高考物理一轮复习 教学案：专题五考点二 人造地球卫星 含解析

考点二 人造地球卫星
基础点
知识点1 宇宙速度
1．第一宇宙速度(环绕速度)
(1)第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度，其大小为v 1＝7.9 km/s 。

(2)第一宇宙速度的求法：
①GMm R 2＝m v 21R ，所以v 1＝ GM R 。

②mg ＝m v 21R ，所以v 1＝gR 。

(3)第一宇宙速度既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度。

2．第二宇宙速度(脱离速度)：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其大小为v 2＝11.2 km/s 。

3．第三宇宙速度(逃逸速度)：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其大小为v 3＝16.7 km/s 。

知识点2 人造地球卫星
1．人类发射的绕地球运行的所有航天器均可称为人造地球卫星，它们的轨道平面一定通过地球球心。

2．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，极地卫星可以实现全球覆盖。

(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径。

3．地球同步卫星 (1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。

(2)周期 一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ＝86400 s 。

(3)高度一定：离地面高度h ＝r －R ≈6R (R 为地球半径)。

(4)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。

知识点3 时空观
1．经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态的改变而改变的。

(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。

2．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m ＝m 0
1－v 2c 2。

(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。

3．狭义相对论的两条基本假设
(1)相对性原理：在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是不同的。

(2)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是不变的。

重难点
一、卫星的运动规律
1．卫星的轨道特点：一切卫星轨道的圆心与地心重合。

因为万有引力提供向心力，故地心和轨道的圆心重合。

2．卫星的动力学特点：卫星绕地球的运动近似看成圆周运动，
万有引力提供向心力，类比行星绕太阳的运动规律，同样可得：G Mm r
2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T
2r ＝ma ，可推导出：
GMm r 2＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤ma →a ＝GM r 2→a ∝1r 2m v 2r →v
＝GM r →v ∝1r mω2r →ω＝ GM r 3→ω∝1r 3m 4π2T 2r →T ＝ 4π2r 3GM →T ∝r 3
越高越慢
特别提醒
轨道半径r 一旦确定，a 、v 、ω、T 就确定了，与卫星的质量无关。

同时可以看出，在a 、v 、ω、T 这四个物理量中，只有T 随r 增大而增大，其他三个物理量都随r 的增大而减小。

这一结论在很多定性判断中很有用。

3．同步卫星的特点
相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星，又叫通信卫星。

同步卫星有以下“七个一定”的特点：
(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面。

(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h 。

(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。

(4)高度一定：由G Mm (R ＋h )2
＝m 4π2T 2(R ＋h )得地球同步卫星离地面的高度h ＝ 3GMT 24π
2－R ≈6R ＝3.6×107 m 。

(5)速率一定：v ＝ GM R ＋h
＝3.1×103 m/s 。

(6)向心加速度一定：由G Mm (R ＋h )2＝ma 得a ＝GM (R ＋h )2
＝g h ＝0.23 m/s 2，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度。

(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向一致。

特别提醒
其他卫星的绕行方向可以不与地球自转方向一致。

4．同步卫星、近地卫星和赤道上物体的比较
如图所示，用A 代表同步卫星，B 代表近地卫星，C 代表赤道上的物体。

用M 代表地球质量，R 代表地球半径，h 代表同步卫星离地表的高度。

(1)同步卫星A 与近地卫星B 的比较：同步卫星A 和近地卫星B 都是卫星，绕地球运行的向心力由地球对它们的万有引力提供，所以卫星的运动规律都适用。

由v ＝ GM r ，T ＝2π r 3GM ，a ＝ GM r 2，可得v A v B ＝ R R ＋h ，T A T B ＝(R ＋h )3R 3，a A a B ＝R 2(R ＋h )2。

(2)同步卫星A 与赤道上物体C 的比较：赤道上的物体C 随地球自转的向心力由万有引力的一个分力提供，所以卫星的运动规律对赤道上的物体不适用。

但因C 和A 的周期T 相同，故可用圆周运动的
知识分析。

由v ＝2πr T ，a ＝4π2r T 2可得，v A v C ＝(R ＋h )R ，a A a C
＝(R ＋h )R 。

综上可知，对同步卫星A 、近地卫星B 和赤道上的物体C 而言，有T A ＝T C ＞T B ，v B ＞v A ＞v C ，a B ＞a A ＞a C 。

特别提醒
极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

所以常用于军事上面的侦察卫星，它的运行规律同其他卫星相同。

二、宇宙速度
1．第一宇宙速度的理解和推导
(1)在人造卫星的发射过程中火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到越高的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射到贴近地面的轨道上运行。

故有：
G Mm R 2＝m v 21R ，v 1＝ GM R ＝7.9 km/s 。

或mg ＝m v 21R ，v 1＝Rg ＝7.9 km/s 。

(2)第一宇宙速度的两个表达式，不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是M 、R 、g 应是相应星球的质量、半径和表面的重力加速度。

2．三种宇宙速度的比较
特别提醒
(1)当卫星的发射速度7.9 km/s ＜v ＜11.2 km/s 时，物体绕地球做椭圆运动，发射速度越大，轨迹椭圆越“扁”。

当11.2 km/s ＜v ＜16.7 km/s 时，物体绕太阳运行，同理发射速度越大，轨迹椭圆也越“扁”。

(2)理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的2倍，即v ′＝ 2GM
R 。

这个关系对于其他天体也是正确的。

(3)对于一个质量为M 的球状物体，当其半径R 不大于2GM c
2时，即是一个黑洞。

三、卫星的变轨、能量及追赶(对接)
1．卫星的变轨
(1)变轨原理及过程
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。

①为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。

②在A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

③在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。

④过程简图： 较低圆
轨道
近地点向后喷气近地点向前喷气椭圆轨道远地点向后喷气远地点向前喷气
较高圆轨道 (2)三个运行物理量的大小比较
①速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点速率分别为v A 、v B 。

在A 点加速，则v A ＞v 1，在B 点加速，则v 3＞v B ，又因v 1＞v 3，故有v A ＞v 1＞v 3＞v B 。

②加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同。

③周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T 1、T 2、
T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3
T
2＝k 可知T 1＜T 2＜T 3。

2．卫星运行中的能量问题
(1)卫星(或航天器)在同一圆形轨道上运动时，机械能不变。

(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。

卫星速率增大(发动机做正功)会做离心运动，轨道半径增大，万有引力做负功，卫星动能减小，由于变轨时遵从能量守恒，稳定在圆
轨道上时需满足G Mm r 2＝m v 2r ，致使卫星在较高轨道上的运行速率小于在较低轨道上的运行速率，但机械能增大；相反，卫星由于速率减小(
发动机做负功)会做向心运动，轨道半径减小，万有引力做正功，卫星动能增大，同样原因致使卫星在较低轨道上的运行速率大于在较高轨道上的运行速率，但机械能减小。

特别提醒
如果卫星的轨道半径r 减小，线速率v 将增大，周期T 将减小，
向心加速度a将增大，动能E k将增加，势能E p将减少，卫星总机械能E机必将减少；若要使轨道半径增大，则必须为其提供机械能。

3．卫星的追及和相遇问题
(1)典型问题
卫星运动中的“追及问题”研究的是“两个在不同的圆周轨道上运动的物体，何时相距最近(即相遇)或最远”的问题。

相距最近的含义是：两个卫星(或物体)和圆周轨道的圆心三点在同一条直线上，且两个卫星(或物体)在圆心同侧；相距最远的含义是：两个卫星(或物体)和圆周轨道的圆心三点在同一条直线上，且两个卫星(或物体)在圆心异侧。

(2)解决办法
某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上。

由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。

特别提醒
航天飞机与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是卫星的变轨运行问题。

要使航天飞机与宇宙空间站成功“对接”，必须让航天飞机在较低轨道上加速，通过速度v的增大→所需向心力增大→做离心运动→轨道半径r增大→升高轨道的系列变速，从而完成航天飞机与宇宙空间站的成功对接。

1．思维辨析
(1)同步卫星可以定点在北京市的正上方。

( )
(2)不同的同步卫星的质量不同，但离地面的高度是相同的。

( )
(3)第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度。

( )
(4)第一宇宙速度的大小与地球质量有关。

( )
(5)月球的第一宇宙速度也是7.9 km/s 。

( )
(6)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。

( )
(7)若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体可绕太阳运行。

( )
(8)人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。

( )
(9)在地球上，若汽车的速度达到7.9 km/s ，则汽车将飞离地面。

( )
(10)“嫦娥三号”探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则周期较小的轨道半径一定较小。

( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√ (7)√ (8)√
(9)√ (10)√
2．物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝2v 1。

已知某星球半
径是地球半径R 的13
，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g 的16
，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( ) A.gR B.13
gR
C.16
gR D.3gR
答案 B 解析 设某星球的质量为M ，半径为r ，绕其飞行的卫星质量为
m ，根据万有引力提供向心力，可得G Mm r 2＝m v 21r ，解得：v 1＝ GM r ，又因它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g 的16，可得G Mm r 2＝m g 6，又r ＝13R 和v 2＝2v 1，解得v 2＝13
gR ，所以正确选项为B 。

3．(多选)中国志愿者王跃参与人类历史上第一次全过程模拟从地球往返火星的一次实验“火星—500”活动，王跃走出登陆舱，成功踏上模拟火星表面，在火星上首次留下中国人的足迹，目前正处于从“火星”返回地球途中。

假设将来人类一艘飞船从火星返回地球时，经历了如图所示的变轨过程，则下列说法中正确的是( )
A ．飞船在轨道Ⅱ上运动时，在P 点速度大于在Q 点的速度
B ．飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能大于轨道Ⅱ上运动的机械能
C ．飞船在轨道Ⅰ上运动到P 点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P 点时的加速度
D ．飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样半径运动的周期相同
答案 AC
解析 由飞船在轨道Ⅱ上运动时机械能守恒可知，飞船在P 点速度大于在Q 点的速度，选项A 正确；飞船从轨道Ⅰ加速过渡到轨道
Ⅱ，所以飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能小于轨道Ⅱ上运动的机械能，选项B 错误；飞船在空间同一点所受万有引力相同，所以飞船在轨道Ⅰ上运动到P 点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P 点时的加速度，选项C 正确；飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样半径运动的周期不相同，选项D 错误。

[考法综述] 本考点知识是高考的常考内容，万有引力定律
的应用多以人造卫星与航天等现代科技为背景命题，常涉及卫星的发射、环绕、对接变轨能量等，复习时应掌握：
3个速度——第一、二、三宇宙速度
3类卫星——近地卫星、同步卫星、极地卫星
2种观点——经典时空观、相对论时空观
4个物理量——线速度、角速度、向心加速度、周期之间的相互关系
命题法1 卫星运行参量间的关系
典例1 研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时。

假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比 ( )
A ．距地面的高度变大
B ．向心加速度变大
C ．线速度变大
D ．角速度变大
[答案] A
[解析] 同步卫星运行周期与地球自转周期相同，由G Mm (R ＋h )2＝m (R ＋h )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2有h ＝ 3GMT 24π2－R ，故T 增大时h 也增大，A 正确。

同理由GMm (R ＋h )2＝ma ＝m v 2R ＋h ＝m (R ＋h )ω2可得a ＝GM (R ＋h )2、v ＝ GM R ＋h
、ω＝ GM (R ＋h )
3，故h 增大后a 、v 、ω都减小，B 、C 、D 皆错误。

【解题法】 人造卫星问题的解题技巧
(1)利用卫星向心加速度的不同表述形式。

①G M r 2＝a n ②a n ＝v 2r ＝rω2＝4π2T
2r 来讨论分析。

(2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律。

(3)与同步卫星相关的物理规律
①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球的表面半径约为6.4×103 km ，表面重力加速度g ＝9.8 m/s 2。

②月球的公转周期为1月(约27.3天，在一般估算中常取27天)。

③人造地球卫星的运行半径最小为r ＝6.4×103 km ，运行周期最小为T ＝84.8分钟，运行速度最大为v ＝7.9 km/s 。

命题法2 几类卫星的相关知识
典例2 有a 、b 、c 、d 四颗卫星，a 还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，设地球自转周期为24 h ，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如下图所示，则下列关于卫星的说法中正确的是( )
A ．a 的向心加速度等于重力加速度g
B ．c 在4 h 内转过的圆心角为π6
C ．b 在相同的时间内转过的弧长最长
D ．d 的运动周期可能是23 h
[答案] C
[解析] 在地球赤道表面随地球自转的卫星，其所受万有引力提供重力和其做圆周运动的向心力，a 的向心加速度小于重力加速度g ，选项A 错误；由于c 为同步卫星，所以c 的周期为24 h ，因此4 h 内
转过的圆心角为θ＝π3
，选项B 错误；由四颗卫星的运行情况可知，b 运动的线速度是最大的，所以其在相同的时间内转过的弧长最长，选项C 正确；d 运行的周期比c 要长，所以其周期应大于24 h ，选项D 错误。

【解题法】 赤道上的物体、近地卫星、同步卫星之间的关
系比较
命题法3 卫星的变轨问题
典例3 (多选)如图为嫦娥三号登月轨迹示意图。

图中M 点为环地球运行的近地点，N 点为环月球运行的近月点。

a 为环月球运行的圆轨道，b 为环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是( )
A ．嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度大于11.2 km/s
B ．嫦娥三号在M 点进入地月转移轨道时应点火加速
C ．设嫦娥三号在圆轨道a 上经过N 点时的加速度为a 1，在椭圆轨道b 上经过N 点时的加速度为a 2，则a 1>a 2
D ．嫦娥三号在圆轨道a 上的机械能小于在椭圆轨道b 上的机械能
[答案] BD
[解析] 嫦娥三号在环地球轨道上运行速度v 总小于第一宇宙速度，则A 错误；嫦娥三号要脱离地球需在M 点点火加速让其进入地
月转移轨道，则B 正确；由a ＝GM r 2，知嫦娥三号在经过圆轨道a 上的N 点和在椭圆轨道b 上的N 点时的加速度相等，则C 错误；嫦娥三号要从b 轨道转移到a 轨道需要减速，机械能减小，则D 正确。

【解题法】 航天器变轨问题的分析
(1)卫星的变轨问题有以下两种情况。

①制动变轨：卫星的速率变小时，使得万有引力大于所需向心力，
即F 引＞m v 2r ，卫星做向心运动，轨道半径将变小。

因此，要使卫星
的轨道半径减小，需开动反冲发动机使卫星做减速运动。

②加速变轨：卫星的速率增大时，使得万有引力小于所需向心力，
即F 引＜m v 2r ，卫星做离心运动，轨道半径将变大。

因此，要使卫星
的轨道半径变大，需开动反冲发动机使卫星做加速运动。

(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。

(3)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。

命题法4 卫星的追及对接问题
典例4 a 是地球赤道上一幢建筑，b 是在赤道平面内做匀速圆周运动、距地面9.6×106 m 的卫星，c 是地球同步卫星，某一时刻b 、c 刚好位于a 的正上方(如图甲所示)，经48 h ，a 、b 、c 的大致位置是图乙中的(取地球半径R ＝6.4×106 m ，地球表面重力加速度g ＝10 m/s 2，π＝10)( )
[答案] B
[解析] 对卫星b 有G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2b (R ＋h )，而G Mm R 2＝mg ，即gR 2＝GM ，所以卫星b 的运动周期T b ＝2π (R ＋h )3
gR 2
，代入数据解得T b ＝509 h 。

故经48 h 卫星b 转过的圈数n ＝t T b
＝8.64 圈。

而同步卫星c 的周期与地球的自转周期相同，即建筑a 与同步卫星c 都转过2圈，回到原来的位置，B 正确。

【解题法】 解决卫星运动中“追及问题”的一般思路
(1)要弄清模型，是两个卫星(或物体)间的追及问题还是一个卫星与地面上物体之间的追及问题；
(2)要借助圆周运动知识和天体运动规律，分析清楚两者的周期关系，从而确定谁运动快、谁运动慢，谁前谁后； (3)根据两个卫星(或物体)做圆周运动的圈数或角度关系列出方程求解。

1．(多选)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m 高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落。

已知探测器的质量约为1.3×103 kg ，地球
质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s 2。

则此探测器( )
A ．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s
B ．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N
C ．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D ．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
答案 BD
解析 月球表面重力加速度大小g 月＝G M 月R 2月＝3.7281·G M 地R 2地
＝3.7281g 地＝1.66 m/s 2，则探测器在月球表面着陆前的速度大小v t ＝2g 月h ＝
3.6 m/s ，A 项错；悬停时受到的反冲作用力F ＝mg 月＝2×103 N ，B 项正确；从离开近月圆轨道到着陆过程中，有发动机工作阶段，故机械能不守恒，C 项错；在近月圆轨道上运行的线速度v 月＝
g 月R 月＜
g 地R 地，故D 项正确。

2．如图，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a 、b 到地心O 的距离分别为r 1、r 2，线速度大小分别为v 1、v 2，则( )
A.v 1v 2＝r 2r 1
B.v 1v 2＝r 1r 2
C.v 1v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 12
D.v 1v 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫r 1r 22
答案 A
解析 万有引力提供卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力，有
G Mm r 2＝m v 2r ，所以v ＝ GM r ，v 1v 2＝r 2r 1
，A 项正确。

3．(多选)在星球表面发射探测器，当发射速度为v 时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球。

已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1。

下列说法正确的有( )
A ．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大
B ．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大
C ．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等
D ．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大
答案 BD
解析 由G Mm R 2＝m v 2R 得，v ＝ GM R ，则有2v ＝ 2GM
R ，由
此可知探测器脱离星球所需要的发射速度与探测器的质量无关，A 项
错误；由F ＝G Mm R
2及地球、火星的质量、半径之比可知，探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大，B 项正确；由2v ＝ 2GM
R
可知，探测器脱离两星球所需的发射速度不同，C 项错误；探测器在脱离两星球的过程中，引力做负功，引力势能是逐渐增大的，D 项正确。

4．已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )
A ．3.5 km/s
B ．5.0 km/s
C ．17.7 km/s
D ．35.2 km/s
答案 A
解析 航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动，由火星对航天器的万有引力提供航天器的向心力得
GM 火m
R 2火＝m v 2火R 火
同理GM 地m R 2地＝m v 2地R 地
所以M 火M 地·R 地R 火＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫v 火v 地2 v 火＝15·v 地
，而v 地＝7.9 km/s 故v 火＝7.95
km/s ≈3.5 km/s ，选项A 正确。

5．2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程。

某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h 高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球。

设“玉兔”质量为m ，月球半径为R ，月面的重力加速度为g 月。

以月面为零势能面，“玉兔”在h 高度的引力势能
可表示为E p ＝GMmh R (R ＋h )
，其中G 为引力常量，M 为月球质量。

若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为
( )
A.mg 月R R ＋h
(h ＋2R ) B.mg 月R R ＋h (h ＋2R ) C.mg 月R R ＋h ⎝
⎛⎭⎪⎫h ＋22R D.mg 月R R ＋h
⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＋12R 答案 D 解析 “玉兔”在月球表面时的机械能E 1＝0。

在高度为h 的对
接轨道上“玉兔”具有的势能E p ＝GMmh R (R ＋h )，根据GMm (R ＋h )2＝m v 2R ＋h
可得，“玉兔”在对接轨道上具有的动能E k ＝12m v 2＝GMm 2(R ＋h )
，所以“玉兔”在对接轨道上具有的机械能E 2＝E k ＋E p ＝GMm R ＋h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋h R ，而在月球表面GM ＝g 月R 2
，所以E 2＝mg 月R R ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＋12R 。

由功能关系可知，从开始发射到对接完成需对“玉兔”做功W ＝E 2－E 1＝mg 月R R ＋h
⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＋12R ，D 正确。

6．“嫦娥一号”探月卫星绕地运行一段时间后，离开地球飞向月球。

如图所示是绕地飞行的三条轨道，轨道1是近地圆形轨道，2和3是变轨后的椭圆轨道。

A 点是2轨道的近地点，B 点是2轨道的远地点，卫星在轨道1的运行速率为7.7 km/s ，则下列说法中正确的是( )
A．卫星在2轨道经过A点时的速率一定小于7.7 km/s
B．卫星在2轨道经过B点时的速率一定大于7.7 km/s
C．卫星在3轨道所具有的机械能小于在2轨道所具有的机械能D．卫星在3轨道所具有的最大速率大于在2轨道所具有的最大速率
答案 D
解析卫星在近地圆形轨道的A点加速做离心运动才能进入轨道2或3，且进入轨道3加速获得的速率大于进入轨道2的，由此推知A、C错误，D正确。

在B点虚拟一个圆轨道，则该圆轨道上B
可知，点的速率大于卫星在2轨道经过B点时的速率，又由v＝GM
r
该圆轨道上的速率小于1轨道上的速率，则卫星在2轨道经过B点的速率小于7.7 km/s，选项B错误。

7．如图所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极上空，已知该卫星从北纬60°的正上方，按图示方向第一次运行到南纬60°的正上方时所用时间为1 h，则下列说法正确的是() A．该卫星与同步卫星的运行半径之比为1∶4
B．该卫星与同步卫星的运行速度之比为1∶2
C．该卫星的运行速度一定大于7.9 km/s
D．该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能
答案 A
解析 由题知卫星运行的轨迹所对圆心角为120°，即运行了三
分之一周期，用时1 h ，因此卫星的周期T ＝3 h ，由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 可得T ∝r 3，又同步卫星的周期T 同＝24 h ，则极地卫星与同步卫星
的半径之比为1∶4，A 正确。

由G Mm r 2＝m v 2r ，可得v ∝1r ，故极地
卫星与同步卫星的运行速度之比为2∶1，B 错误。

第一宇宙速度v ＝
7.9 km/s ，是近地卫星的运行速度，而该卫星的运行速度小于7.9 km/s ，故C 错误。

因卫星的质量未知，则机械能无法比较，D 错误。

8．如图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图。

首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月面高度为h 1处悬停(速度为0，h 1远小于月球半径)；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为h 2处的速度为v ；此后发动机关闭，探测器仅受重力下落至月面。

已知探测器总质量为m (不包括燃料)，地球和月球的半径比为k 1，质量比为k 2，地球表面附近的重力加速度为g ，求：
(1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小；
(2)从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化。

答案 (1)k 21k 2g v 2＋2k 21gh 2k 2。