来后的出站 乘客
将会有268人需要排队等候，排队中最大的延误时间为 65.72s，所有乘客总的排队时间为146.76 min。若排 队系统中最大延误时间大于列车发车间隔，则在楼梯和自 动扶
图1 d／d／n排队系统图形表示
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图中参数的含义为：
t0——排队系统中输入结束时间 t1——排队系统中输出结束时间 λ——自动扶梯和楼梯口的输入率 μ——自动扶梯和楼梯口的输出率 Q0——输入时间结束时自动扶梯和楼 梯的输出量
Q1——自动扶梯口的全部输入量
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在这个排队系统中采用近似的计算得出一些重要的指标表 达式为：
2.等待制排队系统：顾客到达时若服务台均被占，他们 就排队等待。服务顺序有：先到先服务、后到先服务、 随机服务、有优先权的服务
3.混合制排队系统：损失制与等待制的混合。队长（容 量）有限的混合；等待时间有限的混合；逗留时间有 限的混合
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排队服务系统的基本概念
通过能力7 200人/h。 站台上布置两组自动扶梯供乘客出站，自动扶梯在站台上的
布置位置满足上面假设的原则，则自动扶梯在站台上的布置 位置如示意图2所示：
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图2 两组自动扶梯布置位置示意图
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此时站台上两组自动扶梯和下车乘客是一个d/d/2系统，对于每一个排队系统，其输入
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排队系统的描述
服务系统
顾客总体 输入
队伍
服务台
输出
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排队服务系统的基本概念
输入过程：描述顾客来源是按怎样的规律抵达排队 系统。
1.顾客源总体:有限还是无限
2.到达类型：单个到达还是成批到达
3.相继顾客到达的时间间隔：相互独立、同分布的; 等时间间隔的;服从Poisson分布的； k阶Erlang分 布
并保持一定的速度。
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把每组楼梯和自动扶梯及其吸引的客流看作为 站台上的一个排队系统，则在这个排队系统中：
输入过程：乘客以一定的速度从站台行走到距 离自己最近的楼梯和自动扶梯处寻求服务，以 λ 表示乘客单位时间到达楼梯和自动扶梯的人 数，即排队系统的输入率λ (单位：人/s)。每 组楼梯和自动扶梯服务的乘客数为
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等待制排队模型
等待制排队模型中最常见的模型是：
M/M/S/∞,
即顾客到达系统的相继到达时间间隔独立，且 服从参数为λ 的负指数分布（即输入过程为过 程），服务台的服务时间也独立同分布，且服 从参数为μ 的负指数分布，而且系统空间无限， 允许永远排队
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μ—— 排队系统的输出率 C自动扶梯——自动扶梯的通过能力 d自动扶梯——自动扶梯的净宽度 C楼梯——楼梯的通过能力 d楼梯——楼梯的净宽度 输出时间 t1表达式为：
c自动扶梯 d自动扶梯 c楼梯 d楼梯 (2)
t1

w
n
B表示服务时间， C表示服务台数目， n表示系统空间数
排队模型的表示：
X/Y/Z/A/B/C X—顾客相继到达的间隔时 间的分布； Y—服务时间的分布； Z—服务台个数； A—系统容量限制（默认为 ∞）； B—顾客源数目（默认为 ∞）； C—服务规则 （默认为先到 先服务FCFS)。
M—负指数分布、D—确定 型、Ek —k阶爱尔朗分布。
率和输出率为：
2 w v = 2 441 0.64 =5人/s
l
114
μ=c自动扶梯×d自动扶梯+c楼梯×d楼梯=2×1=2人/s
输入时间t0为：
输出时间t1为：
l
114
t0 2 n v = 2 2 0.64 =44.53s
t1

w n
=
441 22
=110.25s
讨论：改变参数（1）下车人数比例为60%； （2）平面通道的通行时间分析
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学生实验城市轨道交通进站检票机分析
教学目的：要求学生学会应用排队论的思想分析 实际问题
调查方案设计 统计特征分析 *排队系统参数分析 *排队系统仿真 背景介绍
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2009年5月
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地铁车站楼梯和自动扶梯处客流延时分析
教学目的：利用排队论建立轨道交通车站楼梯和 自动扶梯处客流延时模型，得出客流延时的指标 公式，可为更清楚地了解车站楼梯和自动扶梯处 的乘客延时状况提供一定的理论依据。
楼梯和自动扶梯是轨道交通车站中主要的升降设 施，在客流高峰时，由于楼梯和自动扶梯的通过 能力有限，大量的乘客将会在楼梯和自动扶梯口 处排队等候，造成乘客进出站时间延长，弄清乘 客在楼梯和自动扶梯处的延时状况，有利于车站 运营效益的充分发挥。
在一列车到站后的发车间隔内，把从列车下到站 台的乘客看作服务对象，出站的楼梯和自动扶梯 看作服务通道，并对站台上的楼梯和自动扶梯以 及乘客作一些基本的假设：
(1)楼梯和自动扶梯沿着站台纵向均匀布置，且 这种均匀布置使乘客在站台上行走的距离最短。
(2)下车乘客平均分布于每节车厢中。 (3)所有下车乘客在站台上走行的速度是相等的，
假设乘客排队等候时间超越了列车发车间隔那么等候的乘客越来越多呵斥楼梯和自动扶梯处越来乘客排队系统推导在一列车到站后的发车间隔内把从列车下到站台的乘客看作效力对象出站的楼梯和自动扶梯看作效力通道并对站台上的楼梯和自动扶梯以及乘客作一些根本的假设
排 队 论 应用
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泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一服务设施在 一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人 数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。
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排队服务系统的基本概念
排队规则：指服务系统是否允许排队，顾客是否愿意排队
1.损失制排队系统：顾客到达若所有服务台被占，服务 机构又不允许顾客等待，此时该顾客就自动离去。
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描述排队论系统的主要数量指标
1.队长(Ls) ：指在系统中顾客的平均数 等待队长(Lq)：指系统中等待的顾客的平均数
2.顾客的平均等待时间(Wq)：指顾客进入系统的时刻起到开始接 受服务止的平均时间
与平均逗留时间(Ws)：指顾客在系统中平均等待时间与平均服务 时间之和
3.系统的忙期与闲期
但乘客在出站时，特别是在客流高峰，大量的乘客 从列车上下来，并且在较短的时间内通过楼梯和自 动扶梯到达站厅出站，必然存在一部分乘客在楼梯 和自动扶梯处排队等候。
若乘客排队等候时间超过了列车发车间隔，则等候 的乘客越来越多，造成楼梯和自动扶梯处越来越堵。
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1 乘客排队系统推导
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2
乘客从站外经检票进入车站付费区，通过楼梯和自 动扶梯到站台，这是一个随机的过程。由于检票口 与楼梯和自动扶梯的通过能力相当，乘客进入站台， 先受检票口通过能力约束，使得超过检票口通过能 力的客流被暂时堵在检票口外排队等候检票，因此 通过检票口的乘客不会因为楼梯和自动扶梯的通过 能力的约束而需要排队。
(3)
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通过上面的假设和分析，每一组楼梯和自动扶梯 所组成的服务系统是一个定长输入、定长输出的 单通道排队系统，由n组楼梯和自动扶梯布置在 站台形成的乘客排队系统则是一个定长输入、定 长输出、多通道的排队系统即：d/d/n排队系统。
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上述这个d/d/n排队系统可以近似的用图l来描述，横轴 表示时间，纵轴表示累 计输入或输出乘客数；排队系统 输入量曲线和输出量曲线分别如图所示，它们对应的纵轴 坐标就分别是累计输入乘客数和累计输出乘客数，阴影部 分的面积表示排队乘客总的延误时间。
服务机构工作强度=由于服务顾客的时间/服务设施总的服务时间
=1-服务设施总的空闲时间/服务设施总的服务时间
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与排队论模型有关的LINGO函数
1.@peb(load,S)
该函数返回值是当到达负荷为load，系统中有S个服务台且允 许排队时系统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率
梯处总有乘客在排队等候，而且人数越来越多，这样就需 要重新设计楼梯和自动扶梯的宽度。
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通过对站台上客流状态进行假设，建立了楼梯和 自动扶梯处客流延时的d／d／n排队系统模型， 并推导出客流延时的指标公式。通过预测的客流 以及乘客在站台上行走的实际速度，可估算出车 站内最大乘客延误数量及延误时间，有利于比较 清楚地把握车站内乘客延时状况。
排队中最大延误时间为：
ts=t1-t0=110.25-44.53=65.72s 最大排队乘客数：
Q=Q1-Q0=λ×t0-μ×t0=(5-2)×44.53=134人(取整) 排队乘客总的延误时间：
D=Q ts

1 2
(

) t0 (t1

t0)

1 2
134 65.72

73.38
min
3.顾客的平均逗留时间、队长和等待队长（little公式）
Ws= Wq+1/ μ =Wq+T Ls= λ · Ws=RWs Lq= λ·Wq=R Wq
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等待制排队模型实例
1.S=1 (M/M/1/∞)
例1：某维修中心在周末现只安排一名员工为顾客提供服务， 新来维修的 顾客到达后，若已有顾客正在接受服务，则需要 排队等待，假设来维修的顾客到达过程为Poisson流，平均每 小时4人，维修时间服从负指数分布，平均需要6min,试求该 系统的主要数量指标。
服务机构：
1.服务台的数目
2.顾客所需的服务时间服从怎样的概率分布 (常见顾客的服务时间分布有:定长分布、负 指数分布、超指数分布、k阶Erlang分布、 几何分布、一般分布)
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排队论模型的符号表示
通常由3-5个英文字母组成， 其形式为
A/B/C/n， 其中 A表示输入过程，
q w n
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l
输入的时间 t0 2 n v
其输入率λ的具体表达式为：
2wv
பைடு நூலகம்(1)
l
λ——排队系统的输入率 W——列车到站后下车或换乘的人数 v——下车乘客在站台上的行走速度 l——站台的有效长度 n——站台上楼梯和自动扶梯的组数
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(

) t0 (t1

t0)
(7) (8)
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车站楼梯和自动扶梯处客流延时实例
以发车间隔2 min，6节编组的B型车为例，列车长度 114m，车厢定员245人，到站后30％ 的乘客下车出站， 乘客在站台上的走行速度取0.64 m/s。每1m宽的自动扶 梯
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6
排队规则：乘客到达楼梯和自动扶梯口处，若楼 梯和自动扶梯没被占用时，乘客立即使用楼梯和 自动扶梯，若楼梯和自动扶梯被占用，不能为乘 客提供服务时，乘客就会在此等候楼梯和自动扶 梯的服务，而且服务次序为先到先服务。
2019/9/21
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输出过程： 由于楼梯和自动扶梯的通过能力是一 定的，以μ 表示楼梯和自动扶梯的输出率μ (单 位：人／s)。则排队系统的输出率 与楼梯和自动 扶梯的宽度相关，当楼梯和自动扶梯的宽度确定 后，每一组楼梯和自动扶梯的输出过程是一个定 长输出过程，其输出率μ 的具体表达式为：