高中数学圆锥曲线与方程测试题

合集下载

高中数学平面解析几何——圆锥曲线与方程

高中数学平面解析几何——圆锥曲线与方程一、单选题1．若双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的一条渐近线方程y =√3x ，则该双曲线的离心率为（）A ．√3B ．2C ．12D ．2√332．已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的左､右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线C 1与曲线C 2：x 2+y 2−b 2=0在第二象限的交点为M ，且|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13，则双曲线C 1的离心率为( ) A ．√32B ．3C ．√3D ．323．抛物线 C:y 2=2px(p >0) 的焦点为 F ，点 A(6,y 0) 是 C 上一点， |AF|=2p ,则 p =（） A ．4B ．3C ．2D ．14．经过点 M(2√3,2√2) 且与双曲线 y 24−x 23=1 有共同渐近线的双曲线方程为（）A ．x 26−y 28=1B ．y 26−x 28=1C ．x 28−y 26=1D ．y 28−x 26=15．过双曲线 E ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0) 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线 E 交于A ，B 两点，与双曲线 E 的渐近线交于C ，D 两点，若 |AB|=√32|CD| ，则双曲线 E 的渐近线方程为（） A ．y =±√2xB ．y =±√3xC ．y =±2xD ．y =±2√3x6．若双曲线 x 2a 2−y 2b2=1 的一条渐近线经过点 (3,4) ,则此双曲线的离心率为( )A ．√73B ．54C ．43D ．537．双曲线x 2a 2−y 2b2=1的离心率为√3，则它的渐近线方程是（）A ．y =±√2xB ．y =±√22xC ．y =±2xD ．y =±12x8．已知抛物线C ：y 2=2px （p >0）的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点A(0，2)，与抛物线C 的准线交于点N ，FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√55MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则p 的值等于（）A ．18B ．2C ．14D ．49．椭圆x 29+y 24−k =1的离心率为45，则k 的值为（）A．－21B．21C．−925或21D．925或2110．曲线x 210−m+y26−m=1(m<6)与曲线x25−m+y29−m=1(5<m<9)的（）A．焦距相等B．离心率相等C．焦点相同D．准线相同11．已知双曲线Γ过点M(3,4)且其渐近线方程为y=±2√33x，ΔABC的顶点A,B恰为Γ的两焦点，顶点C在Γ上且|AC|>|BC|，则sin∠BAC−sin∠ABCsin∠ACB=（）A．−2√77B．2√77C．−2D．212．如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到形状为四边形区域A1A2A3A4的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线13．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（）A．4.25米B．4.5米C．3.9米D．4.05米14．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，以OF2为直径的圆M与双曲线C相交于A，B两点，其中O为坐标原点，若AF1与圆M相切，则双曲线C的离心率为 A ．√2+3√62B ．√2+√62C ．3√2+√62D ．3√2+2√6215．已知椭圆 y 2a 2 + x 2b2 =1(a>b>0)与直线 y a −x b =1 交于A ，B 两点，焦点F(0，-c)，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（） A ．√5−12B ．√3−12C ．√3+14D ．√5+1416．设双曲线 C ： x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ，点 P 在 C 上，且满足 |PF 1|=3a .若满足条件的点 P 只在 C 的左支上，则 C 的离心率的取值范围是（） A ．(1,2]B ．(2,+∞)C ．(2,4]D ．(4,+∞)17．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若|MN|=|F 1F 2|，2√2|MF 2|=|NF 2|，则C 的离心率为（） A ．√24B ．12C ．6√2−37D ．3√2−37二、填空题18．双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)上一点P （点P 在第一象限），过双曲线C 中心O 且与坐标轴不平行的直线l 交双曲线C 左右两支于A ，B 两点（点A ，B 异于点P ），设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1k 2=14，则双曲线C 的离心率为 .19．过点(2√3，√3)且渐近线与双曲线C ：y 2−x 22=1的渐近线相同的双曲线方程为 .20．已知 F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点， P 为 C 上的一点，若 |PF|=3 ，则点 P 的坐标为 21．已知点 (1,2) 在抛物线 y 2=2px 上，则该抛物线的焦点坐标为． 22．已知抛物线 y 2=2ax 的准线方程为 x =−2 ，则 a = ． 23．抛物线x 2=−2y 的焦点到准线的距离为．24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2=8x 上一点P 到点A （4，0）的距离等于它到准线的距离，则PA= ．25．椭圆 x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 上的任意一点 P (短轴端点除外)与短轴上、下两个端点 B 1,B 2的连线交 x 轴于点 M 和 N ，则 |OM|+|ON| 的最小值是．26．已知抛物线y 2=2px 的焦点F 与双曲线x 27﹣Y 29=1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的焦点为K ，点A 在抛物线上，且|AK|=√2|AF|，则△AFK 的面积为27．如图从双曲线 x 2a 2−y 2b2=1 （其中 b >a >0 ）的左焦点F 引圆 x 2+y 2=a 2 的切线，切点为T ，延长 FT ，交双曲线右支于P ，若M 为线段 FP 的中点，O 为原点，则 |MO|−|MT| 的值为（用 a 、b 表示）．28．设F 为抛物线 C:y 2=2px(p >0) 的焦点，过F 作倾斜角为 60° 的直线交C 于A ，B 两点，若 |AF|−|BF|=4 ，则 |AB|= .29．已知椭圆E ： x 2a 2+y 2b2 =1（a ＞b ＞0）的焦距为2c （c ＞0），左焦点为F ，点M 的坐标为（﹣2c ，0）．若椭圆E 上存在点P ，使得PM= √2 PF ，则椭圆E 离心率的取值范围是．30．已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的两条渐近线均与圆C ：(x −3)2+y 2=4相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为．31．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C ： y 2=4x 的焦点为 F ．过点 M(−1，0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，若 FA ⊥FB ，则直线 l 的斜率为．32．过双曲线x 2- y 215=1的右支上一点P ，分别向圆C 1：（x+4）2+y 2=4和圆C 2：（x-4）2+y 2=1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM|2-|PN|2的最小值为．33．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0) ， B(1,√3) ，动点 P 满足 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 |x|+|y|=1 ，则动点 P 形成的轨迹长度为 .34．已知F 是抛物线 C ：y 2=2px(p >0) 的焦点，抛物线C 上的点 A ，B 满足 AF⃗⃗⃗⃗⃗ =4FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 A ，B 在准线上的射影分别为 M ，N ，且 △MFN 的面积为5，则 |AB|=三、解答题35．某海域有 A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东40海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是 A 、B 两岛．曾有渔船在距A 岛正西20海里发现过鱼群．某日，研究人员在 A 、B 两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同）， A 、B两岛收到鱼群反射信号的时间比为 5：3 ．你能否确定鱼群此时分别与 A 、B 两岛的距离？ 36．已知直线l 的参数方程为 {x =2+ty =√3t (t 为参数)， P(2,0) ，曲线C 的极坐标方程为 ρ2cos2θ=1 .（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设A ，B 中点为Q ，求弦长 |AB| 以及 |PQ| .37．已知 F 1 ， F 2 分别是椭圆 E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的左，右焦点， |F 1F 2|=6 ，当 P在 E 上且 PF 1 垂直 x 轴时， |PF 2|=7|PF 1| .（1）求 E 的标准方程；（2）A 为 E 的左顶点， B 为 E 的上顶点， M 是 E 上第四象限内一点， AM 与 y 轴交于点 C ， BM 与 x 轴交于点 D . 求证：四边形 ABDC 的面积是定值.38．已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b2=1(a >0，b >0)的离心率为√174，抛物线D ：y 2=2px （p >0）的焦点为F ，准线为l ，l 交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点，ΔMNF 的面积为8. （1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）求抛物线D 的方程.39．已知B ，C 是两个定点，|BC|＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．40．已知函数 y =2x 2 ，函数图象上有两动点 A(x 1,y 1) 、 B(x 2,y 2) .（1）用 x 1 表示在点 A 处的切线方程；（2）若动直线 AB 在 y 轴上的截距恒等于 1 ，函数在 A 、 B 两点处的切线交于点 P ，求证：点 P 的纵坐标为定值.41．已知双曲线 x 2−y 23=1 ，抛物线 y 2=2px(p >0) 的焦点与双曲线的一个焦点相同，点 P(x 0,y 0) 为抛物线上一点. （1）求双曲线的焦点坐标；（2）若点 P 到抛物线的焦点的距离是5，求 x 0 的值.42．已知圆C 的方程为：x 2+(y +1)2=r 2(r >0)（1）已知过点M(12，−52)的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若r =1，|AB|=√3，求直线l 的方程；（2）如图，过点N(−1，1)作两条直线分别交抛物线y =x 2于点P ，Q ，并且都与动圆C 相切，求证：直线PQ 经过定点，并求出定点坐标.43．已知椭圆 C ： x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的左､右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，且 |F 1F 2|=2 ，点M(√3，√32) 在椭圆 C 上.（1）求椭圆 C 的标准方程.（2）P 为椭圆 C 上一点，射线 PF 1 ， PF 2 分别交椭圆 C 于点 A ， B ，试问 |PF 1||AF 1|+|PF 2||BF 2| 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 44．已知双曲线C ： x 2a 2−y 2b2 ＝1(a ，b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，其中c>0，M(c ，3)在C 上，且C 的离心率为2. （1）求C 的标准方程；（2）若O 为坐标原点，△F1MF2的角平分线l 与曲线D ： x 2c 2+y 2b2 ＝1的交点为P ，Q ，试判断OP 与OQ 是否垂直，并说明理由.45．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）分别是椭圆C ： x 2a2+y 23 =1（a ＞0）的左、右焦点．（△）求椭圆C 的方程；（△）若A ，B 分别在直线x=﹣2和x=2上，且AF 1△BF 1．（△）当△ABF 1为等腰三角形时，求△ABF 1的面积；（△）求点F 1，F 2到直线AB 距离之和的最小值．46．已知椭圆 C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的离心率为 √33 ，且经过点 (32,√22) .（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若△OAB的面积为4√617，求直线l的方程.47．已知抛物线E:y2=2px的焦点F恰好是椭圆C:x2+2y2=2的右焦点.（1）求实数p的值及抛物线E的准线方程；（2）过点F任作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A、B和M、N点，求两条弦的弦长之和|AB|+|MN|的最小值．48．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，点P为椭圆上异于A、B的点，且直线PA和PB的斜率之积为−3 4 .（1）求C的方程；（2）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作OM//AP交椭圆于点M，试探究|AP|⋅|AQ||OM|2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.49．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个顶点分别为点A(−2,0)，B(2,0)，离心率为√32.（1）求椭圆C的方程；（2）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.证明：△BDE与△BDN的面积之比为定值.50．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为2√55，且|BF|=√5．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP//BF，求直线l的方程．答案解析部分1．【答案】B【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的一条渐近线方程y =√3x ，所以b a=√3，所以该双曲线的离心率为e =c a =√1+(b a )2=2。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(答案解析)(4)

一、选择题1．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（）A ．25B ．45C ．15D ．232．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A ．)+∞B ．C ．)+∞D ． 3．过抛物线24y x =焦点F ，斜率为k （0k >）的直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF BF =，则k =（）A B ．2 C D ．1 4．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（）A B C ．14 D ．45．已知双曲线2221(0)x y a a -=>与椭圆22183x y +=有相同的焦点，则a =（）A B ．C ．2 D ．46．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．y x =D ．y =8．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ≥，则离心率的取值范围为（） A．⎛ ⎝⎦ B．2] C．1⎤⎥⎝⎦D．1] 9．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点M 关于原点的对称点为N ，F 为椭圆的一个焦点，若0MF NF ⋅=，且3MNF π∠=，则该椭圆的离心率为（） A．1BCD110．已知椭圆22:12x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中垂线交x 轴于M 点，则2||||FM AB 的取值范围为（） A ．11,164⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．11,162⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 11．以下关于圆锥曲线的命题中是真命题为（）A ．设,AB 是两定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支；B ．过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；C ．方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；D ．双曲线221925x y -=与椭圆22135y x +=有相同的焦点. 12．12,F F 为双曲线2214x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积是（）A ．2B ．4C ．8D ．16二、填空题13．直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点到y 轴的距离是2，则AB =______.14．12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且1260F PF ︒∠=，则12F PF ∆的内切圆半径等于___________15．已知抛物线24y x = 上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为_______． 16．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m =______.17．已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，13PF =，123F PF π∠=，则b =______． 18．在平面直角坐标系中，已知椭圆22:12+=x E y ，直线10x y +-=与椭圆E 交于A ，B 两点，则△AOB 的外接圆圆心的坐标为______．19．已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PF PA的最小值为 ________. 20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，()2,0C p ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若2AF CF =，且ACE △的面积为p 的值为______.三、解答题21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e =，一条准线方程为x （1）求椭圆C 的方程；（2）设,G H 为椭圆上的两个动点，G 在第一象限，O 为坐标原点，若OG OH ⊥，GOH ，求OG 的斜率.22．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>，焦距为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆C 的上顶点，过点P 作两条相互垂直的直线1l ，2l 分别与椭圆相交于M 、N 两点，若4tan 3∠=PNM ，求直线1l 的方程．附：多项式因式分解公式()()32238642322-+-=--+t t t t t t ． 23．过椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B △的周长为8 （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点()2,1P ，离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的弦PA ，PB 分别与椭圆C 交于A ，B .（i ）证明直线AB 过定点；（ii ）求点P 到直线AB 距离的最大值.25．我们把经过椭圆的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为椭圆的正焦弦．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的正焦弦长为1，且点⎛ ⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）经过点11,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作一直线交椭圆于,A B 两点如果点P 为线段AB 的中点，求直线AB 的斜率；（3）若直线l 与（2）中的直线AB 平行，且与椭圆交于M ，N 两点，试求MON △（O 为坐标原点）面积的最大值．26．在平面直角坐标系中，(10,C ，圆(222:12C x y +=，动圆P 过1C 且与圆2C 相切.（1）求动点P 的轨迹C 的标准方程；（2）若直线l 过点()0,1，且与曲线C 交于A 、B ，已知AB 的中点在直线14x =-上，求直线l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF =+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===，设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则()222324MF =+=，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则334y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为533,44⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=，所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.2．A解析：A【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解.【详解】设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=，点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，2a =，可得()a n m c b =+，则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=， A 在右支上，4224440a c a b b a--∴<-，即440b a ->，即220b a ->，即2220c a ->，则可得e >故选：A.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 3．A解析：A【分析】将直线方程代入抛物线可得212224k x x k++=，121=x x ，由3AF BF =可得1232x x =+，联立方程即可解出k .【详解】由题可得()1,0F ，则直线方程为()1y k x =-，将直线代入抛物线可得()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212224k x x k++=，121=x x ，由抛物线定义可得121,1AF x BF x =+=+，3AF BF =，则1232x x =+，结合212224k x x k++=可得1222312,x x k k =+=，代入121=x x ，则223121k k⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，由0k >，可解得k = 故选：A.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.4．B解析：B【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析得115b a =，从而求得其离心率. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan 15a k AOM b =∠==，所以115b a =，所以22411515c b e a a ==+=，故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.5．C解析：C【分析】先求出椭圆焦点坐（椭圆的半焦距），再由双曲线中的关系计算出a ．【详解】椭圆22183x y +=的半焦距为c ∴双曲线中215a +=，∴2a =（∵0a >）．故选：C ．【点睛】晚错点睛：椭圆与双曲线中都是参数,,a b c ，但它们的关系不相同：椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ，不能混淆．这也是易错的地方．6．D解析：D【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程.【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-， ()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=.故选：D【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法. 7．C解析：C【分析】求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得,a b，得渐近线方程．【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为(，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c =渐近线方程为b y x a=±，其中一条为0bx ay -=，1==，1b =，∴a = ∴渐近线方程为y x =．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出,a b ．解题时要注意椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ．两者不能混淆． 8．C解析：C【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PFQF 为矩形，设12,PFn PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m=+的取值范围，进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可【详解】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==，所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QFPF ；由11QF PF ≥1m n≤<，由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c =-②；由①②得()2222242c m n m n mn n m a c +==+-；令=+m n t n m，令3m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，12,3t v v ⎛=+∈ ⎝⎦，即()222422c a c <≤-，所以，()222223a c c a c -<≤-，所以，()222113e e e -<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤ 故选：C【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率，即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c =-②；由①②得()2222242c m n m n mn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()222113e e e -<≤-，进而求解属于中档题 9．D解析：D【分析】E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形，从而得MENF 是矩形．3MEF MNF π∠=∠=，在直角三角形MEF 中用c 表示出两直角边，再上椭圆定义得,a c 的等式，求得离心率．【详解】如图，E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形， ∵0MF NF ⋅=，∴MF NF ⊥，∴MENF 是矩形．3MNF π∠=，∴3MEF π∠=，∴1cos 232ME EF c c π==⨯=，2sin 3MF c π==，∴1)2MF ME c a +==，∴1c e a ===．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到,a c 的关系，本题利用椭圆的对称性，引入另一焦点E 后形成一个平行四边形MENF ，再根据向量数量积得垂直，从而得到矩形，在矩形中利用椭圆的定义构造出,a c 的关系．求出离心率．10．B解析：B 【分析】当l ：0y =时，2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立可得：()222210my my +--=，然后求得AB 的中垂线方程，令0y = ，得21,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得||MF ，2||AB ，建立2||||FM AB 求解. 【详解】椭圆22:12x C y +=的左焦点为()1,0F -,当l ：0y =时，())()2,0,2,0,0,0A BM -，1,22FM AB ==所以2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得： ()222210my my +--=，由韦达定理得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，取AB 中点为222,22m D m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以AB 的中垂线方程为：2212:22DM m l x y m m m ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，令0y = ，得21,02M m ⎛⎫-⎪+⎝⎭，所以221||2m MF m +=+，又()()2222281||2m AB m +==+，所以2222||121111=1(,)||818184FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选：B. 【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为AB ===k 为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．11．C解析：C 【分析】①根据双曲线定义可得出判断；②不妨在单位圆x 2+y 2=1中，用代入法求得P 的轨迹方程可得判断；③求出方程22520x x -+=根，利用椭圆与双曲线的离心率的范围可得出判断； ④求出双曲线和椭圆的焦点坐标可得答案；【详解】①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，当||||||PA PB k AB -==时，则动点P 的轨迹是以A 为端点的一条射线线，因此不正确； ②∵()12OP OA OB =+，∴P 为弦AB 的中点，不妨在单位圆x 2+y 2=1中，定点A （1，0），动点11(,)B x y ，设P （x ，y ），用代入法求得P 的轨迹方程是212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+y 2=14，∴点P 的轨迹为圆，错误；③解方程22520x x -+=可得两根12，2．因此12可以作为椭圆的离心率，2可以作为双曲线的离心率，因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；④由双曲线221925x y -=可得c，其焦点(，同理可得椭圆22135y x +=焦点为(0,，因此没有相同的焦点，错误；综上可知：其中真命题的序号为 ③．故选：C ．【点睛】本题综合考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力，属于中档题．12．B解析：B 【分析】先求出双曲线的a,b,c ，再利用12Rt PF F 中三边关系求出128PF PF =，再由直角三角形面积公式即得结果. 【详解】由2214x y -=-得标准方程为2214x y -=得221,4a b ==，2145c ∴=+=c ∴= 故12Rt PF F 中，()222212121212121222=2F F PF PF PF PFPF PF PF PF F F c ⎧==+⎪⎪=⎨+-=-⎪⎪⎩128PF PF ∴=所以12118422S PF PF =⋅=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了双曲线的定义和几何性质，考查了直角三角形的边长关系和面积公式，属于中档题.二、填空题13．【分析】设再表达出的坐标再利用抛物线的弦长公式求解即可【详解】设则利用中点坐标公式知又点M 到y 轴的距离为2故即又故利用过抛物线焦点的弦长公式故答案为：8【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的解析：【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，再表达出M 的坐标，再利用抛物线的弦长公式求解即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则利用中点坐标公式知1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，又点M 到y 轴的距离为2，故1222x x +=,即124x x +=, 又28,4p p ==，故利用过抛物线焦点的弦长公式12448AB x x p =++=+=. 故答案为：8 【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的弦长公式，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式，考查学生的运算能力与转化思想，属于一般题.14．【分析】由题意知由余弦定理可得由面积公式即可求解【详解】因为分别为椭圆的左右焦点为该椭圆上一点所以则由余弦定理得即所以故的面积设的内切圆半径为则解得故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆的定义椭圆的简解析：13- 【分析】由题意知12124,F P PF F F +==1243F PPF =‖，由面积公式12121211sin |)2602(S F P PF F P PF F F r ︒=⋅+⋅=‖+|即可求解.【详解】因为12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，所以12124,F P PF F F +==则由余弦定理得，2221212122cos 60F F F P PF F P PF ︒=+-‖，()2121212122cos602F P PF F P PF F P PF ︒=+--，即1212163F PPF =-‖，所以1243F PPF =‖，故12PF F ∆的面积121sin 602S F P PF ︒=⋅‖=设12F PF ∆的内切圆半径为r ，则12121|)(4122(F P PF F F r r S +⋅=+⋅==+|，解得1r =-1 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，余弦定理，面积公式，属于中档题.15．【解析】由抛物线定义得即这点的坐标为解析：(4,4)±【解析】由抛物线定义得215,4444x x y y +=∴=∴=⨯⇒=± ,即这点的坐标为()4,4±16．【分析】化双曲线方程为标准方程求得的值依题意列方程解方程求得的值【详解】双曲线方程化为标准方程得故依题意可知即解得【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程考查双曲线的虚轴和实轴考查运算求解能力属于基础题解析：1-4【分析】化双曲线方程为标准方程，求得,a b 的值，依题意列方程，解方程求得m 的值. 【详解】双曲线方程化为标准方程得2211y x m-=-，故1,a b == 依题意可知2b a =2=，解得14m =-.【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的虚轴和实轴，考查运算求解能力，属于基础题.17．【分析】作出图形利用椭圆的定义可求得利用余弦定理可求得的值进而可求得的值【详解】根据椭圆的定义：在焦点中由余弦定理可得：则所以故答案为：【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数考查解析：32【分析】作出图形，利用椭圆的定义可求得2PF ，利用余弦定理可求得c 的值，进而可求得b 的值. 【详解】根据椭圆的定义：2231PF a =-=，在焦点12PF F △中，由余弦定理可得：222212121242cos 73c F F PF PF PF PF π==+-⋅=，274c ∴=，则22279444b a c =-=-=，所以，32b =. 故答案为：32.【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】首先联立方程求得设圆心坐标利用其到△三个顶点的距离相等列出等量关系式求得结果【详解】联立方程可得：设圆心坐标则得：故答案为：【点睛】该题考查的是有关圆的问题涉及到的知识点有求直线与椭圆的交点解析：51,62⎛⎫⎪⎝⎭【分析】首先联立方程221012x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，求得()0,1A ，41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设圆心坐标(),x y ，利用其到△AOB 三个顶点的距离相等，列出等量关系式，求得结果.【详解】联立方程221012x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()0,1A ，41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设圆心坐标(),x y ，则()22222241133x y x y x y ⎛⎫-++=+=+- ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，得：56x =，12y =，故答案为：51,62⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有求直线与椭圆的交点，三角形外接圆的圆心的求法，属于简单题目.19．【分析】过P 做准线的垂线根据定义可得将所求最小转化为的最小结合图像分析出当PA 与抛物线相切时最小联立直线与抛物线方程根据判别式求出PA 斜率k 进而可得的值代入所求即可【详解】由题意可得抛物线的焦点准线【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PMPAM PA=∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

2020-2021学年新人教版高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线》曲线与方程

2020-2021学年新人教版高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线》
曲线与方程
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.如图,方程x+|y-1|=0表示的曲线是( )
2.已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x,y)=0的解”是正确的,则下列命题中正确的是( )
A.满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上
【解析】选C.选项A中不对应,应该是个整圆;选项B中应该还有一条直线y=-x;选项D中需要x>0,yபைடு நூலகம்0.
2.【解析】选C.因为“曲线C上的点的坐标是方程f(x,y)=0的解”,所以可以认为曲线C可能是方程f(x,y)=0所表示的曲线上的某一小段,因此只有C正确.
3.【解题指南】若点M(x0,y0)满足f(x,y)=0,则点M在曲线上,否则点M不在曲线上,因此采用验证法.
【拓展提升】方程变形的常用方法
判断方程表示什么曲线,需对方程进行同解变形,常用的方法有:配方法,因式分解法、平方法或者是化为常见的熟悉形式,然后根据方程的特征进行判断.
10.【解析】(1)第一、三象限两轴夹角平分线l上点的横坐标x与纵坐标y相等,即y=x.可以看到:
①l上点的坐标都是方程x-y=0的解;
B.方程f(x,y)=0是曲线C的方程
C.方程f(x,y)=0所表示的曲线不一定是C
D.以上说法都正确
3.已知曲线C的方程为x2-xy+y-5=0,则下列各点中,在曲线C上的点是( )
A.(-1,2) B.(1,-2)
C.(2,-3)D.(3,6)
4.方程xy2+x2y=1所表示的曲线( )
A.关于x轴对称B.关于y轴对称
11.【证明】∵P是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,

(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测(答案解析)(5)

一、选择题1．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（） A ．0B ．12C ．1D ．22．若点)0到双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的离心率为（）A B C D 3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．(B ．(1,1C ．)+∞D ．()1++∞4．已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点且点P 不在x 轴上，点M 是线段PF 的中点，点O 为坐标原点.连接OM 并延长交圆222x y a +=于点N ，则PFN 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由点P 位置决定5．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 为E 上一点.若126MF F π∠=，21212F F F M F F +=，则E 的离心率为（）A ．12 B ．12C 1D 16．已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>和椭圆22174x y +=有相同的焦点，则11m n +的最小值为（）A ．12B ．32C ．43D ．97．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，则点A 到y 轴的距离为（） A ．5B ．4C ．3D ．28．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=9．已知椭圆22:12x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中垂线交x 轴于M 点，则2||||FM AB 的取值范围为（） A ．11,164⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,162⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A 、B 的距离之比为λ（0λ>，1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O ：221x y +=和点1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，点()4,2B ，M 为圆O 上的动点，则2MA MB +的最小值为（）A ．B ．C D 11．在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是1PF 的中点，且1OM PF ⊥，122PF PF =，则双曲线的离心率为A B ．2C D 12．双曲线2214x y -=的离心率为（）A B C D ．2二、填空题13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于A ，B 两点，且3FB AF =，则该双曲线的离心率为_______．14．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当30α=︒时，该椭圆的离心率为____________.15．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，当3a b 取最大值时，双曲线C 的方程为________.16．动点P 在曲线221y x =+上运动，则点P 与定点(0,1)M -连线的中点N 的轨迹方程为_______．17．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.18．已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线2212x y -=相交于A ，B 两点.若ABF ∆为直角三角形，则抛物线的准线方程为________.19．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S ∆=________．20．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，第一象限的点P 在渐近线上，满足12F PF 2π∠=，直线1PF 交双曲线左支于点Q ，若点Q 是线段1PF 的中点，则该双曲线的离心率为_____.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点与椭圆：2212x y +=的右焦点重合．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）记(4,0)P ，若抛物线C 上存在两点B ，D ，使PBD △为以P 为顶点的等腰三角形，求直线BD 的斜率的取值范围．22．椭圆2212x y +=的左、右焦点为1F 、2F ，经过1F 作倾斜角为60的直线l 与椭圆相交于A B ，两点．求（1）线段AB 的长；（2）2ABF 的面积．23．如图所示，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，222:O x y b +=，点A 是椭圆C的左顶点，直线AB 与O 相切于点()1,1B -．（1）求椭圆C 的方程；（2）若O 的切线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求OMN 面积的取值范围．24．已知椭圆222:1(1)x C y m m+=>，点P 是C 上的动点，M 是右顶点，定点A 的坐标为(2,0)．（1）若3m =，求PA 的最大值与最小值；（2）已知直线:5l y x =-，如果P 到直线l 的最小值为2，求m 的值． 25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-．（1）求抛物线C 的方程；（2）设点(1,2)P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点A ，B ，直线PA ，PB 分别交x 轴于M ，N 两点，求MF NF ⋅的值．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左､右顶点，22AB =，离心率22e =.F 是右焦点，过F 点任作直线l 交椭圆于M ，N 两点.（1）求椭圆的方程；（2）试探究直线AM 与直线BN 的交点P 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y p +1=2，求得y p ．解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，根据抛物线定义， ∴y p +1=2，解得y p =1．故选C ．考点：抛物线的简单性质．2．A解析：A 【分析】先求得双曲线C 的其中一条渐近线方程0bx ay -=，根据点)0到双曲线C 的渐近线223c a =，即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，双曲线C :22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，因为点)0到双曲线C==2232b c =，即222332c a c -=，即223c a =，所以==ce a故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及几何性质，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．3．D解析：D 【分析】由题将x c =代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得22bc a<，即可由此求出离心率.【详解】由题可得AB x ⊥轴，将x c =代入双曲线可得2by a=±，∴以AB 为直径的圆的半径为2b AF a=，双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，22b c a∴<，即22b ac >，即222c a ac ->，两边除以2a 可得2210e e -->，解得1e <1e >故双曲线离心率的取值范围是()1+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出22b c a <.4．B解析：B 【分析】根据定义可得12PF PF a +=，进而得出OM PM a +=，根据MN ON OM =-求出MN PM MF ==，得出90PNF ∠=，即可判断. 【详解】设F 是右焦点，左焦点为1F ，12PF PF a ∴+=，在1PFF 中，,O M 分别是1,FF PF 中点，12,2PF OM PF PM ∴==，1222PF PF OM PM a ∴+=+=，即OM PM a +=，()MN ON OM a a PM PM ∴=-=--=，MN PM MF ∴==，∴N 在以线段PF 为直径的圆上，90PNF ∴∠=,故PFN 的形状是直角三角形. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆定义的应用，解题的关键是应用椭圆的定义得出MN PM MF ==，从而判断90PNF ∠=.5．B解析：B 【分析】先取线段1F M 中点P ，连接2PF ，得到2c P F =，结合正弦定理证明12F PF ∠是直角，求出12,F M MF ，再根据定义122FM MF a +=得到,a c 之间关系，即求得离心率. 【详解】如图椭圆中，取线段1F M 中点P ，连接2PF ，则21222F F F M F P+=，因为21212F F F M F F +=，所以21222F F F P c ==，则2c P F =，12F F P 中，1212122sin sin F F M P F F F P F F =∠∠，即122sin sin6c P F F c π=∠，解得12in 1s P F F =∠，又()120,F PF π∠∈，12F PF ∠=2π，故13F P c =，2PF 是线段1F M 的中垂线，故121223,2FM c MF F F c ===，结合椭圆定义122FM MF a +=，故22c a +=，即)1c a =，故离心率12c e a ===. 故选：B. 【点睛】求椭圆离心率（或取值范围）的常见方法：（1）直接法：由a ，c 直接计算离心率ce a=；（2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b a c =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.6．C解析：C 【分析】本题首先可根据双曲线和椭圆有相同的焦点得出3m n +=，然后将11m n+转化为123m n n m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，最后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为双曲线221x y m n-=和椭圆22174x y +=有相同的焦点，所以743m n ，则()111111233m n m n m n n m n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 142233m n n m，当且仅当m n =时取等号，故11m n+的最小值为43，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与椭圆焦点的相关性质的应用，双曲线有222+=a b c ，椭圆有222a b c =+，考查利用基本不等式求最值，是中档题.7．C解析：C 【分析】可设出直线方程与抛物线方程联立，得出12x x ，再由焦半径公式表示出3AF FB =，得到1232x x =+，结合这两个关系式可求解13x =【详解】已知焦点F 到准线的距离为2，得2p =，可得24y x =设()()1122,,,A x y B x y ，:1AB x my =+ 与抛物线方程24y x =联立可得：2440y my --=124y y ∴=-，()21212116y y x x ∴==①又3AF FB =，()12131x x ∴+=+，1232x x ∴=+② 根据①②解得13x = 点A 到y 轴的距离为3 故选：C 【点睛】抛物线中焦半径公式如下：抛物线()220y px p =>的焦点为F ，()11,A x y 为抛物线上的一点，则12pAF x =+，解题时可灵活运用，减少计算难度.8．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.9．B解析：B 【分析】当l ：0y =时，2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立可得：()222210my my +--=，然后求得AB 的中垂线方程，令0y = ，得21,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得||MF ，2||AB ，建立2||||FM AB 求解. 【详解】椭圆22:12x C y +=的左焦点为()1,0F -,当l ：0y =时，())(),,0,0A B M，1,FM AB ==所以2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得： ()222210my my +--=，由韦达定理得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，取AB 中点为222,22m D m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以AB 的中垂线方程为：2212:22DM m l x y m m m ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，令0y = ，得21,02M m ⎛⎫-⎪+⎝⎭，所以221||2m MF m +=+，又()()2222281||2m AB m +==+，所以2222||121111=1(,)||818184FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选：B. 【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为AB ===k 为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．10．B解析：B 【分析】令2MA MC =，则12MA MC=，所以12MAMC==，整理22222421333m n m n x y x y ++-+++=，得2m =-，0n =，点M 位于图中1M 、2M 的位置时，2MA MB MC MB +=+的值最小可得答案.【详解】设(),M x y ，令2MA MC =，则12MA MC=，由题知圆221x y +=是关于点A 、C 的阿波罗尼斯圆，且12λ=，设点(),C m n，则12MAMC==，整理得：22222421333m n m n x y x y ++-+++=，比较两方程可得：2403m +=，203n =，22113m n +-=，即2m =-，0n =，点()2,0C -，当点M 位于图中1M 、2M 的位置时，2MA MB MC MB +=+的值最小，最小为210.故选：B.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，圆上动点问题，考查两点间线段最短.11．C解析：C 【分析】运用双曲线的定义和△PF 1F 2为直角三角形，则|PF 2|2+|PF 1|2 =|F 1F 2|2，由离心率公式，计算即可得到离心率的范围．【详解】因为M 是1PF 的中点，O 为12F F 的中点，所以OM 为三角形F 1PF 2的中位线. 因为1OM PF ⊥，所以21PF PF ⊥.又因为212PF PF a -=，122PF PF =，122F F c =，所以122,4PF a PF a ==.在△F 1PF 2中，21PF PF ⊥，所以2221212PF PF F F +=，代入得()()()222242a a c +=，所以225c a =，即5e =故选C. 【点睛】本题考查了平面几何知识在圆锥曲线中的基本应用，根据边长关系求得离心率，属于基础题.根据各个边长关系，判断出21PF PF ⊥，再根据勾股定理求出离心率.12．C解析：C【解析】双曲线2214x y -=中，222224,1,5,a b c a b e ==∴=+=∴== 本题选择C 选项.二、填空题13．【分析】由题意得解方程即可求解【详解】由题意得由题得∴整理得即∴即故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法考查了直线与双曲线的简单几何性质属于中档题【分析】由题意得FA b =，3FB b =，OA a =，tan tan b BOF AOF a∠=∠=，4tan tan 2bBOA BOF a∠=∠=，解方程即可求解. 【详解】由题意得FA b =，3FB b =，OA a =，由题得tan tan b BOF AOF a∠=∠=， ∴24tan tan 21()b b ba a BOA BOFb a a+∠==∠=-，整理得222a b =，即2222()a c a =-， ∴2232a c =，232e =，即e =．【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法，考查了直线与双曲线的简单几何性质，属于中档题.14．【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为的直角三角形由此可求得椭圆离心率【详解】设圆柱形杯子的底面半径为画示意图如图所示：则是椭圆的长半轴长是椭圆的短半轴长则又则故答案解析：12【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为30的直角三角形，由此可求得椭圆离心率. 【详解】设圆柱形杯子的底面半径为b ，画示意图如图所示：则OC 是椭圆的长半轴长，OB 是椭圆的短半轴长，则22BC a b c =-=，又30COB α∠==︒，则1sin 2c e a α===. 故答案为：12【点睛】本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题.15．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得3a b 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，则(0312x ⨯=-，解得023x =，则200143x y ==，所以，点M 的坐标为2313⎫⎪⎪⎝⎭，抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为13y x =-+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<，当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==，因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】设得到代入曲线整理得到答案【详解】设则即代入曲线得到即故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生的计算能力和转化能力确定坐标的关系是解题的关键解析：24y x =【分析】设(),N x y ，()00,P x y ，得到00221x xy y =⎧⎨=+⎩，代入曲线整理得到答案.【详解】设(),N x y ，()00,P x y ，则00212x x y y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，即00221x x y y =⎧⎨=+⎩，代入曲线得到()221221y x +=⋅+，即24y x =.故答案为：24y x =. 【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定,N P 坐标的关系是解题的关键.17．【分析】设动圆的圆心为半径为R 根据动圆与圆外切与圆内切得到两式相加得到再根据椭圆的定义求解【详解】设动圆的圆心为半径为R 因为动圆与圆外切与圆内切所以所以所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆所以所以动圆解析：2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，所以121,9QQ R QQ R =+=-，所以1212106QQ QQ QQ +=>=，所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆，所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=，故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】先求出准线方程为代入双曲线方程可得AB 的坐标再由为直角三角形设中点为则即进而求解【详解】由题可知准线方程为因为与双曲线相交于AB 则为为因为为直角三角形由双曲线的对称性可得设中点为则即解得即所解析：1y =-【分析】先求出准线方程为2py =-,代入双曲线方程可得A ,B 的坐标,再由ABF ∆为直角三角形,设AB 中点为C ,则CE AC =,即p =进而求解.【详解】由题可知准线方程为2p y =-, 因为与双曲线2212x y -=相交于A ,B ,则A为2p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,B为2p ⎫-⎪⎪⎭, 因为ABF ∆为直角三角形,由双曲线的对称性可得90AFB ∠=︒,设AB 中点为C ,则CE AC =,即p =解得24p =,即2p =, 所以准线方程为1y =-, 故答案为:1y =- 【点睛】本题考查抛物线的几何性质,考查双曲线的方程的应用,考查运算能力.19．【分析】对各内角为直角进行分类讨论利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求得和利用三角形的面积公式可得出结果【详解】在椭圆中则（1）若为直角则该方程组无解不合乎题意；（2）若为直角则解得；（3）若为直角解析：32【分析】对12MF F ∆各内角为直角进行分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组，求得1MF 和2MF ，利用三角形的面积公式可得出结果.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =1c =，则122FF =.（1）若12F MF ∠为直角，则()12222122424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意；（2）若12MF F ∠为直角，则()12222212424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨-==⎪⎩，解得123252MF MF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 12121113322222MF F S F F MF ∆∴=⋅=⨯⨯=；（3）若12MF F ∠为直角，同理可求得1232MF F S ∆=. 综上所述，1232MF F S ∆=.故答案为：32. 【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】由题意结合渐近线的性质可得则把点坐标代入双曲线方程可得化简即可得解【详解】点在第一象限且在双曲线渐近线上又直线的斜率为又点是线段的中点又在双曲线上化简得因为故解得故答案为：【点睛】本题考查了1【分析】由题意结合渐近线的性质可得(,)P a b ，则,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭，把Q 点坐标代入双曲线方程可得222222()44a cb b a a b -⋅-⋅=，化简即可得解. 【详解】12F PF 2π∠=，点P 在第一象限且在双曲线渐近线上，∴121||2OP F F c ==，又直线OP 的斜率为ba，∴(,)P a b ，又 1(,0)F c -，点Q 是线段1PF 的中点，∴,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭，又 ,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上， ∴222222()44a cb b a a b -⋅-⋅=，化简得222222()5420b ac a b a ac c ⋅-=⇒--+=， ∴2240e e --=，因为1e >，故解得1e =1. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ）方程为24y x =，准线为1x =-；（Ⅱ）2,,22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（Ⅰ）由椭圆方程可得其右焦点为()1,0，即可求出p ，得出抛物线方程和准线；（Ⅱ）设直线BD 的方程为y kx m =+，联立直线与抛物线方程，可得1km <，表示出BD 中点M ，由题可得PM BD ⊥，由1PM k k=-建立关系可求. 【详解】（Ⅰ）由椭圆方程可得其右焦点为()1,0，抛物线与椭圆右焦点重合，12p∴=，即2p =，故抛物线C 的方程为24y x =，准线为1x =-；（Ⅱ）设直线BD 的方程为y kx m =+，联立直线与抛物线方程24y kx m y x=+⎧⎨=⎩，可得()222240k x km x m +-+=，则()2222440km k m ∆=-->，可得1km <，设()()1122,,,B x y D x y ，212122242,km m x x x x k k-∴+==，设BD 中点为()00,M x y ，则120222x x km x k +-==，002y kx m k=+=，PBD △为以P 为顶点的等腰三角形，则PM BD ⊥，则222212244PMk k k km km k k k -===-----，整理可得222km k =-， 1km <，则2221k -<，解得k <或k >，故直线BD的斜率的取值范围为2,,22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.22．（1）7；（2）7. 【分析】（1）求出椭圆的左焦点1(1,0)F -，根据点斜率式可得AB 的方程，直线方程与椭圆方程消去y ，利用根与系数的关系，根据弦长公式即可算出弦AB 的长；（2）利用点到直线的距离公式求出三角形的高，结合（1）的结论，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】椭圆方程为2212x y +=，∴焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，直线AB 过左焦点1F 倾斜角为60︒，∴直线AB 的方程为1)y x =+，将AB 方程与椭圆方程消去y ，得271240x x ++= 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得12127x x +=-，1247x x =12||x x ∴-=因此，12||||AB x x =-=． (2）2F （1，0)到直线AB 的距离为：d ==212ABF SAB d == 【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用12l y y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.23．（1）22142x y +=；（2）(OMN S ∈△. 【分析】（1）由点()1,1B -在O 上可得22b =，然后由OB AB ⊥可求出a ；（2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时利用弦长公式表示出MN 并求出其范围即可. 【详解】（1）由直线AB 与O 相切于点()1,1B -，可知点()1,1B -在O 上，则22b =，又点(),0A a -，且OB AB ⊥，则10101101a--⨯=----+，解得2a =，故所求椭圆方程为22142x y +=．（2）若切线斜率存在，设切线为0kx y m -+=，其中0k ≠，切线l 与椭圆C 交点()11,M x y ，()22,N x y ，则圆心到直线l的距离d ==()2221m k ∴=+，联立方程220142kx y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()222214240k x kmx m +++-=，则122421km x x k -+=+，21222421-=+m x x k()0,2MN ====，当切线斜率不存在时，此时2MN =，故O 的切线l 与椭圆C 相交弦长取值范围为(]0,2，又12OMN S d MN =⋅⋅=△，可得(OMN S ∈△．【点睛】关键点睛：在解决圆锥曲线中的面积问题时，要善于观察图形的特点，怎么表示出面积是解题的关键.24．（1）min ||2PA =；max ||5PA =；（2）m =. 【分析】（1）设(,)P x y ，利用两点间的距离公式，将问题转化为二次函数求最值.（2）根据图形可知，当直线l 平移与椭圆第一次相切时，切点P 到直线l 的距离最小，则问题转化为椭圆的切线问题，设与l 平行的直线方程为y x t =+，将直线与椭圆方程联立，则0∆=，可得t =，根据图形观察可知，当t =时，直线l 与其平行线距离最小，根据最小值即可求解. 【详解】解：（1）3m =，椭圆方程为2219x y +=，设(,)P x y ，则22222||(2)(2)19x PA x y x =-+=-+-2891(33)942x x ⎛⎫=-+-≤≤ ⎪⎝⎭， ∴94x =时min 22PA =； 3x =-时max 5PA =．（2）根据图形可知，当直线l 平移与椭圆第一次相切时，切点P 到直线l 的距离最小，则问题转化为椭圆的切线问题．设与l 平行的直线方程为y x t =+，显然5t ≥-．联立方程y x t =+和22220x m y m +-= 得：()222222120mxm tx m t m +++-=，由()()4222224410m t mm tm ∆=-+-=，得：22222210m t t m t m -+-+=，即221t m =+，所以21t m =±+．根据图形观察可知，当21t m =-+时，直线l 与其平行线距离最小．25122m -++=5t ≥-． 215m +≤，所以2512m +=， 213m +=，因此28m =，故22m =±22m =．【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出21t m =±+5t ≥-，考查了计算求解能力.25．（1）24y x =；（2）2. 【分析】（1）根据抛物线的准线求出p ，即可得出抛物线方程；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，与抛物线联立可得24480ky y k -+-=，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解MF NF ⋅的值．【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-，所以12p=，则2p =，因此抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，由()2412y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩得24480ky y k -+-=，则124y y k+=，1284y y k =-.因为点A ，B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =，则1121112241214PA y y k y x y --===-+-，2222412PBy k x y -==-+. 因为PF x ⊥轴，所以()()122244PAPBPA PB y y PF PF MF NF k k k k ++⋅=⋅==⋅()1212884424244y y y y k k-+++++===，所以MF NF ⋅的值为2. 【点睛】思路点睛：求解抛物线中的定值问题时，一般需要联立直线与抛物线方程，结合题中条件，以及韦达定理来求解；求解时，一般用韦达定理设而不求来处理.26．（1）2212x y +=；（2）直线AM 与直线BN 的交点P 落在定直线2x =上.【分析】（1）根据题中条件，求出,a b ，即可得出椭圆方程；（2）设直线MN 方程为1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得到12y y +，12y y ，表示出直线AM 和BN 的方程，联立两直线方程，计算为定值，即可得出结果. 【详解】（1）2AB =2a ∴=a =设焦距为2c ，离心率e =2c a ∴=，1c ∴=， 2221b a c ∴=-=因此所求的椭圆方程为2212x y +=（2）设直线MN 方程为1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222210m y my ++-=， 12222m y y m ∴+=-+，12212y y m =-+，直线AM方程是y x =+，直线BN方程是y x =，由y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，212112211y x y my my y y ++++===212211212(1122221(12m m y m m m y m m m y m ⎛⎫⎛⎫-+--⎡⎤ ⎪ ⎪-++--+++⎝⎭⎝⎭==⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭21312mm y -+-++=((()(()()()21213121121m m y m m y ⎡⎤-+-+++⎣⎦=⎡⎤-+++⎣⎦((()(213121m m y ⎡⎤-+-+++=()221121m m y⎡⎤--++=(213==+3=+2x = 此直线AM 与直线BN 的交点P 落在定直线2x =上.【点睛】关键点点睛：求解本题第二问的关键在于根据点P 为两直线交点，联立两直线方程，结合直线MN 与椭P 横坐标为定值，即可求解.。

人教版高中数学选择性必修第一册-第3章-圆锥曲线的方程单元测试卷(含解析)

第3章圆锥曲线的方程单元测试卷（原卷版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( )A ．4 B ．－4C ．－14D.142．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的标准方程为( )A.x 23＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 28＝1D.y 29＋x 28＝13．直线l ：y ＝k (x －2)与双曲线x 2－y 2＝1仅有一个公共点，则实数k 的值为( )A ．1 B ．－1C ．1或－1 D ．1或－1或04．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为( )A.52 B.5C.52D ．55．设a ，b ∈R ，a ≠b 且ab ≠0，则方程bx －y ＋a ＝0和方程ax 2－by 2＝ab 在同一坐标系下的图象可能是( )6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2 B ．4C ．6 D ．87.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 的延长线与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |＝1，则双曲线的离心率是( )A ．3 B ．2C.3 D.28．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1，3) B ．(1，4)C ．(2，3) D ．(2，4)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知点F (1，0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为( )A ．y 2＝4x B ．x 2＝4yC.x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)D.x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)10．已知A ，B 为圆锥曲线E 的焦点，点C 在E 上，若△ABC 为等腰直角三角形，则E 的离心率可能为( )A.2－1B.22C.2D.2＋111．已知P 是椭圆E ：x 28＋y 24＝1上一点，F 1，F 2为其左、右焦点，且△F 1PF 2的面积为3，则下列说法正确的是( )A ．P 点纵坐标为3B ．∠F 1PF 2>π2C ．△F 1PF 2的周长为4(2＋1)D ．△F 1PF 2的内切圆半径为32(2－1)12．已知A ，B 两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是( )A ．当m ＝－1时，点P 的轨迹为圆(除去与x 轴的交点)B ．当－1<m <0时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)C ．当0<m <1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线(除去与x 轴的交点)D ．当m >1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的交点)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a ∈{－2，0，1，3}，b ∈{1，2}，则曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆的概率是________．14．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p ＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．(本题第一空2分，第二空3分)15．在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个(填出所有可能情况)．16．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知Q 点是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)上异于两顶点的一动点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点．从F 2向∠F 1QF 2的平分线作垂线F 2P ，垂足为P ，求P 点的轨迹方程．18．(12分)已知点P 到F 1(0，3)，F 2(0，－3)的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与轨迹C 交于A ，B 两点．(1)求轨迹C 的方程；(2)若|AB |＝825，求k .19．(12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝10，求m 的值；(2)若OA ⊥OB ，求m 的值．20．(12分)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t >0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．21．(12分)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M (－2，0)，离心率为22.(1)求椭圆Γ的方程；(2)过N (1，0)的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点；当MA → ·MB →取得最大值时，求△MAB 的面积．22．(12分)已知曲线C 上任意一点S (x ，y )都满足到直线l ′：x ＝2的距离是它到点T (1，0)2倍．(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与x 轴正半轴交于点A 2，不垂直于x 轴的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点(异于点A 2)．若以AB 为直径的圆经过点A 2，试问直线l 是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．1．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.(14，94)B.(23，1)C.(12，23)D.(0，12)2．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －a B.12(m －a )C ．m 2－a 2D.m －a3．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233C ．3D ．24．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝15．【多选题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P ，Q 的坐标分别为(0，b )，(0，－b )，且四边形A 1PA 2Q 的面积为22，四边形A 1PA 2Q 的内切圆的周长为263π，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C.x 24－y 22＝1 D.x 22－y 24＝16．【多选题】我们通常称离心率是5－12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A 1，A 2，B 1，B 2分别为其左、右、上、下顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的是( )A ．|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2B ．∠F 1B 1A 2＝90°C ．PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1D ．四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 27．【多选题】已知方程mx 2＋ny 2＝1，其中m 2＋n 2≠0，则( )A ．mn >0时，方程表示椭圆B ．mn <0时，方程表示双曲线C ．n ＝0时，方程表示抛物线D ．n >m >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆8.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a＝________．9．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．10．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．11.如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．12．已知抛物线y 2＝－4x 的焦点为F ，其准线与x 轴交于点M ，过M 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中点为P ，AB 的垂直平分线与x 轴交于E (x 0，0)．(1)求k 的取值范围；(2)求证：x 0<－3.13．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC → ·DB → ＋AD → ·CB →＝8，求k 的值．14．已知抛物线C 的顶点在原点O ，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点重合．(1)求抛物线C 的方程；(2)在抛物线C 的对称轴上是否存在定点M ，使过点M 的动直线与抛物线C 相交于P ，Q 两点时，有∠POQ ＝π2.若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为其长、短轴的一个端点，F 1，F 2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且AB → 与OM→是共线向量．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围．第3章圆锥曲线的方程单元测试卷（解析版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( )A ．4 B ．－4C ．－14D.14答案　C2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的标准方程为( )A.x 23＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 28＝1D.y 29＋x 28＝1答案　C解析　因为△AF 1B 的周长为12，所以4a ＝12，所以a ＝3.又c a ＝13，所以c ＝1，b 2＝8，所以C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.3．直线l ：y ＝k (x －2)与双曲线x 2－y 2＝1仅有一个公共点，则实数k 的值为( )A ．1 B ．－1C ．1或－1 D ．1或－1或0答案　C解析　由题意可知直线l 恒过点(2，0)，即双曲线的右焦点，双曲线的渐近线方程为y ＝±x .要使直线l 与双曲线只有一个公共点，则该直线与渐近线平行，所以k ＝±1.故选C.4．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为( )A.52 B.5C.52D ．5答案　B解析　由已知可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．∴±a b ＝±12，∴b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2.∴c 2＝5a 2，∴c 2a 2＝5，∴e ＝c a＝5.5．设a ，b ∈R ，a ≠b 且ab ≠0，则方程bx －y ＋a ＝0和方程ax 2－by 2＝ab 在同一坐标系下的图象可能是( )答案　B解析　方程ax 2－by 2＝ab变形为x 2b －y 2a ＝1，直线bx －y ＋a ＝0，即y ＝bx ＋a 的斜率为b ，纵截距为a .当a >0，b >0时，x 2b －y 2a＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，此时直线的斜率b >0，纵截距a >0，故C 错误；当a <0，b <0时，x 2b －y 2a＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，此时直线的斜率b <0，纵截距a <0，故D 错误；当a <0，b >0，且－a ≠b 时，x 2b －y 2a＝1表示椭圆，此时直线的斜率b >0，纵截距a <0，故A 错误．故选B.6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2 B ．4C ．6 D ．8答案　B解析　由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)．由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A (4p ，22)，D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4.故选B.7.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 的延长线与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |＝1，则双曲线的离心率是( )A ．3 B ．2C.3 D.2答案　B解析　如图，记AF1，AF 2与△APF 1的内切圆分别相切于点N ，M ，则|AN |＝|AM |，|PM |＝|PQ |，|NF 1|＝|QF 1|，又因为|AF 1|＝|AF 2|，则|NF 1|＝|AF 1|－|AN |＝|AF 2|－|AM |＝|MF 2|，因此|QF 1|＝|MF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝(|PQ |＋|QF 1|)－(|MF 2|－|PM |)＝|PQ |＋|PM |＝2|PQ |＝2，即2a ＝2，则a ＝1.由|F 1F 2|＝4＝2c ，得c ＝2，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2.故选B.8．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1，3) B ．(1，4)C ．(2，3) D ．(2，4)答案　D解析　如图，显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题意，当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，M (x 0，y 0)，则{y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．由于x 1≠x 2，所以y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x2＝2⇒ky 0＝2.①圆心为C (5，0)，由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1⇒ky 0＝5－x 0.②由①②解得x 0＝3，即点M 必在直线x ＝3上，将x 0＝3代入y 2＝4x ，得y 02＝12⇒－23<y 0<23，因为点M 在圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)上，所以(x 0－5)2＋y 02＝r 2(r >0)，r 2＝y 02＋4<12＋4＝16.因为斜率存在，所以y 0≠0，所以4<y 02＋4<16⇒2<r <4.故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知点F (1，0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为( )A ．y 2＝4x B ．x 2＝4yC.x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)D.x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)答案　AD解析　对于A ，y 2＝4x ，抛物线的焦点为F (1，0)，满足；对于B ，x 2＝4y ，抛物线的焦点为F (0，1)，不满足；对于C ，x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)，焦点为(±cos 2θ－sin 2θ，0)或(0，±sin 2θ－cos 2θ)或曲线表示圆不存在焦点，均不满足；对于D ，x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)，双曲线的右焦点为F (1，0)，满足．10．已知A ，B 为圆锥曲线E 的焦点，点C 在E 上，若△ABC 为等腰直角三角形，则E 的离心率可能为( )A.2－1 B.22C.2D.2＋1答案　ABD解析　若圆锥曲线E 为椭圆，不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设椭圆的离心率为e .因为△ABC 为等腰直角三角形，所以当AB 为斜边时，可以得到b ＝c ＝22a ，则e ＝c a ＝22；当AB 为直角边时，不妨令|AC |＝|AB |＝2c ，所以22c ＋2c ＝2a ，所以e ＝ca＝2－1.若圆锥曲线E 为双曲线，不妨设双曲线方程为x 2a ′2－y 2b ′2＝1(a ′>0，b ′>0)，设双曲线的离心率为e ′.因为△ABC 为等腰直角三角形，所以AB 只能为直角边，不妨令AC ⊥AB ，则|AC |＝|AB |＝2c ，可以得到22c ′＝2a ′＋2c ′，则e ′＝c ′a ′＝2＋1.故选ABD.11．已知P 是椭圆E ：x 28＋y 24＝1上一点，F 1，F 2为其左、右焦点，且△F 1PF 2的面积为3，则下列说法正确的是( )A ．P 点纵坐标为3B ．∠F 1PF 2>π2C ．△F 1PF 2的周长为4(2＋1)D ．△F 1PF 2的内切圆半径为32(2－1)答案　CD解析　设点P 的坐标为(x ，y )，由椭圆E ：x 28＋y 24＝1，可知a 2＝8，b 2＝4，所以c 2＝a 2－b 2＝4，所以c ＝2，F 1(－2，0)，F 2(2，0)．因为△F 1PF 2的面积为3，所以12×2c ×|y |＝12×4×|y |＝3，得到y ＝±32，A 说法错误；将y ＝±32代入椭圆E 的方程，得到x 28＋916＝1，解得x ＝±142，不妨取P (142，32)，因为PF 1→ ·PF 2→＝(－2－142，－32)·(2－142，－32)＝144－4＋94>0，所以∠F 1PF 2为锐角，B 说法错误；因为a ＝22，所以|PF 1|＋|PF 2|＝42，所以△F 1PF 2的周长为4＋42＝4(2＋1)，C 说法正确；设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，因为△F 1PF 2的面积为3，所以12×r ×4(2＋1)＝3，解得r ＝32(2－1)，D 说法正确．故选CD.12．已知A ，B 两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是( )A ．当m ＝－1时，点P 的轨迹为圆(除去与x 轴的交点)B ．当－1<m <0时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)C ．当0<m <1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线(除去与x 轴的交点)D ．当m >1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的交点)答案　ABD解析　设点P 的坐标为(x ，y )(x ≠±1)，则直线AP 的斜率为k AP ＝y x ＋1，直线BP 的斜率为k BP＝y x －1.因为k AP ·k BP ＝m ，所以yx ＋1·yx －1＝m (x ≠±1)，化简得到点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－m＝1(x ≠±1)，所以正确结论有A 、B 、D.故选ABD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a ∈{－2，0，1，3}，b ∈{1，2}，则曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆的概率是________．答案　38解析　由题意，得(a ，b )共有8种不同情况，其中满足“曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆”的有(1，2)，(3，1)，(3，2)，共3种情况，由古典概型的概率公式，得所求概率P ＝38.14．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p ＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．(本题第一空2分，第二空3分)答案　2　255解析　抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p2，双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线方程分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p ，三角形的高为p 2，因此12×2p×p2＝2，解得p ＝2.则抛物线焦点坐标为(1，0)，且到直线y ＝2x 和y ＝－2x 的距离相等，均为|2－0|5＝255.15．在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个(填出所有可能情况)．答案　0或2或4解析　设该点为P (x ，y )，椭圆的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c ＞0)，则|PF 1|＝（x ＋c ）2＋y 2＝（x ＋c ）2＋b 2(1－x 2a 2)＝a ＋ex ，|PF 2|＝a －ex .|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|＝2a 2＋2c 2a2x 2＝4c 2.∴x 2＝2a 2－a 4c 2＝a 2（2c 2－a 2）c 2≥0.∴当a 2＞2c 2时，该点不存在；当a 2≤2c 2时，该点存在，且当a 2＝2c 2时这样的点有2个，当c 2<a 2<2c 2时有4个．16．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案　52解析　利用渐近线与直线方程求出交点A ，B 的坐标，进而得出中点C 的坐标；由|PA |＝|PB |可知，PC 与直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)垂直，利用斜率关系求出a ，b 的关系式．双曲线x 2a2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax .由{y ＝bax ，x －3y ＋m ＝0，得A(am 3b －a ，bm3b －a).由{y ＝－bax ，x －3y ＋m ＝0，得B (－am a ＋3b ，bma ＋3b).所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2).设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为|PA |＝|PB |，所以PC ⊥l .所以k PC ＝－3，即3b 2m 9b 2－a 2a 2m9b 2－a 2－m＝－3，化简得a 2＝4b 2.在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a＝52.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知Q 点是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)上异于两顶点的一动点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点．从F 2向∠F 1QF 2的平分线作垂线F 2P ，垂足为P ，求P 点的轨迹方程．解析　如图，延长F 2P 交F 1Q 于点A ，连接OP ，则由角平分线的性质，知|AQ |＝|F 2Q |.由三角形中位线性质，知|OP |＝12|F 1A |.∴|OP |＝12(|QF 1|－|QA |)＝12(|QF 1|－|QF 2|)．若点Q 在双曲线的左支上时，|OP |＝12(|QF 2|－|QF 1|)，　即|OP |＝12×2a ＝a ，∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(y ≠0)．18．(12分)已知点P 到F 1(0，3)，F 2(0，－3)的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与轨迹C 交于A ，B 两点．(1)求轨迹C 的方程；(2)若|AB |＝825，求k .解析　(1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，即a ＝2，c ＝3，b ＝22－（3）2＝1，故轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立{x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)＝16(k 2＋3)>0，且x 1＋x 2＝－2kk 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.则(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16（k 2＋3）（k 2＋4）2，所以|AB |2＝(1＋k )2(x 1－x 2)2＝(1＋k )2·16（k 2＋3）（k 2＋4）2＝12825，整理得(17k 2＋53)(k 2－1)＝0，解得k 2＝1，所以k ＝±1.19．(12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝10，求m 的值；(2)若OA ⊥OB ，求m 的值．解析　设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)由{y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0，∴{Δ＝（2m －8）2－4m 2>0，x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2.由|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10.得m ＝716(m ＜2)．(2)∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝0.∴2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.∴2m 2＋m (8－2m )＋m 2＝0.∴m 2＋8m ＝0，m ＝0或m ＝－8.经检验得m ＝－8.20．(12分)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t >0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．解析　(1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )，由{y ＝k （x －t ），y ＝14x 2，消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切，令Δ＝0，得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知点B ，O 关于直线PD 对称，故{y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得{x 0＝2t 1＋t 2，y 0＝2t 21＋t 2.因此，点B 的坐标为(2t 1＋t 2，2t 21＋t 2).(2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t 2，直线PA 的方程为tx －y －t 2＝0.点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t 2.设△PAB 的面积为S ，所以S ＝12|AP |·d ＝t 32.21．(12分)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M (－2，0)，离心率为22.(1)求椭圆Γ的方程；(2)过N (1，0)的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点；当MA → ·MB →取得最大值时，求△MAB 的面积．解析　(1)由已知a ＝2，ca ＝22，得c ＝2，∴a 2－b 2＝2，即4－b 2＝2，∴b 2＝2，∴椭圆Γ的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 与x 轴重合时，MA → ·MB →＝0.当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1＋2，y 1)，MB →＝(x 2＋2，y 2)．由{x ＝ty ＋1，x 24＋y 22＝1，得(t 2＋2)y 2＋2ty －3＝0.显然Δ>0，∴y 1＋y 2＝－2t t 2＋2，y 1y 2＝－3t 2＋2.∴MA → ·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＋y 1y 2＝(t 2＋1)y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＝(t 2＋1)·－3t 2＋2＋3t ·－2tt 2＋2＋9＝－3－3t 2－6t 2t 2＋2＋9＝－9t 2－3t 2＋2＋9＝15t 2＋2≤152，∴MA → ·MB →的最大值为152.此时t ＝0，直线AB 的方程为x ＝1.综上可知MA → ·MB →的最大值为152.联立{x ＝1，x 24＋y 22＝1，解得{x ＝1，y ＝62或{x ＝1，y ＝－62，不妨令A (1，62)，B (1，－62)，∴|AB |＝6，又|MN |＝3，∴S △MAB ＝12|MN |·|AB |＝12×3×6＝362.22．(12分)已知曲线C 上任意一点S (x ，y )都满足到直线l ′：x ＝2的距离是它到点T (1，0)2倍．(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与x 轴正半轴交于点A 2，不垂直于x 轴的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点(异于点A 2)．若以AB 为直径的圆经过点A 2，试问直线l 是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．解析　(1)∵曲线C 上任意一点S (x ，y )都满足到直线l ′：x ＝2的距离是它到点T (1，0)的距离的2倍，∴|x －2|＝2·（x －1）2＋y 2，化简，得x 22＋y 2＝1，即曲线C 是椭圆，其方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由{y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4mkx ＋2m 2－2＝0，∴Δ＝(4mk )2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)>0，即2k 2＋1>m 2，x 1＋x 2＝－4mk 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.∵y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m ，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2·2m 2－21＋2k 2＋mk ·－4mk1＋2k 2＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2.∵点A 2(2，0)在以AB 为直径的圆上，∴AA 2⊥BA 2，即AA 2→ ·B A 2→＝0.又AA 2→ ＝(2－x 1，－y 1)，BA 2→＝(2－x 2，－y 2)，∴(2－x 1，－y 1)·(2－x 2，－y 2)＝0，即(2－x 1)(2－x 2)＋y 1y 2＝2－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴2＋2·4mk1＋2k 2＋2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝0，化简得2k 2＋42mk ＋3m 2＝0，即(2k ＋m )(2k ＋3m )＝0，∴2k ＋m ＝0或2k ＋3m ＝0.当2k ＋m ＝0时，直线l ：y ＝k (x －2)过定点(2，0)，即过点A 2(2，0)，不满足题意；当2k ＋3m ＝0时，直线l 的方程可化为y ＝k (x －23)，过定点(23，0).综上，直线l 过定点(23，0).1．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.(14，94)B.(23，1)C.(12，23)D.(0，12)答案　C解析　由题意知B (c ，b 2a )，∴k ＝b 2ac ＋a ＝a －c a＝1－e ，∴13<1－e <12，∴12<e <23.故选C.2．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －a B.12(m －a )C ．m 2－a 2D.m －a答案　A解析　不妨取P 在双曲线的右支上，则{|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，解得|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a .∴|PF 1|·|PF 2|＝(m ＋a )(m －a )＝m －a .3．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433 B.233C ．3 D ．2答案　A解析　利用椭圆、双曲线的定义和几何性质求解．设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 12＋r 22－2r 1r 2cosπ3，得4c 2＝r 12＋r 22－r 1r 2.由{r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，得{r 1＝a 1＋a 2，r 2＝a 1－a 2.∴1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c＝r 1c .令m ＝r 12c 2＝4r 12r 12＋r 22－r 1r2＝41＋(r 2r 1)2－r2r 1＝4(r 2r 1－12)2 ＋34，当r 2r 1＝12时，m max ＝163，∴(r 1c )max ＝433.即1e 1＋1e 2的最大值为433.4．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1答案　D解析　根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b 4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1.故选D.5．【多选题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P ，Q 的坐标分别为(0，b )，(0，－b )，且四边形A 1PA 2Q 的面积为22，四边形A 1PA 2Q 的内切圆的周长为263π，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C.x 24－y 22＝1D.x 22－y 24＝1答案　AB解析　因为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P (0，b )，Q (0，－b )，所以|A 1A 2|＝2a ，|PQ |＝2b ，所以|A 1P |＝|A 2Q |＝|A 1Q |＝|A 2P |＝a 2＋b 2＝c .又四边形A 1PA 2Q 的面积为22，所以4×12ab ＝22，即ab＝2.记四边形A 1PA 2Q 的内切圆的半径为r ，则2πr ＝263π，解得r ＝63，所以2cr ＝22，所以c ＝3.又c 2＝a 2＋b 2＝3，所以{a ＝2，b ＝1或{a ＝1，b ＝2，所以双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1或x 2－y 22＝1.故选AB.6．【多选题】我们通常称离心率是5－12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A 1，A 2，B 1，B 2分别为其左、右、上、下顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的是( )A ．|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2B ．∠F 1B 1A 2＝90°C ．PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1D ．四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2答案　BD解析　∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．对于A ，若|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2，则(a －c )2＝(2c )2，∴a －c ＝2c ，∴e ＝13，不符合题意，故A 错误；对于B ，若∠F 1B 1A 2＝90°，则|A 2F 1|2＝|B 1F 1|2＋|B 1A 2|2，∴(a ＋c )2＝a 2＋a 2＋b 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍去)，符合题意，故B 正确；对于C ，若PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1，则P (－c ，b 2a)，∵k PO ＝kA 2B 1，∴b 2a－c ＝b－a ，解得b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴e ＝c a ＝c 2c ＝22，不符合题意，故C 错误；对于D ，若四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2，即四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆的半径为c ，则由菱形面积公式可得ab ＝c a 2＋b 2，∴c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋52(舍去)或e 2＝3－52，∴e ＝5－12，故D 正确．故选BD.7．【多选题】已知方程mx 2＋ny 2＝1，其中m 2＋n 2≠0，则( )A ．mn >0时，方程表示椭圆B ．mn <0时，方程表示双曲线C ．n ＝0时，方程表示抛物线D ．n >m >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆答案　BD解析　mx 2＋ny 2＝1表示椭圆的充要条件是m >0，n >0，A 不正确；mx 2＋ny 2＝1表示双曲线的充要条件是mn <0，B 正确；当n ＝0时，mx 2＝1不表示抛物线，C 不正确；mx 2＋ny 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的充要条件是n >m >0，D 正确．故选BD.8.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________．答案　2＋1思路分析　根据正方形的边长及O 为AD 的中点，求出点C ，F 的坐标，将两点坐标代入抛物线方程列式求解．解析　∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点，∴C (a2，－a )，F (a2＋b ，b ).又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，∴{a 2＝pa ，b 2＝2p (a 2＋b )，解得ba＝2＋1.9．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案　x 2＋32y 2＝1思路分析　根据题意，求出点B 的坐标代入椭圆方程求解．解析　设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b 2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→ ＝3F 1B →.∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)．∴x 0＝－51－b 23，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为(－51－b 23，－b 23).将B (－51－b 23，－b 23)代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.10．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．答案　±1解析　设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由{y 2＝4x ，y ＝k （x ＋1），得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0.∴x 1＋x 2＝－2（k 2－2）k 2.∴x 1＋x 22＝－k 2－2k 2＝－1＋2k 2，y 1＋y 22＝2k ，即Q (－1＋2k 2，2k).又|FQ |＝2，F (1，0)，∴(－1＋2k 2－1)2 ＋(2k)2＝4，解得k ＝±1.11.如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解析　方法一：根据题图设焦点坐标为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 是椭圆上一点，依题意设M点坐标为(c ，23b ).在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.方法二：设M (c ，23b )，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.12．已知抛物线y 2＝－4x 的焦点为F ，其准线与x 轴交于点M ，过M 作斜率为k 的直线l与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中点为P ，AB 的垂直平分线与x 轴交于E (x 0，0)．(1)求k 的取值范围；(2)求证：x 0<－3.解析　(1)由y 2＝－4x ，可得准线x ＝1，从而M (1，0)．设l 的方程为y ＝k (x －1)，联立{y ＝k （x －1），y 2＝－4x ，得k 2x 2－2(k 2－2)x ＋k 2＝0.∵A ，B 存在，∴Δ＝4(k 2－2)2－4k 4>0，∴－1<k <1.又k ≠0，∴k ∈(－1，0)∪(0，1)．(2)证明：设P (x 3，y 3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，可得x 3＝x 1＋x 22＝k 2－2k 2，y 3＝k(x 1＋x 22－1)＝－2kk2＝－2k.即直线PE 的方程为y ＋2k ＝－1k (x －k 2－2k 2).令y ＝0，x 0＝－2k2－1.∵k 2∈(0，1)，∴x 0<－3.13．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC → ·DB → ＋AD → ·CB →＝8，求k 的值．解析　(1)设F (－c ，0)，由ca＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3.于是26b 3＝433，解得b ＝2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组{y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC → ·DB → ＋AD → ·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.14．已知抛物线C 的顶点在原点O ，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点重合．(1)求抛物线C 的方程；(2)在抛物线C 的对称轴上是否存在定点M ，使过点M 的动直线与抛物线C 相交于P ，Q 两点时，有∠POQ ＝π2.若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析　(1)椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点为(4，0)，所以抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)设点M (a ，0)(a ≠0)满足题设，当PQ 的斜率存在时，PQ 的方程为y ＝k (x －a )，则联立{y 2＝16x ，y ＝k （x －a ）⇒k 2x 2－2(ak 2＋8)x ＋a 2k 2＝0，则x 1＋x 2＝2（ak 2＋8）k 2，x 1x 2＝a 2.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则由∠POQ ＝π2，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.从而x 1x 2＋k 2(x 1－a )(x 2－a )＝0⇒a 2－16a ＝0⇒a ＝16，若PQ 的方程为x ＝a ，代入抛物线方程得y ＝±4a ，当∠POQ ＝π2时，a ＝4a ，即a ＝16，所以存在满足条件的点M (16，0)．15.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为其长、短轴的一个端点，F 1，F 2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且AB → 与OM→是共线向量．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围．解析　(1)设M (x M ，y M )，∵F 1(－c ，0)，∴x M ＝－c ，y M ＝b 2a ，∴k OM ＝－b 2ac .由题意知k AB ＝－b a，∵OM → 与AB →是共线向量，∴－b 2ac ＝－ba，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝22.(2)设|F 1Q |＝r 1，|F 2Q |＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，则r 1＋r 2＝2a .又|F 1F 2|＝2c ，∴由余弦定理，得cos θ＝r 12＋r 22－4c 22r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2(r 1＋r 22)2－1＝0，当且仅当r 1＝r 2时等号成立，∴cos θ≥0，∴θ∈(0，π2]..。

高中数学选修2-1章末检测卷28：第二章圆锥曲线与方程

章末检测一、选择题1.抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A.1B.2C.4D.8 [答案] C[解析] 抛物线的焦点到准线的距离为p ＝4.2.已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( ) A.y ＝±5x B.y ＝±55xC.y ＝±3xD.y ＝±33x[答案] D[解析] ∵y 2＝8x 焦点是(2,0)，∴双曲线x 2a 2－y 2＝1的半焦距c ＝2，又虚半轴长b ＝1且a >0，所以a ＝22－12＝3，∴双曲线的渐近线方程是y ＝±33x .3.已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于P 点，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 2－y 28＝1(x >1) B.x 2－y 28＝1(x <－1) C.x 2＋y 28＝1(x >0) D.x 2－y 210＝1(x >1) [答案] A[解析] 设圆与直线PM ，PN 分别相切于E ，F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |. ∴|PM |－|PN |＝(|PE |＋|ME |)－(|PF |＋|NF |) ＝|MB |－|NB | ＝4－2＝2，所以点P 的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的右支，且a ＝1， ∴c ＝3，b 2＝8，所以双曲线方程是x 2－y 28＝1(x ＞1).4.抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( ) A.43B.75C.85D.3 [答案] A[解析] 设与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，与抛物线联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋c ＝0y ＝－x 2，消去y 得3x 2－4x －c ＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c )＝0，解得c ＝－43，则抛物线与直线4x ＋3y －8＝0平行的切线是4x ＋3y －43＝0，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d ＝|－43＋8|42＋32＝43，故选A. 5.设k <3，k ≠0，则二次曲线x 23－k －y 2k ＝1与x 25＋y 22＝1必有( )A.不同的顶点B.不同的准线C.相同的焦点D.相同的离心率[答案] C[解析] 当0<k <3时，则0<3－k <3，∴x 23－k －y 2k ＝1表示实轴为x 轴的双曲线，a 2＋b 2＝3＝c 2.∴两曲线有相同焦点；当k <0时，－k >0且3－k >－k ，∴x 23－k ＋y 2－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆. a 2＝3－k ，b 2＝－k . ∴a 2－b 2＝3＝c 2 与已知椭圆有相同焦点.6.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.1＋32D.1＋52[答案] D[解析] 不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则可令F (c,0)，B (0，b )，直线FB ：bx＋cy －bc ＝0与渐近线y ＝b a x 垂直，所以－b c ·ba ＝－1，即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，即e 2－e－1＝0，所以e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去).7.已知点A (0,2)，B (2,0).若点C 在抛物线x 2＝y 的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( ) A.4B.3C.2D.1 [答案] A[解析] 由已知可得|AB |＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点；当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点. 因此满足条件的C 点有4个，故应选A.8.已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( )A.233B.263 C.3D.2[答案] A[解析] 如图所示，双曲线的渐近线方程为：y ＝±2ax ，若∠AOB ＝π3，则θ＝π6，tan θ＝2a ＝33，∴a ＝6> 2. 又∵c ＝6＋2＝22，∴e ＝c a ＝226＝233.9.如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62[答案] D[解析] 设|AF 1|＝x ，|AF 2|＝y ，因为点A 为椭圆C 1：x 24＋y 2＝1上的点，所以2a ＝4，b ＝1，c ＝3；所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4，即x ＋y ＝4.① 又四边形AF 1BF 2为矩形，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即x 2＋y 2＝(2c )2＝(23)2＝12，②由①②得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4x 2＋y 2＝12，解得x ＝2－2，y ＝2＋2，设双曲线C 2的实轴长为2a ′，焦距为2c ′，则2a ′＝|AF 2|－|AF 1|＝y －x ＝22，2c ＝222－12＝23，所以双曲线C 2的离心率e ＝c ′a ′＝32＝62. 10.已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( ) A.316B.38C.233 D.433[答案] D[解析] 经过第一象限的双曲线的渐近线为y ＝33x .抛物线的焦点为F (0，p2)，双曲线的右焦点为F 2(2,0).y ′＝1p x ，所以在M (x 0，x 202p )处的切线斜率为33，即1p x 0＝33，所以x 0＝33p ，即三点F (0，p 2)，F 2(2,0)，M (33p ，p 6)共线，所以p 2－00－2＝p 6－p233p ，即p ＝433，选D.二、填空题11.双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________.[答案] y ＝±34x[解析] a ＝4，b ＝3.∴y ＝±34x12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________. [答案] x 216＋y 28＝1[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由e ＝22知，c a ＝22，∴b 2a 2＝12.∵△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16， ∴a ＝4，∴b 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.13.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. [答案] 2[解析] 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2) 抛物线y 2＝4x ，焦点为(1,0)，准线为x ＝－1. |AF |＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝1. 则AF 与x 轴垂直，|BF |＝|AF |＝2.14.抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，则m 的范围是________. [答案] (－10，10)[解析] 设抛物线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝m (x －3)对称，A ，B 中点M (x ，y )，则当m ＝0时，有直线y ＝0，显然存在点关于它对称.当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2⇒y 1－y 2x 1－x 2＝1y 1＋y 2＝12y ＝－1m ，所以y ＝－m 2，所以M 的坐标为(52，－m 2)，∵M 在抛物线内，则有52>(－m2)2，得－10<m <10且m ≠0，综上所述，m ∈(－10，10). 三、解答题15.如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A . (1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1.故点A (2,1)，因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.16.炮弹在某处爆炸，在F 1(－5000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5000,0)处晚30017s.已知坐标轴的单位长度为1m ，声速为340m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程.解由声速为340m/s 可知F 1、F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017＝6000(m)，因此爆炸点在以F 1、F 2为焦点的双曲线上.因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的一支上. 设爆炸点P 的坐标为(x ，y )，则|PF 1|－|PF 2|＝6000，即2a ＝6000，a ＝3000. 而c ＝5000，∴b 2＝50002－30002＝40002，∵|PF 1|－|PF 2|＝6000>0，∴x >0，所求双曲线方程为x 230002－y 240002＝1(x >0).17.已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2). (1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积.解 (1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4. 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2) (x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4；因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.18.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过P 点作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值. 解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1得y ＝±b 2a，由题意知2b 2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知：PF 1→·PM →|PF 1→||PM →|＝PF 2→·PM →|PF 2→||PM →|，PF 1→·PM →||PF 1→＝PF 2→·PM→||PF 2→，设P (x 0，y 0)，其中x 20≠4，将向量坐标代入并化简得：m (4x 20－16)＝3x 30－12x 0，因为x 20≠4,所以m ＝34x 0，而x 0∈(－2,2)，所以m ∈(－32，32) .(3)由题意可知，l 为椭圆的在p 点处的切线，由导数法可求得，切线方程为： x 0x 4＋y 0y ＝1，所以k ＝－x 04y 0，而k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3，代入1kk 1＋1kk 2中得1kk 1＋1kk 2＝－4(x 0＋3x 0＋x 0－3x 0)＝－8. 因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.。

(典型题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试(答案解析)

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线0x y -+=与椭圆C 相交于不同的两点A B 、，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（） A ．22132x y +=B ．22143x y +=C ．22152x y +=D ．22163x y +=2．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，记椭圆E 的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若C ，D 恰好是线段AB 的两个三等分点，则（） A ．221k e -=B ．221k e +=C ．2211e k-= D ．2211e k+=3．已知()5,0F 是双曲线()2222:=10,0x y C a b a b->>的右焦点，点(A .若对双曲线C 左支上的任意点M ，均有10MA MF +≥成立，则双曲线C 的离心率的最大值为（）A B ．5C ．52D ．64．已知点()P m n ,是抛物线214y x =-上一动点，则A ．4B ．5C D ．65．过椭圆:T 2212x y +=上的焦点F 作两条相互垂直的直线12l l 、，1l 交椭圆于,A B 两点，2l 交椭圆于,C D 两点，则AB CD +的取值范围是（）A ．3⎡⎢⎣B ．3⎡⎢⎣C ．3⎡⎢⎣D ．3⎡⎢⎣ 6．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点为1F ，2F ，过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，若1MF =，则E 的离心率为（）A ．3B ．2C ．5D ．27．如图，F 是抛物线28x y =的焦点，过F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若AOF 与BOF 的面积之比为1:4，则AOB 的面积为（）A ．10B ．8C ．16D ．128．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若双曲线右支上存在一点P ，使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（） A ．231e <<B ．23e >C ．3e >D ．13e <<9．设抛物线2:4(0)C x y p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线C 于,M N 两点，交l 于点P ，且PF FM =，则||MN =（）A ．2B ．83C ．5D ．16310．己知直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，并与抛物线交于A ，B 两点，若点A 的纵坐标为4，则线段AB 的长为（） A ．253B ．496C ．436D ．25411．已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（）A ．)+∞B ．)+∞C ．(D ．(12．已知过点(,0)A a 的直线与抛物线22(0)y px p =>交于M.N 两点，若有且仅有一个实数a ，使得16OM ON ⋅=-成立，则a 的值为（） A ．4-B ．2C ．4D ．8二、填空题13．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右焦点(c,0)F 关于直线2y x =的对称点Q 在双曲线上，则双曲线的离心率是______．14．过双曲线221x y -=上的任意一点(除顶点外)作圆221x y +=的切线，切点为,A B ，若直线AB 在x 轴､y 轴上的截距分别为,m n ，则2211m n-=___________. 15．已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，C 的准线为l 且与x 轴相交于点B ，A 为C 上的一点，直线AO 与直线l 相交于E 点，若BOE BEF ∠=∠，6AF =，则C 的标准方程为_____________.16．设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆2229a x y +=与线段PF 交于A ,B 两点，若A ,B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为____________.17．在双曲线22221x y a b-=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.18．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -分别为其三个顶点.直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率13e =，则tan BDC ∠=___________.19．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点11(,)P x y ，22(,)Q x y .①抛物线24y x =焦点到准线的距离为2； ②若126x x +=，则8PQ =；③2124y y p =-；④过点P 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点A ，则直线AQ 平行于抛物线的对称轴；⑤绕点(2,1)-旋转且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条. 以上结论中正确的序号为__________.20．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足||3||PF FQ =，若||OP b =，则E 的离心率为_________.三、解答题21．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点()'',A x y 处的切线方程为''221x y x ya b+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点21,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P (点P 在第一象限)，过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，且124AF AF +=. （1）求C 的方程；（2）过点2F 且斜率为1的直线与C 交于点M 、N ，求OMN 的面积.23．在平面直角坐标系中，动点(),P x y （0y >）到定点()0,1M 的距离比到x 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点M 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若8AB =，求直线l 的方程.24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点421,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，离心率为53.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与圆22:1O x y +=相切，且与椭圆C 交于M ，N 两点，Q 为椭圆C 上一个动点(点O ，Q 分别位于直线l 两侧)，求四边形OMQN 面积的最大值. 25．已知是抛物线2:2C y px=(0)p >的焦点，(1,)M t 是抛物线上一点，且||2MF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点O （坐标原点）分别作,OA OB 交抛物线C 于,A B 两点(,A B 不与O 重合)，且.2OA OB k k =.求证：直线AB 过定点.26．如图，已知抛物线()2:20C y px p =>，焦点为F ，过点()2,0G p 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，设()11,A x y 、()22,B x y .（1）若124x x ⋅=，求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点M ，直线BF 交抛物线C 于另一点N .求证：直线l 与直线MN 斜率之比为定值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设出,A B 两点的坐标，代入椭圆方程，作差变形，利用斜率公式和中点坐标可求得结果. 【详解】设(,0)F c -，因为直线30x y -+=过(,0)F c -，所以030c --+=，得3c =所以2223a b c -==，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2222121222x x y y a b --=-，得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，因为P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，所以1212(,)22x x y y P ++，1212121212202OP y y y y k x x x x +-+===-++-，所以221222122(2)ABy y b b k x x a a-==-⋅-=-，又,A B在直线0x y -+=上，所以1AB k =，所以2221b a =，即222a b =，将其代入223a b -=，得23b =，26a =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=.故选：D 【点睛】方法点睛：本题使用点差法求解，一般涉及到弦的中点和斜率问题的题目可以使用点差法，步骤如下：①设出弦的两个端点的坐标；②将弦的两个端点的坐标代入曲线方程； ③作差变形并利用斜率公式和中点坐标公式求解.2．B解析：B 【分析】首先利用点,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，则211222x x y y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，得1112y k x =⋅，再利用点差法化简得2212214y b x a=，两式化简得到选项.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，()1,0C x ∴-，10,2y D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则112,2y B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，得211222x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，1121121131232y y y y k x x x x -===⋅-，利用点差法22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，整理得到2212214y b x a =，即222222244b a c k k a a-=⇒=，即221k e +=故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键利用三等分点得到211222x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，再将斜率和离心率表示成坐标的关系，联立判断选项.3．C解析：C 【分析】设E是双曲线的左焦点，利用双曲线的定义把MF 转化为ME 后易得MA ME +的最小值，从而得a 的最小值，由此得离心率的最大值．【详解】设E 是双曲线的左焦点，M 在左支上，则2MF ME a -=，2MF ME a =+，22MA MF MA ME a EA a +=++≥+，当且仅当E A M ,,三点共线时等号成立．则222(5)(11)210EA a a +=-++≥，2a ≥，所以552c e a a ==≤．故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查双曲线的定义的应用．在涉及双曲线上的点与一个焦点和另外一个定点距离和或差的最值时，常常利用双曲线的定义把到已知焦点的距离转化为到另一焦点的距离，从而利用三点共线取得最值求解．4．D解析：D 【分析】先把抛物线214y x =-化为标准方程，求出焦点F (0,-1),运用抛物线的定义，找到2222(1)(4)(5)m n m n +++-++的几何意义，数形结合求最值.【详解】由214y x =-，得24x y =-．则214y x =-的焦点为()0,1F -．准线为:1l y =． 2222(1)(4)(5)m n m n +++-++几何意义是点()P m n ,到()0,1F-与点()4,5A -的距离之和，如图示：根据抛物线的定义点()P m n ,到()0,1F -的距离等于点()P m n ,到l 的距离，2222(1)(4)(5)m n m n ++-++|PF |+|PA |=|PP 1|+|PA |,所以当P 运动到Q 时，能够取得最小值. 最小值为：|AQ 1|=()156--=．故选：D. 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．5．C解析：C【分析】当直线12l l 、有一条斜率不存在时，可直接求得AB CD +=12l l 、的斜率都存在且不为0时，不妨设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，则可得直线1l 的方程，与椭圆联立，根据韦达定理及弦长公式，可求得AB 的表达式，同理可求得CD 的表达式，令21k t +=，则可得2112t tAB CD +=+-，令2112y t t =+-，根据二次函数的性质，结合t 的范围，即可求得AB CD +的范围，综合即可得答案. 【详解】当直线12l l 、有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在，则直线2l 斜率为0，此时AB =，22b CD a ===所以AB CD +=当直线12l l 、的斜率都存在且不为0时，不妨设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，不妨设直线12l l 、都过椭圆的右焦点(1,0)F ，所以直线1:(1)l y k x =-，直线21:(1)l y x k=--，联立1l 与椭圆T 22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222)202142(-=+-+x k x k k ， 22222(4)4(12)(22)880k k k k ∆=--+-=+>，22121222422,1212k k x x x x k k-+=⋅=++，所以12AB x =-=22)12k k +==+，同理22221))2112k k CD k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以2222))122k k B k C k A D +++=+++，令21k t +=，因为0k ≠，所以1t >，所以22222))122211(21)(1)k k AB t D k k t t t C +++=+=++--++=+=22211212t t t t =+-+-，令2211119224y t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭，因为1t >，所以1(0,1)t∈，所以92,4y ⎛⎤∈ ⎥⎦⎝，所以141,92y ⎡⎫∈⎪⎢⎭⎣，所以1AB CD y +=∈⎢⎣，综上AB CD +的取值范围是3⎡⎢⎣. 故选：C 【点睛】解题的关键是设出直线的方程，结合韦达定理及弦长公式，求得AB CD +的表达式，再根据二次函数性质求解，易错点为需求直线12l l 、中有一个不存在时，AB CD +的值，考查计算求值的能力，属中档题.6．A解析：A 【分析】由点到直线的距离公式可得2||MF b =，由勾股定理可得||OM a =，则1MF =，1cos aFOM c∠=-，由此利用余弦定理可得到a ，c 的关系，由离心率公式计算即可得答案．【详解】由题得2(,0)F c ，不妨设:0l bx ay -=，则2||MF b ==，OM a ==，1MF =，12cos cos aFOM F OM c ∠=-∠=-，由余弦定理可知222222111||||622OM OF MF a c a a OM OF ac c+-+-==-⋅，化为223c a =，即有==ce a故选：A ．【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．7．A解析：A 【分析】设直线AB 的方程为2y kx =+，设点()11,A x y 、()11,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合已知条件可得出214x x =-，结合韦达定理求出2k 的值，进而可得出AOB 的面积为1212OAB S OF x x =⋅-△，即可得解. 【详解】易知抛物线28x y =的焦点为()0,2F .若直线AB 与x 轴垂直，此时直线AB 与抛物线28x y =有且只有一个公共点，不合乎题意.设直线AB 的方程为2y kx =+，设点()11,A x y 、()11,B x y ，联立228y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得28160x kx --=，由韦达定理可得128x x k +=，1216x x =-，由于AOF 与BOF 的面积之比为1:4，则4BF FA =，则()()2211,24,2x y x y --=-，所以，214x x =-，则12138x x x k +=-=，可得183k x =-， 2221218256441639k k x x x ⎛⎫=-=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭，可得2916k =，所以，OAB 的面积为1211222OAB S OF x x =⋅-=⨯△29646464641016k =+=⨯+=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.8．B解析：B 【分析】设点()2,0F c ，设点P 在第一象限，设2F 关于直线1PF 的对称点为点M ，推导出12MF F △为等边三角形，可得出tan 30ba >，再由公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得该双曲线离心率的取值范围. 【详解】如下图所示：设点()2,0F c ，设点P 在第一象限，由于2F 关于直线1PF 的对称点在y 轴上，不妨设该点为M ，则点M 在y 轴正半轴上，由对称性可得21122MF MF F F c ===，22113MO MF OF c =-=，所以，1260MF F ∠=，则1230PF F ∠=，所以，双曲线的渐近线by xa=的倾斜角α满足30α>，则123tan3bPF Fa>∠=，因此，该双曲线的离心率为2222222313c c a b bea a a a+⎛⎫====+>⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.9．D解析：D【分析】由题意作出MD垂直于准线l，然后得2PM MD=，得30∠=︒DPM，写出直线方程，联立方程组，得关于y的一元二次方程，写出韦达定理，代入焦点弦公式计算.【详解】如图，过点M做MD垂直于准线l，由抛物线定义得MF MD=，因为PF FM=，所以2PM MD=，所以30∠=︒DPM，则直线MN方程为3(1)x y=-，联立23(1)4x yx y⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，消去x得，231030y y-+=，设()()1122,,,M x y N x y，所以121210,13y y y y+==，得121016||2233MN y y=++=+=.故选：D.【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||=++AB x x p 或12||=++AB y y p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．10．D解析：D 【分析】首先利用,,A F B 三点共线，求点B 的坐标，再利用焦点弦长公式求AB . 【详解】4y =时，1644x x =⇒=，即()4,4A ，()1,0F ，设2,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用,,A F B 三点共线可知24314y y =-，化简得2340y y --=，解得：1y =-或4y =（舍）当1y =-时，14x =，即()4,4A ，1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以121254244AB x x p =++=++=. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交，焦点弦问题，重点是求点B 的坐标.11．C解析：C 【分析】把P 的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围．【详解】设00(,)P x y ，则||PA ==又∵点P 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002b x y b a=-，∴||PA ===．当PA 最小时，0224202a ax e e -=-=>．又点P 不在顶点位置，∴22aa e>，∴22e <，∴e < ∵双曲线离心率1e >，∴1e <<故选：C ．【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．12．C解析：C 【分析】设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出1212,y y y y +及12x x ，把16OM ON ⋅=-用坐标表示代入上述值结合已知条件可得答案.【详解】设直线MN 的直线方程为x ty a =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由题意得22x ty a y px=+⎧⎨=⎩，整理得2220y pty pa --=，所以12122,2y y pt y y pa +==-，()()()2212121212x x ty a ty a t y y at y y a =++=+++ ()()2222t ap at pt a =-++，因为16OM ON ⋅=-，所以121216x x y y +=-，所以()()2222216tpa at pt a pa -++-=-，22160a pa -+=，因为方程有且仅有一个实数a ，所以()22640p ∆=-=，解得4p =，或4p =-（舍去），故选：C. 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理求出1212,y y y y +及12x x ，然后16OM ON ⋅=-坐标表示列出等式，考查了学生分析问题、解决问题的能力.二、填空题13．【分析】由题意可得Q 点坐标代入双曲线方程计算即可得出离心率【详解】设则中点由题意可得由在双曲线上可得两边同除可得解得（舍）故答案为：【点睛】关键点点睛：齐次式方程两边同除可得关于离心率的方程即可求出【分析】由题意可得Q 点坐标，代入双曲线方程，计算即可得出离心率. 【详解】设(,)Q m n ，则FQ 中点(,)22+m c n，=-FQ n k m c由题意可得325224215c nm c m n c n m c +⎧⎧=-=⨯⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⨯=-=⎪⎪-⎩⎩，由(,)Q m n 在双曲线上，可得222242242222234()()91655119502502525()--=⇒-=⇒-+=-c c c c c a c a a b a c a 两边同除4a ，可得42950250e e -+=，解得==e e （舍）【点睛】关键点点睛：齐次式方程，两边同除可得关于离心率的方程，即可求出离心率.本题考查了计算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.14．1【分析】设出三点坐标表示出直线利用方程思想得到直线的方程算出可计算得到解【详解】设双曲线上任意一点为过作圆的切线切点为不是双曲线的顶点故切线存在斜率且则故直线化简得：即同理有又均过点有故直线故答案解析：1 【分析】设出,,P A B 三点坐标，表示出直线,PA PB ，利用方程思想，得到直线MN 的方程，算出,m n ，可计算2211m n-得到解.【详解】设双曲线上任意一点为()11,P x y ，()22,A x y ，()33,B x y 过()11,P x y 作圆221x y +=的切线，切点为,A B()11,P x y 不是双曲线的顶点，故切线存在斜率且OA PA ⊥，则221PA OA x k k y =-=-故直线()2222:xPA y y x xy-=--化简得：222222y y y x x x-=-+即2222221x x y y x y+=+=同理有33:1PB x x y y+=又,PA PB均过点()11,P x y，有313131311,1x x y y x x y y+=+=故直线11:1MN x x y y+=1111,m nx y==221222111x xm n-=-=故答案为：115．【分析】推导出求出可得出直线的方程联立直线与抛物线的方程求出点的坐标利用抛物线的定义求出的值即可得出抛物线的标准方程【详解】因为即所以则直线的方程为联立直线与抛物线方程解得所以解得因此抛物线标准方程解析：28y x=【分析】推导出OBE EBF△△，求出tan BOE∠，可得出直线AO的方程，联立直线AO与抛物线C的方程，求出点A的坐标，利用抛物线的定义求出p的值，即可得出抛物线C的标准方程.【详解】因为BOE BEF∠=∠，90OBE EBF∠=∠=，OBE EBF∴△△，OB BEBE BF∴=，即2222p pBE OB BF p=⋅=⨯=，2BE p∴=，所以tan 2BEBOE OB∠==，则直线AO 的方程为2y x =，联立直线OA 与抛物线方程222y xy px⎧=⎪⎨=⎪⎩ 解得(),2A p p ，所以3622p pAF p =+==，解得4p =，因此，抛物线标准方程为28y x =. 故答案为：28y x =. 【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法与待定系数法：（1）若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p ），那么只需求出p 即可；（2）若题目未给出抛物线的方程：①对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20y ax a =≠的正负由题设来定；②对于焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20x ay a =≠，这样就减少了不必要的讨论.16．【分析】取AB 中点H 后证明H 为PF 中点从而在直角三角形OFH 中利用勾股定理找到求出离心率【详解】如图示取AB 中点H 连结OH 则OH ⊥AB 设椭圆右焦点E 连结PE ∵AB 三等分线段PF ∴H 为PF 中点∵O 为E 解析：175【分析】取AB 中点H 后，证明H 为PF 中点，从而在直角三角形OFH 中，利用勾股定理，找到221725a c =，求出离心率.【详解】如图示，取AB 中点H ，连结OH ，则OH ⊥AB ，设椭圆右焦点E ，连结PE ∵AB 三等分线段PF ，∴ H 为PF 中点. ∵O 为EF 中点，∴OH ∥PE设OH=d,则PE=2d ，∴PF=2a-2d ，BH=3a d- 在直角三角形OBH 中，222OB OH BH =+,即22293a a d d -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：5a d =. 在直角三角形OFH 中，222OF OH FH =+,即()222c d a d =+-，解得：221725a c =，∴离心率5c e a ==.【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．17．5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式可设的三边长表示为最后根据勾股定理得到根据齐次方程求解离心率【详解】设并且的三边成等差数列最长的边为则三边长表示为又整理为两边同时除以得解得：或（舍）所解析：5 【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式，可设12PF F △的三边长表示为24,22,2c a c a c --，最后根据勾股定理得到22650c ac a -+=，根据齐次方程求解离心率. 【详解】设12PF PF >，并且122PF PF a -=，12PF F △的三边成等差数列，最长的边为2c ，则三边长表示为24,22,2c a c a c --，又1290F PF ∠=，()()22224224c a c a c ∴-+-=，整理为22650c ac a -+=，两边同时除以2a 得，2650e e -+=，解得：5e =或1e =（舍），所以双曲线的离心率是5. 故答案为：5 【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.18．【分析】做出图像可知：利用两角和的正切表示有根据离心率可求出代入正切公式即可求出结果【详解】由图像可知：所以因为离心率可设那么极有代入上式得故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化解析：82-【分析】做出图像可知：BDC BAO CFO ∠=∠+∠，利用两角和的正切表示tan BDC ∠，有tan ,tan bb BAO CFO ac ∠=∠=，根据离心率可求出22b a =，22b c=，代入正切公式即可求出结果. 【详解】由图像可知：BDC BAO DFA BAO CFO ∠=∠+∠=∠+∠所以tan tan tan tan()1tan tan 1b b BAO CFO a c BDC BAO CFO b bBAO CFO a c+∠+∠∠=∠+∠==-∠∠-⋅ 因为离心率13c e a ==，可设3a m =，c m =，那么22b m =，极有22b a =，22b c =，代入上式得22228235221223+=--⨯．故答案为：825-【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化，考查了两角和的正切公式的应用，属于中档题型，思路点睛：（1）根据平面几何将所求角进行转化，BDC BAO CFO ∠=∠+∠；（2）结合两角和的正切公式，直角三角形内求角的正切，将问题转化为,,a b c 的比值问题．（3）根据离心率求出,,a b c 的比值，代入可求.19．①②④【分析】焦点到准线的距离为即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理可判断③；求出两点坐标计算斜率即可判断④；时与抛物线只有一个交点设过点的直线为与抛解析：①②④ 【分析】焦点到准线的距离为p 即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线PQ 方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断③；求出,A Q 两点坐标，计算AQ 斜率即可判断④；1y =时与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--，与抛物线方程联立，利用0∆=求出k 的值，即可得出有一个公共点的直线条数，可判断⑤，进而可得正确答案. 【详解】抛物线2:4C y x =可得2p =，()1,0F对于①：抛物线24y x =焦点为()1,0F ，准线l 为1x =-，所以焦点到准线的距离为2，故①正确；对于②：根据抛物线的对义可得：121286222p px x x P p Q x +++=++=+==，对于③：设直线PQ 方程为：1x ky =+与2:4C y x =联立可得2440yky --=，可得124y y =-，因为2p =，所以2124y y p ≠-，故③不正确；对于④：11(,)P x y ，所以OP ：11y y x x = ，由111y y x x x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩可得11y y x =-，所以111,y A x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为22(,)Q x y ，124y y =- 解得：214y y -=，所以214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为11(,)P x y 在抛物线2:4C y x =上，所以2114y x =，所以21114x y =，1114y x y -=-所以141,A y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0AQ k =，所以//AQ x 轴，即直线AQ 平行于抛物线的对称轴，故④正确；对于⑤：1y =时，显然与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--，由224x ky k y x=--⎧⎨=⎩可得：24480y ky k -++=，令()2164480k k ∆=-+= 可得2k =或1k =-，故过点(2,1)-且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条.，故⑤不正确，故答案为：①②④ 【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线22y px =()0p >的焦点F 的弦，若()11,A x y ，()22,B x y ，则：（1）2124p x x =，212y y p =-；（2）若点A 在第一象限，点B 在第四象限，则1cos p AF α=-，1cos pBF α=+，弦长1222sin pAB x x p α=++=，（α为直线AB 的倾斜角）；（3）112||||FA FB p+=；（4）以AB 为直径的圆与准线相切；（5）以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.20．【分析】由题意设即有由双曲线定义及已知可得且结合点在曲线上联立方程得到关于的齐次方程即可求得离心率【详解】令则且①由题意知：E 的左准线为结合双曲线第二定义知：又∴解得②∵知：∴联立①②得：整理得∴故解析：3【分析】由题意设00(,)P x y ，即有00(,)Q x y --，由双曲线定义及已知可得22003()a a x x c c +=-且22200x y b +=，结合点在曲线上联立方程得到关于,a c 的齐次方程，即可求得离心率.【详解】令00(,)P x y ，00,0x y >则00(,)Q x y --且2200221x y a b-=①，由题意知：E 的左准线为2a x c =-，结合双曲线第二定义知：20||()a PF e x c=+，20||()a FQ e x c =-，又||3||PF FQ =，∴22003()a a x x c c +=-，解得202a x c=②， ∵||OP b =知：22200x y b +=，∴联立①，②得：42222244(1)a a b b c c+-=，整理得223a c =，∴e =【点睛】关键点点睛：根据双曲线第二定义：曲线上的点到焦点距离与该点到对应准线的距离之比为常数e ，可得点P 的横坐标为22ac；结合点在曲线上及勾股定理即可得关于,a c 的齐次方程求离心率即可.三、解答题21．（1）2212x y +=；（2.【分析】（1）根据椭圆离心率为2，以及椭圆经过点2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，结合椭圆的性质列方程求解即可；（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，求出Q 的坐标，表示出PQ 的长，再化简即可得结论. 【详解】（1）由题意知222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩1a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，椭圆C 的右焦点()1,0F ，所以直线PF 的方程为()00010y x x y y ---=，联立()000001020y x x y y x x y y ⎧---=⎨+=⎩，所以2000002,22y x y Q x x ⎛⎫-⎪--⎝⎭，所以PQ =====为定值. 【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22．（1）22143xy +=；（2. 【分析】（1）利用椭圆的定义可求出a 的值，将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，求出2b 的值，进而可得出椭圆C 的方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，写出直线MN 的方程，联立直线MN 与椭圆C 的方程，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合韦达定理可求得OMN 的面积. 【详解】（1）由椭圆的定义可得1224AF AF a +==，可得2a =，椭圆C 的方程为22214x y b+=，将点A 的坐标代入椭圆C 的方程可得291414b +=，解得23b =，因此，椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）易知椭圆C 的右焦点为()21,0F ，由于直线MN 的斜率为1，所以，直线MN 的方程为1y x =-，即1x y =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立221143x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得27690y y +-=，364793680∆=+⨯⨯=⨯>，由韦达定理可得1267y y +=-，1297y y =-，212112277OMNSOF y y =⋅-===⨯=.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.23．（1）24x y =；（2）1y x =+或1y x =-+. 【分析】（1）由1PM y =+，结合两点间的距离公式得出轨迹方程；（2）由题直线l 斜率存在，设出直线l 的方程，联立轨迹C 的方程，由韦达定理以及抛物线的定义求出直线l 的方程. 【详解】（1）动点(),P x y （0y >）到x 轴的距离为y ，到点M 的距离为PM =由动点(),P x y 到定点()0,1M 的距离比到x 轴的距离大1，1y =+，两边平方得：24x y =，所以轨迹C 的方程：24x y =；（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：1y kx =+，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消去x 整理得()222410y k y -++=， ∴21224y y k +=+，∴2122428AB y y p k =++=++=，解得21k =，即1k =±，∴直线l 的方程为1y x =+或1y x =-+. 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法，（2）定义法，（3）相关点法.24．（1）22194x y +=；（2）最大值为.（1）将1,3P ⎛ ⎝⎭的坐标代入椭圆方程中，再结合3c a =和222a b c =+可求出,a b 的值，进而可求得椭圆的方程；（2）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，然后利用点到直线的距离公式求出O 到直线y kx m =+的距离d ，利用弦长公式求出MN 的值，从而有12OMN QMN OMQN S S S MN d =+=⨯四边形△△，化简可求得其范围，当MN 斜率不存在时，直接可得OMQN S =四边形【详解】（1）因为椭圆C过点1,3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以2213219a b +=，c a = 又222a b c =+，所以得22194x y +=；（2）（i ）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，设O 到直线y kx m =+的距离记为d，则d =，联立22,1,94y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()2229418940k x knx n +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，1221894kn x x k +=-+，()21229494n x x k -=+，所以12294MN x k =-=+，因为y kx n =+与圆O1=，因为y kx m =+与椭圆相切，所以2294k m +=，1122OMN QMNOMQN S S S MN d =+=⨯=四边形△△=== 可得OMQN S 四边形随k的增大而增大，即OMQN S <四边形（ii ）当MN斜率不存在时，不妨取1,3M ⎛ ⎝⎭，1,3N ⎛- ⎝⎭，此时()3,0Q ，OMQN S =四边形综上所得四边形OMQN的面积的最大值为【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，解题的关键是当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，从而可得2112294OMN QMNOMQN S S S MN d k =+=⨯=⨯+四边形△△，化简可得结果，属于中档题25．（1）24y x =；（2）直线AB 过定点(2,0)-，证明见解析. 【分析】（1）由抛物线的定义求得p ，得抛物线方程；（2）设直线AB 方程为x my b =+， 11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线方程代入抛物线方程，由判别式大于0得参数满足的条件，应用韦达定理得1212,y y y y +，计算由2OA OB k k =可得128y y =，从而求得参数b ，并可得出m 的范围．此时由直线方程可得定点坐标．【详解】（1）由抛物线定义可知：122p+=，则2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =（2）设直线AB 方程为x my b =+， 11(,)A x y ，22(,)B x y联立24y x x my b⎧=⎨=+⎩得2440y my b --=，则216160m b ∆=+>即20()m b +>*。

(北师大版)天津市高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(答案解析)

一、选择题1．已知直线2y kx =+与椭圆2219x y m+=总有公共点，则m 的取值范围是（）A ．4m ≥B ．09m <<C ．49m ≤<D ．4m ≥且9m ≠ 2．P 是椭圆221169x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k的最大值与最小值之和是（） A ．16 B ．9 C ．7 D ．25 3．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（） ABC ．14D ．44．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的值为（） A ．2B ．3C ．32D ．525．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（） A．9B．9C．7112+D．83126．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=7．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则①以线段AB 为直径的圆与准线l 相切； ②以11A B 为直径的圆经过焦点F ；③A ，O ，1B （其中点O 为坐标原点）三点共线；④若已知点A 的横坐标为0x ，且已知点()0,0T x -，则直线TA 与该抛物线相切；则以上说法中正确的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知椭圆22:12x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中垂线交x 轴于M 点，则2||||FM AB 的取值范围为（） A ．11,164⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,162⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =.则该双曲线的离心率为（） A ．2 B ．3 C 2D 310．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若260AF B ∠=︒，2ABF 23a ，则双曲线的渐近线方程为（） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．33y x =±D ．3y x =±11．已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（） A ．43-B ．-3C ．1813-D ．32-12．已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在x 轴上，对称中心为原点，离心率为3，若点M 在C 上，且12MF MF ⊥，M 到原点的距离为3，则C 的方程为（）A ．22148x y -=B ．22148y x -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=二、填空题13．点()8,1P 平分双曲线2244x y -=的一条弦，则这条弦所在直线的方程一般式为_________________.14．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>具有相同的焦点1F ，2F ，且在第一象限交于点P ，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若123F PF π∠=，则2212e e +的最小值为_______.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足21230MF MF MP ++=，且点M 在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上有一点22(,)22M a b ，F 为右焦点，B 为上顶点，O 为坐标原点，且2BFO BFMS S∆=，则椭圆C 的离心率为________17．我们知道：用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB ､CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于__________.18．设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足122F PF π∠=，则12F PF △的面积等于________．19．若椭圆2222:1(0)y x E a b a b +=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，双曲线222211615x y -=的一条渐近线与椭圆E 在第一象限交于点P ，线段2PF 中点的纵坐标为0，则椭圆E 的离心率为________．20．抛物线24y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于K ，如果AF BF =，那么AKF ∆的面积是______.三、解答题21．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆C 经过点21,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为A ，过点A 作椭圆C 的两条动弦AB ，AC ，若直线AB ，AC 斜率之积为14，直线BC 是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.22．在直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为B ，右焦点为F ，原点O 到直线BF 的距离为1||2OF . （1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与圆222x y b +=相切，且与C 交于M ，N 两点，若||MN 的最大值为2，求椭圆C 的方程.23．已知两点(2,0),(2,0)A B -，过动点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，且满足2||PA PB PH λ⋅=⋅，其中0λ≥．（1）求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程，并讨论C 的轨迹形状；（2）过点(2,0)A -且斜率为1的直线交曲线C 于,M N 两点，若MN 中点横坐标为23-，求实数λ的值. 24．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点()0,3P x 为抛物线C 上一点，且4PF =，过点(),0A a 作抛物线C 的切线AN （斜率不为0），设切点为N ．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求证：以FN 为直径的圆过点A ．25．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值(0,1)λλλ>≠的动点的轨迹，已知点M 与两个定点O （0，0），A （3，0）的距离比为2. （1）求动点M 轨迹C 的方程；（2）过点A 斜率为12-的直线l 与曲线C 交于 E 、F 两点，求△OEF 面积. 26．已知抛物线y 2=2px (p >0)上的点T (3，t )到焦点F 的距离为4. （1）求t ，p 的值；（2）设抛物线的准线与x 轴的交点为M ，是否存在过点M 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，使得直线AF 与直线OB 垂直？若存在，求出△AFB 的面积，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由直线2y kx =+恒过(0,2)点，将问题转化为点(0,2)在椭圆2219x ym+=上或椭圆内，可得选项. 【详解】因为直线2y kx =+恒过(0,2)点，为使直线1y kx =+与椭圆2219x ym +=恒有公共点，只需点(0,2)在椭圆2219x y m +=上或椭圆内，所以220219m+≤，即4m ≥.又9m ≠，所以4m ≥且9m ≠.故选：D. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于直线恒过的点在椭圆上或椭圆的内部，属于中档题.2．D解析：D 【分析】设(),P x y ，根据标准方程求得271616k x =-，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论. 【详解】因为椭圆方程为椭圆221169x y +=，所以4,a c =设(),P x y ，则2127·1616k PF PF x ==-, 又2016x ≤≤.∴max min 16,9k k ==. 故max min +16+925k k ==. 所以k 的最大值与最小值的和为25. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值.3．B解析：B 【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析得b a =. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan ak AOMb =∠==，所以b a =所以c e a ===，故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.4．A解析：A 【分析】设双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，根据题意，得到2122PF F F c ==，又由双曲线的定义，求得所以122PF c a =-，根据椭圆的定义，求得长半轴2a c a '=-，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设双曲线2C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点()2,0F c ，因为线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，可得2122PF F F c ==，又由12PF PF <，根据双曲线的定义可得21122PF PF c PF a -=-=，所以122PF c a =-，设椭圆的长轴长为2a '，根据椭圆的定义，可得212222PF PF c c a a '+=+-=，解得2a c a '=-，所以121122a a c a ae e c c c c'-+=+=+=. 故选：A. 【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的解题策略：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.5．B解析：B 【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A M y y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--，又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，()()22434126BM =-+--=，所以ABM 的周长为：25112692644AB AM BM ++=++=+，故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 6．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.7．D解析：D 【分析】由抛物线的性质可判断①；连接11,A F B F ，结合抛物线的性质可得1190A FB ∠=，即可判断②；设直线:2pAB x my =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线TA 的方程，联立方程组即可判断④. 【详解】对于①，设,AF a BF b ==，则11,AA a BB b ，所以线段AB 的中点到准线的距离为22ABa b，所以以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，故①正确；对于②，连接11,A F B F ，如图，因为11,AA AF BB BF ==，11180BAA ABB ，所以11180********AFA BFB ，所以()112180AFA BFB ∠+∠=，所以1190AFA BFB 即1190A FB ∠=，所以以11A B 为直径的圆经过焦点F ，故②正确；对于③，设直线:2pAB x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简得2220y pmy p --=，0∆>，则212y y p =-，又2111112,,,,22y pOAx y y OB y p ，因为2211222y y p pp ，221112121222y y y y y y p y p p p ，所以2112y OAOB p，所以A ，O ，1B 三点共线，故③正确；对于④，不妨设(002A x px ，则002AT px k =，则直线002:x AT x x p =-，代入抛物线方程化简得0202220x px py p +=-，则0020228x p ppx ⎛∆=- -=⎝，所以直线TA 与该抛物线相切，故④正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线；②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题.8．B解析：B 【分析】当l ：0y =时，2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立可得：()222210my my +--=，然后求得AB 的中垂线方程，令0y = ，得21,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得||MF ，2||AB ，建立2||||FM AB 求解. 【详解】椭圆22:12x C y +=的左焦点为()1,0F -,当l ：0y =时，())(),,0,0A BM，1,FM AB ==所以2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得： ()222210my my +--=，由韦达定理得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，取AB 中点为222,22m D m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以AB 的中垂线方程为：2212:22DM m l x y m m m ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，令0y = ，得21,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，所以221||2m MF m +=+，又()()()22212122222811||(1)24m AB y y y y k m ++⎡⎤=+=⎣⎦+-⋅，所以2222||121111=1(,)||818184FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选：B. 【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为()()222212121212()(1)4AB x x y y k x x x x ⎡⎤=-+-=+-⋅⎣+⎦()1221221(41)y y y y k+-⋅⎡⎤=+⎣⎦ (k 为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．9．D解析：D 【分析】本题首先可以通过题意画出图象并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果. 【详解】根据题意可画出以上图象，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ，因为123MF MF =，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =，因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =，因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ，所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ⨯=⨯，abMH c=，即M 点纵坐标为ab c，将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b x b c +=，解得2b x c =，2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c-=，化简得4422b aa c ，222422ca a a c ，223c a =，==ce a，故选：D . 【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆与双曲线的相关性质及其综合应用，体现了了数形结合思想，提高了学生的逻辑思维能力，是难题.10．D解析：D 【分析】结合双曲线的定义、2ABF 的面积、余弦定理列方程，化简求得ba，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】连接11,AF BF ，根据双曲线的对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，由于260AF B ∠=︒，所以12120F AF ∠=︒，212ABF AF F SS=，12AF BF =，设12,AF n AF m ==，结合双曲线的定义有2m n a -=，所以()2222222cos1201sin1202m n a c m n mn mn ⎧-=⎪⎪=+-︒⎨⎪⎪︒=⎩，即2222244m n a c m n mn mn a -=⎧⎪=++⎨⎪=⎩，由()22m n a -=得22222224,12m n mn a m n a +-=+=，所以22416,2c a c a ==，而222c a b =+，所以2224,3ba ab a=+=，所以双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于中档题.11．A解析：A 【分析】根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，所以11,2c c a ==，解得 22,3a b ==，所以椭圆方程为：22143x y +=，设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则222212121,14343y x y x +=+=，两式相减得：()()1212121243+-=--+y y x x y y x x ，即143OD AB k k =-，同理1414,33OM OE AC BC k k k k =-=-，又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以()1231114433OD OM OE k k k k k k ++=-++=-，故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．C解析：C 【解析】12,MF MF ⊥∴由直角三角形的性质可得1MO FO c ==，又3,c a =21,312a b ∴==-=，C ∴的方程为2212y x -=，故选C. 二、填空题13．【分析】设弦的两端点分别为A （x1y1）B （x2y2）由AB 的中点是P （81）知x1+x2＝16y1+y2＝2利用点差法能求出这条弦所在的直线方程【详解】设弦的两个端点分别为则两式相减得因为线段的中解析：2150x y --=【分析】设弦的两端点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由AB 的中点是P （8，1），知x 1+x 2＝16，y 1+y 2＝2，利用点差法能求出这条弦所在的直线方程．【详解】设弦的两个端点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，则221144x y -=，222244x y -=，两式相减得()()()()1212121240x x x x y y y y +--+-=，因为线段AB 的中点为()8,1P ，所以1216x x +=，122y y +=，所以()1212121224y y x xx x y y -+==-+，所以直线AB 的方程为()128y x -=-代入2244x y -=满足0∆>，即直线方程为2150x y --=.故答案为：2150x y --=. 【点睛】本题考查弦的中点问题及直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．14．【分析】由题意设焦距为椭圆长轴长为双曲线实轴为令在双曲线的右支上由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出由此能求出的最小值【详解】由题意设焦距为椭圆长轴长为双曲线实轴为令在双曲线的右支上由双曲线的定义由解析：22+ 【分析】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴为2m ，令P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出2222a m c +=，由此能求出2212e e +的最小值．【详解】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴为2m ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义12||||2PF PF m -=，由椭圆定义12||||2PF PF a +=，可得1PF m a =+，2PF a m =-，又123F PF π∠=，2221212||?4PF PF PF PF c +-=，可得222()()()()4m a a m m a a m c ++--+-=，得22234a m c +=，即222234a m c c+=，可得2212134e e +=，则222212122212113()()4e e e e e e +=++ 2221221231(13)4e e e e =+++1(424+=当且仅当21e =，上式取得等号，可得2212e e +．故答案为：22+．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．15．【分析】先根据题意得再根据向量关系得再算出代入化简整理得解方程即可求解【详解】由图像可知点则由则则则则由则则点由点在直线上则则由则故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解是中档题【分析】先根据题意得2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据向量关系得1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，再算出2,32c b M a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入2y x =，化简整理得23430e e --=，解方程即可求解. 【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cS a=，由21230MF MF MP ++=，则1212::1:2:3MPF MPF MF F S SS=，则222132PMF b c b S d a a==⋅⋅，则23c d =，则3M c x =，由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=，则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b cb ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则e =，由1e >，则e =.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，是中档题.16．【分析】由题意可得直线的方程求出到直线的距离且求出的值求出的面积及的面积再由题意可得的关系进而求出椭圆的离心率【详解】由题意可得直线的方程为：即所以到直线的距离因为所以而因为所以整理可得：整理可得解解析：22【分析】由题意可得直线BF 的方程，求出M 到直线BF 的距离，且求出|BF |的值，求出BFM 的面积及BFO 的面积，再由题意可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率．【详解】由题意可得直线BF 的方程为：1x yc b+=，即0bx cy cb +-=，所以M 到直线BF 的距离2222||12|(21)|222ab bc bc b a c d ab c +---==+，因为22||BF b c a =+=，所以12||[(21)]24BFMS BF d b a c ==--，而12BFOSbc =，因为2BFOBFMSS=，所以122[(21)]24bc b a c =--，整理可得：[(21)]c a c =--，整理可得2a c =，解得22e =，故答案为：22【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．【分析】如图所示过点作垂足为由于是母线的中点圆锥的底面半径和高均为2可得在平面内建立直角坐标系设抛物线的方程为为抛物线的焦点可得代入解出即可【详解】解：如图所示过点作垂足为是母线的中点圆锥的底面半径解析：2【分析】如图所示，过点E 作EM AB ⊥，垂足为M ．由于E 是母线PB 的中点，圆锥的底面半径和高均为2，可得1OM EM ==．2OE =．在平面CED 内建立直角坐标系．设抛物线的方程为22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点．可得()2,2C ，代入解出即可．【详解】解：如图所示，过点E 作EM AB ⊥，垂足为M ．E 是母线PB 的中点，圆锥的底面半径和高均为2，1OM EM ∴==．2OE ∴=在平面CED 内建立直角坐标系．设抛物线的方程为22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点．因为)2,2C，422∴=，解得2p ．2F ⎫⎪⎪⎝⎭．即点F 为OE 的中点， ∴22【点睛】本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程，考查了转变角度解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．1【分析】利用椭圆的定义与勾股定理可得再由三角形面积公式可得结果【详解】因为是椭圆的两个焦点点在椭圆上且满足所以所以则的面积等于故答案为：1【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质意在考查学生灵活应解析：1 【分析】利用椭圆的定义与勾股定理可得122PF PF ⋅=，再由三角形面积公式可得结果. 【详解】因为1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足122F PF π∠=，所以122221224412PF PF a PF PF c +==⎧⎨+==⎩ ()()222121212216124PF PF PF PF PF PF ⇒⋅=+-+=-=，所以122PF PF ⋅=，则12F PF △的面积等于12112PF PF ⋅=，故答案为：1. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，意在考查学生灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.19．【分析】求出椭圆的焦点坐标利用已知条件求解点坐标再代入双曲线的渐近线方程转化求解椭圆的离心率即得【详解】由题可得点由线段中点的纵坐标为0得点的纵坐标为又点在椭圆上且在第一象限则有解得点的横坐标为由双解析：35【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用已知条件，求解P 点坐标，再代入双曲线222211615x y -=的渐近线方程，转化求解椭圆的离心率即得. 【详解】由题可得点2(0,)F c -，由线段2PF 中点的纵坐标为0，得点P 的纵坐标为c ，又点P 在椭圆上且在第一象限，则有22221c x a b +=，解得点P 的横坐标为2b a ，由双曲线222211615x y -=，得渐近线1516y x =与椭圆交于点2(,)P b c a ，则有21516b c a =，整理得2215()160a c ac --=，即215(1)160e e --=，由01e <<，得35e =.故答案为：35e = 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，属于中档题.20．【分析】计算得到故为正三角形计算面积得到答案【详解】抛物线的焦点准线为l ：由抛物线的定义可得由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得即有为正三角形由F 到l 的距离为则的面积是故答案为：【点睛】本题解析：【分析】计算得到AF AK =，FK AF =，故AKF ∆为正三角形，4AK =，计算面积得到答案. 【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线为l ：1x =-，由抛物线的定义可得AF AK =，由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得FK AF =，即有AKF ∆为正三角形，由F 到l 的距离为2d =，则4AK =，AKF ∆16=.故答案为：【点睛】本题考查了抛物线中的面积问题，确定AKF ∆为正三角形是解题的关键.三、解答题21．（1）2212x y +=（2）一定经过定点，定点为(0,3).【分析】（1）根据离心率求出2212b a =，代入21,2M ⎛ ⎝⎭可得22a =，从而可得椭圆方程；（2）设直线AB 的斜率为k ，则直线AC 的斜率为14k，联立直线与椭圆方程求出B 、C 的坐标，求出直线BC 的方程，令0x =，得3y =，由此可得答案. 【详解】（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由2c e a ==得2c =，所以2222221122b a c a a a =-=-=，所以222221x y a a +=，因为椭圆C 经过点21,2M ⎛ ⎝⎭，所以2212121aa⨯+=，得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）由椭圆的方程得(0,1)A ，设直线AB 的斜率为k ，则直线AC 的斜率为14k，所以直线AB 、AC 的方程分别为：1y kx =+，114y x k=+，联立22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22(12)40k x kx ++=，解得0x =或2412k x k =-+，所以2412B k x k =-+，221212B k y k-=+，所以222412(,)1212k k B k k --++，同理可得222881(,)1881k k C k k --++，所以22222281128112841812BCk k k k k k k k k---++==-+++2412k k +，所以直线BC 的方程为：222212414()12212k k ky x k k k-+-=+++，令0x =，得3y =，所以直线BC 一定经过一定点(0,3). 【点睛】关键点点睛：求出直线BC 的斜率和方程是解题关键.22．(1) 2; (2) 2214x y +=【分析】（1）根据条件在OBF 中，由等面积法可得点O 到直线BF 的距离，从而建立方程求出,a b 关系，得出离心率.(2) 设:l x my n =+，与椭圆方程联立写出韦达定理，由弦长公式得到弦长，求出其最值，根据条件得到答案. 【详解】（1）由条件可得()0,B b ，(),0F c ，设点O 到直线BF 的距离为d 在OBF中，有BF a ==，则d BF ON OF ⨯=⨯,即bc d a= 所以12bc d c a ==，所以12b a =所以e ==== (2)由直线l 与圆222x y b +=相切，且与C 交于M ，N 两点,所以直线l 的斜率不为0.设:l x my n =+，所以b =，所以()2221n b m =+由（1）可得224a b =，则椭圆方程化为：22244x y b +=设()()1122,,,M x y N x y ，由22244x my nx y b=+⎧⎨+=⎩，得()22224240m y mny n b +++-= 所以2212122224,44mn n b y y y y m m --+==++ 所以AB ===1t =≥，则221m t =-所以2AB b t t=≤+，当且仅当t=m =时取得等号. 由||MN 的最大值为2，则22b =，所以1b =所以当||MN 的最大值为2时，椭圆方程为：2214xy +=【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的离心率和根据弦长的最值求椭圆方程，解答本题的关键是先由弦长公式得出弦长AB =1t =≥，利用换元利用均值不等式求出其最值，属于中档题. 23．（1）答案见解析；（2）12λ=. 【分析】（1）由向量坐标公式化简可得轨迹方程，并讨论即可；（2）将直线与曲线联立结合韦达定理求得中点横坐标，再用判别式判断即可. 【详解】解：（1）()2,PA x y =---，()2,PB x y =--又22PHy =所以由2||PA PB PH λ⋅=⋅得()()22,2,x y x y y λ---⋅--= 则22(1)4x y λ+-=当1λ=时，C 是两条平行直线；当0λ=时，C 是圆；当01λ<<时，C 是椭圆；当1λ>时，C 是双曲线 .（2）2222(2)4(1)40(1)4y x x x x y λλλλ=+⎧⇒-+--=⎨+-=⎩ 设1122(,),(,)M x y N x y ，则122004(1)41(0)232x x λλλλ⎧⎪-≠⎪∆>⎨⎪-⎪+==-⇒=∆>-⎩【点睛】(1)解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．24．（1）24x y =；（2）证明见解析. 【分析】（1）由4PF =，利用焦半径公式可求出p 的值，从而可得抛物线C 的标准方程；（2）设切线AN 的方程为()y k x a =-，0k ≠，联立直线方程与抛物线方程，利用判别式为零可得a k =，求得切点2(2,)N a a ，由0AF AN ⋅=即可判定以FN 为直径的圆过点A ．【详解】（1）因为()0,3P x 为抛物线上一点，所以PF 的长等于P 到抛物线准线2py =-的距离，即||3422P p pPF y =+=+=，解得2p =，所以抛物线C 的标准方程为：24x y =．（2）直线斜率不存在时，直线x a =不是抛物线的切线，所以可设切线AN 的方程为：()y k x a =-， 0k ≠，联立直线与抛物线方程得24()x yy k x a ⎧=⎨=-⎩，消去y 可得2440x kx ka -+=，因为直线与抛物线相切，∴216160ka ka ∆=-=，解得a k =．224402x ax a x a -+=⇒=，所以切点()22,N a a ，(0,1)F ，(,0)A a ，∴(,1)AF a =-，()2,AN a a =，∴220AF AN a a ⋅=-+=．∴90FAN ∠=︒，以FN 为直径的圆过点A ．【点睛】方法点睛：解得与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.25．（1）228120x y x +-+=；（2）5. 【分析】（1）设(,)M x y ，由已知得 ||2||OM AM =，由两点的距离公式可得= ，化简可得动点M 轨迹C 的方程；（2）根据直线的点斜式方程可得方程()1:032l y x -=--，由点到直线的距离公式求得圆圆心()40，到直线l 的距离和原点到直线 l 的距离，根据三角形的面积公式可求得答案. 【详解】（1）设(,)M x y ，则||2||2||||OM OM AM AM =⇒=，= ，所以动点M 轨迹C 的方程为228120x y x +-+=；（2）直线()1:032l y x -=--，即230x y +-=，又圆22(4)4x y -+=，圆心()40，到直线l，所以2EF == l所以 125OEF S ∆==. 【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，以及运用几何法求圆的弦长，属于中档题. 求点的轨迹方程的常用方法之一：直译法——“四步一回头”，四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(),x y ；（2）写出适合条件的点M 的集合(){}|P P M P M =；（3）将()P M “翻译”成代数方程(),0f x y =；（4）化简代数方程(),0f x y =为最简形式.一回头：回头看化简方程的过程是否为同解变形，验证求得的方程是否为所要求的方程.26．（1）t =±，p =2；（2）存在，△AFB . 【分析】（1）根据抛物线的定义求得方程即可.（2）由（1）易得M (-1，0)，F (1，0)，假设存在直线l ，设其方程为x =my -1(m ≠0)，将其代入24y x =，根据直线AF 与直线OB 垂直，由k AF ·k OB =-1，结合韦达定理求得m ，再分别求得弦长AB 和点F 到直线l 的距离，代入面积公式求解. 【详解】（1）由题意及抛物线的定义得342p+=，则p =2， ∴抛物线的方程为24y x =，又∵点T 在抛物线上，故243t =⨯，解得t =±. （2）由（1）易得M (-1，0)，F (1，0).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，假设存在直线l 满足题意，设其方程为x =my -1(m ≠0)，将其代入24y x =得24+4?=?0y my -，121244y y m y y +=⎧⎨=⎩所以由Δ=16m 2-16>0，得m >1或m <-1. 又直线AF 与直线OB 垂直，易知直线AF 与直线OB 的斜率都存在，所以k AF ·k OB =-1，即121211y y x x ⋅=--，所以1221212441(1)(1)(2)2y y x x my my my ===-----，解得1226,3m y y m==. 又2224+4?=?0y my -，解得m =Δ>0，所以满足条件的直线l的方程为550x ±=.此时AB ==12y y -，263555m m =-==，又点F 到直线l的距离d ==，所以△AFB的面积11||2255S AB d =⋅=⨯=. 【点睛】。

2023-2024学年河南省开封市高中数学苏教版选修一圆锥曲线与方程章节测试-3-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年河南省开封市高中数学苏教版选修一圆锥曲线与方程章节测试(3)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 过双曲线的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围为（）A. B. C. D. 22. 若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为（）A. B. C.D. 3. 已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C.D.122436484. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点且直线与轴垂直，若的角平分线恰好过点，则的面积为（）A. B. C. D. 5. 已知过双曲线的焦点的直线与交于两点，且使的直线恰好有3条，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.2 2 4 46. 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为（）A. B. C. D. 7. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线的同一条渐近线的距离之和为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.m<3-3<m<3m>3或-3<m<2m>2或-3<m<38. 方程表示双曲线，则m 的取值范围是（）A. B. C. D. 329. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且双曲线右支上一点P 到右焦点的距离的最小值为2，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.210. 已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，C 为E 上的一点，若A ，B ，C 三点构成顶角为120°的等腰三角形，则E 的离心率为（）A. B. C. D. 611. 已知双曲线，分别为左、右焦点，P 为曲线C 上的动点，若的平分线与x 轴交于点，则为（）A. B. C. D. 212. 已知双曲线的离心率是它的一条渐近线斜率的2倍，则（）A. B. C. D. 13. 已知是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为 . 设分别为双曲线的左、右焦点.若，则 .14. 已知双曲线C： 1（a＞0，b＞0），右顶点是A，若双曲线C右支上存在两点B、C，使△ABC为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是．15. 已知分别为双曲线的两个焦点，曲线上的点P到原点的距离为b，且，则该双曲线的离心率为 .16. 双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为．17. 已知双曲线的离心率为，且点在双曲线C上.(1) 求双曲线C的方程；(2) 若点M，N在双曲线C上，且，直线不与y轴平行，证明：直线的斜率为定值.18. 已知双曲线的离心率为2，为双曲线的右焦点，为双曲线上的任一点，且点到双曲线的两条渐近线距离的乘积为 .(1) 求双曲线的方程；(2) 设过点且与坐标轴不垂直的直线与双曲线相交于点，，线段的垂直平分线与轴交于点，求的值.19. 经过点作直线交双曲线于、两点，若（为坐标原点），求直线的方程．20. 已知，是双曲线的左､右顶点，为双曲线上与，不重合的点.(1) 设直线，的斜率分别为，，求证：是定值；(2) 设直线与直线交于点，与轴交于点，点满足，直线与双曲线交于点（与，，不重合）.判断直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由.21.(1) 求以椭圆的长轴端点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程；(2) 已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，求抛物线的方程.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.20.(1)(2)21.(1)(2)。

(易错题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(答案解析)

一、选择题1．已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点.若4FA FB =，则k =（）A ．45B C ．23D 2．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（）A ．54 B ．45C ．43D ．343．设直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且N 是线段AB 的中点，若直线l 有且只有4条，则p 的取值范围是（）A ．B ．(1,3)C ．(0,3)D ．4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是侧面11BCC B 内一点，且点P 满足到平面11ABB A 的距离等于到点1C 的距离，则点P 的轨迹是（）A ．一条线段B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分5．已知F 是抛物线2:4E y x =的焦点，若直线l 过点F ，且与抛物线E 交于B ，C 两点，以BC 为直径作圆，圆心为A ，设圆A 与y 轴交于点M ，N ，则MAN ∠的取值范围是（）A ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，则C 的离心率取值范围为（）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(C ．5,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（）A ．2B ．52C ．3D ．728．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线:l y kx =与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过点F ，若C 上存在点P 满足4=BP BF ，则C 的离心率为（） A ．3B ．102C ．5D ．109．设抛物线2:4(0)C x y p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线C 于,M N 两点，交l 于点P ，且PF FM =，则||MN =（）A ．2B ．83C ．5D ．16310．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2623⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．22223⎛ ⎝⎭D ．332,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11．已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为221x y -=.若直线l 与双曲线C 的右支相交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（） A ．(2,2)B ．2)C ．[2,2]D ．2)12．已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（） A ．)2,+∞B ．)2,⎡+∞⎣C ．(2D ．(2⎤⎦二、填空题13．设F 是抛物线2:2C y x =的焦点，A 、B 是抛物线C 上两个不同的点，若直线AB 恰好经过焦点F ，则4AF BF +的最小值为_______．14．已知椭圆22:12x C y +=的左焦点为F ，椭圆外一点(0,)(1)P t t >，直线PF 交椭圆于A 、B 两点，过P 作椭圆C 的切线，切点为E ，若23||4||||PE PA PB =⋅，则t =____________．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、焦点为1F 、2F ，点P 为双曲线C 的渐近线上一点，120PF PF ⋅=，若直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线C 的离心率为___________.16．在双曲线22221x y a b-=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.17．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >，0b >)的两条渐近线与直线1x =-所围成的三角形的面积为4，则双曲线C 的离心率为________.18．已知P 为椭圆22143x y +=上一点，1F 、2F 是焦点，1260F PF ∠=︒，则12F PF S =△______．19．对抛物线C ：24x y =，有下列命题：①设直线l ：1y kx =+，则直线l 被抛物线C 所截得的最短弦长为4；②已知直线l ：1y kx =+交抛物线C 于A 、B 两点，则以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切；③过点()()2,P t t R ∈与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；④若抛物线C 的焦点为F ，抛物线上一点()2,1Q 和抛物线内一点()()2,1R m m >，过点Q 作抛物线的切线1l ，直线2l 过点Q 且与1l 垂直，则2l 平分RQF ∠；其中你认为是正确命题的所有命题的序号是______.20．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的最大值为______．三、解答题21．（1）已知等轴双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上顶点到一条渐近线的距离为1，求此双曲线的方程；（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ，设过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长．22．已知抛物线()2:20C y px p =>过点()4,4-，直线2y x m =-+与抛物线C 相交于不同两点A 、B .（1）求实数m 的取值范围；（2）若AB 中点的横坐标为1，求以AB 为直径的圆的方程.23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，离心率为12．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点,Q P ，与椭圆分别交于点,M N ，各点均不重合且满足,PM MQ PN NQ λμ==．若4λμ+=-，证明：直线l 恒过定点．24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，且124AF AF +=. （1）求C 的方程；（2）过点2F 且斜率为1的直线与C 交于点M 、N ，求OMN 的面积.25．已知抛物线24C y x =：的交点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（1）当直线l 的倾斜角为135°时，求AB（2）若过点P （1,2）的直线m 与抛物线C 相切，且直线//m 直线l ，求直线l 的方程 26．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且|AF |＝3.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设10m k=>，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的方程可表示为2x my =-，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由4FA FB =可得出124y y =，代入韦达定理求出正数m 的值，即可求得k 的值.【详解】设10m k=>，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的方程可表示为2x my =-，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩，整理得28160y my -+=，264640m ∆=->，0m >，解得1m .由韦达定理可得128y y m +=，1216y y =，由4FA FB =得()12242x x +=+，即124my my =，124y y ∴=，12258y y y m ∴+==，可得285m y =，则22122844165m y y y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 0m >，解得54m =，因此，145k m ==. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.2．D解析：D 【分析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则可得切线,GP GQ 的方程，即可得到直线PQ 的方程，进而可求出点点,M N 的坐标，再结椭圆方程可求出2231OMON+的值【详解】解：设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=，因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=，所以直线PQ 的方程为334x x y y +=，所以3344(,0),(0,)M N x y ，因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x+=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==，故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的标准方程，以及简单性质有应用，解题的关键是设点33(,)G x y ，再由已知条件得到直线PQ 的方程为334x x y y +=，从而可得,M N 的坐标，进而可得答案，考查计算能力和转化能力，属于中档题3．B解析：B 【分析】根据l 有且只有4条，易知直线l 的斜率不存在时，有两条，得到直线l 斜率存在时，有两条，根据N 是线段AB 的中点，利用点差法得到0ky p =，再根据直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，得到0012y x k=--，结合得到02x p =-，2203y p =-再根据点N 在抛物线内部求解. 【详解】设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y ，因为l 有且只有4条，当直线l的斜率不存在时，有两条，即2=±x 所以直线l 斜率存在时，有两条，因为AB 在抛物线上，所以21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212122y y p x x -=-，因为N 是线段AB 的中点，所以1202y y y +=，所以12121202y y p pk x x y y y -===-+，即0ky p =，因为直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，所以0012y x k=--，即002x ky p -=-=-，所以02x p =-，代入抛物线22y px =，得()222y p p =-，因为点N 在抛物线内部，所以()2022y p p <-，因为点N 在圆上，所以2200(2)3x y -+=，即2203p y +=，所以2203y p =-，所以()220322y p p p =-<-，即2430p p -+<，解得13p <<，故选：B 【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．4．D解析：D 【分析】由题意画出图形，可知点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等，所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线．【详解】如图，点P 是侧面11BCC B 内的一动点，点P 到直线1BB 的距离即为点P 到面11ABB A 的距离，因为点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等，所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线，故选：D ．【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方法之定义法：将动点轨迹化归为某一基本轨迹（圆，椭圆，双曲线，抛物线等），然后利用基本轨迹的定义，直接写出方程.5．B解析：B 【分析】设设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y ，直线l ：()1y k x =-与 2:4E y x =联立可得()2222240k x k x k -++=，由韦达定理计算12x x +，12x x ，再求以BC 为直径作圆的半径12r BC =，求出圆心A 点横坐标，设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠，由圆的性质可得0cos x MAD r∠=并求出其范围，进而可得MAD ∠的范围，再讨论斜率不存在时MAD ∠的值，即可求解. 【详解】由抛物线2:4E y x =可知，焦点()1,0F ，设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y 设直线l ：()1y k x =-代入2:4E y x =可得()2222240k x k x k -++=，所以212224k x x k++= ，121=x x ()()22222121212241612444k k x x x x x x k k +⎛⎫+-=+-=-= ⎪⎝⎭，()()()2222212416111k BC k x x k k+=+-=+⨯，所以()2241k BC k +=，以BC 为直径作圆的半径()222112k r BC k+==，圆心为BC 的中点()20122122k x x x k+=+=，设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠，则()()()22202222221111cos 1222212121k x k k MAD r k k k k ++∠====+<+=+++ 且1cos 2MAD ∠>，所以03MAD π<∠<，当k 不存在时，1,2x y ==±，此时2r ，01x =，1cos 2MAD ∠=，3MAD π∠=，所以03MAD π<∠≤可得203MAN π<∠≤，所以MAN ∠的取值范围是20,3π⎛⎤⎥⎝⎦故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是联立直线与抛物线的方程，求出圆的半径和圆心坐标，由圆的性质知圆心与弦中点的连线与弦垂直可求出12MAN ∠的范围，进而可计算MAN ∠的范围.6．A解析：A 【分析】根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,列出关于e 的不等式，求解范围.【详解】取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以22222222224(2)444cos 244''+-+-+--∠==='AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c 221111⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，即2249902116160e e e e ⎧--≤⎨--≥⎩，解得433≤≤e . 故选：A.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．7．B解析：B 【分析】利用抛物线的定义，把P 到y 轴的距离转化为1||2PF -,利用几何法求最值【详解】抛物线22y x =的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线1:2l x =-，如图示：过P 作PP 1⊥y 轴于P 1,作PP 2⊥l于P 2,则211||||2PP PP -= 所以点P 到点332D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和为 1211||||||||||||22PD PP PD PP PD PF +=+-=+- 由图示，易知，当P 落在Q 时，DPF 三点共线，||||||PD PF DF +=, 其他位置，都有||||||PD PF DF +> 所以点P 到点332D ⎛⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为： 221111335||||||||||2022222PD PP PD PF DF ⎛⎫⎛⎫+=+-≥-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当D 、P 、F 三点共线时取最小值. 故选：B 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．8．B解析：B 【分析】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，求出BP ，AF ，BF 的坐标，根据4=BP BF 得到,m n ，由点F 在圆上得到22200=+c x y ，把点P ，B 坐标代入双曲线方程联立，可得答案. 【详解】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，()00,=--BP m x n y ，()00,=+AF c x y ，()00,=--BF c x y ． 4=BP BF ，()000044,c x m x y n y ⎧-=-∴⎨-=-⎩，00433m c x n y =-⎧⎨=-⎩．以AB 为直径的圆过点F ，()()00,,0AF BF c x y c x y ∴⋅=+⋅--=，即22200=+c x y ①，点P ，B 均在双曲线上，2200221x y a b ∴-=②，()()2200224331---=c x y a b ③．②-③整理得()()2000222--=-c x x c y a b ，将22200=-y c x 代入，整理得()22220223-=c a x c，于是()22222200233-=-=b a c y c x c ，最后将20x ，20y 代入双曲线方程，整理得22410c a =，所以2e ==．故选：B. 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系、圆的有关性质及与向量的结合，关键点是利用4=BP BF 和AF BF ⋅得到点之间的关系，考查了学生分析问题、解决问题的能力.9．D解析：D 【分析】由题意作出MD 垂直于准线l ，然后得2PM MD =，得30∠=︒DPM ，写出直线方程，联立方程组，得关于y 的一元二次方程，写出韦达定理，代入焦点弦公式计算. 【详解】如图，过点M 做MD 垂直于准线l ，由抛物线定义得MF MD =，因为PF FM =，所以2PM MD =，所以30∠=︒DPM ，则直线MN方程为1)x y =-，联立21)4x y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，消去x 得，231030y y -+=，设()()1122,,,M x y N x y ，所以121210,13y y y y +==，得121016||2233MN y y =++=+=. 故选：D.【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||=++AB x x p 或12||=++AB y y p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．10．B解析：B 【分析】由题意设椭圆的左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形，再根据椭圆的定义化简得22cos 2sin a c c ＝＋αα，得到离心率关于α的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数的单调性求得离心率的范围. 【详解】由题意椭圆22221x y a b+=()00a b >>，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α，所以22cos 2sin a c c αα+＝，利用2112sin cos 24c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴342πππα<+<，124πα<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭e 的取值范围是2⎛ ⎝⎭，故选B . 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到22cos 2sin a c c ＝＋αα,再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11．D解析：D 【分析】联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+，由于直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点，可得210k -≠，由2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得即可【详解】解：联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+，因为直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点，所以210k -≠，且2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得1k <<，所以实数k 的取值范围为，故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是直线方程和双曲线方程联立方程组，消元后结合题意可得2248(1)0k k ∆=+->，1k <，从而可得答案12．C解析：C 【分析】把P 的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围．【详解】设00(,)P x y ，则||PA ==又∵点P 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002b x y b a=-，∴||PA ===．当PA 最小时，0224202a ax e e -=-=>．又点P 不在顶点位置，∴22aa e>，∴22e <，∴e < ∵双曲线离心率1e >，∴1e <<故选：C ．【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．二、填空题13．【分析】设点设直线的方程为联立直线与抛物线的方程列出韦达定理推导出利用基本不等式可求得的最小值【详解】若直线与轴重合则直线与抛物线只有一个交点不合乎题意易知抛物线的焦点为准线方程为设点设直线的方程为解析：92【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立直线AB 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，推导出112AF BF+=，利用基本不等式可求得4AF BF +的最小值. 【详解】若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意.易知抛物线C 的焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得2210y my --=，2440m ∆=+>，由韦达定理可得122y y m +=，121y y =-，()()()12121212211111*********m y y AF BF my my my my x x +++=+=+=++++++()()21222212122222121m y y m m y y m y y m m +++===+++-++， ()4111144522AF BF AF BF AF BF AF BF BF AF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19522⎛≥+= ⎝，当且仅当2AF BF =时，等号成立，因此，4AF BF +的最小值为92. 故答案为：92. 【点睛】结论点睛：过抛物线的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，则112AF BF p+=. 14．【分析】设交点由两点得直线方程由直线方程与椭圆方程联立消去后应用韦达定理得可计算代入在上半椭圆用函数解析式表示出上半椭圆并求导数设切点为求出切线方程切点坐标可用表示从而求得代入已知等式后求得值【详解解析：2【分析】设交点1122(,),(,)A x y B x y ，由两点得直线PF 方程，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得1212,x x x x +，可计算PA PB ，代入1212,x x x x +，P 在上半椭圆，用函数解析式表示出上半椭圆，并求导数，设切点为11(,)x y ，求出切线方程，切点坐标可用t 表示，从而求得2PE ，代入已知等式后求得t 值．【详解】由题意(1,0)F -，直线AB 方程为00(1)t y x t tx t -=+=+--，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2212y tx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(12)4220t x t x t +++-=，2122412t x x t +=-+，21222212t x x t-=+， ∵,PA PB 同向，∴11221212(,)(,)()()PA PB PA PB x y t x y t x x y t y t =⋅=-⋅-=+--22211221222(1)(1)(,)(,)(1)21t t x tx x tx t x x t +-⋅=+=+，设11(,)E x y ，过E 点的切线方程为11()y y k x x -=-，1t >，切点E 在x轴上方，由y =2xy y '==-，∴112PE xk y =-，切线方程为1111()2x y y x x y -=--，化简得1122x x y y +=，直线过(0,)P t ，则122y t =，11y t =，由椭圆方程得21222x t=-， 222211221()2()PE x y t t t t=+-=-+-， ∵23||4||||PE PA PB =⋅，∴22222218(1)(1)32()21t t t t t t +-⎡⎤-+-=⎢⎥+⎣⎦，化简得223t =，∵1t >，∴t =故答案为：2．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆相交、相切问题，解题方法是设而不求的思想方程，即设交点1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得1212,x x x x +，然后计算PA PB ，设切点坐标，用导数求出切线斜率，得切线方程，代入坐标(0,)t 可求得切点坐标（用t 表示），求出2PE ，再结合已知条件求出结果．15．【分析】作出图形设与圆相切于点分析出可求得的值进而可得出双曲线的离心率为即可得解【详解】如下图所示设与圆相切于点则则则为的中点则为的中点由直角三角形的性质可得因为为的中点则由于双曲线的两渐近线关于轴解析：2【分析】作出图形，设1PF 与圆222x y a +=相切于点E ，分析出23POF π∠=，可求得ba的值，进而可得出双曲线C 的离心率为21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】如下图所示，设1PF 与圆222x y a +=相切于点E ，则OE a =，120PF PF ⋅=，则12PF PF ⊥，1OE PF ⊥，则2//OE PF ， O 为12F F 的中点，则E 为1PF 的中点，222PF OE a ∴==，由直角三角形的性质可得1OF OP =，因为E 为1PF 的中点，则1EOF POE ∠=∠，由于双曲线的两渐近线关于y 轴对称，可得21POF EOF ∠=∠，所以，12EOF POE POF ∠=∠=∠，则1223EOF POE POF POF π∠+∠+∠=∠=，所以，23POF π∠=，则tan 33b a π==，因此，双曲线C 的离心率为22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.16．5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式可设的三边长表示为最后根据勾股定理得到根据齐次方程求解离心率【详解】设并且的三边成等差数列最长的边为则三边长表示为又整理为两边同时除以得解得：或（舍）所解析：5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式，可设12PF F △的三边长表示为24,22,2c a c a c --，最后根据勾股定理得到22650c ac a -+=，根据齐次方程求解离心率. 【详解】设12PF PF >，并且122PF PF a -=，12PF F △的三边成等差数列，最长的边为2c ，则三边长表示为24,22,2c a c a c --，又1290F PF ∠=，()()22224224c a c a c ∴-+-=，整理为22650c ac a -+=，两边同时除以2a 得，2650e e -+=，解得：5e =或1e =（舍），所以双曲线的离心率是5. 故答案为：5 【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.17．【分析】求出双曲线的渐近线方程求解时的值然后求解三角形的面积推出离心率即可【详解】双曲线的渐近线方程为将代入中解得故故故双曲线的离心率故答案为：【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1【分析】求出双曲线的渐近线方程，求解1x =-时，y 的值，然后求解三角形的面积，推出离心率即可．【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，将1x =-代入b y x a =±中，解得by a=±，故12142ba =，故4b a=，故双曲线C 的离心率c e a ===．【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出,a c 的值再代离心率的公式求解）；（2）方程法（根据已知找到关于离心率的方程再解方程得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.18．【分析】利用余弦定理以及椭圆的定义可得再由三角形面积公式计算可得结果【详解】由已知得所以从而在中即①由椭圆的定义得即②由①②得所以故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的定义考查余弦定理的应用三角【分析】利用余弦定理以及椭圆的定义可得124PF PF ⋅=，再由三角形面积公式计算可得结果. 【详解】由已知得2a =，b =1c ==，从而1222F F c ==，在12F PF △中，2221212122cos60F F PF PF PF PF ︒=+-⋅，即2212124PF PF PF PF =+-⋅，① 由椭圆的定义得124PF PF +=，即221212162PF PF PF PF +=+⋅，② 由①②得124PF PF ⋅=，所以12121sin 602F PF S PF PF ︒=⋅=△【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的定义，考查余弦定理的应用、三角形面积公式，对于焦点三角形面积问题，一是结合余弦定理和面积公式，二是利用椭圆定义可得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.19．①②④【分析】①将抛物线与直线联立消去利用根与系数关系求出再由弦长公式即可求出弦长进而可求出弦长的最小值即可判断①的正误；②利用中点坐标公式求出以为直径的圆的圆心的纵坐标判断圆心到直线的距离与半径的解析：①②④ 【分析】①将抛物线与直线联立消去y ，利用根与系数关系求出12x x +，12x x ，再由弦长公式即可求出弦长，进而可求出弦长的最小值，即可判断①的正误；②利用中点坐标公式，求出以AB 为直径的圆的圆心的纵坐标，判断圆心到直线的距离121y y ++与半径||2AB r =的大小关系，即可判断②的正误； ③将2x =代入24x y =，可得()2,1P 在抛物线上，此时当直线的斜率不存在时，只有一个交点，当直线与抛物线相切时，也只有一个交点，故与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，可判断③错误；④设1l 的方程为()12y k x -=-，将直线与抛物线联立消去y ，利用判别式即可求出k ，进而可求出直线1l 的倾斜角，即可判断④的正误. 【详解】①联立方程241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 可得2440x kx --=，216160k ∆=+>恒成立，设两交点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，所以由根与系数的关系得124x x k +=，124x x ⋅=-，故AB ==2444k =+≥，当0k =时，AB 取得最小值4，所以最短弦长为4，故①正确，②由①可知124x x k +=，则21212242y y kx kx k +=++=+，故以AB 为直径的圆的圆心坐标为()22,21k k +，半径2222ABr k ==+，抛物线24x y =的准线方程为1y =-，故圆心到准线1y =-的距离2221122d k k r =++=+=，所以以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切，故②正确，③将2x =代入24x y =，解得1y =，所以当1t =时，即()2,1P 在抛物线上，当直线的斜率不存在时，方程为2x =，此时只有一个交点()2,1，当直线斜率存在且只与抛物线只有一个交点时，当且仅当该直线为切线时满足条件，所以过点()2,P t 只与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，故③错误， ④因为抛物线的焦点为()0,1F ，又()2,1Q ，()2,R m ，所以三角形FQR 为直角三角形且过()2,1Q 的切线斜率一定存在，设1l 的方程为()12y k x -=-，代入24x y =，可得24840x k k -+-=，由()2164840k k ∆=--=可得1k =，即直线1l 的倾斜角为45︒，因为直线2l 过点Q 且与1l 垂直，所以一定平分RQF ∠，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组； (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．20．【分析】设左焦点为根据椭圆的定义有且O 是直角三角形斜边的中点所以离心率由角的范围可求得离心率的最大值【详解】因为关于原点对称所以B 也在椭圆上设左焦点为根据椭圆的定义：又因为所以O 是直角三角形斜边的中【分析】设左焦点为F '，根据椭圆的定义有，||||2AF BF a +=，且O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，离心率11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由角的范围可求得离心率的最大值. 【详解】因为,B A 关于原点对称，所以B 也在椭圆上，设左焦点为F '，根据椭圆的定义：||2AF AF a '+=，又因为||BF AF '=，所以||||2AF BF a +=，O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，所以2(sin cos )2c a αα+=，所以11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12πα=,故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：求椭圆的离心率关键在于由椭圆的定义，善于利用平面几何中的边、角关系建立关于,,a b c 的等式或不等式.三、解答题21．（1）22122y x -=；（2）8.【分析】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，再由点到直线距离公式求解即可；（2）求得直线方程代入抛物线，结合焦点弦长求解即可. 【详解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，且顶点(0,)a 到渐近线的距离为1，可得1a b =⎧=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22122y x -=（2）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．与抛物线方程联立，得214y x y x =-⎧⎨=⎩，消y ，整理得2610x x -+=，设其两根为1x ，2x ，且126x x +=．由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=．所以，线段AB 的长是8．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 22．（1）1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）()()2215114x y -++=.【分析】（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，再将直线2y x m =-+的方程与抛物线C 的方程联立，利用0∆>可求得实数m 的取值范围；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，列出韦达定理，由线段AB 的中点的横坐标可求得m 的值，可求得线段AB 的中点坐标，利用弦长公式可求得AB ，进而可求得以线段AB 为直径的圆的方程. 【详解】（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，可得()28416p =-=，解得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，联立224y x m y x=-+⎧⎨=⎩，整理可得()224440x m x m -++=，由已知条件可得()22441632160m m m ∆=+-=+>，解得12m >-，因此，实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由韦达定理可得121x x m +=+，2124m x x =，由于AB 中点的横坐标为1，则1212x x m +=+=，解得1m =，1214x x ∴=，由弦长公式可得12AB x x =-===，所以，所求圆的圆心坐标为()1,1- 因此，以AB 为直径的圆的方程为()()2215114x y -++=. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.23．（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得122,2c c a ==，再由222b a c =-求出b 的值，从而可得椭圆C 的标准方程；（2）设()()(0,),(,0)(0),,,,M M N N P p Q q q M x y N x y >，从而得()()()(),,,,,,,M M M M N N N N PM x y p MQ q x y PN x y p NQ q x y =-=--=-=--，然后由,PM MQ PN NQ λμ==，可得()222312244120q p λλ--+-=和()222312244120qp μμ--+-=，由此可知,λμ为方程()222312244120q x x p --+-=的两不相等实数根，所以有2244312q λμ+==--，可求出q 的值，从而可得答案【详解】（1）依题意，22,1c c =∴=．由12c a =，得2,a b =∴= 故椭圆方程为22143x y +=．（2）设()()(0,),(,0)(0),,,,M M N N P p Q q q M x y N x y >，()()()(),,,,,,,M M M M N N N N PM x y p MQ q x y PN x y p NQ q x y ∴=-=--=-=--．由PM MQ λ=，得()()M M M M x q x y p y λλ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩，11M M q x p y λλλ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩．∵点M 在椭圆上，2211143q p λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴+=，整理得()222312244120qp λλ--+-=．同理，由PN NQ μ=可得()222312244120q p μμ--+-=．,λμ∴为方程()222312244120q x x p --+-=的两不相等实数根，2244312q λμ∴+==--． 22q ∴=．又0,q q >∴=∴直线l恒过定点Q ．【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是由,PM MQ PN NQ λμ==，得到()222312244120q p λλ--+-=和()222312244120q p μμ--+-=，从而有,λμ为方程()222312244120qx x p --+-=的两不相等实数根，再利用根与系数的关系可得答案，考查数学转化思想，属于中档题24．（1）22143x y +=；（2）7. 【分析】（1）利用椭圆的定义可求出a 的值，将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，求出2b 的值，进而可得出椭圆C 的方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，写出直线MN 的方程，联立直线MN 与椭圆C 的方程，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合韦达定理可求得OMN 的面积. 【详解】（1）由椭圆的定义可得1224AF AF a +==，可得2a =，椭圆C 的方程为22214x y b+=，将点A 的坐标代入椭圆C 的方程可得291414b +=，解得23b =，因此，椭圆C 的方程为22143x y +=；。

高中数学选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题(含答案)

12PF F S ＝解析：设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02y ＝y 0＋12，∴⎩⎨⎧x 0＝2xy 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案：A7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案：B8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y . (2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t 2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8]＝8－t 24＋t 2≤6，即|PQ |的最大值为6.19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，12PF F S ＝123，求双曲线的标准方程．解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴所求k 的值为2.21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积．解析：(1)由题意知b ＝1，c a ＝22，且c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，c ＝1. 易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎨⎧y ＝－2x －2x22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故CDF S2＝12|CD |·d ＝4910. 22．(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为。

(压轴题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测(含答案解析)

一、选择题1．过双曲线22115y x -=的右支上一点P 分别向圆221:(4)4C x y ++=和222:(4)1C x y -+=作切线，切点分别为M N 、，则22||||PM PN -的最小值为（）A ．10B ．13C ．16D ．192．设1F ，2F 是双曲线C ：22111y x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点M 在C 上且OM =12MF F △的面积是（）A ．10B ．11C ．12D ．133．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2223x y -+=截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．3B ．2C D4．已知F 是双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左焦点，过点F 的直线与双曲线E 的左支和两条渐近线依次交于,,A B C 三点，若||||||FA AB BC ==，则双曲线E 的离心率为（）A BC ．2D 5．已知12,F F 分别是双曲线2214x y -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若12PF F △内切圆圆心为I ，则圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为（）A ．2B 1C ．1D 26．设1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点.若126PF PF a +=，且122PF F S =△，则双曲线C 的渐近线方程是（）A 0y ±=B ．0x ±=C 20y ±=D ．20x =7．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左右焦点，点P 在双曲线右支上且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若OA =，则该双曲线的离心率为（）A B C ．2 D8．已知椭圆222:14x y C b+=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足||||OF FP =，则b =（）A ．3BC D 9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线:l y kx =与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过点F ，若C 上存在点P 满足4=BP BF ，则C 的离心率为（）A B ．2C D10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，若直线:l y kx =，3k ∈⎣与双曲线C 交于M 、N 两点，且11MF NF ⊥，则双曲线C 的离心率的取值范围是（）A ．()1,2B ．)2C ．1⎤⎦D ．(1⎤⎦11．已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为221x y -=.若直线l 与双曲线C 的右支相交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（）A ．(B ．C ．[D ．12．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(1,8),A P -为抛物线上一点，则||||PA PF +的最小值是（） A ．3B ．9C ．12D ．6二、填空题13．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点且斜率为3的直线，与双曲线的左右两支分别相交，则此双曲线的离心率的取值范围是___________.(用区间表示)14．已知双曲线()22210y x a a -=>的离心率e =12,F F 分别是它的下焦点和上焦点，若Р为该双曲线上支上的一个动点，则1PF 与P 到一条渐近线的距离之和的最小值为_________．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =-与椭圆的一个交点M 满足21122MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于________．16．已知圆22:68210C x y x y ++++=，点A 是圆C 上任一点，抛物线28y x =的准线为l ，设抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为m ，则m PA +的最小值为_______ 17．点P 为椭圆C 上一动点，过点P 作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为M ，N ，若60MPN ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(c,0)F ，点P 在椭圆C 上，线段PF与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF =，则椭圆C 的离心率为_______.19．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点11(,)P x y ，22(,)Q x y .①抛物线24y x =焦点到准线的距离为2； ②若126x x +=，则8PQ =；③2124y y p =-；④过点P 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点A ，则直线AQ 平行于抛物线的对称轴；⑤绕点(2,1)-旋转且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条. 以上结论中正确的序号为__________.20．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足||3||PF FQ =，若||OP b =，则E 的离心率为_________.三、解答题21．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当l ⊥x 轴时，｜AB ｜＝4，（1）求p 的值；（2）若|AF |＝2|BF |，求直线l 的方程.22．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，点E 在l 上，且PEF 是边长为4的正三角形．（1）求C 的方程；（2）过F 作直线m ，交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为1-，求直线m 的方程．23．已知点(-在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，E 的离心率为2．（1）求E 的方程；（2）设过定点(0,2)A 的直线l 与E 交于不同的两点,B C ，且COB ∠为锐角，求l 的斜率的取值范围．24．已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点F ，抛物线E 上一点()3,t 到焦点的距离为4.（1）求抛物线E 的方程；（2）过点F 作直线l ，交抛物线E 于,A B 两点，若线段AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程.25．如图，已知抛物线()2:20C y px p =>，焦点为F ，过点()2,0G p 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，设()11,A x y 、()22,B x y .（1）若124x x ⋅=，求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点M ，直线BF 交抛物线C 于另一点N .求证：直线l 与直线MN 斜率之比为定值.26．在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 到定点(1,0)F 的距离与到定直线:1l x =-的距离相等，记P 的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）过点F 的直线交曲线Γ于点A 、B （其中点A 在第一象限），交直线l 于点C ，且点F 是AC 的中点，求线段AB 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【详解】解：圆221:(4)4C x y ++=的圆心为(4,0)-，半径为12r =；圆222:(4)1C x y -+=的圆心为(4,0)，半径为21r =，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，可得2222221122||||(||)(||)PM PN PF r PF r -=--- 22212(||2)(||1)PF PF =---22121212||||3(||||)(||||)3PF PF PF PF PF PF =--=-+-12122(||||)32(||||)322328313a PF PF PF PF c =+-=+-⨯-=⨯-=．当且仅当P 为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选：B ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力．2．B解析：B 【分析】由12F F M △是以M 为直角直角三角形得到2212||||48MF MF +=，再利用双曲线的定义得到12||||2MF MF -=，联立即可得到12||||MFMF ，代入12F F M S =△121||||2MF MF 中计算即可. 【详解】由22111y x -=可知1,23a c ==不妨设12(23,0),(23,0)F F -，因为121232OM F F ==，所以点M 在以12F F 为直径的圆上，即12F F M △是以M 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||MF MF F F +=，即2212||||48MF MF +=，又12||||22MF MF a -==，所以2124||||MF MF =-=2212||||2MF MF +-12||||482MF MF =-12||||MF MF ，解得12||||22MF MF =，所以12F F M S =△121||||112MF MF = 故选：B 【点晴】关键点点睛：根据OM =12MF F △为直角三角形是解题的关键，再结合双曲线的定义及勾股定理，即可计算焦点三角形面积，是一道中档题.3．D解析：D 【分析】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±，利用圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理可求得k的值，再利用e =可求得双曲线C 的离心率e 的值. 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中b k a=±，圆()2223x y -+=的圆心坐标为()2,0，半径为r =圆心到直线y kx =的距离为d =另一方面，由于圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理，可得d ===，解得1k =±，1ba∴=，因此，双曲线C的离心率为c e a ===== 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.4．B解析：B 【分析】可设出直线AB ，与两渐近线方程联立，解出,B C y y ，利用两者的关系式求出直线的斜率.进而表示出A 的坐标，代入双曲线方程，得到,,a b c 的关系式，从而求得离心率. 【详解】||||||FA AB BC ==，故有1123A B C y y y == 故32B C y y =设过点F 的直线方程为：()y k x c =+联立()y k x c b y x a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，解之得C C kc x bk a b kc a y b k a -⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪⎪+⎩ 同理联立()y k x c by x a ⎧=+⎪⎨=⎪⎩解之得B B kc x bk a b kc a y b k a ⎧=⎪-⎪⎪⎨⎪=⎪⎪-⎩由32B C y y =有23b bkc kca ab b k k a a =+-，故3232b b k k a a +=- 解之得5bk a=-直线为：()5by x c a=-+ 则1212A B bc y y a -==，又()5A A b y x c a =-+ 故712A cx =-又A 在双曲线上可得：2222491144144c c a a -= 得2213c a =故ca =故选：B 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．C解析：C 【分析】设12PF F △内切圆与12PF F △的三边1PF ､2PF ､12F F 的切点分别为D ､N ､M ，根据圆的切线性质，可得2OM =，即可得答案. 【详解】设12PF F △的内切圆分别与12,PF PF 切于点,A B ，与12F F 切于点M ，则11||||,||||PA PB F A F M ==，22||||F B F M =．又点P 在双曲线右支上， 12||||2PF PF a ∴-=，即12(||||)(||||)2PA F A PB F B a +-+=， 12||||2F M F M a ∴-= ①，又12||||2F M F M c += ②，由①＋②，解得1||F M a c =+，又1||OF c =，则(,0)M a ，因为双曲线2214x y -=的2a =，所以内切圆圆心I 与在直线2x =上，设0(2,)I y ，设圆22(1)1y x +-=的圆心为C ，则(0,1)C ，所以||CI =01y =时，min ||2CI =，此时圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为min ||1211CI -=-=．故选： C ．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，关键点是由定义和已知得到12||||2F M F M a -=和12||||2F M F M c +=，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.6．A解析：A 【分析】利用双曲线的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可求得123F PF π∠=，利用双曲线的定义以及126PF PF a +=可求得14PF a =，22PF a =，再利用余弦定理可得出ba的值，由此可求得双曲线C 的渐近线方程. 【详解】设12F PF θ∠=，由双曲线的定义可得122PF PF a -=，在12PF F △中，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即()()()22212121212222cos 421cos c PF PF PF PF PF PF a PF PF θθ=-+⋅-⋅=+⋅-，所以，222122221cos 1cos c a b PF PF θθ-⋅==--， 1222221222sin cos1sin 22sin 321cos tan112sin 22PF F b b b S PF PF b θθθθθθθ⋅=⋅====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭△，3tan23θ∴=， 0θπ<<，可得022θπ<<，26θπ∴=，所以，3πθ=，由已知可得121226PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1242PF a PF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即222221416416122c a a a a =+-⨯=，则223c a =，即2223a b a +=，2b a ∴=，因此，双曲线C 的渐近线方程为2by x x a=±=±，即20x y ±=. 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：（1）转化已知条件，得到a 、b 、c 中任意两个量的等量关系；（2）若得到a 、b 的等量关系，则渐近线方程可得；若已知a 、c 或b 、c 之间的等量关系，结合222+=a b c 可求得ba的值，则渐近线方程可求. 7．B解析：B 【分析】延长2F A 交1PF 于点Q ，可得1223QF OA b ==，结合双曲线的定义可得,a b 的关系，从而求得离心率．【详解】延长2F A 交1PF 于点Q ，∵PA 是12F PF ∠的平分线，∴2AQ AF =，2PQ PF =，又O 是12F F 中点，所以1//QF AO ，且1223QF OA b ==，又11122QF PF PQ PF PF a =-=-=，∴223a b =，222233()a b c a ==-，∴233c e a ==．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的关系，解题方法是延长2F A 交1PF 于点Q ，利用等腰三角形的性质、平行线的性质得出123QF b =，然后由双曲线的定义得出关系式，从而求解．8．B【分析】首先由椭圆的对称性得到点P 的位置，再求解,c b 的值. 【详解】根据椭圆的对称性可知，若椭圆上只有一个点满足OF FP =，这个点只能是右顶点，即2a c c a c -=⇒=，由条件可知242a a =⇒=，则1c =，那么b ==故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定点P 的位置，从而得到2a c =这个关键条件.9．B解析：B 【分析】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，求出BP ，AF ，BF 的坐标，根据4=BP BF 得到,m n ，由点F 在圆上得到22200=+c x y ，把点P ，B 坐标代入双曲线方程联立，可得答案. 【详解】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，()00,=--BP m x n y ，()00,=+AF c x y ，()00,=--BF c x y ．4=BP BF ，()000044,c x m x y n y ⎧-=-∴⎨-=-⎩，0433m c x n y =-⎧⎨=-⎩．以AB 为直径的圆过点F ，()()00,,0AF BF c x y c x y ∴⋅=+⋅--=，即22200=+c x y ①，点P ，B 均在双曲线上，2200221x y a b ∴-=②，()()2200224331---=c x y a b ③．②-③整理得()()2000222--=-c x x c y a b ，将22200=-y c x 代入，整理得()22220223-=ca x c，于是()2222220233-=-=b ac y c x c ，最后将20x ，20y 代入双曲线方程，整理得22410c a =，所以2e ==．故选：B.本题考查了直线与双曲线的位置关系、圆的有关性质及与向量的结合，关键点是利用4=BP BF 和AF BF ⋅得到点之间的关系，考查了学生分析问题、解决问题的能力.10．C解析：C 【分析】根据题意，得到()1,0F c -，设(),M x y ，则(),N x y --，由11MF NF ⊥，求出2220x y c +-=与双曲线联立，求出()2222242242222a c a x c c a c a y c ⎧-⎪=⎪⎨-+⎪=⎪⎩，再由2221,33y k x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，列出不等式求解，即可得出结果【详解】因为点1F 为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左焦点，则()1,0F c -，设(),M x y ，由题意有(),N x y --，则()1,MF c x y =---，()1,NF c x y =-+，又11MF NF ⊥，所以()()2110MF NF c x c x y ⋅=---+-=，则2220x y c +-=，又(),M x y 在双曲线上，所以22221x y a b-=，由22222222221x y a b x y c c a b ⎧-=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得()2222242242222a c a x c c a c ay c ⎧-⎪=⎪⎨-+⎪=⎪⎩，又M 在直线y kx =上，k ∈⎣，所以()4224424222222222212111,33212c a c a e e e e e a c a y k x -+-+---⎡⎤====-∈⎢⎥⎣⎦，即42424213421e e e e ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≤⎪-⎩，整理得42423840840e e e e ⎧-+≥⎨-+≤⎩，解得224e ≤≤+2243e -≤（舍，因为双曲线离心率大于1），1e ≤，故选：C关键点点睛：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的标准方程，解决本题的关键点是把11MF NF ⊥转化为向量数量积的坐标表示，求出点M 的轨迹方程，结合点在双曲线上，求出点的坐标，代入斜率公式求出离心率的范围，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．11．D解析：D 【分析】联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+，由于直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点，可得210k -≠，由2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得即可【详解】解：联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+，因为直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点，所以210k -≠，且2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得1k <<，所以实数k 的取值范围为，故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是直线方程和双曲线方程联立方程组，消元后结合题意可得2248(1)0k k ∆=+->，1k <，从而可得答案12．B解析：B 【分析】根据抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得||||||||PA PF PA PF AM +=+≥，故AM 为所求【详解】解：由题意得2p =，焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-，设P 到准线的距离为PM ，（即PM 垂直于准线，M 为垂足），则||||||||9PA PF PA PF AM +=+≥=，（当且仅当,,P A M 共线时取等号），所以||||PA PF +的最小值是9，故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，解题的关键是由题意结合抛物线定义得||||||||PA PF PA PF AM +=+≥，从而可得结果二、填空题13．【分析】根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系再利用求得离心率范围即可【详解】过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点且一条渐近线的斜率为若斜率为的直线与双曲线的左右两支分别相交则则离心率故答案解析：)+∞【分析】根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系，再利用e =求得离心率范围即可. 【详解】过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，且一条渐近线的斜率为b a，若斜率为3的直线与双曲线的左右两支分别相交，则3ba>，则离心率c e a ===>.故答案为：)+∞.【点睛】求双曲线离心率常见方法：（1）直接法：由a ，c 直接计算离心率ce a=；（2）构建齐次式：利用已知条件和双曲线的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b c a =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.14．【分析】根据离心率先求出双曲线的方程得出渐近线方程根据双曲线的定义可得：所以设点到一条渐进线的距离为则从而得出答案【详解】双曲线的离心率所以解得所以双曲线由的双曲线的渐进线方程为由为该双曲线上支上的解析：5【分析】根据离心率先求出双曲线的方程，得出渐近线方程，根据双曲线的定义可得：1224PF PF a -==，所以124PF PF =+，设点Р到一条渐进线的距离为d ，则124PF d PF d +=++，从而得出答案.【详解】双曲线()22210y x a a -=>的离心率52e =所以221514e a =+=，解得2a =，所以()()120,5,0,5F F - 双曲线2214y x -=，由2204y x -=，的双曲线的渐进线方程为2y x =±由Р为该双曲线上支上的一个动点，根据双曲线的定义可得：1224PF PF a -== 所以124PF PF =+，设点Р到渐进线2y x =的距离为d则124PF d PF d +=++，过2F 作渐进线2y x =的垂线，垂足为M ,如图.所以225112F M ==+所以122445PF d PF d F M +=++≥+=同理1PF 与P 到渐近线2y x =-的距离之和的最小值为5 故答案为：5【点睛】关键点睛：本题考查利用双曲线的定义解决距离之和的最值问题，解答本题的关键是根据双曲线的定义可得：1224PF PF a -==，所以124PFPF =+，设点Р到渐进线2y x =的距离为d ，则124PF d PF d +=++，过2F 作渐进线2y x =的垂线，属于中档题.15．【分析】由题意利用直角三角形的边角关系可得再利用椭圆的定义及离心率的计算公式即可得出【详解】设直线的倾斜角为则在直角三角形中令则由椭圆定义得椭圆的离心率故答案为：【点睛】熟练掌握直角三角形的边角关系 31【分析】由题意1290F MF ∠=，利用直角三角形的边角关系可得21,MF MF，再利用椭圆的定义及离心率的计算公式即可得出．【详解】设直线3()y x c =--的倾斜角为α，则tan 3α=-，0180α≤<120α∴=．21211212122360090F MF F MF F M F MF M F F F ∴∠=∠=∠∴∠=∴∠=在直角三角12F MF 形中，令1c =，则22211,213MF MF ==-=由椭圆定义得122||||31a MF MF =+=+∴椭圆的离心率231231c e a ===-+．故答案为：31-．【点睛】熟练掌握直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率的计算公式是解题的关键，属于基础题．16．【分析】由抛物线的定义可知结合圆的性质当且仅当三点共线时等号成立取得最值【详解】由圆可得圆心设的焦点为则抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为过点作于点则由抛物线的定义可知所以当且仅当三点共线时等号成立解析：412-【分析】由抛物线的定义可知m PF =，m PA PF PA +=+结合圆的性质，当且仅当,,P F C 三点共线时等号成立取得最值. 【详解】由圆22:68210C x y x y ++++=可得圆心()3,4C --，2r，设28y x =的焦点为F ，则()2,0F ，:2l x =-，抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为m ，过点P 作PH l ⊥于点H ，则PH m =，由抛物线的定义可知PH PF =，所以2m PA PH PA PF PA FC r FC +=+=+≥-=-22==，当且仅当,,P F C 三点共线时等号成立，所以m PA +2，2. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用抛物线的定义转化为抛物线上一点到焦点的距离与到圆上一点的距离之和的最小值，利用三点共线即可求解.17．【分析】根据题意找到abc 的关系求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为因为所以所以所以椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点所以即所以离心率所以故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据解析：⎫⎪⎪⎣⎭【分析】根据题意，找到a 、b 、c 的关系，求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为O ，因为60MPN ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以||2||OP OM =，所以2OP b =，椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以2a b ≥，即12b a ≤，2222211,,44b ac a a -∴≤∴≤所以离心率c e a ==≥=⎫∈⎪⎪⎣⎭e .故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．18．【分析】根据数形结合分析可得并根据勾股定理可得计算离心率【详解】如图首先画出函数图象又且且根据椭圆的定义可知由勾股定理可知即整理为即故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围求椭圆离心解析：53【分析】根据数形结合分析，可得'PF PF⊥，并根据勾股定理，可得()()22222244b a bc a b+-==-，计算离心率.【详解】如图，首先画出函数图象，1233EF OF OE c c c=-=-=，2131'23cEFEF c c∴==+，又2PQ QF=，'//PF QE∴，且1'3QEPF=，且'PF PF⊥，3bQE=，'PF b∴=，根据椭圆的定义可知2PF a b=-，由勾股定理可知22212'PF PF F F+=，即()()22222244b a bc a b+-==-整理为222224444b a b ab a b++-=-，即23ba=，2251c ba a∴=-=.故答案为：53【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c直接求，2.根据条件建立关于,a c的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c的等量关系求解.19．①②④【分析】焦点到准线的距离为即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理可判断③；求出两点坐标计算斜率即可判断④；时与抛物线只有一个交点设过点的直线为与抛解析：①②④ 【分析】焦点到准线的距离为p 即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线PQ 方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断③；求出,A Q 两点坐标，计算AQ 斜率即可判断④；1y =时与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--，与抛物线方程联立，利用0∆=求出k 的值，即可得出有一个公共点的直线条数，可判断⑤，进而可得正确答案. 【详解】抛物线2:4C y x =可得2p =，()1,0F对于①：抛物线24y x =焦点为()1,0F ，准线l 为1x =-，所以焦点到准线的距离为2，故①正确；对于②：根据抛物线的对义可得：121286222p px x x P p Q x +++=++=+==，对于③：设直线PQ 方程为：1x ky =+与2:4C y x =联立可得2440yky --=，可得124y y =-，因为2p =，所以2124y y p ≠-，故③不正确；对于④：11(,)P x y ，所以OP ：11y y x x = ，由111y y x x x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩可得11y y x =-，所以111,y A x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为22(,)Q x y ，124y y =- 解得：214y y -=，所以214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为11(,)P x y 在抛物线2:4C y x =上，所以2114y x =，所以21114x y =，1114y x y -=-所以141,A y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0AQ k =，所以//AQ x 轴，即直线AQ 平行于抛物线的对称轴，故④正确；对于⑤：1y =时，显然与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--，由224x ky k y x=--⎧⎨=⎩可得：24480y ky k -++=，令()2164480k k ∆=-+= 可得2k =或1k =-，故过点(2,1)-且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条.，故⑤不正确，故答案为：①②④ 【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线22y px =()0p >的焦点F 的弦，若()11,A x y ，()22,B x y ，则：（1）2124p x x =，212y y p =-；（2）若点A 在第一象限，点B 在第四象限，则1cos p AF α=-，1cos pBF α=+，弦长1222sin pAB x x p α=++=，（α为直线AB 的倾斜角）；（3）112||||FA FB p+=；（4）以AB 为直径的圆与准线相切；（5）以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.20．【分析】由题意设即有由双曲线定义及已知可得且结合点在曲线上联立方程得到关于的齐次方程即可求得离心率【详解】令则且①由题意知：E 的左准线为结合双曲线第二定义知：又∴解得②∵知：∴联立①②得：整理得∴故解析：3【分析】由题意设00(,)P x y ，即有00(,)Q x y --，由双曲线定义及已知可得22003()a a x x c c +=-且22200x y b +=，结合点在曲线上联立方程得到关于,a c 的齐次方程，即可求得离心率.【详解】令00(,)P x y ，00,0x y >则00(,)Q x y --且2200221x y a b-=①，由题意知：E 的左准线为2a x c =-，结合双曲线第二定义知：20||()a PF e x c=+，20||()a FQ e x c =-，又||3||PF FQ =，∴22003()a a x x c c +=-，解得202a x c=②， ∵||OP b =知：22200x y b +=，∴联立①，②得：42222244(1)a a b b c c+-=，整理得223a c =， ∴e =【点睛】关键点点睛：根据双曲线第二定义：曲线上的点到焦点距离与该点到对应准线的距离之比为常数e ，可得点P 的横坐标为22ac；结合点在曲线上及勾股定理即可得关于,a c 的齐次方程求离心率即可.三、解答题21．（1）2；（2）y ＝(x ﹣1). 【分析】（1）根据题意可得F （2p ，0），当l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝2p，与抛物线联立得A ，B 坐标，再计算|AB |＝2p ＝4，即可得出答案.（2）设直线l 的方程为y ＝k (x ﹣1），A (x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 与抛物线的方程可得的关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，再结合|AF |＝2|BF |与焦半径公式可得x 1＝2x 2+1，进而解得x 2，x 1，故由x 1+x 2＝2224k k +＝52，解得k ，进而可得答案. 【详解】解：（1）根据题意可得F (2p，0)，当l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝2p ，联立直线l 与抛物线y 2＝2px ，得y 2＝2p ×2p ，解得y ＝±p ，所以A （2p ，p ），B （2p，﹣p ），所以|AB |＝2p ＝4，所以p ＝2.（2）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得k 2x 2﹣(2k 2+4)x +k 2＝0，所以∆＝(2k 2+4)2﹣4k 4＝16k 2+16＞0，所以x 1+x 2＝2224k k+，x 1x 2＝1，因为|AF |＝2|BF |，根据焦半径公式可得|AF |＝x 1+1＝2（x 2+1）＝2|BF |，即x 1＝2x 2+1，所以(2x 2+1)x 2＝1，即222x +x 2﹣1＝0，解得x 2＝12或x 2＝﹣1（舍），所以x 1＝2x 2+1＝2，所以x 1+x 2＝2224k k+＝52，即k 2＝8，解得k ＝，所以直线l 的方程为：y ＝(x ﹣1). 【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线的方程，考查抛物线的焦点弦性质．解题方法是设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用抛物线的定义结合已知条件得出12,x x 的关系，而直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，由刚才的关系可求先得12,x x ，再求得直线斜率k ．这里仍然利用了设而不求的思想方法． 22．（1）24y x =；（2）220x y +-=. 【分析】（1）设l 与x 轴交于点D ，根据PEF 是边长为4的正三角形．得到PE l ⊥，60PEF EFD ∠=∠=︒，然后由||cos60p DF EF ==求解.(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，根据点A ，B 在抛物线上，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，根据线段AB 中点的纵坐标为1-，利用“点差法”求解. 【详解】（1）因为PEF 是边长为4的正三角形．则||||PE PF =，所以PE l ⊥，设l 与x 轴交于点D ，则60PEF EFD ∠=∠=︒，||4EF =，所以||cos602p DF EF === 所以抛物线的方程为24y x =．（2）由（1）得抛物线C 的方程为24y x =，焦点(1,0)F ，设A ，B 两点的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，得()121212124y y x x x x y y -=≠-+，因为线段AB 中点的纵坐标为1-，所以直线m 的斜率21442(1)2AB k y y ==-+-⨯=，所以直线m 的方程为02(1)y x -=--，即220x y +-=．【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．23．（1）22:14x E y +=；（2）32,,222⎛⎛⎫--⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）由点在椭圆上及椭圆离心率的定义列方程可得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即可得解；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，转化条件为0OCOB ⋅>，运算即可得解. 【详解】（1）点⎛- ⎝⎭在椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上，∴221314ab +=，又椭圆的离心率为2，∴2c e a ==，由222a b c =+解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴轨迹22:14x E y +=；（2）依题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，∴设:2l y kx =+，1122(,),(,)B x y C x y ，∴22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简整理有：()221416120k x kx +++=， ∴()221648(14)0k k ∆=-+>得k >k <，且1221614kx x k+=-+，1221214x x k ⋅=+，由COB ∠为锐角，∴2121212122122()414OC OB x x y y k x x k x x k⋅=+=+++++ 22222121232=+40141414k k k k k -+>+++， ∴222212+12324161640k k k k -++=->， ∴22k -<<，∴22k -<<-或22k <<，∴直线l的斜率的范围是32,,2⎛⎛⎫-⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面数量积的定义转化COB ∠为锐角为0OC OB ⋅>，结合韦达定理运算即可得解.24．（1）24y x =；（2）220x y +-=. 【分析】（1）抛物线的定义可得342p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即可求出p 得值，进而可得抛物线E 的方程；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，利用点差法可求直线l 的斜率，再求出点()1,0F ，利用点斜式即可求出直线l 的方程. 【详解】（1）由抛物线()2:20E y px p =>可得准线方程为：2p x =-，由抛物线的定义可得：342p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得：2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =，（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减可得()2212124y y x x -=-，所以()()()1212124y y y y x x -+=-，因为线段AB 中点的纵坐标为1-，所以122y y +=-，所以直线l 的斜率1212124422y y k x x y y -====--+-，因为()1,0F ，所以直线l 的方程为：()21y x =--，即220x y +-=. 【点睛】思路点睛：对于中点弦问题，多采用设而不求的方法，利用整体代入的思想求出直线的斜率，再结合直线所过的点即可得直线的方程. 25．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）设直线l 的方程为2x my p =+，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由题意可得出222122144y y x x p==，求出p 的值，进而可得出抛物线C 的方程；（2）设点()33,M x y 、()44,N x y ，可得出213y y p =-，224y y p =-，利用直线的斜率公式以及韦达定理可得出lMNk k 为定值.【详解】（1）若直线l 与x 轴重合，则该直线与抛物线C 有且只有一个交点，不合乎题意. 设直线l 的方程为2x my p =+，代入22y px =得22240y pmy p --=，则()22440p m ∆=+>，且2124y y p =-，则22212122444y y x x p p⋅===， 0p >，解得1p =.∴抛物线C 的方程为24y x =；（2）证明：()33,M x y 、()44,N x y ，同（1）可知，直线AM 不可能与x 轴重合，设直线AM 的方程为2p x ty =+，联立222p x ty y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y tpy p --=，由韦达定理可得213y y p =-，同理可得224y y p =-，又直线l 的斜率12122212121222l y y y y pk y y x x y y p --===--+，直线MN 的斜率3434342MN y y pk x x y y -==-+，()2221222341212212121212144l MN p y y p p k y y y y y y p p k y y y y y y y y p -+--++--∴======+++-，故直线l 与直线MN 斜率之比为定值14.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 26．（1）24y x =；（2）16||3AB =．【分析】（1）根据抛物线定义可得答案；（2）由点F 是AC 的中点可得A 点的坐标，设出直线AB 方程与抛物线方程联立，利用韦达定理再得B 点坐标，再由两点间的距离公式可得答案．【详解】（1）因为动点P 到定点(1,0)F 的距离与到定直线:1l x =-的距离相等，由抛物线定义可得曲线Γ为抛物线，设其方程为22(0)y px p =>，则12p=，所以2p =，曲线Γ的方程为24y x =.（2）设过点F 的直线方程为1x my =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，且120,0y y ><，0(1,)C y -，由214x my y x=+⎧⎨=⎩整理得，2440y my --=，所以124y y =-，因为点F 是AC 的中点，所以1112x -=，解得13x =，所以211412y x ==，得1y =(3,A ，又因为124y y =-，所以2y =，代入抛物线方程得213x =，所以1,3B ⎛ ⎝⎭，所以163AB ===. 【点睛】本题考查了抛物线方程、直线与抛物线的位置关系及弦长，关键点是由点F 是AC 的中点可得A 点的坐标，利用韦达定理再得B 点坐标，考查了学生的基础知识、基本技能.。

(必考题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．过双曲线22115y x -=的右支上一点P 分别向圆221:(4)4C x y ++=和222:(4)1C x y -+=作切线，切点分别为M N 、，则22||||PM PN -的最小值为（）A ．10B ．13C ．16D ．192．已知斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，OFM ∆的面积等于3，则k =（）A ．14B ．13C ．12D ．33．过抛物线22y px =焦点(1,0)F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且(1)AF mFB m =>，25||4AB =，则m =（） A ．2B ．3C ．4D ．54．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于,A B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若AB =，则直线l 的倾斜角为（） A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒5．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，过1F 的直线交双曲线的左支于,A B 两点，若113AF FB =，23cos 5AF B ∠=，则双曲线的离心率e =（）A B ．52C D ．536．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，点P 为其右支上一点，点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上，若1PF PQ +的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（）A ．12y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，点M 在双曲线C 的渐近线上，若212211221cos 12cos ,3MF F MF F FMF MF F ∠+=∠∠=∠，则双曲线C 的离心率为（）A ．BC ．D ．28．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点32,32D ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．729．己知直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，并与抛物线交于A ，B 两点，若点A 的纵坐标为4，则线段AB 的长为（） A ．253B ．496C ．436D ．25410．如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条11．设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2a x c=上一点，若21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（） A ．12B ．22C ．34D ．4512．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y 轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是24x y =，圆的半径为r ，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O ，则圆的半径r 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞二、填空题13．F 是抛物线22y px =（0p >）的焦点，过点F 的直线与抛物线的一个交点为A ，交抛物线的准线于B ，若2BA AF =，且4BA =，则P =______．14．已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为___________.15．过点()2,0P -的直线l 与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，若A 、B 在第一象限，且点A 为线段PB 的中点，则直线l 的斜率为___________.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与圆()22234x y +-=相交于A ，B 两点，且2AB =，则双曲线C 的离心率为___________.17．点P 为椭圆C 上一动点，过点P 作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为M ，N ，若60MPN ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.18．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的右支上，O 为坐标原点，若存在点P ，使PF OF =，且1cos 4OFP ∠=，则双曲线的离心率为___________．19．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -分别为其三个顶点.直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率13e =，则tan BDC ∠=___________.20．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线AB 交抛物线于A ,B 两点，交准线于点C ，若|BC |=2|BF |，则|AB |=_____.三、解答题21．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点2F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ，当直线AB 的斜率为0时，||||7AB CD +=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求||||AB CD +的取值范围．22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，长轴长为222 （1）求椭圆C 的方程．（2）若过点1F 的两条弦，弦AB 、弦CD ，互相垂直，求四边形ACBD 的面积的最小值．23．已知抛物线()2:20C y px p =>，直线()0y kx k =>与C 交于点A (与坐标原点O不重合)，过OA 的中点P 作与x 轴平行的直线l ，直线l 与C 交于点,Q 与y 轴交于点.R （1）求PR QR；（2）证明:直线AR 与抛物线C 只有一个公共点.24．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y px =的准线方程为12x =-．（1）求p 的值;（2）直线:(0)l y x t t =+≠交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，求线段AB 的长度．25．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3,22⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）经过点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，若OAB l 的方程.26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,1),,A P Q --在椭圆C 上，且,P Q 异于点A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若||||,||||OP OQ AP AQ ==，求直线PQ 的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【详解】解：圆221:(4)4C x y ++=的圆心为(4,0)-，半径为12r =；圆222:(4)1C x y -+=的圆心为(4,0)，半径为21r =，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，可得2222221122||||(||)(||)PM PN PF r PF r -=--- 22212(||2)(||1)PF PF =---22121212||||3(||||)(||||)3PF PF PF PF PF PF =--=-+-12122(||||)32(||||)322328313a PF PF PF PF c =+-=+-⨯-=⨯-=．当且仅当P 为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选：B ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力．2．B解析：B 【分析】先求出F ,设出A 、B 、M ，用“点差法”找出121202y y k x x y -==-，利用OFM ∆的面积等于3计算出0y ，求出斜率k . 【详解】由抛物线2:4C y x =知：焦点()1,0F 设()()()112200,,,,,,A x y B x y M x y因为M 是线段AB 的中点，所以0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩将2114y x =和2224y x =两式相减可得：()2212124y y x x -=-，即121202y y k x x y -==- ∵000k y >∴> ∴00113,62OFM S y y ∆=⨯⨯=∴=, 022163k y ∴===. 故选：B 【点睛】“中点弦”问题通常用“点差法”处理.3．C解析：C 【分析】由焦点得2p =，设直线代入抛物线方程结合韦达定理以及已知条件利用弦长公式求得参数值. 【详解】∵焦点(1,0),2F p ∴=，抛物线方程式为24y x =．设直线l 的方程为1(0)x y λλ=+>，代入抛物线方程，得2440y y λ--=．设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得124y y =-．由AF mFB =，得12y my =-．解得21y y ==-21y y ==，121,x m x m ∴==．12125||2,44AB x x p m m m ∴=++=++=∴=．故选：C ．【点晴】方法点晴：解直线与圆锥曲线位置问题时，通常使用设而不求思想，结合韦达定理运算求解相关参数.4．D解析：D 【分析】设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，代入抛物线方程应用韦达定理得12x x +，12AB x x p =++，求出AB 中点N 的坐标，写出MN的方程，由MN =MN ，然后由己知条件可求得斜率k ，得倾斜角．【详解】由题意(,0)2p F ，设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，由22()2y pxp y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得22222(2)04k p k x p k x -++=， 2122(2)p k x x k++=，2124p x x =， 221222(2)2(1)++=++=+=p k p k AB x x p p k k， 2122(2)22N x x p k x k ++==，22()22N N p p y k x k =-=，即222(2)2,22p k p N kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，直线MN 的方程为1()N N y y x x k-=--，MN =23(12p k k +=，∵AB =，∴22232(1)(12p k p k k k++=，整理得23k =，∵0k >，∴k =∴倾斜角为60︒．故选：D ．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，设交点坐标，设直线方程代入抛物线方程应用韦达定理，求得中点坐标及焦点弦长，写出直线l 垂线方程，求得MN ，然后由已知条件求得结论．5．C解析：C 【分析】设1133AF F B m ==，利用双曲线定义求出232AF m a =+，22F B m a =+，利用余弦定理写出,a m 关系，推知焦点三角形12F BF 是直角三角形，利用勾股定理求出,a c 关系式，从而求出离心率. 【详解】设1133AF F B m ==，则4AB m =，则由双曲线定义有232AF m a =+，22F B m a =+，在2AF B 中，由余弦定理有()()()()()22242232223m a m a m a m a m =+++-⋅++ 整理得22320m am a --=，解得m a = 故4AB a =，25AF a =，23F B a = 故2AF B 为直角三角形，290ABF ∠=在12Rt F BF △中，2221122F B F B F F +=，则()()22232a a c +=，故22252c e a ==故e =故选：C 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．D解析：D 【分析】设设()0,4E ，由12224PF PF a PF =+=+，可得124P PF PQ PQ F +++=，当且仅当,P Q ，()0,4E 和2F 四点共线时取得最小值，进而可得25EF =，设()2,0F c 即可求出c 的值，进而可求出b 的值，由by x a=±可得渐近线方程. 【详解】设()0,4E ，由双曲线的定义可知：12224PF PF a PF =+=+，所以124P PF PQ PQ F +++=，当,P Q 在圆心()0,4E 和2F 连线上时，1PF PQ +最小，()2mi 2n 1PFPQ EF =-+，所以2418EF +-=，解得25EF =，设()2,0F c ()0c >5=，解得3c =，因为2a =，所以b =，所以双曲线的渐进线为：2b y x x a =±=±，故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由双曲线的定义可得124P PF PQ PQ F +++=，利用2,,,P Q E F 共线时()2mi 2n1PF PQEF =-+求出25EF =.7．D解析：D 【分析】根据角的关系计算出12216030MF F MF F ∠=︒∠=︒，，从而求出渐近线方程为y =，得到ba=. 【详解】因为21221cos 12cos MF F MF F ∠+=∠，故1221cos cos2MF F MF F ∠=∠，即12212MF F MF F ∠=∠，而12213FMF MF F ∠=∠，故12216030MF F MF F ∠=︒∠=︒，，则三角形1MFO 为等边三角形，故双曲线C 的渐近线方程为y =，则2e ==，故选D ．【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．8．B解析：B 【分析】利用抛物线的定义，把P 到y 轴的距离转化为1||2PF -,利用几何法求最值【详解】抛物线22y x =的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线1:2l x =-，如图示：过P 作PP 1⊥y 轴于P 1,作PP 2⊥l于P 2,则211||||2PP PP -= 所以点P 到点332D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和为 1211||||||||||||22PD PP PD PP PD PF +=+-=+- 由图示，易知，当P 落在Q 时，DPF 三点共线，||||||PD PF DF +=, 其他位置，都有||||||PD PF DF +> 所以点P 到点332D ⎛⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为： 221111335||||||||||2022222PD PP PD PF DF ⎛⎫⎛⎫+=+-≥-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当D 、P 、F 三点共线时取最小值. 故选：B 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．9．D解析：D 【分析】首先利用,,A F B 三点共线，求点B 的坐标，再利用焦点弦长公式求AB . 【详解】4y =时，1644x x =⇒=，即()4,4A ，()1,0F ，设2,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用,,A F B 三点共线可知24314y y =-，化简得2340y y --=，解得：1y =-或4y =（舍）当1y =-时，14x =，即()4,4A ，1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以121254244AB x x p =++=++=. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交，焦点弦问题，重点是求点B 的坐标.10．D解析：D 【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，由方程组只有一解确定．【详解】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=，若210k -=，即1k =±，1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，2k =±，此时方程组也只有一解．方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条．故选：D ．【点睛】关键点点睛：直线与曲线的交点问题，可能通过解方程组确定，直线与曲线方程组成的方程组的解的个数就是它们交点的个数．这是代数方法．也可从几何角度考虑，如本题直线与双曲线相切的有两条，与渐近线平行的有两条共4条直线与双曲线只有一个交点．11．B解析：B 【分析】设直线2a x c=交x 轴于点M ，推导出222PF F M =，可得出关于a 、c 的等式，由此可解得该椭圆的离心率. 【详解】设直线2a x c=交x 轴于点M ，21F PF △是底角为30的等腰三角形，260PF M ∠=，2122PF F F c ==，在2Rt PF M 中，290PMF ∠=，230MPF ∠=，222PF F M ∴=，P 为直线2a x c =上一点，222a c c c ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，即222a c =，22c e a ∴==．故选：B ．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.12．A解析：A 【分析】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，求出2PQ ，当2PQ 的最小值在原点处取得时，圆P 过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点．【详解】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，22222()4()(2)44PQ x y a y y a y a a =+-=+-=-++-，若2PQ 的最小值不在(0,0)O 处取得，则圆P 不过原点，所以20a ->，即2a >，此时圆半径为44212r a a =-=->．因此当2r >时，圆无法触及抛物线的顶点O ．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为(0,)P a ，抛物线上点的坐标为(,)Q x y ，求出PQ ，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论．二、填空题13．3【分析】设过的直线为与抛物线交于点过两点作垂直准线于点根据抛物线的定义可得即可求出再联立直线与抛物线方程消元列出韦达定理即可得到再由焦半径公式计算可得；【详解】解：因为是抛物线的焦点所以准线为设过解析：3 【分析】设过F 的直线为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，与抛物线交于点()11,A x y ，()22,C x y ，过A 、B 两点作AM ，CN 垂直准线于M ，N 点，根据抛物线的定义可得CN CF =，AM AF =，即可求出30ABM ∠=︒，6CN CF ==，再联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理即可得到2124p x x =，再由焦半径公式计算可得；【详解】解：因为F 是抛物线22y px =的焦点，所以,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，设过F 的直线为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与抛物线交于点()11,A x y ，()22,C x y ，过A 、B 两点作AM ，CN垂直准线于M ，N 点，所以CN CF =，AM AF =，因为2BA AF =，所以2BA AF =，所以2BA AM =，所以30ABM ∠=︒，又因为4BA =，所以2AM AF ==，且2CN CB BA AF FC BA AM CN ==--=--，所以26CN CN =+，所以6CN CF ==，联立直线与抛物线222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去y 得22224p k x px px ⎛⎫ ⎪⎭=⎝-+，所以()22222204k p k x k p p x -++=，所以21222k p p x x k ++=-，2124p x x =，又因为1>0x ，20x >，且122p x AM +==，262p x CN +==，所以2212261242244p p p p x x p ⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以3p =故答案为：3【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．14．【分析】先利用点求抛物线方程利用相切关系求切线再分别联立直线和抛物线求出点即求出直线方程【详解】在抛物线上故即抛物线方程为设过点与圆相切的直线的方程为：即则圆心到切线的距离解得如图直线直线联立得故由解析：3640x y ++=【分析】先利用点(2,2)A 求抛物线方程，利用相切关系求切线,AB AC ，再分别联立直线和抛物线求出点,B C ，即求出直线BC 方程. 【详解】(2,2)A 在抛物线22y px =上，故2222p =⨯，即1p =，抛物线方程为22y x =，设过点(2,2)A 与圆22(2)1x y -+=相切的直线的方程为：()22y k x -=-，即220kx y k -+-=，则圆心()2,0到切线的距离2202211k kd k -+-==+，解得3k =±，如图，直线):232AB y x -=-，直线):232AC y x -=--.联立)22322y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()23431416830x x ++-=，故1683A B x x -=，由2A x =得843B x -=，故236B y -=，联立)22322y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()23431416830x x -++=，故1683A C x x +=，由2A x =得843C x +=，故236C y --=，故236236433B C y y -+=+=-，又由,B C 在抛物线上可知，直线BC 的斜率为22221114222B C B C BC B C B C B C y y y y k x x y y y y --=====--+--，故直线BC 的方程为2361843323y x ⎛--=-- ⎝⎭，即3640x y ++=. 故答案为：3640x y ++=15．【分析】由题意可知直线的斜率存在且为正数可设直线的方程为设点将直线的方程与抛物线的方程联立列出韦达定理可得出代入韦达定理求出的值即可得出直线的斜率为【详解】由于过点的直线与抛物线相交于两点若在第一象解析：223【分析】由题意可知，直线l 的斜率存在且为正数，可设直线l 的方程为()20x my m =->，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，可得出212y y =，代入韦达定理求出m 的值，即可得出直线l 的斜率为1m. 【详解】由于过点()2,0P -的直线l 与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，若A 、B 在第一象限，所以，直线l 的斜率存在且为正数，设直线l 的方程为()20x my m =->，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩，可得28160y my -+=，264640m ∆=->，0m >，解得1m . 由韦达定理可得128y y m +=，1216y y =，由于点A 为线段PB 的中点，则212y y =，12183m y y y ∴=+=，183m y ∴=， 22121816223m y y y ⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭，可得298m =，0m >，解得4m =，因此，直线l 的斜率为13k m ===.. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.16．2【分析】由双曲线圆的方程确定渐近线方程为圆心为半径为根据圆的相交弦与半径弦心距之间的几何关系有结合双曲线参数间的关系即可求其离心率【详解】由题意知：双曲线的渐近线为而圆心为半径为∴圆心到渐近线的距解析：2 【分析】由双曲线、圆的方程确定渐近线方程为by x a=±，圆心为，半径为2r ，根据圆的相交弦与半径、弦心距之间的几何关系有222||4AB r d -=，结合双曲线参数间的关系即可求其离心率. 【详解】由题意知：双曲线的渐近线为by x a=±，而圆心为，半径为2r ，∴圆心到渐近线的距离d ==，而2AB =，∴221r d -=，故222123a ab =+，又222,1c a b c e a +==>， ∴2e =. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：根据双曲线、圆的标准方程确定渐近线方程、圆心、半径长，结合圆中相交弦的几何性质及双曲线参数关系，列出关于,a c 的齐次方程求离心率.17．【分析】根据题意找到abc 的关系求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为因为所以所以所以椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点所以即所以离心率所以故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据解析：⎫⎪⎪⎣⎭【分析】根据题意，找到a 、b 、c 的关系，求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为O ，因为60MPN ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以||2||OP OM =，所以2OP b =，椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以2a b ≥，即12b a ≤，2222211,,44b ac a a -∴≤∴≤所以离心率2c e a ==≥=，所以⎫∈⎪⎪⎣⎭e .故答案为：,12⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．18．2【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得关系再求离心率【详解】设双曲线的左焦点为在中由余弦定理得故答案为：2【点晴】求离心率的关键是得的关系本题是由余弦定理得出解析：2 【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得,a c 关系，再求离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为E ，在EFP △中，2EF c =，2PF c PE a c ==+，，1cos 4EFP ∠=.由余弦定理()222421cos 224c c c a EFP c c +-+∠==⋅⋅ ，得2c e a ==. 故答案为：2 【点晴】求离心率的关键是得,,a b c 的关系，本题是由余弦定理得出.19．【分析】做出图像可知：利用两角和的正切表示有根据离心率可求出代入正切公式即可求出结果【详解】由图像可知：所以因为离心率可设那么极有代入上式得故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化解析：【分析】做出图像可知：BDC BAO CFO ∠=∠+∠，利用两角和的正切表示tan BDC ∠，有tan ,tan b b BAO CFO a c ∠=∠=，根据离心率可求出b a =，b c=即可求出结果. 【详解】由图像可知：BDC BAO DFA BAO CFO ∠=∠+∠=∠+∠所以tan tan tan tan()1tan tan 1b bBAO CFO a c BDC BAO CFO b bBAO CFO a c+∠+∠∠=∠+∠==-∠∠-⋅ 因为离心率13c e a ==，可设3a m =，c m =，那么b =，极有b a =，b c =5=-．故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化，考查了两角和的正切公式的应用，属于中档题型，思路点睛：（1）根据平面几何将所求角进行转化，BDC BAO CFO∠=∠+∠；（2）结合两角和的正切公式，直角三角形内求角的正切，将问题转化为,,a b c的比值问题．（3）根据离心率求出,,a b c的比值，代入可求.20．【分析】分别过作准线的垂线利用抛物线的定义将到焦点的距离转化到准线的距离利用已知和相似三角形的相似比建立关系式求解可算得弦长【详解】设可知如图作垂直于准线分别于则又解得故答案为：【点睛】1本题体现了解析：16 3【分析】分别过,A B作准线的垂线，利用抛物线的定义将,A B到焦点的距离转化到准线的距离，利用已知和相似三角形的相似比，建立关系式，求解,AF BF可算得弦长.【详解】设242y x px ==，可知2p =如图，作AM ,BN 垂直于准线分别于,M N ，则BN BF =，又2BC BN =，23CB CF=，23BN p ∴= 43BN =，83BC =，4CF ∴= 2CF AM CA=，244CF AM CA AM ∴==+，解得4AM = 4AF ∴=416433AB AF BF ∴=+=+= 故答案为：163【点睛】1.本题体现了数形结合，解析几何问题，一定要注意对几何图形的研究，以便简化计算2. 抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．三、解答题21．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【分析】（Ⅰ）通过当直线AB 的斜率为0时可知||2AB a =，22||b CD a =，结合12c e a ==，计算即得结论；（Ⅱ）分别对两条弦的斜率进行讨论，当两条弦中一条斜率为0时、另一条弦的斜率不存在时易得结论；当两条弦斜率均存在且不为0时，通过设直线AB 、CD 的方程并分别与椭圆方程联立，利用韦达定理及两点间距离公式，可得||||AB CD +的表达式，利用换元法及二次函数的性质计算即得结论．【详解】解：（Ⅰ）当直线AB 的斜率为0时，直线CD 垂直于x 轴，||2AB a ∴=，22||b CD a =，即22||||27b AB CD a a+=+=，12c e a ==，且222a b c =+，解得：2,a b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意可知，||||7AB CD +=；②当两条弦斜率均存在且不为0时，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k=--，将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得：2222(34)84120k x k x k +-+-=，∴221212228412,3434k k x x x x k k -+==++，∴212212(1)|||34k AB x x k +=-=+，同理，2222112(1)12(1)||4343k k CD k k++==++， ∴2222222212(1)12(1)84(1)||||3434(34)(34)k k k AB CD k k k k ++++=+=++++，令21t k =+，则1t >，∴2222848484||||1149(41)(31)121()24t t AB CD t t t t t +===-++---+，1t >，∴101t<<，∴211494912()244t <--+，∴241111494912()24t <--+， ∴24884711497()24t <--+，∴48||||77AB CD +<，综合①②可知，||||AB CD +的取值范围为：48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．（1）2212x y +=；（2）169.【分析】（1）利用椭圆的长轴长以及离心率求解,a c ，得到b ，即可得到椭圆方程；（2）①当1l x ⊥，2//l x 时，求解四边形的面积；②当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x my =-，2l ：11xy m=-，分别联立椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解四边形的面积，利用基本不等式求解最小值即可.【详解】（1）得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）①当1l x ⊥，2//l x 时，22122222b S a b a=⋅⋅⋅==；②当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x my =-，2l ：11x y m=-，联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my +--=， ∴12222m y y m +=+，12212y y m-=+， ∴AB==)2212m m +=+，同理)22221111122m m CD m m ⎫+⎪+⎝⎭==++， ∴()()()()()()()222222222222281414111162292212212212m m m S AB CD m m m m m m +++=⋅=⋅=≥=++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭．当且仅当22221m m +=+即21m =即1m =±时等号成立，故四边形ACBD 的面积的最小值169．【点睛】方法点睛：该题考查的是有关椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合题，解题方法如下：（1）根据题中所给的条件，建立等量关系，求得,a b 的值，得到椭圆方程；（2）对直线的斜率存在与否进行讨论，根据题意利用适当的形式写出直线的方程，分别与椭圆方程联立，求得弦长，根据四边形面积公式求得四边形的面积，利用基本不等式求得最值，与特殊情况比较，得到结果. 23．（1）2 ；（2）证明见解析. 【分析】（1）联立直线()0y kx k =>与抛物线方程可得点A 坐标，由中点坐标公式可得点P 坐标，进而可得直线l 的方程与抛物线联立可得Q 点坐标，计算PQPR x QRx =即可求解；（2）利用A 和R 两点坐标求出直线AR 的方程，与抛物线方程联立消去x 得到关于y 的一元二次方程，由0∆=即可求证. 【详解】（1）联立方程22,y kx y px =⎧⎨=⎩，可得：2220k x px -=，解得222p x k p y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以222,p p A k k ⎛⎫⎪⎝⎭，因为P 是OA 的中点，所以2,.p p P k k ⎛⎫⎪⎝⎭ 直线:p l y k =，点0,R p k ⎛⎫⎪⎝⎭将p y k =代入22y px =，得2,.2p p Q k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以2222PQp PR x k p QR x k ===. ()2因为222,p p A kk ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,R p k ⎛⎫⎪⎝⎭所以直线AR 的方程为2k py x k=+，与22y px =联立消去x 得222440k y pky p -+=，因为222216440p k p k ∆=-⨯⨯=，所以直线AR 与抛物线C 只有一个公共点. 【点睛】方法点睛：判断直线与曲线的位置关系可联立直线与曲线的方程消去y 得关于x 的一元二次方程，由判别式0∆>可得直线与曲线相交，由判别式0∆=可得直线与曲线相切，判别式∆<0可得直线与曲线相离. 24．（1）1p =；（2）. 【分析】（1）由已知准线方程可得答案；（2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示OA OB ⊥可得t ，然后利用弦长公式可得答案. 【详解】（1）由已知得122p -=-，所以1p =；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22y x =与y x t =+得2220y y t -+=，480t ∆=->，即12t <时有122y y +=，122y y t =，因为OA OB ⊥，所以()21212121204y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+=，可得124y y =-，因为122y y t =，所以2t =-，则122y y +=，124y y =-，所以||AB =====【点睛】本题考查了抛物线方程、直线与抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理计算弦长，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.25．（1）22132x y +=；（2）22y x =±+或2y =+.【分析】（1）由离心率公式、将点3,22⎛ ⎝⎭代入椭圆方程得出椭圆C 的方程；（2）联立椭圆和直线l 的方程，由判别式得出k 的范围，再由韦达定理结合三角形面积公式得出22317S k ==+，求出k 的值得出直线l 的方程.【详解】解：（1，所以2222133b a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭.①又因为椭圆经过点3,22⎛ ⎝⎭，所以有2291142a b +=.②联立①②可得，23a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22132x y+=.（2）由题意可知，直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为2y kx =+.由222,132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得，()22231260+++=k x kx .因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 所以()()()22212242324320k kk∆=-+=->，即2320k ->，所以223k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221223k x x k -+=+，122623x x k =+. 由题意得，OAB 的面积1212S OM x x =⨯⨯-12x x =-=，即S == 因为OAB 的面积为17=()2232k =+.化简得，42491660k k -+=，即()()2243220k k --=，解得234k =或222k =，均满足0∆>，所以k =或k = 所以直线l的方程为2y x =+或2y =+. 【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是由韦达定理建立12,x x 的关系，结合三角形面积公式求出斜率，得出直线l 的方程.26．（1）22182x y +=；（2）20x y +=．【分析】（1）由离心率，点的坐标代入椭圆方程及222a b c =+列方程组解得,,a b c 得椭圆方程；（2）已知条件说明直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，直线OA 方程为12y x =，这样可设直线PQ 方程为2y x m =-+，代入椭圆方程，应用韦达定理得12x x +，12,x x 即为,P Q 的横坐标，求出中点横坐标1202x x x +=，由直线PA 得中点纵坐标0y ，中点坐标代入直线AO 方程可得参数m ，即直线PQ 方程．【详解】（1）依题意，22222411a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，，．故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）∵||||,||||OP OQ AP AQ ==，∴直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，则直线OA 的方程为12y x =，设直线PQ 的方程为2y x m =-+，由221822x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得：221716480x mx m -+-=， ()22(16)417480m m =-⨯->，解得m <()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理得121617mx x +=，设PQ 的中点为()00,H x y ，所以120008,221717x x m m x y x m +===-+=；所以8,1717m m H ⎛⎫⎪⎝⎭．又8,1717m m H ⎛⎫⎪⎝⎭在直线OA 上，代入得1817217m m =⋅，解得0m =，综上所述，直线PQ 的方程为20x y +=．【点睛】关键点点睛：本题考查由离心率和一点坐标求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题．在直线与椭圆相交问题时，解题关键是由平面几何知识由条件||||,||||OP OQ AP AQ ==得直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，这样用设而不求思想可求得直线PQ 方程．即求出AO 方程，由垂直设出直线PQ 方程，代入椭圆方程应用韦达定理求得PQ 中点坐标，再代入直线AO 方程可得参数值．。

(北师大版)长春市高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测(包含答案解析)

一、选择题1．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（）A ．1BC ．2D ．4+2．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(0F ，直线43130x y +-=与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（）A ．221325y x +=B ．221325x y +=C ．221369y x +=D ．221369x y +=3．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（） A ．0B ．12C ．1D ．24．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（） A ．25B ．45C ．15D ．235．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A ．)+∞B ．C ．)+∞D ．6．已知圆2221:(0)C x y b b +=>与双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭C ．(D ．)+∞7．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：22143x y +=上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（） A ．43-B ．3- C ．1813-D ．32-8．设P 为椭圆22:1169x y C +=上的点，12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点，125PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．69．已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PFF △与12QF F 的面积之比为（） A ．23- B ．21- C ．21+D ．23+10．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（）A ．34B ．1C ．43D ．91611．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（） A ．45π B ．34π C ．(625)π-D ．54π 12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率22，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（）A ．2B ．2-C ．12-D ．12二、填空题13．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.14．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 作直线交抛物线C 于A B 、两点，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为__________．15．如图，过抛物线2:4C y x =的焦点F 的弦AB 满足3AF FB =（点A 在x 轴上方），分别过,A B 作抛物线的切线，设两切线的交点为M ，则M 的坐标为__________.16．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m =______.17．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为45︒的直线与该抛物线交于P ，Q 两点，P ，Q 在x 轴上的射影分别为R ，S.若梯形PRQS 的面积为12，则p 的值为____________. 18．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一动点，定点()1,1A ，则PAF △周长最小值为______．19．在平面直角坐标系中，曲线C 是由到两个定点1,0A 和点()1,0B -的距离之积等于2C ，有下列四个结论：①曲线C 是轴对称图形； ②曲线C 是中心对称图形；③曲线C 上所有的点都在单位圆221x y +=内；其中，所有正确结论的序号是__________．20．已知为()0,1A -，当B 在曲线221y x =+上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是___________________.三、解答题21．已知圆M 的方程为222260x y x y +---=，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．（1）求圆N 的方程；（2）圆N 与x 轴交于E F ，两点，圆N 内的动点D 使得,DE DO DF ，成等比数列，求DF DE →→⋅的取值范围；（3）过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A B ，两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行，并说明理由．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，M 为C 上任意一点，12MF F S的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）不过点F 2的直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点. ①若k 2=12,且S △AOB =2，求m 的值； ②若x 轴上任意一点到直线AF 2与BF 2距离相等，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.23．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0Q 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.点()4,3P ，记直线PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，当12k k ⋅最大时，求直线l 的方程.24．在平面直角坐标系中，动点M 到点(2,0)F 的距离和它到直线52x =的距离的比是常25（1）求动点M 的轨迹方程；（2）若过点F 作与坐标轴不垂直的直线l 交动点M 的轨迹于,A B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为P ，当直线l 绕着点F 转动时，试探究：是否存在定点Q ，使得,,B P Q 三点共线？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．25．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，短轴的（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点(0,4)的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且坐标原点O 在以AB 为直径的圆上，求直线l 的斜率.26．已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点. （1）将||AB 表示为t 的函数；（2）若||AB =AFB △的周长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】∵|PQ |=2|QF |,∠PQF =60°,∴∠PFQ =90°，设双曲线的左焦点为F 1,连接F 1P ,F 1Q ，由对称性可知,F 1PFQ 为矩形,且|F 1F |=2|QF|,1QF =，不妨设()1220F F m m =>，则1,QF QF m ==，故121212F F c e a QF QF ====-. 本题选择A 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．2．C解析：C 【解析】设椭圆方程为()222210y x a b a b+=>>联立方程：2222143130y x a bx y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，整理得：()222222216910416990b a x b x b a b +---=, 设()11M x y ，，()22N x y ，，则1212x x +=，即2221042169b b a=+，化简得：224a b =，又2227a b -=，易得：22369a b ⎧=⎨=⎩，∴此椭圆的方程是221369y x +=故选C点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.3．C解析：C 【解析】试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y p +1=2，求得y p ．解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，根据抛物线定义， ∴y p +1=2，解得y p =1．故选C ．考点：抛物线的简单性质．4．B解析：B 【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF=+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===，设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则4MF ==，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则33y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为533,44⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=，所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+.故选：B. 【点睛】本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解. 【详解】设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=，点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，222()a m c n =++∴，可得()a n m c b =+，则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=，A 在右支上，4224440a c a b b a--∴<-，即440b a ->，即220b a ->，即2220c a ->，则可得2e >.故选：A. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．B解析：B 【分析】根据题意，若过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则2OP b =，则只需在双曲线上存在一点到坐标原点额距离为2b ，设点(),P x y ，则利用22222212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭有解求出离心率e 的取值范围.【详解】如图所示，设点P 为双曲线上一点，过点P 作圆2221:(0)C x y b b +=>的两条切线PA 与PB ，切点分别为A 与B ，连接OP ，若两条切线互相垂直，则22OP OB b ==，设点(),P x y ，则22222212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭有解，整理得22223c x b a =有解，即22223a b x c=，又22x a ≥，所以2231b c ≥，又222b c a =-，故22233c a c -≥，解得6c e a =≥. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围求解，求解离心率的的值及取值范围的关键在于画出图形，根据图形找到各边的数量关系，通过数量关系列出,,a b c 的齐次式求解.7．A解析：A 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ，利用A ，B 在椭圆上，代入椭圆方程，两式相减得：111413t k s =-，同理可得：222413t k s =-，333413t k s =-，再利用已知条件即可得出结果. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ，因为A ，B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减得：121211121213344y y x x sk x x y y t -+==-⨯=-⨯-+，即111413t k s =-，同理可得222413t k s =-，333413t k s =-，所以31212312311143t t tk k k s s s ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭因为直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以12311144133k k k ++=-⨯=-，故选：A. 【点睛】关键点睛：本题主要考查椭圆的简单性质的应用.利用平方差法转化求解斜率是解决本题的关键.8．D解析：D 【分析】先根据椭圆的方程求得c ，进而求得12F F ，设出12,PF m PF n ==，利用余弦定理可求得mn 的值，最后利用三角形面积公式求解．【详解】由椭圆方程有4,3a b ==，则c .设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义有：28m n a +==.设12F PF θ∠=，由125PF PF ⋅=，得cos 5mn θ=，由余弦定理得： 222cos 28m n mn θ+-= 解得：513,cos 13mn θ==，12sin 13θ∴=．所以12PF F △的面积为1112sin 1362213S mn θ==⨯⨯=．故选：D 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的定义的应用，椭圆中求三角形的面积问题，是中档题．9．D解析：D 【分析】设1PF t =，则1122QF PF t ==，由已知条件得出130PQF ∠=，利用椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF at =-，则43PQ a t =-，利用勾股定理可求得33t a =+，进而可得出121222222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△，代入33t a =+计算即可得解. 【详解】可设1PF t =，则1122QF PF t ==，1PQ PF ⊥，则130PQF ∠=，由椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，则22211PQ PF QF +=，即()222434a t t t -+=，即有433a t t -=，解得33t =+，则12PF F △与12QF F 的面积之比为()12122222312332322231233PF F QF F a a S PF a t S QF a t a --+=====+---+△△.故选：D. 【点睛】方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.10．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=，即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=，所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立0034122x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.11．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为1122O ld-==，圆C面积的最小值为2455ππ⎛=⎝⎭．故本题的正确选项为A.考点：抛物线定义.12．C解析：C【分析】先根据已知得到222a b=，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,22cc a a b a a ba=∴=∴-=∴=.设1122(,),(,)A x yB x y，由题得1212+=2+=2x x y y，，所以2222221122222222b x a y a bb x a y a b⎧+=⎨+=⎩，两式相减得2212121212()()a()()0b x x x x y y y y+-++-=，所以2212122()2a()0b x x y y-+-=，所以221212()240()y yb bx x-+=-，所以1120,2k k+=∴=-.故选：C【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.二、填空题13．12【解析】由知焦点所以设直线AB方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12【解析】由2=3y x知焦点3(0)4F，，所以设直线AB方程为3)4y x=-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x-+=，设1122(,),(,)A x yB x y，则12212x x+=，根据抛物线定义知12213||=x1222AB x p++=+=.故填：12.14．【解析】抛物线焦点为当直线的斜率不存在时即和轴垂直时面积最小将代入解得故故答案为点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质直线与抛物线的位置关系该题最大的难点在于确定当直线在何位置时三角形的面积最大属于中解析：98【解析】抛物线焦点为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，面积最小，将34x =代入23y x =，解得32y =±，故133922428OABS =⨯⨯⨯=，故答案为98. 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，该题最大的难点在于确定当直线在何位置时，三角形的面积最大，属于中档题；将AOB ∆面积分为用x 轴将其分开，即可得1212OABOFB OFA SSS OF y y =+=-，故可得当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，12y y -的值最大，即面积最大.15．【分析】由已知求得抛物线焦点坐标及准线方程由求得所在直线倾斜角得到斜率写出所在直线方程联立准线方程与抛物线方程求得的坐标可求利用导数求斜率写出直线的方程再求两直线的交点则的坐标可求【详解】解：由抛物解析：⎛- ⎝⎭【分析】由已知求得抛物线焦点坐标及准线方程，由3AF FB =求得AB 所在直线倾斜角，得到斜率，写出AB 所在直线方程，联立准线方程与抛物线方程，求得A 、B 的坐标可求，利用导数求斜率，写出直线AM 、BM 的方程，再求两直线的交点，则M 的坐标可求．【详解】解：由抛物线2:4C y x =，得焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-．由题意设AB 所在直线的倾斜角为θ，由3AF FB =，得2231cos 1cos θθ=-+，即1cos 2θ=．tan θ∴=则AB 所在直线方程为1)y x =-．联立21)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得231030x x -+=．解得：13x =或3x =，因为点A 在x 轴上方所以(3,23)A ，123,3B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭由2y x =，得y x'=， 2y x =-得y x'=-∴33|3x y ='==，13|313x y ='=-=-，即AM 、BM 所在直线的斜率分别为3、3-． 3:23(3)AM y x ∴-=-，231:3()3BM y x +=-- 所以323(3)2313()33y x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩解得123x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩M ∴的坐标为23(1,)-．故答案为：23(1,)3-．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．16．【分析】化双曲线方程为标准方程求得的值依题意列方程解方程求得的值【详解】双曲线方程化为标准方程得故依题意可知即解得【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程考查双曲线的虚轴和实轴考查运算求解能力属于基础题解析：1-4【分析】化双曲线方程为标准方程，求得,a b 的值，依题意列方程，解方程求得m 的值.【详解】双曲线方程化为标准方程得2211y x m-=-，故1,a b == 依题意可知2b a =2=，解得14m =-.【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的虚轴和实轴，考查运算求解能力，属于基础题.17．【分析】求出过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程然后与抛抛物线联立利用根与系数的关系与三角形的面积转化求解即可【详解】解：由题意可知直线方程为代入抛物线方程可得设可得所以因为过抛物线的焦点作倾斜角为的【分析】求出过抛物线的焦点且倾斜角为45︒的直线方程，然后与抛抛物线联立，利用根与系数的关系与三角形的面积转化求解即可【详解】解：由题意可知直线方程为2p y x =-，代入抛物线方程，可得22304p x px -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，可得212123,4p x x p x x +==，所以12x x -===，因为过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为45︒的直线与该抛物线交于P ，Q 两点，P ，Q 在x 轴上的射影分别为R ，S ，且梯形PRQS 的面积为12，所以()2121122x x -=，可得218122p ⨯=，解得p【点睛】此题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题18．3【分析】求周长的最小值即求的最小值设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知因此问题转化为求的最小值根据平面几何知识当三点共线时最小从而可得结果【详解】求周长的最小值即求的最小值设点在准线上的射影解析：3 【分析】求PAF ∆周长的最小值，即求||||PA PF +的最小值．设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义，可知||||PF PD =．因此问题转化为求||||PA PD +的最小值，根据平面几何知识，当D 、P 、A 三点共线时||||PA PD +最小，从而可得结果【详解】求PAF ∆周长的最小值，即求||||PA PF +的最小值，设点P 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知||||PF PD =因此，||||PA PF +的最小值，即||||PA PD +的最小值根据平面几何知识，可得当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，因此的最小值为(1)112A x --=+=， ||1AF =，所以PAF ∆周长的最小值为213+=，故答案为：3．【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，是解题的关键．19．①②【分析】由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数设动点坐标为得到动点的轨迹方程然后由方程特点即可加以判断【详解】由题意设动点坐标为利用题意及两点间的距离公式的得：对于①分别将方程中的被﹣解析：①② 【分析】由题意曲线C 是平面内与两个定点1,0A 和()1,0B -2标为(),x y ，得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【详解】由题意，设动点坐标为(),x y ，利用题意及两点间的距离公式的得：()()2222121x y x y -++=+对于①，分别将方程中的x 被﹣x 代换y 不变，y 被﹣ y 代换x 不变，方程都不变，故关于y 轴对称和x 轴对称，故曲线C 是轴对称图形，故①正确对于②，把方程中的x 被﹣x 代换且y 被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，曲线C 是中心对称图形，故②正确；对于③，令y ＝0=x 21>，此时对应的点不在单位圆x 2+y 2=1内，故③错误．故答案为：①② 【点睛】本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.20．【分析】设出的坐标求出的坐标动点在抛物线上运动点满足抛物线方程代入求解即可得到的轨迹方程【详解】解：设的坐标由题意点与点所连线段的中点可知动点在抛物线上运动所以所以所以点与点所连线段的中的轨迹方程是解析：24y x =【分析】设出M 的坐标，求出P 的坐标，动点P 在抛物线221y x =+上运动，点P 满足抛物线方程，代入求解，即可得到M 的轨迹方程．【详解】解：设M 的坐标(,)x y ，由题意点B 与点(0,1)A -所连线段的中点M ，可知(2,21)B x y +，动点B 在抛物线221y x =+上运动，所以2212(2)1y x +=+，所以24y x =．所以点B 与点(0,1)A -所连线段的中M 的轨迹方程是：24y x =．故答案为：24y x =．【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，相关点法，是常见的求轨迹方程的方法，注意中点坐标的应用，属于中档题．三、解答题21．（1）222x y +=；（2）[)10-，；（3）平行，理由见解析．【分析】(1)根据圆心距与圆M 半径的大小，判断两圆的位置关系为内切，进而根据MN R r =-求得圆N 的半径，最后写出圆N 的方程；(2)设动点()D x y ，，根据,DE DO DF ，成等比数列求得动点D 的轨迹方程，又结合动点是在圆内的，求出D 点纵坐标y 的取值范围，再将DF DE →→⋅表示为221y -，最后求得DF DE →→⋅的取值范围.(3) 因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．接着联立直线MA 方程和圆的方程得到A 点的横坐标，同理得到B 点的横坐标，最后求得直线AB 和MN 的斜率相等，所以直线MN 和AB 是平行的. 【详解】解：1（）圆M 的方程可化为()()22118x y -+-=，故圆心()11M ，，半径R =圆N 的圆心坐标为()00，，因为MN =<所以点N 在圆M 内，故圆N 只能内切于圆M ，设其半径为r ，因为圆N 内切于圆M ，所以有MN R r =-r =，解得r =所以圆N 的方程为222x y +=；2（）由题意可知：()E ，)F ，设()D x y ，，由,DE DO DF ，成等比数列，得2DO DE DF =⋅，22x y =+，整理得221x y -=，而())DE DF x y x y →→⋅=-⋅-，，())()2222x x y x y =⋅+-=+-()2221221y y y =++-=-，由于点D 在圆N 内，故有222221x y x y ⎧+<⎨-=⎩，由此得2102y ≤<，所以[)10DE DF →→⋅∈-，；3（）因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．故直线MA 的方程为()11y k x -=-，直线MB 的方程为()11y k x -=--，由()22112y k x x y ⎧-=-⎨+=⎩，得()()()222121120k x k k x k ++-+--=，因为点M 在圆N 上，故其横坐标1x =一定是该方程的解，222211A k kx k -∴+=+ 可得22211A k k x k --=+，同理可得：22211B k k x k +-=+，所以B AAB B Ay y k x x -=-()()3232222222222421111114212111B A MNB Ak k k k k k kk k x k x k k k k k k k k k x x k k --+-++++----+++=====+--++-++，所以直线AB 和MN 一定平行．【点睛】直线与圆，圆与圆的位置关系是圆锥曲线中比较常考的内容之一，需要注意一下几点： (1)圆与圆的位置关系的判断就是根据圆心距和半径和差之间的大小关系进行判断； (2)求动点的轨迹方程通常采用“建设限代化”五步骤来求动点的轨迹，切记求出方程之后，看有没有不满足题意的解，需要排除掉；(3)一般联立方程组之后，方程的两个解是直线与曲线交点的横坐标或者纵坐标，在已知一个坐标的情况下，另一个坐标可以通过韦达定理求得.22．（1）2212x y +=；（2）①1m =±；②直线l 恒过定点(2,0).【分析】（1）根据题意，可求得1c =，1b =，进而求得a ，由此得到椭圆方程；（2）①联立方程，得到k 与m 的不等关系，及两根的关系，表示出弦长AB 及点O 到直线AB 的距离，由此建立等式解出即可；②依题意，120k k +=，由此可得到k 与m 的等量关系，进而求得定点．【详解】（1）由抛物线的方程24y x =得其焦点为(1,0)，则1c =，当点M 为椭圆的短轴端点时，12MF F 面积最大，此时1212S c b =⨯⨯=，则1b =，∴a =2212x y +=；（2）联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，222(12)4220k x kmx m +++-=，∆222222164(21)(22)8(21)0k m k m k m =-+-=-+>，得2212(*)k m +>，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2121222422,1212km m x x x x k k-+=-=++， ①0m ≠且212k =，代入(*)得，202m <<，12|||AB x x -，设点O 到直线AB 的距离为d，则d ==∴12||||)23AOB m S AB d ==， 21(0,2)m ∴=∈，则1m =±；②1122121122,1111y kx m y kx m k k x x x x ++====----，由题意，120k k +=， ∴1212011kx m kx m x x +++=--，即12122()()20kx x m k x x m +-+-=， ∴2222242()()201212m km k m k m k k -+---=++，解得2m k =-， ∴直线l 的方程为(2)y k x =-，故直线l 恒过定点，该定点坐标为(2,0)．【点睛】方法点睛：证明曲线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数R λ∈，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，(,)(1,2,3)i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0{(,)0(,)0f x y f x y f x y ===，从而求得该定点.23．（1）22142x y +=；（2）10x y --=. 【分析】（1）已知条件得b c ==a ，可得椭圆标准方程；（2）当直线l 的斜率为0时，12k k 的值，当直线l 的斜率不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，计算12k k ，化为m 的函数，然后换元，设41t m =+，求出12k k 的最大值，及m 的值得直线方程．【详解】（1）由已知得b c ==又2224a b c =+=，所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）①当直线l 的斜率为0时，则12k k ⋅=33342424⨯=-+； ②当直线l 的斜率不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =+，将1x my =+代入22142x y +=，整理得22(2)230m y my ++-=. 则12222m y y m -+=+，12232y y m -=+. 又111x my =+，221x my =+，所以，112134y k k x -⋅=-2234y x -⋅-1212(3)(3)(3)(3)y y my my --=-- 12122121293()93()y y y y m y y m y y -++=-++=2232546m m m ++=+23414812m m +=++. 令41t m =+，则122324225t k k t t ⋅=+-+32254()2t t=++-1≤ 所以当且仅当5t =，即1m =时，取等号.由①②得，直线l 的方程为10x y --=.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的最值问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 的方程为1x my =+，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，然后代入12k k ，化为m 的函数，用换元法求得最值．24．（1）2215x y +=；（2）存在定点5,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得,,P B Q 三点共线．【分析】（1）设(,)M x y 22(2)2552x y x -+=-化简可得结果；（2）联立直线l 与椭圆方程，根据韦达定理得1212,x x x x +，椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上，设(,0)Q t ，根据//PB PQ 列式，结合1212,x x x x +可求出52t =. 【详解】（1）设(,)M x y=，化简得2215x y += 故动点M 的轨迹方程为2215x y +=．（2）由题知(2,0)F 且直线l 斜率存在，设为k ，则直线l 方程为(2)y k x =- 由22(2)15y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(51)202050k x k x k +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++，由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上故假设存在定点(,0)Q t ，使得,,P B Q 三点共线，则//PB PQ 且11(,)P x y - 又212111(,),(,).PB x x y y PQ t x y =-+=-211211()()()x x y y y t x ∴-=+-，即211121()(2)(4)()x x k x k x x t x --=+--化简得12122(2)()40x x t x x t -+++= 将2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++式代入上式得2222205202(2)405151k k t t k k -⨯-+⨯+=++ 化简得52t = 故存在定点5(,0)2Q ，使得,,P B Q 三点共线．【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上是解题关键. 25．（1）2214x y +=；（2）【分析】（1）根据抛物线2y =的焦点为)，解得c =122c b ⨯⨯=b 即可. （2）设直线l 方程为4y kx =+，与椭圆方程联立，根据坐标原点O 在以AB 为直径的圆上，由OA OB ⊥，即12120x x y y ⋅+⋅=求解.【详解】（1）因为抛物线2y =的焦点为)，由题意得：c =所以122c b ⨯⨯= 解得1b =，24a =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由题意设过点(0,4)的直线l 方程为4y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由22414y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221432600k x kx +++=，则1212223260,1414k x x x x k k +=-⋅=++， ()()2232240140k k ∆=-+>，解得k >k <，因为坐标原点O 在以AB 为直径的圆上，所以OA OB ⊥，即12120x x y y ⋅+⋅=，即()()2121214160k x x k x x +⋅+++=，所以()()2226032141601414k k k k k ++-+=++，即219k =，解得k =适合0∆>，所以直线l 的斜率是.【点睛】易错点点睛：易错点是由坐标原点O 在以AB 为直径的圆上，转化为OA OB ⊥，由12120x x y y ⋅+⋅=，求得斜率，而忽视要满足.0∆>.26．（1）||AB =12t；（2）7+ 【分析】（1）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（2）运用抛物线的定义和（1）的结论，结合12||||2AF BF x x +=++，进而得到AFB △的周长．【详解】（1）224y x t y x =+⎧⎨=⎩，整理得()224410x t x t +-+=，则2212212163216161632044144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪+==-⎨⎪⎪=⎪⎩， AB===，其中12t；（2）由||AB =4t =-，经检验，此时16320t ∆=->，所以1215x x t +=-=，由抛物线的定义，有1212||||()()52722p p AF BF x x x x p +=+++=++=+=，又||AB =所以AFB △的周长为7+【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用12l y y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.。

(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(答案解析)(4)

一、选择题1．已知离心率2e =2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O A 、两点.若AOF ∆的面积为1，则实数a 的值为（）A ．1B C ．2 D ．42．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过点F 的直线交E 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为C ，D 两点，直线AB 交l 于G点，若3AF FB =，下述四个结论： ①CFDF②直线AB 的倾斜角为π4或3π4 ③F 是AG 的中点④AFC △为等边三角形其中所有正确结论的编号是（） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．(B ．(1,1C ．)+∞D ．()1++∞4．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，Q 两点，若1F PQ 为等边三角形，则椭圆的离心率是（）A ．2B ．3C ．2D ．35．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，倾斜角为30的直线l 过点F 且与曲线C 交于,A B 两点，则AOB (O 为坐标原点)的面积S=（）A ．4B C ．D ．26．已知圆2221:(0)C x y b b +=>与双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭C ．(D ．)+∞7．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的值为（） A ．2B ．3C ．32D ．528．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（） A．9B．9C．7112+D．83129．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ≥，则离心率的取值范围为（） A．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．2]C．12⎛⎤⎥ ⎝⎦D．1]10．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线28y x=的焦点与双曲线的一个焦点重合，点P 是两曲线的一个交点，12PF PF ⊥且121PF F S =△，则双曲线的离心率为（） ABC．3D ．211．已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（） A ．43-B ．-3C ．1813-D ．32-12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F，离心率2，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（）A ．2B ．2-C ．12-D ．12二、填空题13．已知椭圆2214x y P +=，是椭圆的上顶点，过点P 作直线l ，交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B ，则PAB S的最大值为________．14．12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且1260F PF ︒∠=，则12F PF ∆的内切圆半径等于___________15．若ABC ∆的两个顶点坐标()4,0A -、()4,0B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 轨迹方程为 _____________16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且斜率为ab的直线l 与双曲线的右支交于点P ，与其中一条渐近线交于点M ，且有13PM MF =，则双曲线的渐近线方程为________．17．已知椭圆22221(0)x y a b c a b+=>>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于3()2a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是________. 18．中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点()1,0F c -、()()2,00F c c >，P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若双曲线2C 的离心率()22,3e ∈，则椭圆1C 的离心率1e 的范围是__________.19．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的标准方程为__________.20．已知抛物线21:8C y x =的焦点是F ，点M 是其准线l 上一点，线段MF 交抛物线C 于点N .当23MN MF →→=时，NOF 的面积是______三、解答题21．已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1，离心率e =，过椭圆的右焦点F 的直线l 与坐标轴不垂直，且交椭圆于A ，B 两点（1）求椭圆的标准方程（2）当直线l 的斜率为12时，求弦长AB 的值. 22．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点()3,0，且在y 轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点3(,0)2作相互垂直的两条直线1l ，2l ，直线1l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线2l 与曲线C 相交于E ，F 两点，线段AB ，EF 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.23．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). （1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足||||AB CD =，求直线l 的方程. 24．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 恰是椭圆2212x y +=的一个焦点，过点F 的直线与抛物线交于,A B 两点. （1）求抛物线方程.（2）若45AFx ∠=，求AB .25．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为12F F 、，点P 在椭圆上运动，求12PF PF ⋅的取值范围；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB 、COD △的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围． 26．已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点. （1）将||AB 表示为t 的函数；（2）若||AB =AFB △的周长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，所以FA OA ⊥，则FA b =，OA a =，AOF ∆的面积为1，可得1 12ab =，双曲线的离心率e =222225 4c a b a a +==，即12b a=，解得1b =，2a =，故选C. 点睛：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质，考查了计算能力；利用双曲线的离心率求出渐近线方程，利用三角形中直径所对的圆周角为直角，可求得直角三角形AOF ∆的面积1 12ab =，结合离心率以及恒等式222c a b =+即可得到关于,,a b c 方程组求出a 即可；2．D解析：D 【分析】由题意画出图形，由平面几何知识可得①正确；设出AB 的方程，与抛物线方程联立，可得A ，B 横坐标的积，结合已知向量等式求解A 的坐标，再求出AF 所在直线斜率，可得AB 的倾斜角，判断②错误，再结合选项可知D 正确．【详解】解：如图，由抛物线定义可知，AC AF =，BD BF =，则AFC ACF CFO ∠=∠=∠，BFD BDF DFO ∠=∠=∠，则2AFC BFD CFO DFO CFD π∠+∠=∠+∠=∠=，CF DF ∴⊥，故①正确；设AB 所在直线方程为()2p y k x =-，联立2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22222(2)04k p k x k p p x -++=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2124p x x =，又3AF FB =，∴123()22p px x +=+，即123x x p =+，联立2121243p x x x x p⎧=⎪⎨⎪=+⎩ ，解得12px =-（舍)或132x p =，则13y p =，即3(,3)2A p p ，则333122FA Pk p p ==-，可得直线AB 的倾斜角为3π，④正确由对称性，若A 在x 轴下方，则直线AB 的倾斜角为23π，故②错误．由3(,3)2A p p ，(,0)2p F ，G 点的横坐标为2p -，可得F 是AG 的中点，故③正确；故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．3．D解析：D 【分析】由题将x c =代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得22bc a<，即可由此求出离心率.【详解】由题可得AB x ⊥轴，将x c =代入双曲线可得2by a=±，∴以AB 为直径的圆的半径为2b AF a=，双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，22b c a∴<，即22b ac >，即222c a ac ->，两边除以2a 可得2210e e -->，解得1e <1e >故双曲线离心率的取值范围是()1+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出22b c a <.4．D解析：D 【分析】利用1F PQ 为等边三角形可得21222b PF PF a==，利用椭圆定义得,,a b c 的方程，消去b 后可得()22232a c a -=，从而可得离心率.【详解】不妨设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，左右焦点为12,F F ，设P 在第一象限，则()2,0F c .令x c =，则22221c y a b +=，解得2P b y a =，故22bPF a=，1F PQ 为等边三角形，则1PF PQ =，即21222b PF PF a==，由椭圆定义得122PF PF a +=，故232b a a⨯=，即()22232a c a -=，故213e =，解得e =故选：D. 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．5．A解析：A 【分析】由已知求得直线l 的方程，与抛物线的方程联立，设1122(,),(,),A x y B x y 得出根与系数的关系1212 4.y y y y +==-再表示三角形的面积1211||2OABOAFOFBSSSy y =+=⨯⨯-，代入计算可得选项．【详解】由2:4C y x =得(1,0)F ，所以直线l的方程为1)yx =-，即1x =+，联立得241y xx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，化简得240.y --=，设1122(,),(,),A x y B x y 则12124.y y y y +==-，所以12111||422OABOAFOFBSSSy y =+=⨯⨯-===，故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，将所求的目标转化到交点的坐标上去.6．B解析：B【分析】根据题意，若过点P 所作的圆1C的两条切线互相垂直，则OP =，则只需在双曲线，设点(),P x y ，则利用OP ===有解求出离心率e 的取值范围.【详解】如图所示，设点P 为双曲线上一点，过点P 作圆2221:(0)C x y b b +=>的两条切线PA 与PB ，切点分别为A 与B ，连接OP ，若两条切线互相垂直，则22OP OB b ==，设点(),P x y ，则22222212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭有解，整理得22223c x b a =有解，即22223a b x c=，又22x a ≥，所以2231b c ≥，又222b c a =-，故22233c a c -≥，解得62c e a =≥. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围求解，求解离心率的的值及取值范围的关键在于画出图形，根据图形找到各边的数量关系，通过数量关系列出,,a b c 的齐次式求解.7．A解析：A【分析】设双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，根据题意，得到2122PF F F c ==，又由双曲线的定义，求得所以122PF c a =-，根据椭圆的定义，求得长半轴2a c a '=-，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设双曲线2C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点()2,0F c ，因为线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，可得2122PF F F c ==，又由12PF PF <，根据双曲线的定义可得21122PF PF c PF a -=-=，所以122PF c a =-，设椭圆的长轴长为2a '，根据椭圆的定义，可得212222PF PF c c a a '+=+-=，解得2a c a '=-，所以121122a a c a ae e c c c c'-+=+=+=. 故选：A. 【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的解题策略：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8．B解析：B 【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A M y y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--，又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，()()22434126BM =-+--=，所以ABM 的周长为：25112692644AB AM BM ++=++=+，故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 9．C解析：C 【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PFQF 为矩形，设12,PFn PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m=+的取值范围，进而求得()2224232c a c <≤-，再求离心率的范围即可【详解】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==，所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QF PF ；由11QF PF ≥1mn≤<，由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-；令=+m nt n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦，即()222422c a c <≤-，所以，()222223a c c a c -<≤-，所以，()22211e e e-<≤-，所以，2142e <≤-1e <≤ 故选：C 【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率，即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()22211e e e -<≤-，进而求解属于中档题10．B解析：B 【分析】求出双曲线的半焦距，结合三角形的面积以及勾股定理，通过双曲线的定义求出a ，然后求解双曲线的离心率即可【详解】由双曲线与抛物线有共同的焦点知2c =，因为12PF PF ⊥，且121PF F S =△，则122PF PF ⋅=，222212124PF PF F F c +==，点P 在双曲线上，则122PF PF a -=，故222121224PF PF PF PF a +-⋅=，则22444c a -=，所以a =故选：B. 【点睛】本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题..11．A解析：A 【分析】根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，所以11,2c c a ==，解得 22,3a b ==，所以椭圆方程为：22143x y +=，设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则222212121,14343y x y x +=+=，两式相减得：()()1212121243+-=--+y y x x y y x x ，即143OD AB k k =-，同理1414,33OM OE AC BC k k k k =-=-，又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以()1231114433OD OM OE k k k k k k ++=-++=-，故选：A【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．C解析：C 【分析】先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率. 【详解】由题得222222242,4()2,22c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-. 故选：C 【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.二、填空题13．2【分析】由题意设直线的方程代入椭圆中求出点的坐标进而由题意得点的坐标再整理成用到均值不等式形式求出面积的最大值【详解】由题意可知直线的斜率一定存在因此设直线的方程为代入椭圆方程整理得所以所以所以由解析：2 【分析】由题意设直线PA 的方程代入椭圆中，求出点A 的坐标，进而由题意得点B 的坐标，PABS1||||2A B OP x x =-，再整理成用到均值不等式形式，求出面积的最大值. 【详解】由题意可知直线的斜率一定存在，因此设直线l 的方程为1y kx =+，代入椭圆方程整理得22(14)80k x kx ++=，所以2814kx k -=+，所以221414k y k -=+所以A 28(14k k -+，2214)14k k -+，由题意得B 28(14k k +，2241)14k k -+，所以三角形PAB 的面积21116||||||2214A B k S OP x x k =-=+因为0k ≠，所以118||821244PABSk k==+.故答案为：2. 【点睛】关键点睛：一是要构建三角形面积的方案，采用了割补思想，二是在求最值时转化为基本不等式问题，这些都是解决本问题的关键.14．【分析】由题意知由余弦定理可得由面积公式即可求解【详解】因为分别为椭圆的左右焦点为该椭圆上一点所以则由余弦定理得即所以故的面积设的内切圆半径为则解得故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆的定义椭圆的简1 【分析】由题意知12124,F P PF F F +==1243F PPF =‖，由面积公式12121211sin |)2602(S F P PF F P PF F F r ︒=⋅+⋅=‖+|即可求解.【详解】因为12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，所以12124,F P PF F F +==则由余弦定理得，2221212122cos 60F F F P PF F P PF ︒=+-‖，()2121212122cos602F P PF F P PF F P PF ︒=+--，即1212163F PPF =-‖，所以1243F PPF =‖，故12PF F ∆的面积121sin 602S F P PF ︒=⋅‖=设12F PF ∆的内切圆半径为r ，则12121|)(4122(3F P PF F F r r S +⋅=+⋅==+|，解得13r =-1 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，余弦定理，面积公式，属于中档题.15．【分析】根据三角形的周长为定值得到点到两个定点的距离之和等于定值即点的轨迹是椭圆椭圆的焦点在轴上写出椭圆方程去掉不合题意的点【详解】的两个顶点坐标周长为点到两个定点的距离之和等于定值点的轨迹是以为焦解析：221259x y +=(0)y ≠【分析】根据三角形的周长为定值，，得到点C 到两个定点的距离之和等于定值，即点C 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在x 轴上，写出椭圆方程，去掉不合题意的点【详解】ABC ∆的两个顶点坐标()40A -，、()40B ，，周长为18 810AB BC AC ∴=+=，108>，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，∴点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆 210283a c b ==∴=，，∴椭圆的标准方程是221259x y += ()0y ≠故答案为221259x y += ()0y ≠【点睛】本题主要考查了轨迹方程，椭圆的标准方程，解题的关键是掌握椭圆的定义及其求法．16．【分析】根据题意求出点M 的坐标再根据求出点P 的坐标将点P 的坐标代入双曲线方程即可求出进而求出双曲线的渐近线方程【详解】设双曲线的左焦点为所以直线l 的方程为：由直线l 与其中一条渐近线交于点M 且有可知解解析：43y x =±【分析】根据题意求出点M 的坐标，再根据13PM MF =求出点P 的坐标，将点P 的坐标代入双曲线方程即可求出ba，进而求出双曲线的渐近线方程. 【详解】设双曲线的左焦点为(),0c -，所以直线l 的方程为：()ay x c b=+，由直线l 与其中一条渐近线交于点M ，且有1PM=3MF ，可知()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程可得2a x c aby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab M c c ⎛⎫-⎪⎝⎭，过点M 、P 分别作x 轴垂线，垂足为A 、B 因为13PM MF =，所以1114AF BF =，14AM BP =，不妨设04,ab P x c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则204c x a c c +-=，解得2043a x c c=-，所以2443,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点2443,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()222210,0x y a b a b -=>>，即()2222244310,0a ab c c c a b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=>>，整理可得22925c a =，即()222925a b a +=，解得22169b a =，43b a ∴=，所以双曲线的渐近线方程为43y x =±.故答案为：43y x =± 【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，此题要求有较高的计算能力，属于中档题.17．【分析】利用切线的性质和勾股定理可得利用椭圆的性质可得的最小值为由题意可得最小值为即可得出离心率满足的不等式再利用得联立两个不等式即可解出的取值范围【详解】因为所以当且仅当取得最小值时取得最小值而的解析：3,52⎡⎢⎣⎭【分析】利用切线的性质和勾股定理可得||)PT b c =>，利用椭圆的性质可得2PF 的最小值为a c -，由题意可得PT )a c -，即可得出离心率e 满足的不等式，再利用b c >，得222a c c ->，联立两个不等式即可解出e 的取值范围.【详解】因为||)PT b c =>，所以当且仅当2PF 取得最小值时，PT 取得最小值.而2PF 的最小值为a c -，所以PT 23()2a c -，所以22()4()a cbc --，所以2()a c b c --，所以2a c b +，所以()222()4a c a c +-，所以225302c ac a +-≥，所以25230e e +-.①又b c >，所以22b c >，所以222a c c ->，所以221e <.② 联立①②，得3252e <.故答案为：35⎡⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，离心率的计算公式，圆的切线的性质，勾股定理，一元二次不等式的解法，属于基础题18．【分析】由于P 为与在第一象限的交点分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案【详解】设椭圆：与双曲线：因为P 为与在第一象限的交点所以焦点三解析：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由于P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到2a c m =-，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案. 【详解】设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>，因为P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，所以焦点三角形12PF F 是以2PF 为底边的等腰三角形，即在椭圆中有1221122222PF PF aPF a c PF F F c ⎧+=⎪⇒=-⎨==⎪⎩①；同理，在双曲线中有222PF c m =-②，由①②可知，2a c m =-，因为()221112,3,,32c e m e ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，且12111222c c e m a c m c e ====---，由不等式的性质可知，132,53e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点问题中求椭圆的离心率范围问题，属于中档题.19．【分析】由已知可得而由可求出点的坐标再将点的坐标代入椭圆方程中再结合可求出的值【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为因为为椭圆的左焦点所以因为所以设点的坐标为则解得则所以点的坐标为因为为椭圆上一点所以解析：2213616x y +=【分析】由已知可得c =||||OP OF ==，||4PF =，可求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入椭圆方程中，再结合222a b c =+，可求出22a b ，的值.【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为(F -为椭圆C的左焦点，所以c =，因为||||OP OF =，所以||||OP OF ==，设点P 的坐标为(,)P m n，则11422OF n ⋅=⨯解得n =m =，所以点P 的坐标为⎛ ⎝，因为P 为椭圆C 上一点，所以223664155a b += 因为22220a b c -==，所以解得2236,16a b ==，所以椭圆的标准方程为2213616x y +=，故答案为：2213616x y +=【点睛】此题考查的是椭圆的简单的几何性质，考查了运算能力，属于中档题.20．【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程因为可得在之间设垂直于准线交于由抛物线的性质可得可得求出直线的方程代入抛物线的方程求出的横坐标进而求出的面积【详解】由题意抛物线的标准方程为：所以焦点准线【分析】由抛物线的方程可得焦点F 坐标及准线方程，因为23MN MF →→=，可得N 在M ，F 之间，设NN '垂直于准线交于N '，由抛物线的性质可得NN NF '=，可得tan FMN '∠=，求出直线MF 的方程，代入抛物线的方程求出N 的横坐标，进而求出NOF ∆的面积．【详解】由题意抛物线的标准方程为：28x y =，所以焦点(0,2)F ，准线方程为2y =-，设NN '垂直于准线交于N '，如图，由抛物线的性质可得NN NF '=，因为23MN MF →→=，可得N 在M ，F 之间，所以22MN NF NN '==，所以1sin 2NN FMN MN ''∠==，所以3tan FMN '∠=，即直线MF 的斜率为33，所以直线MF 的方程为323y x =+，将直线MF 的方程代入抛物线的方程可得：283160x --=，解得3x =或43x （舍），所以114343||||222NOF N S OF x ∆=⋅=⨯ 43 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，抛物线的定义，三角形的面积公式，属于中档题．三、解答题21．（1）2215x y +=（2105 【分析】（1）根据顶点坐标得到1b =，根据离心率25c e a ==，结合222a b c =+得到25a =，则可得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆，利用弦长公式可求得结果.【详解】（1）依题意设椭圆的标准方程为22221x y a b+=(0)a b >>，则1b =，c a =，所以22221a b c ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭，解得25a =，所以椭圆的标准方程为2215x y +=. （2）由（1）知(2,0)F ，则直线:l 1(2)2y x =-，联立221(2)215y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得22009x x -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12209x x +=，120x x =，所以||AB ==209==. 【点睛】结论点睛：斜率为k 的直线l 与圆锥曲线交于11(,)A x y 、22(,)B x y两点，则弦长||AB =22．（1）26y x =；（2）证明见解析，9(,0)2.【分析】（1）设圆心(),C x y ，然后根据条件建立方程求解即可；（2）设直线1l 的方程为3()2y k x =-，然后算出22363(,)2k M k k +，236(,3)2k N k +-，然后表示出直线MN 的方程即可.【详解】（1）设圆心(),C x y ，由题意得2229(3)x x y =-++，即26y x =所以曲线C 的方程为26y x =（2）由题意可知，直线12,l l 的斜率均存在，设直线1l 的方程为3()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y联立方程组2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得22224(1224)90k x k x k -++=，所以212236k x x k++=，12126(3)y y k x x k +=+-= 因为点M 是线段AB 的中点，所以22363(,)2k M k k+ 同理，将k 换成1k -得236(,3)2k N k +-，当222363622k k k ++≠，即1k ≠±时 2222333636122MN k k k k k k k k +-==++-- 所以直线MN 的方程为22363()12k k y k x k -++=-- 即29()12k y x k -=--，所以直线MN 恒过定点9(,0)2当1k =±时，直线MN 的方程为92x =，也过点9(,0)2 所以直线MN 恒过定点9(,0)2【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意. 23．（1）22143x y +=；（2）123y x =-+或123y x =--. 【分析】（1）根据题设条件列方程解得,a b 可得椭圆方程；（2）利用几何方法求出弦长||CD ，利用弦长公式求出弦长||AB，再根据||||4AB CD =可求出m ，代入直线l ：y ＝－12x ＋m ，可求得结果. 【详解】（1）由题设知22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得a ＝2，bc ＝1， ∴椭圆的方程为22143x y +=. （2）由（1）知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l ：220x y m +-=的距离d =，由d ＜1，得||m <||CD ∴=== 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由221,21,43y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并整理得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.||AB =∴==由||||4AB CD =1，解得3m =±，满足(*). ∴直线l的方程为123y x =-+或123y x =--. 【点睛】关键点点睛：掌握几何方法求弦长和弦长公式求弦长是解题关键.24．（1）24y x =；（2）8.【分析】（1）由题意得焦点()1,0F ，则12p =，即可得出结果；（2）利用直线的倾斜角求得斜率，由点斜式得到直线AB 的方程，和抛物线方程联立后利用根与系数的关系得到126x x +=，代入抛物线的弦长公式即可得解.【详解】（1）因为抛物线()220y px p =>的焦点F 恰是椭圆2212x y +=的一个焦点，所以焦点()1,0F ，则122p p =⇒=，则抛物线的方程为：24y x =；（2）因为45AFx ∠=，所以直线AB 的斜率为tan 451︒=，又抛物线的焦点为()1,0F ，则直线AB 的方程为：011y x y x -=-⇒=-，由214y x y x =-⎧⎨=⎩，得2610x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则126x x +=，所以128AB x x p =++=.【点睛】关键点睛：直线与抛物线方程联立，化为关于x 的方程后利用一元二次方程根与系数的关系解决本题是解题的关键.25．（1）[0,3]；（2）⎡⎢⎣⎦. 【分析】（1）设(),P x y ，求出21212PF PF x ⋅=，即得解；（2）①当直线l 的斜率不存在时，求得122S S =；②若直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，求出12S S =换元求解.最后综合得解.【详解】（1）由已知，())12,F F ，设(),P x y，(x ≤，())2212,,3x y x y x PF y PF ⋅=--⋅-=+-．结合22163x y +=，得22132y x =-，故2121[0,3]2PF PF x ⋅=∈.所以12PF PF ⋅的取值范围为[0,3].（2）①当直线l的斜率不存在时，其方程为x =由对称性，不妨设x()(),,1,1,1,1A B C D -，故12221S S ==． ②若直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，=，则()2221m k =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 与椭圆方程联立，得()222214260k x kmx m +++-=，由韦达定理得122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+．结合OC OD ==22221122113,322x y y x =-=-，可知12S S == 将根与系数的关系代入整理得：12S S =结合()2221m k =+，得12S S =．设2211t k =+≥，(]10,1u t=∈，则122,2S S ⎡===⎢⎣⎦． 12S S ∴的取值范围是2,2⎡⎢⎣⎦．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是求出12S S =值范围.本题利用了两次换元，转化成二次函数求范围.换元法是高中数学常用的一个解题技巧，要理解掌握灵活运用.26．（1）||AB =12t；（2）7+ 【分析】（1）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（2）运用抛物线的定义和（1）的结论，结合12||||2AF BF x x +=++，进而得到AFB △的周长．【详解】（1）224y x t y x=+⎧⎨=⎩，整理得()224410x t x t +-+=，则2212212163216161632044144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪+==-⎨⎪⎪=⎪⎩， AB===，其中12t ；（2）由||AB =4t =-，经检验，此时16320t ∆=->，所以1215x x t +=-=，由抛物线的定义，有1212||||()()52722p p AF BF x x x x p +=+++=++=+=，又||AB =所以AFB△的周长为7+【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用12l y y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.。