江苏省南通市启东市2015-2016学年高一下学期期末数学试卷 含解析

2015-2016学年江苏省南通市启东市高一（下）期末数学试卷
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．若直线l过两点P（1，3）和Q（2，2）,则l的斜率为．
2．在△ABC中，若∠A=60°,∠B=45°，BC=3，则AC=．
3．已知x+2y=6，则2x+4y的最小值为．
4．若直线l上有两个点在平面α内,则下列说法正确的序号为
①直线l上至少有一个点在平面α外；
②直线l上有无穷多个点在平面α外；
③直线l上所有点都在平面α内；
④直线l上至多有两个点在平面α内．
5．直线x+a2y﹣a=0（a＞0），当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值为．6．在数列｛a n｝中,a1=1，a11=3，且任意连续三项的和为9,则a2016=．
7．三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB,PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC 的体积为V2，则=．
8．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC，则cosB
的值为．
9．已知点P1(2，3）、P2(﹣4,5）和A（﹣1,2），则过点A且与点P1、P2距离相等的直线方程为．
10．已知实数x,y满足条件，则y﹣（）x的最大值为．
11．已知△ABC的一条内角平分线CD的方程2x+y﹣1=0，两个顶点为A(1，2），B（﹣1，﹣1），则顶点C的坐标为．
12．等比数列｛a n｝中,a n＞0,a1=256，S3=448，T n为数列{a n}的前n项乘积，则T n当取得最大值时,n=．
13．已知正实数x,y满足x﹣y=xy,x﹣4y﹣a=0，则实数a的取值范围为．14．如图，一个箱子的每个面都是矩形且边长都是正整数,若它的对角线PQ=9，则这个箱子的体积最大可能值是．
二、解答题（共6小题,满分90分）
15．已知直线l1：（m﹣2）x+3y+2m=0，l2:x+my+6=0
（1)若直线l1与l2垂直，求实数m的值;
(2）若直线l1与l2平行，求实数m的值．
16．如图,在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD
（1）求证：BD⊥PC；
(2）若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证:BC∥l．
17．已知等比数列[a n}满足2a1+a3=3a2,且a3+2是a2，a4的等差中项．
（1）求数列｛a n｝的通项公式；
（2)若b n=+log2，S n=b1+b2+…+b n,求使S n+35＜0成立的n的最小值．
18．为了做好“双11"促销活动，某电商打算将进行促销活动的礼品重新包装，设计方案如下：将一块边长为20cm的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△SEE′,△SFF′,△SGG′，△SHH′，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的礼品袋S﹣EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E′重合,F与F′重合，G与G′重合,H与H′重合（如图所示）,设AE=BE′=x（cm）．(1）求证：平面SEG⊥平面SFH;
（2）若电商要求礼品袋的侧面积不少于128cm2，试求x的取值范围；
(3)当x=5时,该电商打算将礼品袋S﹣EFGH全部放入一个球形状的包装盒内密封，求包装盒的内径R的最小值．
19．在直角坐标系中，已知射线OA:x﹣y=0（x≥0），OB：2x+y=0（x≥0)．过点P(1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A,B．
(1）当AB的中点在直线x﹣2y=0上时,求直线AB的方程；
(2)当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程．
（3）当PA•PB取最小值时,求直线AB的方程．
20．已知数列｛a n}是首项为1，公差为d的等差数列，数列｛b n｝是首项为1，公比为q(q＞1）的等比数列．
（1）若a5=b5,q=3，求数列{a n•b n｝的前n项和；
（2）若存在正整数k（k≥2），使得a k=b k．试比较a n与b n的大小，并说明理由．
2015-2016学年江苏省南通市启东市高一（下）期末数学
试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(共14小题,每小题5分，满分70分)
1．若直线l过两点P(1,3）和Q（2,2）,则l的斜率为﹣1．
【考点】直线的倾斜角．
【分析】根据题意,由两点间直线的斜率计算公式k=,代入数据计算即可得答案．【解答】解：根据题意，P(1，3）,Q（2,2），
则k PQ==．
即过P(1，3)，Q（2，2）两点的直线l的斜率为：﹣1．
故答案为:﹣1．
2．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=2．
【考点】正弦定理．
【分析】由A与B的度数分别求出sinA与sinB的值，再由BC的长，利用正弦定理即可求出AC的长．
【解答】解：∵∠A=60°，∠B=45°,BC=3，
∴由正弦定理=得：AC===2．
故答案为：2
3．已知x+2y=6，则2x+4y的最小值为16．
【考点】基本不等式．
【分析】根据基本不等式的性质，有2x+4y≥2=2，将已知条件x+2y=6代入
可得答案．
【解答】解：根据基本不等式的性质，有
2x+4y≥2=2=2=16,
当且仅当2x=4y即x=2y=3时取等号，
∴2x+4y的最小值为16．
故答案为：16．
4．若直线l上有两个点在平面α内,则下列说法正确的序号为③
①直线l上至少有一个点在平面α外；
②直线l上有无穷多个点在平面α外；
③直线l上所有点都在平面α内；
④直线l上至多有两个点在平面α内．
【考点】平面的基本性质及推论．
【分析】根据两点确定一条直线，得出直线l上有两点在平面α内，则直线l在平面α内．【解答】解：若直线l上有两个点在平面α内，则直线l在平面α内，
所以直线l上所有点都在平面α内．
所以正确的命题是③．
故答案为：③．
5．直线x+a2y﹣a=0(a＞0),当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值为1．
【考点】直线的截距式方程．
【分析】化为截距式、利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：方程可化为+=1，
∵a＞0,
∴截距之和t=a+≥2，当且仅当a=,即a=1时取等号，
故a的值为1．
故答案为：1．
6．在数列{a n｝中，a1=1，a11=3，且任意连续三项的和为9，则a2016=5．
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】a n+a n+1+a n+2=9，a1=1,a11=3，可得:a9=5，a6=5，a3=5．可得：a2016=a3，即可得出．【解答】解:∵a n+a n+1+a n+2=9,
a1=1，a11=3，
∴1+a2+a3=9,a2+a3+a4=9，
可得a4=1，
同理可得：a7=a10=1,a9=5．
∴a8=3，a6=5，a5=3，a3=5．
可得：a2016=a3=5．
故答案为：5．
7．三棱锥P﹣ABC中，D,E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC 的体积为V2，则=．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．
【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，
三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2,
∴A到底面PBC的距离不变,底面BDE底面积是PBC面积的=，
∴==．
故答案为:．
8．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosB的值为．
【考点】正弦定理．
【分析】由条件利用正弦定理求得c=，a=，再由余弦定理可得cosB的值．
【解答】解：在△ABC中,∵b﹣c=a,2sinB=3sinC,
∴利用正弦定理可得：2b=3c,求得c=，a=．
再由余弦定理可得cosB===．
故答案为：．
9．已知点P1（2，3）、P2（﹣4，5）和A（﹣1,2）,则过点A且与点P1、P2距离相等的直线方程为x+3y﹣5=0或x=﹣1．
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】由题意可知过点A且与点P1,P2距离相等的直线有两种情况，当直线与点P1，P2的连线平行时,由两点式求出斜率，再由点斜式写出直线方程,当直线过线段P1P2的中点时,由中点坐标公式求出线段P1P2的中点，然后直接得到直线方程．
【解答】解：①当直线与点P1，P2的连线平行时，
由直线P1P2的斜率k==﹣,
所以所求直线方程为y﹣2=﹣（x+1），
即x+3y﹣5=0；
②当直线过线段P1P2的中点时，
因为线段P1P2的中点为(﹣1，4），
所以直线方程为x=﹣1．
∴所求直线方程为x+3y﹣5=0或x=﹣1，
故答案为：x+3y﹣5=0或x=﹣1．
10．已知实数x,y满足条件，则y﹣（）x的最大值为．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=y﹣()x，利用z的几何意义,结合数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=y﹣(）x，
则y=(）x+z，
平移曲线y=（）x+z，当曲线y=（）x+z经过点A时，z取得最大值，
由,解得,
即A（1，1），此时z=1﹣（)1=，
故答案为：．
11．已知△ABC的一条内角平分线CD的方程2x+y﹣1=0，两个顶点为A（1,2），B（﹣1,﹣1）,则顶点C的坐标为（﹣2。

6,6.2）．
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】先求出点A关于于直线2x+y﹣1=0的对称点P的坐标，再根据点P在直线BC上,利用两点式求得BC的方程,再把BC的方程和CD的方程联立方程组,求得第三个顶点C的坐标【解答】解：由题意可知：A(1,2）关于直线2x+y﹣1=0的对称点在直线BC上,设对称点为P （a，b)，
则由,解得：P（﹣1。

4，0。

8),
用两点式求得直线BC(即PC)的方程为9x+2y+11=0．
再由，求得C点的坐标为(﹣2.6，6.2）．
故答案为：（﹣2.6,6.2）．
12．等比数列｛a n｝中,a n＞0,a1=256,S3=448，T n为数列{a n｝的前n项乘积,则T n当取得最大值时,n=8或9．
【考点】等比数列的性质．
【分析】由已知列式求出等比数列的公比,得到通项公式，由n≤9时，，n＞9时，得答案．
【解答】解：设等比数列｛a n}的公比为q，
由a1=256，S3=448,得256（1+q+q2）=448，
解得：或q=﹣，
∵a n＞0，∴q=，
则,
当n≤9时,，
当n＞9时，,
∴当n=8或9时，T n取得最大值．
故答案为：8或9．
13．已知正实数x,y满足x﹣y=xy，x﹣4y﹣a=0，则实数a的取值范围为［﹣1,+∞)．【考点】基本不等式．
【分析】正实数x，y满足x﹣y=xy,变形为x=＞0，解得0＜y＜1．可得a=x﹣4y=
﹣4y=﹣1+﹣4y=﹣5+,再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵正实数x,y满足x﹣y=xy，
∴x=＞0，解得0＜y＜1．
∴a=x﹣4y=﹣4y=﹣1+﹣4y=﹣5+
≥﹣5+2=﹣1,当且仅当y=时取等号．
则实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．
故答案为：[﹣1，+∞)．
14．如图，一个箱子的每个面都是矩形且边长都是正整数，若它的对角线PQ=9，则这个箱子的体积最大可能值是112．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．
【分析】设长方体的长宽高分别为a,b，c，则a2+b2+c2=81，根据一个箱子的每个面都是矩形且边长都是正整数，求出a，b，c，即可得出结论．
【解答】解:设长方体的长宽高分别为a，b，c，则a2+b2+c2=81，
由题意，a=8,b=1，c=4或a=7，b=c=4或a=6，b=3，c=6，
∴abc=32或112或108，
∴这个箱子的体积最大可能值是112．
故答案为：112．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．已知直线l1：(m﹣2）x+3y+2m=0，l2：x+my+6=0
（1）若直线l1与l2垂直，求实数m的值；
（2）若直线l1与l2平行，求实数m的值．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】（1）由已知条件利用直线与直线垂直的条件直接求解．
(2）由已知条件利用直线与直线平行的条件直接求解．
【解答】解：（1)∵直线l1：（m﹣2)x+3y+2m=0，l2:x+my+6=0，直线l1与l2垂直，
∴（m﹣2）×1+3m=0,
解得m=．
（2∵直线l1：（m﹣2）x+3y+2m=0，l2:x+my+6=0，直线l1与l2平行,
∴，
解得m=﹣1．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD
(1）求证：BD⊥PC；
（2)若平面PBC与平面PAD的交线为l,求证：BC∥l．
【考点】棱锥的结构特征．
【分析】（1）根据线面垂直的性质证明BD⊥平面PAC即可．
（2)根据线面平行的性质定理证明BC∥平面PAD即可．
【解答】证明：(1）连结AC、BD，
∵在四棱锥P﹣ABCD中,ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD，
∴BD⊥AC，BD⊥PA，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC,
∵PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC．
(2）∵BC∥AD,BC⊄面PAD,AD⊂面PAD，
∴BC∥面PAD．
∵平面PBC与平面PAD的交线为l,
∴BC∥l．
17．已知等比数列[a n}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（1)求数列｛a n}的通项公式；
（2)若b n=+log2，S n=b1+b2+…+b n,求使S n+35＜0成立的n的最小值．
【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．
【分析】(1）根据等差数列和等比数列的性质即可求出数列{a n｝的通项公式，
(2）先化简b n,再分别根据等比数列和等差数列的前n项和公式和放缩法即可求出n的最小值．【解答】解:（1）设等比数列{a n｝的公比为q，依题意：有2a1+a1q2=3a1q，
解得q=1或q=2，
∵a3+2是a2,a4的等差中项，
∴2a3+4=a2+a4，
即2a1q2+4=a1q+a1q3,
当q=1时，不成立，
当q=2时，a1=2，
∴a n=2n，
（2）b n=+log2=﹣n,
∴S n=b1+b2+…+b n=（+++…+）﹣（1+2+3+…+n）=﹣=1﹣
﹣
∵S n+35＜0，
∴1﹣﹣+35＜0，
∴+＞36恒成立，
∴≥36恒成立，
∴n（n+1）≥72，
解得n≥8，
∴使S n+35＜0成立的n的最小值是8．
18．为了做好“双11”促销活动，某电商打算将进行促销活动的礼品重新包装，设计方案如下：将一块边长为20cm的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△SEE′，△SFF′,△SGG′，△SHH′，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的礼品袋S﹣EFGH，其中A，B,C，D重合于点O,E与E′重合，F与F′重合，G与G′重合，H与H′重合（如图所示）,设AE=BE′=x（cm）．（1）求证：平面SEG⊥平面SFH；
(2）若电商要求礼品袋的侧面积不少于128cm2，试求x的取值范围;
（3)当x=5时，该电商打算将礼品袋S﹣EFGH全部放入一个球形状的包装盒内密封，求包装盒的内径R的最小值．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明
（2)用正方形的面积减去4(S△EAH’+S△SEE'），即可得到四棱锥的侧面积，结合一元二次不等式进行求解即可．
(3）根据正四棱锥S﹣EFGH的外接球的性质求出外接球的半径进行求解即可．
【解答】证明：∵折后A,B，C，D重合于一点O，
∴拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，
∴底面EFGH是正方形，故EG⊥FH，
∵在原平面EFGH是正方形，故EG⊥FH，
∵在原平面图形中，等腰三角形△SEE′≌△SGG′，
∴SE=SG,∴EG⊥SO,
又∵SO、FH⊂平面SFH，SO∩FH=O，
∴EG⊥平面SFH,
又∵EG⊂平面SEC，∴平面SEG⊥平面SFH．
（2）∵AE=BE′=x(cm)．
∴EE’=20﹣2x，有EE'＞0得0＜x＜10,
则△SEE'的高为20，
则礼品袋的侧面积S=20×20﹣4（S△EAH’+S△SEE’)
=400﹣4[（x2+(20﹣2x）×10］=400﹣（2x2+400﹣40x）=﹣2x2+40x,
由S=﹣2x2+40x≥128得x2﹣20x+64≤0，得4≤x≤16，
∵0＜x＜10，∴4≤x＜10．
(3)当x=5时，OE=OF=AE=5，则EF=5，包装盒的内径最小值，
即为正四棱锥S﹣EFGH的外接球的半径R,
设正四棱锥的外接球的球心为O’，
则O'在正四棱锥S﹣EFGH的高SO上，连接EO’，
则Rt△SEO中，SO=10，
∴O'E=R，O’O=10﹣R，
Rt△EOO’中，OE2+O'O2=O'E2，
∴52+（10﹣R)2=R2，
即25+100﹣20R=0，得R==6.25，
即包装盒的内径R的最小值是6。

25．
19．在直角坐标系中,已知射线OA:x﹣y=0（x≥0）,OB:2x+y=0（x≥0)．过点P（1，0)作直线分别交射线OA，OB于点A，B．
（1）当AB的中点在直线x﹣2y=0上时，求直线AB的方程；
（2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程．
（3）当PA•PB取最小值时，求直线AB的方程．
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】(1)设A（a，a)，B（b，﹣2b），则线段AB的中点为C．可得
﹣2×=0,=，联立解出a,b，即可得出．
（2）设A(a，a），B(b,﹣2b)，（a，b＞0)．a=b=1时，A（1，1），B(1,﹣2），S△OAB=×｜OP|×｜AB|．a，b≠1时，S△OAB=×|OP|×(a+2b）=(a+2b)，又，化为a+2b=3ab,利用基本不等式的性质可得a+2b的取值范围．
(3）设直线AB的方程为：my=x﹣1。

．联立,解得
A，可得｜PA｜=．同理可得｜PB｜=．可得｜PA｜｜PB．进而得出最小值．|
【解答】解：（1）设A（a，a），B（b，﹣2b），则线段AB的中点为C．
∴﹣2×=0，=，
分别化为：a=5b,a+2b﹣3ab=0．
解得:，
∴直线AB的方程为:y﹣0=（x﹣1），化为：7x﹣4y﹣7=0．
（2)设A（a，a),B（b，﹣2b),（a，b＞0）．
a=b=1时，A(1，1），B（1，﹣2），S△OAB=×｜OP｜×｜AB|==．
a，b≠1时，S△OAB=×｜OP｜×（a+2b)=（a+2b），
又，化为a+2b=3ab，
∴a+2b=3ab=≤，解得:a+2b≥．
∴S△OAB≥×=，
当且仅当a=2b=时取等号．
综上可得：当△AOB的面积取最小值时,直线AB的方程为：y=（x﹣1），化为:4x﹣y ﹣4=0．
（3）设直线AB的方程为：my=x﹣1。

．
联立，解得A，可得
|PA|==．
联立，解得B,可得
|PB|==．
∴｜PA｜•|PB|====f（m），
m=﹣3时，f（﹣3)=1；
令m+3=k≠0，f（m）=g（k）==,
k＜0时，g(k）=≥=．
k＞0时,g（k）=≥=，
而＞，
∴g（k）的最小值为：．
当且仅当k=时取等号．
∴m=﹣3．
∴直线AB的方程为：y=x﹣1．
20．已知数列｛a n}是首项为1，公差为d的等差数列，数列｛b n}是首项为1，公比为q（q＞1）的等比数列．
(1）若a5=b5，q=3,求数列｛a n•b n｝的前n项和；
（2）若存在正整数k(k≥2）,使得a k=b k．试比较a n与b n的大小，并说明理由．
【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性；数列的求和．
【分析】（1)由q=3，b1=1可求得b5，从而得到a5，由a1=1及通项公式可求得a n,利用错位相减法即可求得数列｛a n•b n}的前n项和；
(2)由a k=b k，即1+（k﹣1)d=q k﹣1，得，，作差b n﹣a n 变形，然后分1＜n＜k时，当n＞k时，n=1三种情况讨论讨论差的符号即可作出大小比较；【解答】解：(1）依题意，,
故，
所以a n=1+20（n﹣1)=20n﹣19，
令，①
则,②
①﹣②得，
==（29﹣20n)•3n﹣29,
所以．
（2)因为a k=b k，所以1+(k﹣1)d=q k﹣1,即，
故，
又，
所以
=
=,
(ⅰ）当1＜n＜k时，由q＞1知，
=＜0；
（ⅱ）当n＞k时，由q＞1知，
=（q﹣1)2q k﹣2（n﹣k）＞0，
综上所述,当1＜n＜k时，a n＞b n；当n＞k时，a n＜b n；当n=1时，a n=b n．
2016年8月26日。