人教版平行四边形单元 易错题专项训练检测试卷 (2)

人教版平行四边形单元 易错题专项训练检测试卷
一、解答题
1．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．
(1)求证: FCE BOE ≌；
(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．
2．如图， 平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ． （1） 求证：四边形CEDF 是平行四边形；
（2） ①当AE 的长为多少时， 四边形CEDF 是矩形；
②当AE = cm 时， 四边形CEDF 是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．
3．如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ．
（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；
（2）若∠DEF =90°，DE =8，EF =6，当AF 为 时，四边形BCEF 是菱形．
4．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠． （1）若点F 在边CD 上，如图1，
①求证：CH CG ⊥．
②求证：GFC 是等腰三角形．
（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ． 5．探究：如图①，△ABC 是等边三角形，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、AN ，延长MC 交AN 于点P ．
（1）求证：△ACN ≌△CBM ；
（2）∠CPN = °；（给出求解过程）
（3）应用：将图①的△ABC 分别改为正方形ABCD 和正五边形ABCDE ，如图②、③，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、DN ，延长MC 交DN 于点P ，则图②中∠CPN = °；（直接写出答案）
（4）图③中∠CPN = °；（直接写出答案）
（5）拓展：若将图①的△ABC 改为正n 边形，其它条件不变，则∠CPN = °（用含n 的代数式表示，直接写出答案）．
6．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠． （1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；
（2）求证：CP AE =；
（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．
7．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，点F 在AE 上，连接FB ，FD ，∠ABF=∠AFB ． （1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF ；
（2）如图2，过点F 作垂线交AB 于G ，交DC 的延长线于H ，求证：DH=2 AG ； （3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC 的长．
8．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝nAB ，E ，F 分别在AB ，BC 上．
（1）若n ＝1，AF ⊥DE ．
①如图1，求证：AE ＝BF ；
②如图2，点G 为CB 延长线上一点，DE 的延长线交AG 于H ，若AH ＝AD ，求证：AE +BG ＝AG ；
（2）如图3，若E 为AB 的中点，∠ADE ＝∠EDF ．则CF BF 的值是_____________（结果用含n 的式子表示）．
9．在边长为5的正方形ABCD 中，点E 在边CD 所在直线上，连接BE ，以BE 为边，在BE 的下方作正方形BEFG ，并连接AG ．
（1）如图1，当点E 与点D 重合时，AG ＝ ；
（2）如图2，当点E 在线段CD 上时，DE ＝2，求AG 的长；
（3）若AG ＝517
，请直接写出此时DE 的长．
10．已知，矩形ABCD 中，4,8AB cm BC cm ==，AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、，垂足为O ．
（1）如图1，连接AF CE 、，求证：四边形AFCE 为菱形；
（2）如图2，动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发，沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点O 自C D E C →→→停止．在运动过程中，
①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当
A C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t =____________．
②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、 （单位:,0cm ab ≠），已知A
C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a 与b 满足的数量关系式为____________．
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一、解答题
1．（1）见解析；（2）当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形，证明详见解析
【分析】
（1）证明四边形OCFD 是平行四边形，得出OD=CF ，证出OB=CF ，再证明全等即可（2）证出四边形ABCD 是矩形，由矩形的性质得出OC=OD ，即可得出四边形OCFD 为菱形.
【详解】
(1)证明:∵//,//CF BD DF AC ，
∴四边形OCFD 是平行四边形， OBE CFE ∠=∠，
∴OD CF =，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB OD =，
∴OB CF =，
在FCE △和BOE △中， OBE CFE BEO FEC OB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()FCE BOE AAS ≌．
(2)当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形.理由如下:
∵90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是矩形
∴,,,OA OC OB OD AC BD ===
∴OC OD
=，
∴四边形OCFD为菱形
【点睛】
本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质和菱形的判定是解题的关键.
2．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形；②2
【分析】
（1）证明△FCG ≌△EDG（ASA），得到FG=EG即可得到结论；
（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形.过A作AM⊥BC于M，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM，证明
△MBA≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF是矩形；
②根据四边形CEDFCEDF是菱形，得到CD⊥EF，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ CF∥ED，
∴∠FCG＝∠EDG，
∵ G是CD的中点，
∴ CG＝DG，
在△FCG和△EDG中，
FCG EDG CG DG
CGF DGE ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△FCG ≌△EDG（ASA），
∴ FG＝EG，
∵ CG＝DG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵AB=3，
∴BM=1.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，
∵AE=3.5，
∴DE=1.5=BM，
在△MBA和△EDC中，
BM DE B CDE AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△MBA ≌△EDC(SAS)，
∴∠CED=∠AMB=90°，
∵四边形CEDF 是平行四边形，
∴四边形CEDF 是矩形；
②∵四边形CEDFCEDF 是菱形，
∴CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，
∵∠CDE=∠B=60∘∠B=60∘，
∴∠DEG=30°，
∴DE=2DG=3，
∴AE=AD-DE=5-3=2，
故答案为：2.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的性质定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，三角形全等的判定及性质定理，熟练掌握各定理并运用解答问题是解题的关键.
3．（1）详见解析；（2）
145
． 【分析】
（1）由AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ，易证得△ABC ≌DEF （SAS ），即可得BC =EF ，且BC ∥EF ，即可判定四边形BCEF 是平行四边形；
（2）由四边形BCEF 是平行四边形，可得当BE ⊥CF 时，四边形BCEF 是菱形，所以连接BE ，交CF 与点G ，由三角形DEF 的面积求出EG 的长，根据勾股定理求出FG 的长，则可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵AF =DC ，
∴AC =DF ，
在△ABC 和△DEF 中， AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△DEF （SAS ），
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）如图，连接BE，交CF于点G，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，∵∠DEF=90°，DE=8，EF=6，
∴DF2222
86
DE EF
+=+10，
∴S△DEF
11
22
EG DF EF DE =⋅=⋅，
∴EG
6824
105
⨯
==，
∴FG=CG
2
222
2418
6
55 EF EG
⎛⎫
=-=-=
⎪
⎝⎭
，
∴AF=CD=DF﹣2FG=10﹣36
5
=
14
5
．
故答案为：14
5
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
4．（1）①见解析；②GFC是等腰三角形，证明见解析；（2）4+54﹣5
【分析】
（1）①只要证明△DAH≌△DCH，即可解决问题；
②只要证明∠CFG=∠FCG，即可解决问题；
（2）分两种情形解决问题：①当点F在线段CD上时，连接DE．②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．分别求出EC即可解决问题．
【详解】
（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°，DA ＝DC ，
在△DAH 和△DCH 中，
DA DC ADH CDH DH DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DAH ≌△DCH ，
∴∠DAH ＝∠DCH ；
∵∠ECG=∠DAH ，
∴∠ECG=∠DCH ，
∵∠ECG+∠FCG=∠FCE=90°，
∴∠DCH+∠FCG=90°，
∴CH ⊥CG.
②∵在Rt △ADF 中，∠DFA+∠DAF ＝90°，
由①得∠DCH+∠FCG=90°，∠DAH ＝∠DCH ；
∴∠DFA ＝∠FCG ，
又∵∠DFA ＝∠CFG ，
∴∠CFG ＝∠FCG ，
∴GF ＝GC ，
∴△GFC 是等腰三角形
（2）BE 的长为 4+2
5或425- ．
①如图①当点F 在线段CD 上时，连接DE ．
∵∠GFC ＝∠GCF ，
又∵在Rt △FCG 中，∠GEC+∠GFC ＝90°，∠GCF+∠GCE ＝90°，
∴∠GCE ＝∠GEC ，
∴EG ＝GC ＝FG ，
∴G是EF的中点，
∴GM是△DEF的中位线
∴DE＝2MG＝6，
在Rt△DCE中，CE＝22
DE DC
-＝22
64
-＝25，
∴BE＝BC+CE＝4+25．
②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．
同法可知GM是△DEC的中位线，
∴DE＝2GM＝5，
在Rt△DCE中，CE22
DE DC
-22
64
-5
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣5
综上所述，BE的长为4+54﹣25
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（1）见解析；（2）120；（3）90；（4）72；（5）360 n
.
【分析】
（1）利用等边三角形的性质得到BC=AC，∠ACB=∠ABC，从而得到△ACN≌△CBM.（2）利用全等三角形的性质得到∠CAN=∠BCM，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解.
（3）利用正方形（或正五边形）的性质得到BC=DC，∠ABC=∠BCD，从而判断出
△DCN≌△CBM，再利用全等三角形的性质得到∠CDN=∠BCM，再利用内角和定理即可得到答案.
（4）由（3）的方法即可得到答案.
（5）利用正三边形，正四边形，正五边形，分别求出∠CPN的度数与边数的关系式，即可得到答案.
【详解】
（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴BC=AC ，∠ACB=∠BAC=∠ABC=60︒， ∴∠ACN=∠CBM=120︒，
在△CAN 和△CBM 中，
CN BM ACN CBM AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACN ≌△CBM.
（2）∵△ACN ≌△CBM.
∴∠CAN=∠BCM ，
∵∠ABC=∠BMC+∠BCM ，∠BAN=∠BAC+∠CAN ， ∴∠CPN=∠BMC+∠BAN
=∠BMC+∠BAC+∠CAN
=∠BMC+∠BAC+∠BCM
=∠ABC+∠BAC
=60︒+60︒,
=120︒，
故答案为：120.
（3）将等边三角形换成正方形，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴BC=DC ，∠ABC=∠BCD=90︒，
∴∠MBC=∠DCN=90︒，
在△DCN 和△CBM 中，
DC BC DCN MBC CN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DCN ≌△CBM ，
∴∠CDN=∠BCM ，
∵∠BCM=∠PCN ，
∴∠CDN=∠PCN ，
在Rt △DCN 中，∠CDN+∠CND=90︒， ∴∠PCN+∠CND=90︒，
∴∠CPN=90︒，
故答案为：90.
（4）将等边三角形换成正五边形，
∴∠ABC=∠DCB=108︒，
∴∠MBC=∠DCN=72︒，
在△DCN 和△CBM 中，
DC BC DCN MBC CN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DCN ≌△CBM ，
∴∠BMC=∠CND ，∠BCM=∠CDN ，
∵∠BCM=∠PCN ，
∴∠CND=∠PCN ，
在△CDN 中，∠CDN+∠CND=∠BCD=108︒，
∴∠CPN=180︒-(∠CND+∠PCN)
=180︒-(∠CND+∠CDN)
=180︒-108︒，
=72︒，
故答案为：72.
（5）正三边形时，∠CPN=120︒=
3603， 正四边形时，∠CPN=90︒=
3604， 正五边形时，∠CPN=72︒=
3605， 正n 边形时，∠CPN=
360n ， 故答案为：
360n
. 【点睛】
此题考查正多边形的性质，三角形全等的判定及性质，图形在发生变化但是解题的思路是不变的，依据此特点进行解题是解此题的关键.
6．（1）四边形PBCE 为平行四边形，证明过程见解析；（2）见解析；（3）四边形APCE 为矩形，证明过程见解析.
【分析】
（1）证明四边形ABCD 为平行四边形，从而得BP//CE ，根据内错角相等证明AD//PE,从而可证PE//BC ，得四边形PBCE 为平行四边形；（2）证明△CBP≌△ACE 即可证明CP=AE ；
（3）证明四边形APCE 为平行四边形，然后根据三线合一证明∠APC=90°，可证四边形APCE 为矩形.
【详解】
解：（1）四边形PBCE 为平行四边形.
证明：∵AD BC =，AD BC ∥，
∴四边形ABCD 为平行四边形，
∵DAE AEP ∠=∠,
∴AD//PE,
∴PE//BC,
∴四边形PBCE 为平行四边形.
（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴∠B=∠D，AB//CD,
∴BAC ACE =∠∠
又∵D ∠=BAC ∠，
∴∠B=BAC ∠，
∴BC=AC ，B ACE ∠=∠
∵四边形PBCE 为平行四边形，
∴PB=CE，
在△CBP 和△ACE 中
BP CE B ACE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CBP≌△ACE.
∴CP AE =.
（3）四边形APCE 为矩形，
证明：∵P 为AB 的中点
∴BP=AP ,
∵四边形PBCE 为平行四边形，
∴BP=CE,
∴AP=CE,
又∵AB//CD
∴四边形APCE 为平行四边形，
∵CB=CA ，AP=BP ，
∴CP ⊥AB ，
∴∠APC=90°，
∴ABCD 为矩形.
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形“三线合一”.熟记平行四边形的判定和矩形的判定定理，能根据题意分析得出线段与线段、角与角之间的关系，选择合适的定理是解决本题的关键.
7．（1）见解析；（2）见解析；（3）7
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质结合正方形的性质得出AF=AD ，则∠AFD=∠ADF ；
（2）首先得出四边形AGHN 为平行四边形，可得FM=MD ，进而NF=NH ，ND=NH ，即可得
（3）首先得出△ADN≌△DCP（ASA），得到PC=DN，再利用在Rt△ABE中，BE2+AB2=AE2，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∴AF=AD，
∴∠AFD=∠ADF；
（2）证明：如图1所示：过点A作DF的垂线分别交DF，DH于M，N两点，∵GF⊥DF，
∴∠GFD=∠AMD=90°，
∴AN∥GH，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AG∥NH，
∴四边形AGHN为平行四边形，
∴AG=NH，
∵AF=AD，AM⊥FD，
∴FM=MD，
连接NF，则NF=ND，
∴∠NFD=∠NDF，
∵∠NFD+∠NFH=∠NDF+∠H，
∴∠NFH=∠H，
∴NF=NH，
∴ND=NH，
∴DH=2NH=2AG；
（3）解：延长DF交BC于点P，如图2所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∴∠ADF=∠FPE，
∴∠PFE=∠AFD=∠ADF=∠FPE，
∴EF=EP=2，
∵∠DAM+∠ADM=∠ADM+∠PDC，
∴∠DAM=∠PDC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠ADN=∠DCP，
在△ADN和△DCP中
DAN PDC AD DC
ADN PCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ADN ≌△DCP （ASA ），
∴PC=DN ，
设EC=x ，则PC=DN=x+2，DH=2x+4，
∵CH=3，
∴DC=AB=BC=AF=2x+1
∴AE=2x+3，BE=x+1，
在Rt △ABE 中，BE 2+AB 2=AE 2，
∴（x+1）2+（2x+1）=（2x+3）2．
整理得：x 2﹣6x+7=0，
解得：x 1=7，x 2=﹣1（不合题意，舍去）
∴EC=7．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、平行四边形的性质等知识，解题关键是正确把握正方形的性质．
8．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）241n -．
【分析】
（1）①先根据1n =可得AD AB =，再根据矩形的性质可得90DAE ABF ∠=∠=︒，然后根据直角三角形的性质、垂直的定义可得DEA AFB ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
②如图（见解析），先根据（1）的结论可得AE BF =，再根据等腰三角形的三线合一可
得HAF DAF ∠=∠，然后根据矩形的性质、平行线的性质可得AFG DAF ∠=∠，从而可得HAF AFG ∠=∠，最后根据等腰三角形的定义可得AG GF =，由此即可得证； （2）如图（见解析），先根据线段中点的定义可得AE BE =，再根据角平分线的性质可得,AE EM DM AD nAB ===，从而可得BE EM =，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得BF MF =，设BF MF x ==，最后在Rt CDF 中，利用勾股定理求出x 的值，从而可得BF 、CF 的值，由此即可得出答案．
【详解】
（1）①当1n =时，AD AB =
四边形ABCD 是矩形
90DAE ABF ∴∠=∠=︒
90BAF AFB ∴∠+∠=︒
AF DE ⊥
90BAF DEA ∴∠+∠=︒
DEA AFB ∴∠=∠
在ADE 和BAF △中，90DAE ABF DEA AFB AD BA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ADE BAF AAS ∴≅
AE BF ∴=；
②如图，过点A 作AF DH ⊥，交BC 于点F
由（1）可知，AE BF =
,AH AD AF DH =⊥
HAF DAF ∴∠=∠（等腰三角形的三线合一）
四边形ABCD 是矩形
//AD BC ∴
AFG DAF ∴∠=∠
HAF AFG ∴∠=∠
AG GF ∴=
又
GF BF BG AE BG =+=+
AE BG AG ∴+=；
（2）如图，过点E 作EM DF ⊥于点M ，连接EF
四边形ABCD 是矩形
,,90AD BC nAB AB CD A B C ∴===∠=∠=∠=︒
点E 是AB 的中点
12
AE BE AB ∴== ,,ADE EDF EA AD EM DF ∠=∠⊥⊥
,AE EM DM AD nAB ∴===
BE EM ∴=
在Rt BEF △和Rt MEF 中，BE ME EF EF =⎧⎨=⎩
()Rt BEF Rt MEF HL ∴≅
∴=BF MF
设BF MF x ==，则CF BC BF nAB x =-=-，DF DM MF nAB x =+=+ 在Rt CDF 中，222+=CD CF DF ，即222()()AB nAB x nAB x +-=+ 解得14x AB n =
14BF AB n ∴=，214144n CF nAB AB AB n n
-=-= 则224144114n AB CF n n BF AB n
-==- 故答案为：241n -．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
9．（1）521093）
52或152
． 【分析】
（1）如图1，连接CG ，证明△CBD ≌△CBG （SAS ），可得G ，C ，D 三点共线，利用勾股定理可得AG 的长；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BCE ≌△BKG ，可得AK 和KG 的长，利用勾股定理计算AG 的长；
（3）分三种情况：①当点E 在边CD 的延长线上时，如图3，同（2）知△BCE ≌△BKG （AAS ），BC ＝BK ＝5，根据勾股定理可得KG 的长，即可CE 的长，此种情况不成立；②当点E 在边CD 上；③当点E 在DC 的延长线上时，同理可得结论．
【详解】
（1）如图1，连接CG ，
∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，
∴∠CBG＝45°，
∴∠CBG＝∠CBD，
∵BC＝BC，
∴△CBD≌△CBG（SAS），
∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，
∴G，C，D三点共线，
∴AG＝22
+＝22
AD DG
+＝55，
510
故答案为：55；
（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，
∵DE＝2，DC＝5，
∴CE＝3，
∵∠EBG＝∠EBC＋∠CBG＝90°，∠CBG＋∠GBK＝90°，
∴∠EBC＝∠GBK，
∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，
∴△BCE≌△BKG（AAS），
∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，
∴AK＝10，
由勾股定理得：AG22
+109
103
（3）（3）分三种情况：
①当点E在CD的延长线上时，如图3，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），
∴BC＝BK＝5，
∵AG＝517
，
由勾股定理得：KG＝
2
2
517
10
2
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
=
5
2
，
∴CE＝KG＝5
2
，此种情况不成立；
②当点E在边CD上时，如图4，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），
∴BC＝BK＝CD=5，
∵AG
517
由勾股定理得：KG
2
2
517
10
2
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
5
2
，
∴CE＝KG＝5
2
，
∴DE ＝CD-CE=52
； ③当点E 在DC 的延长线上时，如图5，
同理得CE ＝KG ＝52， ∴DE ＝5＋52＝152
； 综上，DE 的长是
52或152
． 【点睛】 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
10．（1）见解析；（2）①43
t =
；②12a b += 【分析】
(1)先证明四边形AFCE 为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；
(2)①分情况讨论可知，当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②分三种情况讨论可知a 与b 满足的数量关系式.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD BC ∥
∴,CAD ACB AEF CEF ∠=∠∠=∠，
∵EF 垂直平分AC ，垂足为O ，
∴OA OC =，
∴AOE COF △≌△，
∴OE OF =，
∴四边形AFCE 为平行四边形，
又∵EF OF ⊥
∴四边形AFCE 为菱形，
（2）①43t =秒． 显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A
C P Q 、、、四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在E
D 上时，才能构成平行四边形．
∴以A
C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC QA = ∴点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，
∴5,4124PC t QA CD AD t t ==+-=-，
∴5124t t =-，解得43
t = ∴以A
C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，43t =秒． ②a 与b 满足的数量关系式是12a b +=，
由题意得，以A
C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时， 点P Q 、在互相平行的对应边上，分三种情况：
i ）如图1，当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时，AP CP =，即12a b =-，得12a b +=． ii ）如图2，当P 点在B 上、Q 点在DE 上时，AQ CP =，即12b a -=，得12a b +=． iii ）如图3，当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时，AQ CP =，即12a b -=，得12a b +=．
综上所述，a 与b 满足的数量关系式是()120a b ab +=≠．
【点睛】
此题考查线段垂直平分线的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，解题中注意分类讨论的思想.。