高考数学圆锥曲线与方程章总结题型详解

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高考数学圆锥曲线大题所有题型解法

高考数学圆锥曲线大题所有题型解法
高考数学圆锥曲线大题的题型多种多样，以下是常见的几种题型和解法：
1.求圆锥曲线的方程：通过给定的条件，根据圆锥曲线的定义和性质，可以求出圆锥曲线的方程。

例如，已知圆锥曲线的焦点、准线或者过定点的直线方程，可以根据定义和性质求出圆锥曲线的方程。

2.求圆锥曲线的性质：通过已知的条件，可以利用圆锥曲线的性质来求解问题。

例如，已知圆锥曲线的焦点和准线，可以求出其焦距、离心率等性质。

3.求直线与圆锥曲线的交点：通过已知的直线方程和圆锥曲线的方程，可以求出它们的交点。

可以将直线方程代入圆锥曲线方程，解方程得到交点的坐标。

4.求切线和法线：通过已知的条件，可以求出圆锥曲线上某点的切线和法线方程。

例如，已知圆锥曲线上一点的坐标，可以求出该点处的切线和法线方程。

5.求曲线的参数方程：对于给定的圆锥曲线方程，可以通过变量替换的方法，将其转化为参数方程。

例如，对于抛物线，可以令y=xt^2，将方程转化为参数方程。

这些只是一些常见的题型和解法，实际上高考数学圆锥曲线大
题的题型和解法还有很多，需要根据具体的题目来进行分析和解决。

掌握圆锥曲线的基本定义、性质和常见的解题方法，能够更好地应对这类题目。

高考数学必考圆锥曲线经典结论与题型含详解

【精品】高考数学必考圆锥曲线经典结论与题型_含详解直线和圆锥曲线常考题型与经典结论椭圆1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.x0xy0yx2y2?2?1. ??15. 若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000a2ba2b2x2y26. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切abxxyy点弦P1P2的直线方程是02?02?1. abx2y27. 椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点ab??F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面积为S?F1PF2?b2tan. 2x2y28. 椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.x2y211. AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则abb2kOM?kAB??2，ab2x0即KAB??2。

ay0x2y2?2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是12. 若P0(x0,y0)在椭圆2ab x0xy0yx02y02?2?2?2. a2babx2y2??1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是13. 若P0(x0,y0)在椭圆a2b2 x2y2x0xy0y??2?2. a2b2ab双曲线1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P在左支）x2y25. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程abxxyy是02?02?1. abx2y26. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切abxxyy线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02?02?1. abx2y27. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意ab?2S?bcot一点?F，则双曲线的焦点角形的面积为. PF???F1PF2122x2y28. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0) ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.x2y211. AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为ABabb2x0b2x0的中点，则KOM?KAB?2，即KAB?2。

高考圆锥曲线知识点、题型全总结

圆锥曲线全总结及全题型解析1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ，F 的距离的和等于常，且此常数一定要大于，当常数等时，轨迹是线段 F F ，当常数小时，无轨迹；双曲线中，与两定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于F |，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。

若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F |，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）。

方程表示椭圆的充要条件是什么？（A B C≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

（2）双曲线：焦点在轴上=1，焦点在轴上＝1（）。

方表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B 异号）。

（3）抛物线：开口向右时，开口向左，开口向上时，开口向下时。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由, 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

（2）双曲线：由, 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：在椭圆中，最大，在双曲线中，最大。

4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为，短轴长为；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。

（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2 ，虚轴长为，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线在椭圆外，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线。

高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析

x0 x a2

y0 y b2
1.
7.
x2
椭圆
a2

y2 b2
1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 F1PF2

，则椭圆的焦点角形的面积
S 为 F1PF2
b2
tan 2
.
-4-
8.
椭圆 x2 y2 a2 b2
1（a＞b＞0）的焦半径公式 | MF1 | a ex0 , | MF2 | a ex0 ( F1(c, 0)
x0
中心顶点对称轴
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2b
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0) x 轴，y 轴;
实轴长 2a, 虚轴长 2b.
(0,0) x轴
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)
e=1
a
a
-2-
【备注 1】双曲线：
⑶等轴双曲线：双曲线 x 2 y 2 a 2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率 e 2 .
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. x 2 y 2 与 a2 b2
x 2 y 2 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： x 2 y 2 0 .
e 的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
-1-
轨迹条件
点集： ({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F

圆锥曲线与方程知识点及题型全集

《圆锥曲线与方程》（理）知识点串讲一、椭圆1．椭圆的定义文字叙述：平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．数学语言：集合，其中，，，，为常数，则集合表示以，为焦点的椭圆．注意：（1）与圆的定义（平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹）类比可知：二者的定义方式一致———都是通过对平面内与定点的距离满足某些条件的动点的轨迹研究得出的．（2）注意椭圆定义中的限制条件：当时，点的轨迹为线段；当时，点的轨迹不存在（或不表示任何图形）．2．两种标准方程（1），焦点在轴上；（2），焦点在轴上．注意：（1）参数关系：，，中最大．（2）判断焦点位置的方法：①椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；②椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大．3．椭圆方程的一般形式，其焦点位置有如下规律：当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上．注意：在求椭圆的标准方程时，有时不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的标准方程为，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出的值即可．如：求焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆的标准方程．4．理解椭圆应注意的几点（1）椭圆的两个焦点总在它的长轴上．（2）离心率的大小对椭圆形状的影响：∵．∴当趋近于1时，变小且越接近于，椭圆越扁平；当趋近于时，变大且越接近于１，椭圆越圆．二、双曲线1．双曲线的定义文字叙述：在平面内到两个定点，距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．数学语言描述：集合，其中，，，为常数，则集合表示以，为焦点的双曲线．注意：（1）定义中的限制条件．当时，点的轨迹为以，为端点的两条射线；当时，轨迹不存在（或不表示任何图形）；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．（2）定义中的“绝对值”必不可少．若有“绝对值”，点的轨迹表示双曲线的两支；若去掉“绝对值”，点的轨迹仅为双曲线的一支．2．两种标准方程（1），焦点在轴上；（2），焦点在轴上．注意：双曲线与椭圆标准方程的不同：（1）“＋”、“－”号不同：椭圆标准方程中是“＋”号，双曲线标准方程中是“－”号；（2）的大小关系不同：椭圆标准方程中，而双曲线中大小不确定；（3）关系不同：椭圆标准方程中，而双曲线中．3．双曲线方程的一般形式，其焦点位置有如下规律：当，时，焦点在轴上；当，时，焦点在轴上．注意：当不知焦点在哪个坐标轴上，求标准方程时常用此形式．如：求焦点在坐标轴上，且经过和的双曲线的标准方程．4．理解双曲线应注意的几点（1）椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据．同样，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据，由于，当从接近1逐渐增大时，的值就从接近于逐渐增大，双曲线的“张口”逐渐增大．（2）要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法．∵，∴把标准方程中的“1”用“”替换即可得出渐近线方程．（3）已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：①渐近线方程为的双曲线的方程为：（且为常数）．②与双曲线有共同渐近线的双曲线的方程可设为（且为常数）．三、抛物线1．抛物线的定义平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，焦点到准线的距离（定长）叫做抛物线的焦参数．注意：（1）抛物线的定义还可叙述为“平面内与一个定点和一条定直线的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线”．（2）定义的实质可归结为“一动三定”．一个动点，一个定点（抛物线的焦点），一条定直线（抛物线的准线），一个定值（点与点的距离和它到直线的距离之比等于1．）（3）定点，否则动点的轨迹不是抛物线，而是过点垂直于直线的一条直线．2．抛物线的标准方程顶点在原点，轴与坐标轴重合的抛物线的标准方程有4种形式：分别为：（其中）．注意：（1）的几何意义：焦参数是焦点到准线的距离，故恒为正数．（2）焦点的横（纵）坐标是一次项系数的．（3）准线与坐标轴的交点与抛物线的焦点关于原点对称． 3．标准方程的求法（1）在中，只含有一个参数，因此只要有一个独立的条件就可以求出其参数（常用待定系数法）．（2）求抛物线的标准方程时，首先要确定标准方程的形式，这是解题的关键． 4．理解抛物线应注意的几点（1）抛物线的性质与椭圆、双曲线差别较大：抛物线的离心率等于１，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，它不是中心对称图形，因而没有对称中心．（2）抛物线的开口大小：由方程可知，对于同一个值，值越大也越大，不妨说抛物线开口越大，这样可以较好地理解不同的值与其开口大小的关系．（3）抛物线定义的妙用：常利用抛物线的定义将点到焦点的距离与到准线的距离进行相互转化．5.直线 l 经过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，点A 、B 在准线上的射影分别为A ’、B ’．（1）若l 的倾斜角为 α ，求证：|AB|=22sin pα；（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，证明：221212,4p x x y y p ==-；（3）设|AF|=m ，|BF|=n ，证明：112m n p+= ；（4）求证：A ，O ，B ’三点共线；（5）设准线交x 轴于K ，求证：∠AKF=∠BKF ；（6）求证：以AB 为直径的圆与准线相切；（7）求证：∠A ’FB ’=90°．四、直线与圆锥曲线的关系1、设直线l:0Ax By C ++= 圆锥曲线C : 由(1)当0a = 时，若一次方程有解，则只有一解，即直线与圆锥曲线只有一个交点.此时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与渐近线平行; 若圆锥曲线为抛物线，则直线与对称轴平行。

2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)

题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。

2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。

有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。

2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。

圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧

圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线作为高等数学中的重要内容，在高考中常常出现，并且是考察学生数学运算能力和理解能力的重要方面。

圆锥曲线问题在高考中的常见题型有：直线与圆锥曲线的交点问题、圆锥曲线的参数方程问题、圆锥曲线的性质和应用问题等。

下面我们来一一介绍这些常见题型的解题技巧。

一、直线与圆锥曲线的交点问题这是圆锥曲线问题中最常见的一个题型，题目通常要求求出直线与圆锥曲线的交点坐标。

解题技巧如下：1. 分析题目给出的直线和圆锥曲线，确定直线方程和圆锥曲线方程；2. 将直线方程代入圆锥曲线方程中，解方程得出交点坐标；3. 特别要注意，当圆锥曲线为椭圆或双曲线时，有两个交点，需要分别求解；4. 当圆锥曲线为抛物线时，还需要注意直线的位置与抛物线的开口方向。

二、圆锥曲线的参数方程问题圆锥曲线的参数方程问题通常考查学生对参数方程的理解和应用能力，解答这类问题的关键在于用参数代换替换变量。

解题技巧如下：1. 给出的圆锥曲线通常可以用参数方程表示，将已知的参数方程代入题目求解；2. 注意参数方程的参数范围，有时需要根据范围重新调整参数；3. 对于给出的参数方程，需要将参数代换替换变量，进而得出答案。

三、圆锥曲线的性质和应用问题圆锥曲线的性质和应用问题通常要求学生掌握圆锥曲线的基本性质，以及如何应用这些性质解决实际问题。

解题技巧如下：1. 需要牢记圆锥曲线的基本性质，例如椭圆的焦点、双曲线的渐近线等；2. 掌握各种类型圆锥曲线的标准方程和参数方程；3. 对于应用问题，需要在掌握了基本性质的前提下，将问题转化为数学模型，进而解决。

以上就是圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，希望对大家备战高考有所帮助。

在复习期间，建议大家多做练习题，加深对圆锥曲线知识的理解，提高解题能力。

多思考，灵活运用各种解题技巧，相信大家一定能在高考中取得好成绩！。

高三高考数学总复习《圆锥曲线》题型归纳与汇总

高考数学总复习题型分类汇《圆锥曲线》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一求曲线的方程 (3)题型二最值（范围）问题 (4)题型三定点定值与存在性 (6)【巩固训练】题型一求曲线的方程 (8)题型二最值（范围）问题 (9)题型三定点定值与存在性 (11)高考数学《圆锥曲线》题型归纳与训练【题型归纳】题型一求曲线的方程例1 已知定点()0,3-G ，S 是圆()723:22=+-y x C （C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E ，设点E 的轨迹为M . 求M 的方程. 【答案】见解析【解析】由题意知ES EG =，所以26=+=+EC ESEC EG ,又因为266<=GC .所以点E 的轨迹是以G ，C 为焦点，长轴长为26的椭圆，动点E 的轨迹方程为191822=+y x . 例2 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.求点P 的轨迹方程.【答案】见解析【解析】如图所示，设(),P x y ，(),0N x ，()1,M x y . 由2NP NM =知，12y y =，即12y =.又点M 在椭圆2212x y +=上，则有22122x y +=，即222x y +=.例3 如图，矩形ABCD 中， ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D -- 且,AM AD DN DC λλ==,[]0,1,AN λ∈交BM 于点Q .若点Q 的轨迹是曲线P 的一部分，曲线P 关于x 轴、y 轴、原点都对称,求曲线P 的轨迹方程.【答案】Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【解析】设(),Q x y ，由,AM AD DN DC λλ==,求得()()2,2,42,2M N λλ--, ∵1,22QA AN QB BM k k k k λλ====-,∴11224QA QB k k λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭, P x,y ()NM Oxy∴1224y y x x ⋅=-+-，整理得()22120,014x y x y +=-≤≤≤≤.可知点Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【易错点】求轨迹问题学生容易忽视范围【思维点拨】高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法：直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简; 定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.2.相关点法：找动点之间的转化关系（平移，伸缩，中点，垂直等），用要求的代替已知轨迹的，代入化简3.参数法：可用联立求得参数方程，消参.注意此种问题通常范围有限制.4.交轨法：联立求交点，变形的轨迹. 题型二最值（范围）问题例1 已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则DE AB +的最小值为（）A. 16B. 14C. 12D. 10 【答案】A【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为()11y k x =-，联立方程()214 1y xy k x ==-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=- 212124k k +=，同理直线2l 与抛物线的交点满足：22342224k x x k ++=，由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.【易错点】本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出DE AB +,然后利用基本不等式求最值.对相关流程应有所熟练例2 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF，O 为坐标原点．（1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．【答案】见解析【解析】（1）2(c,0)F c c 设，由条件知，222=2, 1.c a b a c a ==-=又所以 22 1.4x E y +=故的方程为（2）1122:=2,(,),(,).l x l y kx P x y Q x y ⊥-当轴时不合题意，故设22214x y kx y =-+=将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,23=16(43)0,4k k x ∆->>=当即时，12PQ x =-=从而O PQ d OPQ =∆又点到直线的距离所以的面积21=241OPQ S d PQ k ∆⋅=+244,0,.44OPQ t t t S t t t∆=>==++则44,20.2t t k t +≥==±∆>因为当且仅当，即OPQ ∆所以，当的面积最大时，l 的方程为2222y x y x =-=--或．【思维点拨】圆锥曲线中的取值范围问题常用的方法有以下几个：(1)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；(2)利用基本不等式求出参数的取值范围；(3)利用函数的值域的求法（甚至求导），确定参数的取值范围．题型三定点定值与存在性问题例1 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上.（1）求C 的方程.（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 【答案】见解析【解析】（1=22421a b+=，解得28a =，24b =. 所以C 的方程为22184x y +=. （2）设直线l ：()00y kx b kb =+≠≠，，()11A x y ，， ()22B x y ，，()M M M x y ，.将 y kx b =+代入22184x y +=得()22221+4280k x kbx b ++-=. 故1222221M x x kb x k +-==+，221M M by kx b k =+=+ . 于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-，即12OM k k ⋅=-. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【思维点拨】解析几何是高考必考内容之一，在命题时多从考查各种圆锥曲线方程中的基本量关系及运算，在直线与圆锥曲线关系中.一般用方程的思想和函数的观点来解决问题，并会结合中点坐标，方程根与函数关系来求解.例2 已知抛物线2:4C y x =，点()0,m M 在x 轴的正半轴上，过M 点的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1) 若1=m ，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2) 是否存在定点M ，使得不论直线:l x ky m =+绕点M 如何转动，2211AMBM+恒为定值？【答案】（1）()()223216x y -+-=. (2)存在定点M (2, 0). 【解析】（1）当1=m 时，()0,1M ，此时，点M 为抛物线C 的焦点，直线l 的方程为1-=x y ，设()()1122,,A x y B x y ，，联立24{ 1y xy x ==-，消去y 得， 2610x x -+=，∴126x x +=， 121224y y x x +=+-=，∴圆心坐标为(3, 2).又1228AB x x =++=，∴圆的半径为4，∴圆的方程为()()223216x y -+-=. (2)由题意可设直线l 的方程为x ky m =+，则直线l 的方程与抛物线2:4C y x =联立，消去x 得： 2440y ky m --=，则124y y m =-， 124y y k +=，()()22222211221111AMBMx m y x m y +=+-+-+()()()22122222222121211111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()()()222121222222221221682111621y y y y k m k mky y k m m k +-++===+++ 对任意k R ∈恒为定值，于是2=m ，此时221114AMBM+=. ∴存在定点()0,2M ，满足题意. 【易错点】定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果（取特殊位置或特殊值），因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.【思维点拨】定点、定值问题通常先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．在求解中通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.【巩固训练】题型一求曲线的方程1.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()0,1B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC的平行线交AD 于点E .证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程.【答案】13422=+y x （0≠y ）【解析】因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠，所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为13422=+y x （0≠y ）.2.已知动圆G 过定点()4,0F ，且在y 轴上截得的弦长为8.求动圆G 的圆心点G 的轨迹方程；【答案】28y x =【解析】设动圆圆心(),G x y ，设圆交y 轴于,M N 两点，连接,GF GM ，则GF GM =，过点G 作GH MN ⊥，则点H 是MN 的中点，显然()22224,4GM x GF x y =+=-+，于是()222244x y x -+=+，化简整理得28y x =，故的轨迹方程为28y x =.3.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ∥；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（1）见解析；（2）12-=x y ．【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .（1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S -=-=--=△△. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .题型二最值（范围）问题1.已知动点E 到点A ()2,0与点B ()2,0-的直线斜率之积为14-，点E 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）过点D ()1,0作直线l 与曲线C 交于P ， Q 两点，求OP OQ ⋅的最大值．【答案】（1）()22124x y x +=≠±（2）14 【解析】（1）设(),E x y ，则2x ≠±．因为E 到点A ()2,0，与点B ()2,0-的斜率之积为14-，所以122y yx x ⋅=-+-，整理得C 的方程为()22124x y x +=≠±．（2）当l 垂直于轴时，l 的方程为1x =，代入2214x y +=得P ⎛ ⎝⎭，1,Q ⎛ ⎝⎭．11,4OP OQ ⎛⎛⋅=⋅= ⎝⎭⎝⎭．当l 不垂直于x 轴时，依题意可设()()10y k x k =-≠，代入2214x y +=得 ()2222148440k xk x k +-+-=．因为()216130k ∆=+>，设()11,P x y ， ()22,Q x y ．则2122814k x x k +=+， 21224414k x x k -=+．()()21212121211OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+-- ()()22212121k x x k x x k =+-++14+21174416k =-+ 14< 综上OP OQ ⋅ 14≤，当l 垂直于x 轴时等号成立，故OP OQ ⋅的最大值是14．2.设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过点12,,P F F ⎭是椭圆M 的左、右焦点，且12PF F ∆的面积为2．（1）求椭圆M 的方程；（2）设O 为坐标原点，过椭圆M 内的一点()0,t 作斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若对任意实数k ，存在实数m ，使得12k k mk +=，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）[)2,m ∈+∞．【解析】（1）略（2）设直线l 的方程为y kx t =+，由221{ 43x y y kx t+==+，得()2223484120k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434kt t x x x x k k -+=-=++，()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--，由12k k mk +=对任意k 成立，得22223t m t =--，∴()232m t m-=，又()0,t 在椭圆内部中，∴203t ≤<，∴2m ≥，即[)2,m ∈+∞．题型三定点定值与存在性问题1.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12， ,M N 分别是椭圆的上、下顶点，22•2MF NF =-.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆E 交于相异两点,A B ，且满足直线,MA MB 的斜率之积为14，证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）直线AB恒过定点(0,.【解析】（1）由题知()0,2c F ，()b M ,0，()b N -,0，22222-=-=⋅∴b c NF MF ①由21==a c e ，得c a 2= ② 又222cb a =- ③ 由①②③联立解得：42=a ，32=b ∴椭圆E 的方程为13422=+y x . （2）证明：由椭圆E 的方程得，上顶点()3,0M ，设()11,y x A ，()22,y x B ，由题意知，01≠x ，02≠x由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 得：()()034843222=-+++m kmx x k∴221438kkmx x +-=+，()22214334k m x x +-=，又111133x m kx x y k MA -+=-=，222233x m kx x y k MB -+=-=，由41=⋅NB MA k k ，得()()2121334x x m kx m kx =-+-+， ()()()()()()0433483414342222=+-+--+--k m km m k k m ，化简得：06332=+-m m 解得：3=m 或32=m ，结合01≠x ，02≠x 知32=m ，即直线AB 恒过定点()32,0.2.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．【答案】（1） 1422=+y x （2）见解析. 【解析】（1）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）由（1）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y .令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN .综上，BM AN ⋅为定值.3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y += 相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1） 2213x y += （2）见解析【解析】（1）由2223c e c a a ==⇒=，所以222213b ac a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22221x y a b+=，所以222222(1)3y x a a y b =-=-||PQ ===所以，当1y =-时，||PQ 3=，可得a =1,b c ==故椭圆C 的方程为：2213x y += （2）存在点M 满足要求，使OAB ∆得面积最大．假设直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同两点,A B , 则圆心O 到l的距离1d =<，∴221m n +> ①因为(,)M m n 在椭圆C 上，所以2213m n +=②，由①②得：203m <∵||AB ==所以1||2OABSAB d =⋅=2213m n =-代入上式得213221213OABmS m m ∆==+⋅，当且仅当22231(0,3]32m m =⇒=∈，∴2231,22m n ==，此时满足要求的点(M 有四个．此时对应的OAB ∆的面积为12． 4.已知过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且6AB =.（1）求该抛物线E 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.【答案】（1）24y x = （2）直线PQ 恒过定点()3,0.【解析】（1）抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭联立方程组22{ 2y pxp y x =⎫=-⎪⎭，消元得： 22204p x px -+=， ∴212122,4px x p xx +==∴6AB ===，解得2p =±.∵0p >，∴抛物线E 的方程为：24y x =.（2）设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭..由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠. 由()24{1y x y k x ==-，得()2222240k x k x k -++=.()24224416160k k k ∆=+-=+>因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121k y k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0；当1k=±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0.综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0.新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表：与现形课标对比，必修3中的“算法初步”删掉了；删掉了必修5中的解三角形，不等式的大部分内容。

圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】

圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】圆锥曲线的七种常见题型题型一：定义的应用圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。

在定义的应用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。

适用条件需要注意。

例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x-1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。

例2：方程表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程，然后判断。

对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？题型三：圆锥曲线焦点三角形问题在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。

PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。

例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。

例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。

题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。

在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。

例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。

题型五：圆锥曲线的参数方程在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。

例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。

例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。

题型六：圆锥曲线的对称性圆锥曲线具有对称性，可以通过对称性求解问题。

圆锥曲线的定义、方程与性质(题型归纳)

圆锥曲线的定义、方程与性质【考情分析】1.考查特点:(1)圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题第(1)问的形式命题,难度中等;(2)直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力以及创新能力.3.学科素养:逻辑推理、直观想象、数学运算.【题型一】圆锥曲线的定义及标准方程【典例分析】1（2021·山东省实验中学高三模拟）已知双曲线22525x y -=上一点P 到其左焦点F 的距离为8，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（）A ．9B ．6C ．5D ．4【答案】A【解析】由22525x y -=，得221255x y -=，则2225,5a b ==，所以230c =，所以5,a b c ===，设双曲线的右焦点为1F ，因为P 到其左焦点F 的距离为85a c <+=+P 在双曲线的左支上，所以1210PF PF a -==，所以118PF =，因为M 为PF 的中点，O 为1FF 的中点，所以1192OM PF ==，故选：A 2．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点A 在l 上，点B 在抛物线上，l 与x 轴的交点为C ，ABF是正三角形，且四边形ABFC 的面积是，则p =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】由抛物线的定义及ABF 为正三角形，可知//AB x 轴，所以60AFC ︒∠=，从而可知2AB p =，AC =，又因为四边形ABFC 的面积是，所以有22p p+=2p =.故选：C.【提分秘籍】【变式演练】1．（2021·江苏金陵中学高三模拟）以椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆C 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆C 的标准方程为（）A ．22143x y +=B ．22184x y +=C ．2211612x y +=D ．2216448x y +=【答案】C【解析】由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则2a c =，椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即6a c +=，则4a =，2c =，23b =则椭圆的标准方程为：2211612x y +=.故选：C.2．【多选】（2021·福建福州市·高三二模）在ABC 中，4AB =，M 为AB 的中点，且CA CB CM -=，则下列说法中正确的是（）A ．动点C 的轨迹是双曲线B ．动点C 的轨迹关于点M 对称C ．ABC 是钝角三角形D ．ABC面积的最大值为【答案】BD【解析】以M 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系．设CM =r ，此时C 点在以M 为圆心，r为半径的动圆上．由CA CB r -=，知C 点在以AB 为焦点，2r a =的双曲线22221x y a b -=上且22242AB a b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭．对点(),C x y 有222x y r +=，22221444x y r r-=-，从而2223(16)64y r r =-，当28r =时，2y最大，故yABC S ，故D 正确；2r =时，得到另一个C 点'C ，此时ABC 为直角三角形，故C 错误；∵CA CB -非定值，∴C 不以双曲线为轨迹，故A 错误；∵CM CA CB -=，∴一定有C 关于M 的对称点关于原点对称，故B 正确．故选：BD ．3.已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则|NT |＝________.【答案】3【解析】由x 2＝4y ，知F (0，1)，准线l ：y ＝－1.设点M (x0，y 0)，且x 0>0，y 0>0.由FM →＝MN →，知点M 是线段FN 的中点，N 是FT 中点，利用抛物线定义，|MF |＝|MM ′|＝y 0＋1，且|FF ′|＝2|NN ′|＝2.又2(y 0＋1)＝|FF ′|＋|NN ′|＝3，知y 0＝12.∴|MF |＝12＋1＝32，从而|NT |＝|FN |＝2|MF |＝3.【题型二】圆锥曲线的几何性质【典例分析】1．已知1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210y x a b a b +=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F ∠=∠，则椭圆E 的离心率为（）A ．102B ．4C D ．54【答案】B【解析】1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210y x a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F Ð=Ð，由正弦定理可得213PF PF =，令1233PF PF n ==，则32n n a +=，22294n n c +=，可得22542a c =，所以椭圆的离心率为：104c e a===.故选：B ．2．（2021·天津南开中学高三模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的中心为O ，左焦点为F ，左顶点为A ，点P 为双曲线右支上一点，直线OP 交双曲线于另一点Q ，若直线AQ 恰好平分线段PF ，则该双曲线的离心率为__________．【答案】3【解析】设PF 的中点为M ，连接OM ，O 、M 分别为PQ 、PF 的中点，则//OM FQ 且12OM FQ =，所以，12OA OM AF FQ ==，即12a c a =-，3c a =∴，因此，该双曲线的离心率为3ce a ==.故答案为：3.【提分秘籍】【变式演练】1．（2021湖南长沙长郡中学高三模拟）已知抛物线28y x =的焦点为F ，经过点P (1，1)的直线l 与该曲线交于A ､B 两点，且点P 恰好为AB 的中点，则||||+=AF BF （）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】抛物线28y x =中，4p =，其焦点()2,0F ，准线方程2x =-，如图过点,,A B P 作准线的垂线，垂足为,,M N R ，由抛物线定义可知，||||AF BF AM BN +=+，而P 恰好为AB 的中点，故PR 是梯形ABNM 的中位线，故2AM BN PR +=，又P (1，1)，故132pPR =+=，所以||||236AF BF +=⨯=.故选：B.2．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过点2F 作圆222x y a +=的切线交双曲线左支于点M ，且1260F MF ∠︒＝，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】313y x ⎛⎫=±+⎪ ⎪⎝⎭．【解析】设切点为A ，过1F 作21F B MF ⊥，垂足为B ，由题意可得OA a =，2OF c =，222AF c a b =-=，由OA 为12BF F △的中位线，可得12BF a =，22BF b =，又1260F MF ∠=︒，可得114sin 603BF a MF ==︒，23aMB =，22223aMF MB BF b =+=+，又21242233a a MF MF b a -=+-=，所以313b a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以双曲线的渐近线方程为313y x ⎛⎫=±+ ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：313y x ⎛⎫=±+ ⎪ ⎪⎝⎭．3.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________.【答案】3－1.【解析】设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A )23,2(c c，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，则4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4＋23(舍)，e 2＝4－2 3.由0<e <1，得e ＝3－1.【题型三】直线与圆锥曲线【典例分析】1．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知直线1y x =-与抛物线24y x =交于A ，B 两点.若点(1,)C m -满足90ACB ∠= ，则m =（）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】直线1y x =-与抛物线24y x =联立得：2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以12126,1x x x x +==，点(1,)C m -满足90ACB ∠= ，所以有：21121121212120(1,)(1,)01()0,CA CB x y m x y m x x x x y y m y y m ⋅=⇒+-+-=⇒++++-++=121212121212,24,(1)(1)()14y y x x y y x x x x x x +=+-==--=-++=-，所以2161440,m m ++--+=解得2m =，故选：C2．已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，离心率为2，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（）A ．14-B ．34-C ．12-D ．1【答案】A【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得122x x +=，122y y +=，将A ，B 的坐标的代入椭圆的方程：22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差可得22221212220x x y y a b--+=，所以221212221212y y x x b b x x a y y a-+=-⋅=--+，又因为离心率2c e a ==，222c a b =-，所以22234a b a -=，所以2214b a -=-，即直线AB 的斜率为14-，故选：A.【提分秘籍】1.求解弦长的4种方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)联立直线与圆锥曲线方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点间的距离公式求解.(3)联立直线与圆锥曲线方程,消元得到关于x 或y 的一元二次方程,利用根与系数的关系得到(x 1-x 2)2或(y 1-y 2)2,代入两点间的距离公式求解.(4)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.[提醒]利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形,若k 不存在,可直接求交点坐标再求弦长.涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.2.处理中点弦问题常用的2种方法(1)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x 1+x 2,y 1+y 2,2121x x y y --三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.[提醒]中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.【变式演练】1．（2021·陕西高三模拟）已知抛物线22(0)x py p =>焦点为,F O 为坐标原点，直线l 过点F 与抛物线交于,A B 两点，与x 轴交于()2,0C p ，若17AB =，则OCF △的面积为___________.【答案】32【解析】抛物线22(0)x py p =>焦点(0,)2p F ，而直线l 过点(2,0)C p ，则直线l 的斜率为14k =-，其方程为124p y x -=-，即42x y p =-+，由2422x y px py=-+⎧⎨=⎩消去x 得228920y py p -+=，显然0∆>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1298py y +=，而17AB =，由抛物线定义知，1217||||()()17228p p p AB AF BF y y =+=+++==，解得8p =，即(0,4)F ，()16,0C ，而90FOC ∠= ，于是得1||||322OCF S OC OF =⋅⋅= ，所以OCF △的面积为32.故答案为：322．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知椭圆C ：2214x y +=.（1）椭圆C 是否存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦？若存在，求出弦所在的直线l 的方程，若不存在，请说明理由；（2）已知椭圆C 的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆C 上的点，若直线AP ，BP 分别与直线3y =交于G ，H 两点，求线段GH 的长度取得最小值时直线GP 的斜率.【解析】（1）因为22(1)111422-⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部，则椭圆C 存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦.设弦所在的直线l 与椭圆C 相交于()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得22222121044x x y y -+-=，即()()()()2121212104x x x x y y y y -++-+=.又122x x +=-，121y y +=，()()2121(2)104x x y y --∴+-⨯=，整理得212112y y x x -=-.所以直线l 的方程为11(1)22y x =+-，即220x y -+=.（2）因为A ，P ，G 三点共线所以可知当线段GH 的长度取得最小值时，直线AP 的斜率k 显然存在，且0k >，()2,0A -，设直线AP 的方程为(2)y k x =+，从而点32,3G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.联立22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理得()222214161640k x k x k +++-=，0∆>设点()00,P x y ，则202164(2)14k x k--⋅=+.所以2022814k x k -=+，从而02414k y k =+，所以222284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.又点()2,0B ，则直线PB 的斜率为14k-.由1(2)43y x k y ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，得1223x k y =-+⎧⎨=⎩，所以(122,3)H k -+.故332122124GH k k k k=-+-=+-.又0k >，则31212k k +≥=，当且仅当312k k =，即12k =时等号成立所以当12k =时，线段GH 的长度取得最小值.所以此时直线GP 的斜率为12.1．（2021山师大附中高三模拟）“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0n <时，方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的双曲线；当0n >时，221x ny +=可化为2211y x n+=，因为椭圆的焦点在x 轴上，所以11n>即1n >，故方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线时，0n <或1n >，故“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，故选：A.2．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知抛物线2y =的准线与双曲线()22210x y a a-=>相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则实数a 的值为（）A ．19B ．29C ．13D．3【答案】D【解析】2y =的准线x =，焦点)，不妨设A点坐标2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，FAB 为直角三角形，∠AFB ＝90°，由对称性可知，FAB 为等腰直角三角形，由直角三角形的性质得a a=，解得23a =.故选：D 3．已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F 、2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF =（）A ．1B ．1或9C ．3或9D ．9【答案】D【解析】由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点P 在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =，故选：D.4．（2021·山东省淄博市实验中学高三模拟）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2.④1212c c a a <其中正确式子的序号是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B【解析】由图可得1212,a a c c >>，所以1122a c a c +>+，即①错误；因为1122,a c PF a c PF -=-=，所以1122a c a c -=-，即②正确，由1122a c a c -=-，得1221a c a c +=+，即22221212212122a c a c a c a c ++=++，即22221112222122a c a c a c a c -+=-+,即221221122()0b b a c a c -=->，可得2112a c a c >，即③正确，由2112a c a c >，可得1212c c a a >，即④错误；综上所述选项B 正确.故选:B.5．（2021·湖南长沙雅礼中学高三模拟）P 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点.若OP b =，且2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，则C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】由2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，以及正弦定理可得213PF PF =，因为122PF PF a -=，所以13PF a =，2PF a =，因为2OF c =，OP b =，所以22OPF π∠=，所以2cos a OF P cÐ=，在12F F P 中，()()22212223cos cos 22a c a a F F P OF P a cc+-Ð==Ð=×.化简可得c =，所以C的离心率==ce a.故选：B 6．设1F ，2F 为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，1F ，2F 分别为左､右焦点，1C 与2C 在第一象限的交点为M .若12MF F △是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率72,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 离心率的取值范围是（）A ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．27,516⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】设椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴长为2a '，焦点为2c ，2122MF F F c ==，则1MF =2222a c a c '+=-，又c e a ='，所以c a e '=，即242c c a e +=，又7[2,2e ∈，所以椭圆的离心率为127,15162c e a e⎡⎤'==∈⎢⎥⎣⎦+．故选：C ．7．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知曲线C 的方程为()22113x y m R m m+=∈+-，则（）A ．当1m =时，曲线C 为圆B ．当5m =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为33y x =±C ．当1m >时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆D ．存在实数m 使得曲线C【答案】AB【解析】对于A 选项：m =1时，方程为22122x y +=，即222x y +=，曲线C 是圆，A 正确；对于B 选项：m =5时，方程为22162x y -=，曲线C为双曲线，其渐近线方程为3y x =±，B 正确；对于C 选项：m >1时，不妨令m =5，由选项B 知，曲线C 为双曲线，C 不正确；对于D 选项：要曲线C 为双曲线，必有(1)(3)0m m +-<，即m <-1或m >3，m <-1时，曲线C ：2213(1)y x m m -=--+，m >3时，曲线C ：22113x y m m -=+-，时，它实半轴长与虚半轴长相等，而-(m +1)≠3-m ，m +1≠m -3，D 不正确.故选：AB11．（2021·湖南雅礼中学高三模拟）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，过F 的直线与C 分别交于()1122(),,A x y B x y ，两点，则（）A ．12y y 为定值B ．AOB ∠可能为直角C ．以BF 为直径的圆与y 轴有两个交点D ．对于确定的直线AB ，在C 的准线上存在三个不同的点P ，使得ABP △为直角三角形【答案】AD【解析】设:1AB l x ty =+，与24y x =联立可得：2124404y ty y y --==-，，故A 对；因为221212116y y x x ==，所以12121OA OBy y k k x x ⋅=≠-，∴2AOB π∠≠，故B 错；设BF 的中点11111,,2222BF x y x M ++⎛⎫=⎪⎝⎭，则以BF 为直径的圆与y 轴相切，故C 错；设AB 的中点1212,22x x y y N ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 到C 准线的距离为当1212x x ++，因为12122AB x x +=+故有以AB 为直径的圆与C 的准线相切，对于确定的直线AB ，当P ∠为直角，此时P 为切点；当A ∠或B Ð为直角，此时P 为过A （或B ）的AB 的垂线与准线的交点，故D 正确．故选：AD12．已知双曲线22:139x y C -=的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是C 上的任意一点，则（）A ．双曲线C 的离心率为233B ．焦点到渐近线的距离为3C ．点P 到两条渐近线的距离之积为94D ．当P 与A ､B 不重合时，直线PA ，PB 的斜率之积为3【答案】BCD【解析】对于A ，,3a b c ===2e ==，故A 错误；对于B ，双曲线的右焦点2F 到渐近线y x ==的距离为3d ==，故B 正确；对于C ，设()00,P x y ，满足2200139x y -=，即220039x y -=，则点P到两条渐近线的距离之积为2200123944x y d d -⋅==，故C 正确；对于D ，设()00,P x y ，由C 得2239x y -=，PAPB k k ==2200220039333PA PB y x k k x x -⋅===--，故D 正确；故选：BCD13．（2021·湖北襄阳五中高三模拟）已知椭圆G：2221(06x y b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②OP 的最小值为2；③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，其中，所有正确命题的序号是__________．【答案】①②【解析】椭圆(222:106x y G b b+=<<的两个焦点分别为)1F和()2F ，短轴的两个端点分别为()10,B b -和()20,B b ，设(),P x y ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，由椭圆定义可得，1222PB PB a b +==，即有P 在椭圆222166y x b+=-上，对于①，将x 换为x -方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称，故①正确.；对于②，由图象可得，当P 满足22x y =，即有226b b -=，即b =时，OP 取得最小值，可得222x y ==时，即有2OP ==取得最小值为2，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于,x y 轴对称，且0b <<，则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 有2个，故③不正确.，故答案为①②.14．（2021·山东滕州一中高三模拟）某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线（人的身高不计，铅球看成一个质点），如图所示，设初速度为定值0v ，且与水平方向所成角为变量θ，已知张燕投铅球的最远距离为10m ．当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为____m ．（空气阻力不计，重力加速度为210m /s ）【答案】5【解析】设铅球运动时间为0t ，t 时刻的水平方向位移为x ，则0cos x v t θ=．由001sin 02v gt θ-=知002sin v t g θ=20sin 2v x g θ∴=故当4x π=时，20max 10v x g==，210m /s g =∴解得：0t =，010m /sv =201 2.5m22t h g ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭如图建立平面直角坐标系，(5, 2.5)P --，设抛物线方程为22x py=-则抛物线的焦点到准线的距离22(5)5m 22 2.5x p y -===-⨯故答案为：515．（2021·山东枣庄一中高三模拟）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，O为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，213PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为________；渐近线方程为________.【答案】22y x =±【解析】由213PF PF =，122PF PF a -=，解得13PF a =，2PF a =，由题意可得四边形12PF MF 为平行四边形，又260MF N ∠=︒，可得1260F PF ∠=︒，在12PF F △中，可得()22224323cos 607c a a a a a =+-⋅⋅⋅︒=，即有2c a =，则2c e a ==，所以2b a ===，则渐近线方程为2y x =±.故答案为：72；32y x =±.16.（2021•南充模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，点15(1,)3P --在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为一1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得11||||F M F N =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）由题意得，2c =，2211519a b +=，222a b c =+，解得：26a =，22b =，所以椭圆的标准方程：22162x y +=；（2）假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程：y x t =-+，设(,)M x y ，(,)N x y ''与椭圆联立整理：2246360x tx t -+-=，△223644(36)0t t =-->，t -<<，32t x x '+=，2364t xx -'=，由于11||||F M F N =，设线段MN 的中点为E ，则1F E MN ⊥，所以111F E MN k k =-=又3(4t E ，)3t ，所以141324F E tk t ==+，解得4t =-，当4t =-时，不满足t -<<，所以不存在满足条件的直线l ．17．（2021·湖南高三模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为72，双曲线上的点到焦点的最小距离为2.（1）求双曲线C 的方程；（2）四边形MNPQ 的四个顶点均在双曲线C 上，且//MQ NP ，MQ x ⊥轴，若直线MN 和直线QP 交于点()4,0S ，四边形MNPQ 的对角线交于点D ，求点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和.【解析】（1）由题意，22222c a c a a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b =，所以双曲线C 的方程为22143x y -=；（2）由MQ x ⊥轴，//MQ NP ，可知四边形MNPQ 为等腰梯形，且关于x 轴对称，故四边形MNPQ 的对角线的交点D 在x轴上，如图所示：设点(,0)D t ，则对角线MP 的方程为(0)x my t m =+≠，设1122(,),(,)M x y P x y ，由对称性知1122(,),(,)Q x y N x y --，联立22143x y x my t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得222(34)63120m y mty t -++-=，所以22222(6)4(34)(312)48(34)0mt m t m t ∆=---=-+>，即2234m t +>，由韦达定理得21212226312,3434mt t y y y y m m --+==--，由,,M N S 三点共线知MS NS k k =，即121244y y x x -=--，所以1221(4)(4)0y my t y my t +-++-=，整理得12122(4)()0my y t y y +-+=，所以222(312)(4)(6)034m t t mt m -+--=-，所以224(1)034m t m -=-，即24(1)0,1m t t -==，所以直线MP 过定点()1,0，即D ()1,0，因为双曲线C 20y ±=20y -=时，由点到直线距离公式得217d ==，由对称性知点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和为2217.。

圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧

圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是解析几何中的一个重要分支，涉及广泛且难度较大。

在高考中，经常出现各种关于圆锥曲线的问题，如求解方程、定位点、证明定理、计算面积等等。

本文将介绍圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，以供大家参考。

常见题型1. 判定方程类型判定方程 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 的类型。

同学们需要掌握二次型的知识，使用行列式和 $\Delta$ 判别法即可。

其中，行列式 $AC-B^2$ 确定了方程的类型：$AC-B^2>0$ 时，方程为椭圆方程；2. 求曲线方程通常给出几何条件，让同学们求出曲线方程。

此类问题需要根据情况选择不同的方法，在此介绍两种主要的解法：（1）通过几何条件确定曲线类型，再代入方程求解。

例如，已知一个抛物线上的顶点坐标和另外一点的坐标，可以用顶点公式和对称性解出对称轴和开口方向，进而确定方程。

（2）确定曲线焦点和准线，利用焦准式求解方程。

例如，已知一个双曲线的焦距和离心率，可以通过求出曲线的焦点和准线，利用焦准式求解方程。

3. 定位点通常给出一个几何条件，要求定位某个点的坐标。

此类问题有多种方法，例如利用坐标系的对称性、平移、伸缩等变化来确定点的位置，或者利用直线方程、曲线方程的关系求解点的坐标等。

4. 证明定理此类问题一般是让同学们证明某个定理或者结论。

需要掌握各种定理的证明方法，例如对偶证明、取对数证明、辅助线证明、画图论证等。

5. 计算面积此类问题一般要求同学们计算某个图形或者曲面的面积。

需要灵活运用面积公式、积分等方法，注意确定积分区间以及被积函数的形式。

解题技巧1. 建立坐标系建立坐标系是解决圆锥曲线问题的前提，可以帮助理清几何图形的关系和计算各种量的大小。

要注意选择坐标系的方向和起点，以便于计算和简化计算公式。

2. 利用几何条件圆锥曲线问题往往给出具体的几何条件，同学们需要认真理解并灵活运用。

常见的几何条件有点的坐标、直线的方程、曲线类型、焦准距等等。

高考数学复习：圆锥曲线7大题型及解答技巧总结

学好圆锥曲线的几个关键点1核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。

2计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。

后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。

当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。

3拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。

老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。

大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。

一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线方程为y=kx+b。

二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。

三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。

走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。

例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。

总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。

4圆锥曲线中常见题型总结1、直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式，有△＞0，直线与圆锥曲线相交；△=0，直线与圆锥曲线相切；△＜0，直线与圆锥曲线相离．若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。

2、圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。

3、圆锥曲线弦长问题弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则：4、定点、定值问题（1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。

圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧

圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线作为高等数学中的重要内容，经常出现在高中数学的教学中，也是高考数学中的一个热点考点。

掌握圆锥曲线的相关知识和解题技巧对于学生来说非常重要。

本文将介绍圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，希望能够帮助广大学生更好地应对高考数学考试。

一、圆锥曲线问题的常见题型1. 椭圆的方程与特征：椭圆的标准方程为\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1，其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。

在高考中，通常会出现给定椭圆的焦点、顶点等信息求椭圆的方程，或者反过来给定椭圆的方程求椭圆的相关信息的题目。

2. 抛物线的方程与性质：抛物线的标准方程为y=ax^2+bx+c，其中a不等于0。

高考中常见的题型包括给定抛物线的焦点、直径和顶点求抛物线的方程，或者求解抛物线与直线的交点等。

圆的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。

高考中常见的题型包括求解圆与直线、圆与圆的交点、圆心坐标等。

1. 熟练掌握圆锥曲线的标准方程在解题时，首先要掌握圆锥曲线的标准方程，根据题目中给出的相关信息将其代入方程中，从而求出所需的未知数。

熟练掌握标准方程对于解题是非常重要的。

2. 注意利用圆锥曲线的性质在解题时，要善于利用圆锥曲线的性质，例如椭圆和双曲线的焦点、顶点等特征，抛物线的焦点、直径等特征，以及圆的半径、圆心坐标等特征。

通过这些性质，可以更快速地解题。

3. 结合几何思维进行分析在解题过程中，可以结合几何思维进行分析，画出相应的图形来辅助解题。

通过直观的几何图形，有时可以更好地理解题目要求，并且更容易找到解题的思路。

4. 熟练掌握相关公式和定理在解题过程中，要熟练掌握相关的公式和定理，例如椭圆和双曲线的离心率公式，抛物线的焦点、准线和方程性质，以及圆的切线和法线方程等。

熟练掌握这些公式和定理可以为解题提供更多的思路和方法。

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解41---圆锥曲线的方程与性质

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第41讲圆锥曲线的方程与性质[考情分析]高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．考点一圆锥曲线的定义与标准方程核心提炼1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p 的值．例1(1)(2022·衡水中学模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2＋2，则该椭圆方程为()A.x 24＋y 22＝1B.x 28＋y 23＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 28＋y 24＝1 答案 D解析设椭圆的半焦距为c ，因为点P 在以线段F 1A 为直径的圆上，所以AP ⊥PF 1.又因为F 2B ∥AP ，所以F 2B ⊥BF 1.又因为|F 2B |＝|BF 1|，所以△F 1F 2B 是等腰直角三角形，于是△F 1AP 也是等腰直角三角形，因为|AP |＝2＋2，所以|F 1A |＝2(2＋2)，得a ＋c ＝2(2＋2)，又b ＝c ，所以a ＝2c ，解得a ＝22，c ＝2，得b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1. (2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 是C 右支上的一点(不是顶点)，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则|MO |＝________. 答案 4解析延长F 2M 交PF 1于点Q ，由于PM 是∠F 1PF 2的角平分线，F 2M ⊥PM ，所以△QPF 2是等腰三角形，所以|PQ |＝|PF 2|，且M 是QF 2的中点．根据双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即|QF 1|＝2a ，由于O 是F 1F 2的中点，所以MO 是△QF 1F 2的中位线，所以|MO |＝12|QF 1|＝a ＝4. 易错提醒求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a 2＝b 2＋c 2，双曲线中的关系式为c 2＝a 2＋b 2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．跟踪演练1 (1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 24－y 28＝1或y 24－x 28＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1 答案 D解析设双曲线方程为x 22m －y 2m＝1(m ≠0)， ∵2a ＝4，∴a 2＝4，当m >0时，2m ＝4，m ＝2；当m <0时，－m ＝4，m ＝－4.故所求双曲线的方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1. (2)已知A ，B 是抛物线y 2＝8x 上两点，当线段AB 的中点到y 轴的距离为3时，|AB |的最大值为( )A ．5B ．5 2C ．10D ．10 2答案 C解析设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，线段AB 的中点为M .如图，分别过点A ，B ，M 作准线l 的垂线，垂足分别为C ，D ，N ，连接AF ，BF .因为线段AB 的中点到y 轴的距离为3，抛物线y 2＝8x 的准线l ：x ＝－2，所以|MN |＝5.因为|AB |≤|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝2|MN |＝10，当且仅当A ，B ，F 三点共线时取等号，所以|AB |max ＝10.考点二椭圆、双曲线的几何性质核心提炼1．求离心率通常有两种方法(1)求出a ，c ，代入公式e ＝c a. (2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．2．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共渐近线bx ±ay ＝0的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．考向1 椭圆、双曲线的几何性质例2(2022·河南五市联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心的圆恰好与双曲线C 的两条渐近线相切，且该圆恰好经过线段OF 2的中点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±233x D ．y ＝±2x答案 B解析由题意知，渐近线方程为y ＝±b ax ，焦点F 2(c ，0)，c 2＝a 2＋b 2，因为以F 2为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，则圆的半径r 等于圆心到切线的距离，即r ＝⎪⎪⎪⎪±b a ·c 1＋⎝⎛⎭⎫±b a 2＝b ，又该圆过线段OF 2的中点，故c 2＝r ＝b ，所以b a ＝b 2a 2＝b 2c 2－b2＝33. 所以渐近线方程为y ＝±33x . 考向2 离心率问题例3(多选)(2022·全国乙卷)双曲线C 的两个焦点为F 1，F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2＝35，则C 的离心率为( ) A.52B.32 C.132 D.172 答案 AC解析不妨设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．当两个交点M ，N 在双曲线两支上时，如图1所示，图1设过F 1的直线与圆D 相切于点P ，连接OP ，由题意知|OP |＝a ，又|OF 1|＝c ，所以|F 1P |＝b .过点F 2作F 2Q ⊥F 1N ，交F 1N 于点Q .由中位线的性质，可得|F 2Q |＝2|OP |＝2a ，|PQ |＝b .因为cos ∠F 1NF 2＝35，所以sin ∠F 1NF 2＝45，故|NF 2|＝52a ，|QN |＝32a ，所以|NF 1|＝|F 1Q |＋|QN |＝2b ＋32a . 由双曲线的定义可知|NF 1|－|NF 2|＝2a ，所以2b ＋32a －52a ＝2a ，所以2b ＝3a . 两边平方得4b 2＝9a 2，即4(c 2－a 2)＝9a 2，整理得4c 2＝13a 2，所以c 2a 2＝134，故c a ＝132，即e ＝132. 当两个交点M ，N 都在双曲线上的左支上时，如图2所示，图2同理可得|F 2Q |＝2|OP |＝2a ，|PQ |＝b .因为cos ∠F 1NF 2＝35，所以sin ∠F 1NF 2＝45，可得|NF 2|＝52a ，|NQ |＝32a ，所以|NF 1|＝|NQ |－|QF 1|＝32a －2b ，所以|NF 2|＝|NF 1|＋2a ＝72a －2b ，又|NF 2|＝52a ，所以72a －2b ＝52a ，即a ＝2b ，故e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52.故选AC.规律方法 (1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求b a 或a b的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．跟踪演练2 (1)(2022·全国甲卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( ) A.32 B.22 C.12 D.13答案 A解析设P (m ，n )(n ≠0)，则Q (－m ，n )，易知A (－a ，0)，所以k AP ·k AQ ＝n m ＋a ·n －m ＋a ＝n 2a 2－m 2＝14.(*) 因为点P 在椭圆C 上，所以m 2a 2＋n 2b 2＝1，得n 2＝b 2a2(a 2－m 2)，代入(*)式，得b 2a 2＝14，所以e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32.故选A. (2)(多选)(2022·衡水中学模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若|AF 1|＝|BF 2|＝2|AF 2|，则( )A ．∠AF 1B ＝∠F 1ABB ．双曲线的离心率e ＝333C ．双曲线的渐近线方程为y ＝±63x D ．原点O 在以F 2为圆心，|AF 2|为半径的圆上答案 AB解析设|AF 1|＝|BF 2|＝2|AF 2|＝2m ，则|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝3m ，由双曲线的定义知，|AF 1|－|AF 2|＝2m －m ＝2a ，即m ＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，即|BF 1|－2m ＝2a ，∴|BF 1|＝3m ＝|AB |，∠AF 1B ＝∠F 1AB ，故选项A 正确；由余弦定理知，在△ABF 1中，cos ∠AF 1B ＝|AF 1|2＋|BF 1|2－|AB |22|AF 1|·|BF 1|＝4m 2＋9m 2－9m 22·2m ·3m ＝13，在△AF 1F 2中，cos ∠F 1AB ＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22·|AF 1|·|AF 2|＝4m 2＋m 2－4c 22·2m ·m ＝cos ∠AF 1B ＝13，化简整理得12c 2＝11m 2＝44a 2，∴离心率e ＝c a ＝4412＝333，故选项B 正确；双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±c 2－a 2a 2x ＝±e 2－1x ＝±263x ，故选项C 错误；若原点O 在以F 2为圆心，|AF 2|为半径的圆上，则c ＝m ＝2a ，与c a ＝333相矛盾，故选项D 错误．考点三抛物线的几何性质核心提炼抛物线的焦点弦的几个常见结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p .(3)当AB ⊥x 轴时，弦AB 的长最短为2p .例4 (1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点A (0,2)，与抛物线C 的准线交于点N ，FM →＝55MN →，则p 的值等于( )A.18 B ．2 C.14D ．4 答案 B解析设点M 到抛物线的准线的距离为|MM ′|，抛物线的准线与x 轴的交点记为点B.由抛物线的定义知，|MM ′|＝|FM |.因为|FM ||MN |＝55，所以|MM ′||MN |＝55，即cos ∠NMM ′＝|MM ′||MN |＝55，所以cos ∠OF A ＝cos ∠NMM ′＝55，而cos ∠OF A ＝|OF ||AF |＝p 2⎝⎛⎭⎫p 22＋22＝55，解得p ＝2. (2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M (p ，0)．若|AF |＝|AM |，则( )A ．直线AB 的斜率为2 6B ．|OB |＝|OF |C ．|AB |>4|OF |D ．∠OAM ＋∠OBM <180°答案 ACD解析对于A ，由题意，得F ⎝⎛⎭⎫p 2，0. 因为|AF |＝|AM |，且M (p ，0)，所以x A ＝x F ＋x M 2＝34p ，将其代入抛物线方程y 2＝2px ，得y A ＝62p ，所以A ⎝⎛⎭⎫34p ，62p ，所以直线AB 的斜率k AB ＝k AF ＝62p －034p －p 2＝26，故A 正确；对于B ，由选项A 的分析，知直线AB 的方程为y ＝26⎝⎛⎭⎫x －p2，代入y 2＝2px ，得12x 2－13px ＋3p 2＝0，解得x ＝34p 或x ＝13p ，所以x B ＝13p ，所以y B ＝－63p ，所以|OB |＝x 2B ＋y 2B ＝73p ≠|OF |，故B不正确；对于C ，由抛物线的定义及选项A ，B 的分析，得|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝1312p ＋p ＝2512p >2p ，即|AB |>4|OF |，故C 正确；对于D ，易知|OA |＝334p ，|AM |＝54p ， |OB |＝73p ，|BM |＝103p ，则cos ∠OAM ＝|OA |2＋|AM |2－|OM |22|OA |·|AM |＝3316p 2＋2516p 2－p 22×334p ·54p＝21533>0，cos ∠OBM ＝|OB |2＋|BM |2－|OM |22|OB |·|BM |＝79p 2＋109p 2－p 22×73p ·103p＝470>0，所以∠OAM <90°，∠OBM <90°，所以∠OAM ＋∠OBM <180°，故D 正确．综上所述，选ACD.规律方法利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p 的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．跟踪演练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．答案 x ＝－32解析方法一 (解直角三角形法)由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p 2p ＝p 6，解得p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32.方法二 (应用射影定理法)由题易得|OF |＝p 2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.(2)(2022·济宁模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A ，B ，C .若AB →＝2BF →，则线段BC 的中点到准线的距离为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 B解析由抛物线的方程可得焦点F (1,0)，渐近线的方程为x ＝－1，由AB →＝2BF →，可得|AB ||BF |＝2，由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图所示，作BE 垂直准线于点E ，准线交x 轴于点N ，则|BF |＝|BE | ，故|AB ||BF |＝|AB ||BE |＝2，故∠ABE ＝π4 ，而BE ∥x 轴，故∠AFN ＝π4，所以直线AB 的倾斜角为π4，所以直线AB 的方程为y ＝x －1，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，整理可得x 2－6x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝6，所以BC 的中点的横坐标为3，则线段BC 的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.专题强化练一、单项选择题1．(2022·中山模拟)抛物线C ：y 2＝2px 上一点(1，y 0)到其焦点的距离为3，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x C ．y 2＝12x D ．y 2＝16x 答案 B解析因抛物线C ：y 2＝2px 上一点(1，y 0)到其焦点的距离为3，则p >0，抛物线准线方程为x ＝－p2，由抛物线定义得1－⎝⎛⎭⎫－p2＝3，解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .2．已知双曲线x 2m －y 2＝1(m >0)的一个焦点为F (3,0)，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±24x B ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x答案 A解析因为双曲线x 2m －y 2＝1(m >0)的一个焦点为F (3,0)，所以由m ＋1＝32，得m ＝8，所以双曲线方程为x 28－y 2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±24x .3．(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．3 2 答案 B解析方法一由题意可知F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1.设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0，则由抛物线的定义可知|AF |＝y 204＋1.因为|BF |＝3－1＝2，所以由|AF |＝|BF |，可得y 204＋1＝2，解得y 0＝±2，所以A (1,2)或A (1，－2)．不妨取A (1,2)，则|AB |＝(1－3)2＋(2－0)2＝8＝22，故选B. 方法二由题意可知F (1,0)，故|BF |＝2，所以|AF |＝2.因为抛物线的通径长为2p ＝4，所以AF 的长为通径长的一半，所以AF ⊥x 轴，所以|AB |＝22＋22＝8＝2 2.故选B.4.(2022·潍坊模拟)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F 到下顶点的距离为36，F 到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为( )A.53B.54C.43D.45 答案 B解析点F (0，c )到渐近线y ＝±ab x ，即ax ±by ＝0的距离d ＝|±bc |a 2＋b 2＝b ＝12，又由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝36，a 2＋122＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16，c ＝20，所以e ＝c a ＝2016＝54.5．(2022·福州质检)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且满足AF 1⊥AB ，|AF 1||AB |＝43，则该椭圆的离心率是( )A.23B.53C.33D.63 答案 B解析如图所示，设|AF 1|＝4x ，则|AB |＝3x ，因为AF 1⊥AB ，则|BF 1|＝|AB |2＋|AF 1|2＝5x ，由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 2|＋|BF 1|)＝4a ＝12x ，则x ＝a 3，所以|AF 1|＝4x ＝4a 3，则|AF 2|＝2a －4a 3＝2a3，由勾股定理可得|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，则⎝⎛⎭⎫4a 32＋⎝⎛⎭⎫2a 32＝4c 2，则c ＝53a ，因此该椭圆的离心率为e ＝c a ＝53.6.如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切于点M (0,1)，过点M 引两条互相垂直的直线l 1，l 2，两直线与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D (均不重合)．若P 为椭圆上任意一点，记点P 到两直线的距离分别为d 1，d 2，则d 21＋d 22的最大值是( )A ．4B ．5 C.163 D.253答案 C解析易知椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，设P (x 0，y 0)，因为l 1⊥l 2，则d 21＋d 22＝|PM |2＝x 20＋(y 0－1)2，因为x 204＋y 20＝1，所以d 21＋d 22＝4－4y 20＋(y 0－1)2＝－3⎝⎛⎭⎫y 0＋132＋163，因为－1≤y 0≤1，所以当y 0＝－13，即点P ⎝⎛⎭⎫±423，－13时，d 21＋d 22取得最大值163. 二、多项选择题7．(2022·临沂模拟)2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F (0,2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G .若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则( )A ．椭圆的长轴长为4 2B ．|AB |的取值范围是[4,2＋22]C ．△ABF 面积的最小值是4D ．△AFG 的周长为4＋4 2 答案 ABD解析由题意知，椭圆中的几何量b ＝c ＝2，得a ＝22，则2a ＝42，A 正确； |AB |＝|OB |＋|OA |＝2＋|OA |，由椭圆性质可知2≤|OA |≤22，所以4≤|AB |≤2＋22，B 正确；记∠AOF ＝θ，则S △ABF ＝S △AOF ＋S △OBF＝12|OA |·|OF |sin θ＋12|OB |·|OF |sin(π－θ) ＝|OA |sin θ＋2sin θ ＝(|OA |＋2)sin θ，取θ＝π6，则S △ABF ＝1＋12|OA |≤1＋12×22<4，C 错误；由椭圆定义知|AF |＋|AG |＝2a ＝42，所以△AFG 的周长L ＝|FG |＋42＝4＋42， D 正确．8．(2022·济宁模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是双曲线C 上异于顶点的一点，则( ) A ．||P A 1|－|P A 2||＝2aB ．若焦点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点在C 上，则C 的离心率为 5 C ．若双曲线C 为等轴双曲线，则直线P A 1的斜率与直线P A 2的斜率之积为1D ．若双曲线C 为等轴双曲线，且∠A 1P A 2＝3∠P A 1A 2，则∠P A 1A 2＝π10答案 BCD解析对于A ，在△P A 1A 2中，根据三角形两边之差小于第三边，可知||P A 1|－|P A 2||<|A 1A 2|＝2a ，故A 错误；对于B ，焦点F 2(c ，0)，渐近线不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0，设F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为(m ，n )，则⎩⎨⎧n m －c ×ba ＝－1，b ×m ＋c 2－a ×n2＝0，得⎩⎨⎧m ＝a 2－b 2c，n ＝2abc ，即F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为⎝⎛⎭⎫a 2－b 2c ，2ab c ，由题意知该点在双曲线上，故(a 2－b 2)2a 2c 2－(2ab )2b 2c 2＝1，将c 2＝a 2＋b 2 代入，化简整理得b 4－3a 2b 2－4a 4＝0，即b 2＝4a 2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，得e ＝5，故B 正确；对于C ，双曲线C 为等轴双曲线，即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)，设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 20－y 20＝a 2，则x 20－a 2＝y 20，故12·PA PA k k ＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a＝y 20x 20－a2＝1，故C 正确；对于D ，双曲线C 为等轴双曲线，即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)，且∠A 1P A 2＝3∠P A 1A 2，设∠P A 1A 2＝θ，∠A 1P A 2＝3θ，则∠P A 2x ＝4θ，根据C 的结论12·PA PA k k ＝1，即有tan θ·tan 4θ＝1， ∴sin θcos θ·sin 4θcos 4θ＝1， ∴cos 5θ＝0， ∵θ＋3θ∈(0，π)， ∴θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴5θ＝π2，∴∠P A 1A 2＝θ＝π10.三、填空题9．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：______________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为13.答案x 29＋y 28＝1(答案不唯一)解析只要椭圆方程形如x 29m ＋y 28m ＝1(m >0)或y 29m ＋x 28m＝1(m >0)即可．10．(2022·淄博模拟)已知P 1，P 2，…，P 8是抛物线x 2＝4y 上不同的点，且F (0,1)．若FP 1--→＋FP 2--→＋…＋FP 8--→＝0，则|FP 1--→|＋|FP 2--→|＋…＋|FP 8--→|＝________.答案 16解析设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，…，P 8(x 8，y 8),P 1，P 2，P 3，…，P 8是抛物线x 2＝4y 上不同的点，点F (0,1)，准线为y ＝－1，则FP i --→＝(x i ，y i －1)(i ＝1,2，…，8)，所以FP 1--→＋FP 2--→＋…＋FP 8--→＝(x 1＋x 2＋…＋x 8，(y 1－1)＋(y 2－1)＋…＋(y 8－1))＝0，所以(y 1－1)＋(y 2－1)＋…＋(y 8－1)＝0，即y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8＝8，∴|FP --→1|＋|FP 2--→|＋…＋|FP 8--→|＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＋…＋(y 8＋1)＝y 1＋y 2＋…＋y 8＋8＝16.11．(2022·济南模拟)已知椭圆C 1：x 236＋y 2b 2＝1(b >0)的焦点分别为F 1，F 2，且F 2是抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点，若P 是C 1与C 2的交点，且|PF 1|＝7，则cos ∠PF 1F 2的值为________．答案57解析依题意，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝12，而|PF 1|＝7，则|PF 2|＝5，因为点F 2是抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线l 过点F 1，如图，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，由抛物线定义知|PQ |＝|PF 2|＝5，而F 1F 2∥PQ ，则∠PF 1F 2＝∠F 1PQ ，所以cos ∠PF 1F 2＝cos ∠F 1PQ ＝|PQ ||PF 1|＝57. 12．(2022·福州质检)已知O 为坐标原点，F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，A 为C 的右顶点，过F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，且与y 轴交于点P .若直线AM 经过OP 的中点，则C 的离心率是________．答案 2解析由题意可知，F (－c ，0)，A (a ，0)，渐近线不妨设为y ＝－b ax ，则k FM ＝a b，直线FM 的方程为y ＝a b(x ＋c )，令x ＝0，可得y ＝ac b，则P ⎝⎛⎭⎫0，ac b ，则OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫0，ac 2b ，联立⎩⎨⎧ y ＝－b a x ，y ＝a b (x ＋c )，解得M ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，ab c ，因为直线AM 经过OP 的中点，所以ac 2b －00－a ＝ab c －0－a 2c－a ，则2b 2＝ac ＋c 2,2(c 2－a 2)＝ac ＋c 2，即c 2－ac －2a 2＝0，则e 2－e －2＝0，解得e ＝－1 (舍)或e ＝2.四、解答题13．(2022·衡水中学模拟)双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且(F 1A --→＋F 1B --→)·AB →＝0，求l 的斜率．解 (1)设A (x A ，y A )．由题意知，F 2(c ，0)，c ＝1＋b 2，y 2A ＝b 2(c 2－1)＝b 4，因为△F 1AB 是等边三角形，所以2c ＝3|y A |，即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2⎝⎛⎭⎫b 2＝－23舍去. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .(2)由已知，F 1(－2,0)，F 2(2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)．显然k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k (x －2)，得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0. 因为l 与双曲线交于两点，所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0. 设AB 的中点为M (x M ，y M )．由(F 1A --→＋F 1B --→)·AB →＝0，即F 1M →·AB →＝0，知F 1M ⊥AB ，故1· 1.F M k k ＝－而x M ＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3，y M ＝k (x M －2)＝6k k 2－3，1F M k ＝3k 2k 2－3，所以3k 2k 2－3·k ＝－1，得k 2＝35，故l 的斜率为±155.。

高中数学第2章圆锥曲线与方程章末小结(含解析)1数学教案

第2章圆锥曲线与方程1．圆锥曲线的标准方程求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般要先确定焦点的位置，再确定参数，当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：①椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)；②双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；③抛物线方程为x2＝2py(p≠0)或y2＝2px(p≠0)．2．椭圆、双曲线的离心率求椭圆、双曲线的离心率常用以下两种方法：(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．3．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何的角度看，直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行或重合．(2)从代数的角度看，可通过将表示直线的方程与曲线的方程组成方程组，消元后利用所得形如一元二次方程根的情况来判断．4．求曲线的方程求曲线方程的常用方法有：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．曲线方程的求法[例1] 过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．[解] 法一(直接法)：设B点坐标为(x，y)，由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2，如图所示，即x 2＋y 2＋[(x －1)2＋y 2]＝1，即OA 中点B 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法二(几何法)：设B 点坐标为(x ，y )，由题意知CB ⊥OA ，OC 的中点记为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，如法一中图，则|MB |＝12|OC |＝12，故B 点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法三(代入法)：设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为(x 1－1)2＋y 21＝1，所以(2x －1)2＋(2y )2＝1.即⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法四(交点法)：设直线OA 的方程为y ＝kx ，当k ＝0时，B 为(1,0)；当k ≠0时，直线BC 的方程为： y ＝－1k(x －1)，直线OA ，BC 的方程联立消去k 即得其交点轨迹方程：y 2＋x (x －1)＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(x ≠0,1)，显然B (1,0)满足⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)为所求．(1)解决轨迹问题要明确圆锥曲线的性质，做好对图形变化情况的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，注意将动点的几何特性用数学语言表述．(2)要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．1．求与圆x 2＋y 2＝1外切，且和x 轴相切的动圆圆心M 的轨迹方程．解：设两圆的切点为A ，M 的坐标为(x ，y )，圆M 与x 轴相切于点N ，∴|AM |＝|MN |， |MO |－1＝|MN |＝|y |. ∴x 2＋y 2－1＝|y |. 化简得：x 2＝2|y |＋1.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 2＝2|y |＋1.2．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2＝4上的动点B ，点P 分AB 之比为AP ∶PB ＝2∶1，求点P 的轨迹方程．解：设点P 的坐标为(x ，y )，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意得AP ―→＝2PB―→，即(x －4，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝2x 0－2x ，y ＝2y 0－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －42，y 0＝3y 2，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －422＋9y 24＝4，即⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋y 2＝169.∴所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋y 2＝169.圆锥曲线的定义及性质问题[例2] F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，求双曲线的标准方程．[解] 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b ＞0)．∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a .由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，在△PF1F2中，由余弦定理，得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos 60°)，即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.①又S△PF1F2＝123，∴12|PF1||PF2|sin 60°＝123，即|PF1||PF2|＝48.②由①②，得c2＝16，c＝4，则a＝2，b2＝c2－a2＝12，∴所求的双曲线方程为x24－y212＝1.(1)圆锥曲线的定义是标准方程和几何性质的根源，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．(2)应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．3．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52.①又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，所以C 的方程为x 24－y 25＝1.答案：B4．抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．y 1，y 2，y 3成等差数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列解析：由抛物线定义：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|.∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3.答案：A直线与圆锥曲线的位置关系[例3] x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立，组成方程组，消去一个未知数，转化为关于x (或y )的一元二次方程，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2(或y 1＋y 2，y 1y 2)进而解决了与“距离”“中点”等有关的问题．5．设抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋k 所得弦长|AB |＝3 5. (1)求k 的值；(2)以弦AB 为底边，x 轴上的P 点为顶点组成的三角形面积为39时，求点P 的坐标．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋k ，y 2＝4x ，得4x 2＋4(k －1)x ＋k 2＝0，Δ＝16(k －1)2－16k 2＞0，∴k ＜12.又由根与系数的关系有x 1＋x 2＝1－k ，x 1x 2＝k 24，∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋22·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·1－2k ，即51－2k ＝35，∴k ＝－4.(2)设x 轴上点P (x,0)，P 到AB 的距离为d ，则d ＝|2x －0－4|5＝|2x －4|5，S △PAB ＝12·35·|2x －4|5＝39，∴|2x －4|＝26，∴x ＝15或x ＝－11. ∴P 点坐标为(15,0)或(－11,0).圆锥曲线中的定点、定值、最值问题[例4] (2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：2a 2＋2b2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，32，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解析] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ，－4－t 22. 则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －1x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．(1)圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，可以通过直接计算求解，也可用“特例法”和“相关系数法”．(2)圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往要通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化代换等途径来解决．6．设椭圆x 29＋y 24＝1上的动点P (x ，y )，点A (a,0)(0＜a ＜3)．若|AP |的最小值为1，求a 的值．解：|AP |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋4⎝⎛⎭⎪⎫1－x 29＝59⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9a 52－4a 25＋4.因为x 29＝1－y 24，所以x 29≤1,0≤|x |≤3. (1)当0＜9a 5≤3，即0＜a ≤53时，x ＝9a 5，|AP |2取最小值4－4a 25＝1.解得a ＝152.因为152＞53，所以a 不存在．(2)当9a 5＞3，即53＜a ＜3时，x ＝3，|AP |2取最小值59⎝ ⎛⎭⎪⎫3－9a 52＋4－4a25＝1.解得a ＝2或a ＝4(舍)．所以，当a ＝2时，|AP |的最小值为1.7．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明：直线AC 经过原点O .证明：如图所示．∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根， ∴y 1y 2＝－p 2，∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，∴点C的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，故直线CO 的斜率k ＝y 2－p 2＝－2y 2p ＝y 1x 1，即k 也是直线OA 的斜率， ∴直线AC 经过原点O .(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B.53C.23D.59解析：根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝53.答案：B2．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(0,1)解析：由x 2＋ky 2＝2，得x 22＋y 22k＝1，又∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴2k＞2，即0＜k ＜1.答案：D3．若抛物线x 2＝2ay 的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，则a 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点为(0，－1)，∴a2＝－1，即a ＝－2. 答案：A4．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．答案：C5．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴椭圆中c ＝2，又c a ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，从而椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2， ∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图象可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B. 答案：B6．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)解析：依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0.因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2.所以线段AB 的中点坐标是(3,2)．答案：C7．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE―→＝12(OF ―→＋OP ―→)，则双曲线的离心率为( ) A.102B.105C.10D.2解析：设双曲线右焦点为M ，∵OE ⊥PF ，∴在直角三角形OEF 中，|EF |＝c 2－a 24.又OE ―→＝12(OF ―→＋OP ―→)，∴E 是PF 的中点．∴|PF |＝2c 2－a 24，|PM |＝a .又|PF |－|PM |＝2a ，∴2c 2－a 24－a ＝2a .∴离心率e ＝c a ＝102.答案：A8．已知|AB ―→|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP ―→＝13OA ―→＋23OB ―→，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1解析：设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB ―→|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.答案：A9．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，若|PF 1|＝7，则△PF 1F 2最大内角的余弦值为( )A ．－17B.17C.59117D.1113解析：由双曲线定义知|PF 2|＝|PF 1|±2a . 所以|PF 2|＝13或|PF 2|＝1<c －a ＝2(舍去)又|F 1F 2|＝10，所以△PF 1F 2的最大内角为∠PF 1F 2， cos ∠PF 1F 2＝102＋72－1322×10×7＝－17.答案：A10．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，2 B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，2∪(2，＋∞) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a 2≠0⇒a 2≠1，且此时Δ＝4a 2(2－a 2)>0⇒a 2<2，所以a 2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面e ＝1a 2＋1，则a 2＝1e 2－1，从而e ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，2∪(2，＋∞)．答案：D11．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4. 答案：B12．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)．设E (0，m )，由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m a －ca.①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m a ＋c2a.②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＝|AB |＝6，则|F 2B |＝________.解析：由椭圆定义知|F 1A |＋|F 2A |＝|F 1B |＋|F 2B |＝2a ＝10，所以|F 1A |＝10－|F 2A |＝4，|F 1B |＝|AB |－|F 1A |＝2，故|F 2B |＝10－|F 1B |＝8.答案：814．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设抛物线焦点为F ，则|PM |＝|PF |－12，∴|PA |＋|PM |＝|PA |＋|PF |－12.∴当且仅当A ，P ，F 共线时|PA |＋|PF |取最小值为|AF |＝5，∴|PA |＋|PM |最小值为92.答案：9215．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于点P ，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋6－32＋42＝15.答案：1516．已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13，则动点P 的轨迹方程为____________．解析：∵x 2－y 2＝1，∴c ＝ 2.设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a >0)，2a >2c ＝22， ∴a > 2. 由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4|PF 1||PF 2|－1， ∵|PF 1||PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， ∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时， |PF 1||PF 2|取得最大值a 2.此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a2－1.由题意2a 2－4a 2－1＝－13，解得a 2＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝3－2＝1.∴P 点的轨迹方程为x 23＋y 2＝1.答案：x 23＋y 2＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y轴上，且MN ―→＝2MP ―→，PM ―→⊥PF ―→，当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程．解：∵MN ―→＝2MP ―→，故P 为MN 中点．又∵PM ―→⊥PF ―→，P 在y 轴上，F 为(1,0)，故M 在x 轴的负方向上．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，(x >0)．∴PM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－y 2.∵PM ―→⊥PF ―→，∴PM ―→·PF―→＝0，即－x ＋y 24＝0.∴y 2＝4x (x >0)是轨迹C 的方程．18．(本小题满分12分)已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程．解：(1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，焦半距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3，两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6.故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)，即6x －y －11＝0.19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解：(1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝⎛⎭⎪⎫2t 2p，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．20．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解：(1)根据a 2－b 2＝c 2及题设知M ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，得2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)设直线MN 与y 轴的交点为D ，由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及a 2－b 2＝c 2代入②得9a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，消去x ，得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.22．(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP ―→＝ 2 NM―→.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP ―→·P Q ―→＝1.证明：过点P 且垂直于O Q 的直线l 过C 的左焦点F .解：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP ―→＝(x －x 0，y )，NM ―→＝(0，y 0)．由NP ―→＝ 2 NM ―→，得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q(－3，t )，P (m ，n )，则O Q ―→＝(－3，t )，PF ―→＝(－1－m ，－n )，O Q ―→·PF―→＝3＋3m －tn ， OP ―→＝(m ，n )，P Q ―→＝(－3－m ，t －n )．由OP ―→·P Q ―→＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以O Q ―→·PF ―→＝0，即O Q ―→⊥PF ―→. 又过点P 存在唯一直线垂直于O Q ，所以过点P 且垂直于O Q 的直线l 过C 的左焦点F .。

高考数学圆锥曲线与方程章总结题型详解

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵抛物线的焦点坐标F(1,0)，p=2，
抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c，即c=1，
设P(m,n)，由抛物线定义知：
.
∴P点的坐标为 .
，解得： .
则渐近线方程为 .
故选：C.
1．（2019·天津高考模拟（理））己知点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点，若点A到抛物线的准线的距离为p，则双曲线的离心率为（）
所以直线的倾斜角为，
则，由抛物线的定义得，
所以为等边三角形，又，
所以|AF|=4,
所以到的距离等于，
故选：A.
题型二标准方程
1.（2019·天津市宁河区芦台第一中学高考模拟（理））已知双曲线的离心率，点是抛物线上的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）
所以直线和椭圆相交，即公共点有2个。
故选A.
2．（2019·河南高考模拟（理））已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于不同的，两点，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设直线，代入，得，
因为直线与椭圆交于不同的，两点，
所以，解得且 .
又，得，
所以，，即椭圆方程为 .
（2）由得，
由，
得 .
由，
设的中点为，
得，即，
∴ .
∴ 的中垂线方程为 .
即，故的中垂线恒过点 .
2．（2019·安徽省泗县第一中学高考模拟（文））已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点的坐标为 .

新高考核心考点与题型圆锥曲线第5讲曲线与方程 - 解析

第5讲曲线与方程知识梳理1.曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2.求动点的轨迹方程的基本步骤考点一直接法求轨迹方程【例1】已知A (－1，0)，B (1，0)两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MN →2＝λAN →·NB →，则当λ<0时，动点M 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析:设M (x ，y )，则N (x ，0)，所以MN →2＝y 2，λAN →·NB →＝λ(x ＋1，0)·(1－x ，0)＝λ(1－x 2)，所以y 2＝λ(1－x 2)，即λx 2＋y 2＝λ，变形为x 2＋y 2λ＝1，所以当λ<0时，动点M 的轨迹为双曲线. 规律方法利用直接法求轨迹方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x ，y 的等式就得到曲线的轨迹方程.1．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x解析：设点P (x ，y )，则Q(x ，－1)∵Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→，∵(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ，∵动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .2．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.则动点P 的轨迹方程为________________．解析：因为点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1，－1)．设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．3．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为____________________．解析：设A (x ，y )，由题意可知D ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2.∵|CD |＝3，∵⎝⎛⎭⎫x 2－52＋⎝⎛⎭⎫y22＝9，即(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点不共线，∵点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，∵点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．考点二相关点(代入)法求轨迹方程【例2】已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 是椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0)B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0)C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)D.x 2＋43y 2＝1(y ≠0) 解析依题意知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标公式可得⎩⎨⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y 03，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y ，代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1，得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0). 规律方法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，“相关点法”的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 0，y 0).(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f （x ，y ），y 0＝g （x ，y ）.(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.1.如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2，1<t <3与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点.点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.解由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3，0)，A 2(3，0)，设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性，得B (x 0，－y 0)，设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3).①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9).③ 又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0).因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0).2.设F (1，0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，则点N 的轨迹方程为________.解析设M (x 0，0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，由MN →＝2MP →，得⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y ，因为PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)，所以(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，所以x 0＋y 20＝0，即－x ＋14y 2＝0，所以点N 的轨迹方程为y 2＝4x .3.已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)，经过点M ⎝⎛⎭⎫33，0的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB ―→＝－2MA ―→.若点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程．解：设A (x 0，y 0)，∵B (0,2)，M ⎝⎛⎭⎫33，0，故MB ―→＝⎝⎛⎭⎫－33，2，MA ―→＝⎝⎛⎭⎫x 0－33，y 0.由于MB ―→＝－2MA ―→，∴⎝⎛⎭⎫－33，2＝－2⎝⎛⎭⎫x 0－33，y 0.∴x 0＝32，y 0＝－1，即A ⎝⎛⎭⎫32，－1.∵A ，B 都在曲线E 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ·02＋b ·22＝1，a ·⎝⎛⎭⎫322＋b ·(－1)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14.∴曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1.考点三定义法求轨迹方程典例迁移【例3】 (经典母题)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.解由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞|MN |＝2. 由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为 x 24＋y 23＝1(x ≠－2).规律方法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程，这种求曲线方程的方法叫定义法，定义法求曲线方程有两种策略：(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程.(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解. 【迁移探究1】将本例的条件“动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切”改为“动圆P 与圆M 、圆N 都外切”，则圆心P 的轨迹方程为________.解析由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R ，因为圆P 与圆M ，N 都外切，所以|PM |－|PN |＝(R ＋r 1)－(R ＋r 2)＝r 1－r 2＝－2，即|PN |－|PM |＝2，又|MN |＝2，所以点P 的轨迹方程为y ＝0(x <－2). 答案 y ＝0(x <－2)【迁移探究2】把本例中圆M 的方程换为：(x ＋3)2＋y 2＝1，圆N 的方程换为：(x －3)2＋y 2＝1，则圆心P 的轨迹方程为________.解析由已知条件可知圆M 和N 外离，所以|PM |＝1＋R ，|PN |＝R －1，故|PM |－|PN |＝(1＋R )－(R －1)＝2<|MN |＝6，由双曲线的定义知点P 的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 2－y 28＝1(x >1). 【迁移探究3】在本例中，若动圆P 过圆N 的圆心，并且与直线x ＝－1相切，则圆心P 的轨迹方程为________.解析由于点P 到定点N (1，0)和定直线x ＝－1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以N (1，0)为焦点，以x 轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y 2＝4x .基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( )A.一条直线和一条双曲线B.两条双曲线C.两个点D.以上答案都不对解析 (x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.答案 C2.已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线解析由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线. 答案 D3.已知点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线的中点的轨迹方程是( ) A.y 2＝2x B.y 2＝8x 2 C.y ＝4x 2－12 D.y ＝4x 2＋12解析设AP 的中点坐标为(x ，y )，则P (2x ，2y ＋1)，由点P 在曲线上，得2·(2x )2－(2y ＋1)＝0即y ＝4x 2－12.4.设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程为( ) A.x 29＋y 24＝1 B.y 29＋x 24＝1 C.x 225＋y 29＝1 D.y 225＋x 29＝1 解析设M (x ，y )，A (x 0，0)，B (0，y 0)，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(x 0，0)＋25(0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝35x 0，y ＝25y 0，解得⎩⎨⎧x 0＝53x ，y 0＝52y ，由|AB |＝5，得⎝⎛⎭⎫53x 2＋⎝⎛⎭⎫52y 2＝25，化简得x 29＋y 24＝1.5.设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1，0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点.线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1 解析 ∵M 为AQ 的垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹是以定点C ，A 为焦点的椭圆.∴a ＝52，∴c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴M 的轨迹方程为4x 225＋4y 221＝1.答案 D 二、填空题6.在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足向量OP →在向量OA →上的投影为－5，则点P 的轨迹方程是________________.解析由OP →·OA→|OA →|＝－5，知x ＋2y 5＝－5，即x ＋2y ＋5＝0.7.已知点A (1，0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为________.解析设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎨⎧x ＋x 12＝1， y ＋y12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y . ∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .8.在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，则顶点A 的轨迹方程为________.解析以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E ，F 分别为两个切点.则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |.∴|AB |－|AC |＝22＜|BC |＝4，∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)且a ＝2，c ＝2，∴b ＝2， ∴轨迹方程为x 22－y 22＝1(x ＞2).三、解答题9.已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26，1)，Q (2，1)，且|MP |＝5|MQ |. (1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，过点N (－2，3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程. 解 (1)由题意，得|MP ||MQ |＝5，即（x －26）2＋（y －1）2（x －2）2＋（y －1）2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25.轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆.(2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2，此时所截得的线段长度为252－32＝8所以l ：x ＝－2符合题意. 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心(1，1)到直线l 的距离 d ＝|3k ＋2|k 2＋1，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512.所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0，即5x －12y ＋46＝0.10.已知点C (1，0)，点A ，B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点.(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.解 (1)连接CP ，OP ，由AC →·BC →＝0，知AC ⊥BC ，∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝12|AB |，由垂径定理知，|OP |2＋|AP |2＝|OA |2，即|OP |2＋|CP |2＝9，设点P (x ，y )，则(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9，化简，得x 2＋y 2－x －4＝0.(2)存在.根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1，0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，其中p2＝1.∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x 2＋y 2－x －4＝0得x 2＋3x －4＝0，解得x ＝1或x ＝－4.由x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2.故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1，2).能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是( )A.x ＋y ＝5B.x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1D.x 2＝16y解析 ∵M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8∴M 的轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5，0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5，0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意.答案 B12.在△ABC 中，已知A (2，0)，B (－2，0)，G ，M 为平面上的两点且满足GA →＋GB →＋GC →＝0，|MA →|＝|MB →|＝|MC →|，GM →∥AB →，则顶点C 的轨迹为( )A.焦点在x 轴上的椭圆(长轴端点除外)B.焦点在y 轴上的椭圆(短轴端点除外)C.焦点在x 轴上的双曲线(实轴端点除外)D.焦点在x 轴上的抛物线(顶点除外) 解析设C (x ，y )(y ≠0)，则由GA →＋GB →＋GC →＝0，即G 为△ABC 的重心，得G ⎝⎛⎭⎫x 3，y 3. 又|MA →|＝|MB →|＝|MC →|，即M 为△ABC 的外心，所以点M 在y 轴上，又GM →∥AB →，则有M ⎝⎛⎭⎫0，y 3.所以x 2＋⎝⎛⎭⎫y －y 32＝4＋y 29，化简得x 24＋y 212＝1，y ≠0.所以顶点C 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴端点).13.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________.解析由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →.设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2，即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2，又P 在椭圆上，则有⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝114.(2017·全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . (1)解设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)，由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y ，因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1，因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明由题意知F (－1，0).设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )， OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )，由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2.故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .。

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（2）若 A, B, F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，
6 / 14
求坐标原点到 m, n 距离的比值。【解析】（1）由对称性知： BFD 是等腰直角，斜边 BD 2p
点 A 到准线 l 的距离 d FA FB 2 p
SABD 4
(2012 课标全国Ⅰ，理 20)（本小题满分 12 分）设抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，准线为 l ， AC ，已知以 F 为
圆心， FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点；
（1）若 BFD 900 ， ABD的面积为 4 2 ；求 p 的值及圆 F 的方程；
物线 y 2 16 x 的准线交于 A, B 两点， AB 4 3 ；则 C 的实轴长为（
）
( A) 2
(B) 2 2
(C)
(D)
【解析】选 C
设 C : x2 y2 a2 (a 0) 交 y 2 16 x 的准线 l : x 4 于 A(4, 2 3) B(4, 2 3)
得： a2 (4)2 (2 3)2 4 a 2 2a 4
x2 y2 =1 B． 36 27
x2 y2 =1 C． 27 18
x2 y2 =1 D． 18 9
答案：D
解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B 在椭圆上，
∴
x12 a2
x22 a2
y12 b2
y22 b2
1, ① 1, ②
①－②，得
x1
x2 x1 a2
x2
y1
综上四边形mpnq面积的取值范围为三复习建议圆锥曲线部分内容多难度大综合性强为了提高学生的复习效率和复习质量首先应抓住解析几何的特点即熟悉平面几何的性质以坐标法为桥梁用代数法来研究处理集合问题复习时应重点突破以下内容

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