数学与应用数学本科毕业范文-多元函数极值的判定及应用

本科毕业论文
论文题目：多元函数极值的判定及应用
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专业：数学与应用数学
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毕业论文（设计）内容介绍
目录
中文摘要 (1)
英文摘要 (1)
1．引言 (2)
2．多元函数极值理论 (2)
3．多元函数极值判定 (3)
4. 多元函数条件极值的解法 (4)
5. 多元函数极值应用 (5)
参考文献 (10)
多元函数极值的判定及应用
【摘要】：多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，本文主要讲
解多元函数极值理论，多元函数极值判定，多元函数条件极值的解法，以及探讨多元函数条件极值在证明不等式及部分日常生活所遇到的问题上的应用.
【关键词】：多元函数；极值；充要条件；条件极值；拉格朗日乘数法；
The determination and application of multivariate function extreme
value
Abstract：Conditional extreme value of pluralistic function is multivariate differential calculus important component, this paper mainly on extreme value of multivariate function extreme value of multivariate function theory, judgment, the conditional extreme value of pluralistic function method, and to investigate the conditional extreme value of pluralistic function in the proof of inequality and a part of daily life problems encountered on the application.
Key words:Multivariate function extreme value; necessary and sufficient condition of conditional extremum; the Lagrange multiplier method;
1. 引言
本文主要讲解多元函数极值在日常生活中的应用，从中我们深刻的体会到学习多元函数极值的重要性。

求解多元函数极值的方法很多，针对不同的题目要求，我们应该选择一种既简便易行又节省时间的方法。

在本文中给出了二元函数极值的一阶偏导判别法，在求解时避免了求高阶偏导的麻烦和函数在稳定点处无定义所带来的麻烦， 还讨论了条件极值及 n 元函数极值的处理方法等问题。

旨在本文中所提到的方法能为今后的学习和实际工作带给一定的方便。

2. 多元函数极值的基本理论
2.1函数的极值
定义 2.1.1 设n (2)n ≥元函数12
(,,)n z f x x x =在点00012(,,,)n x x x 的某
个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于00012(,,
,)n x x x 的点12
(,,)n x x x 都有
00012
12(,,)(,,
,)n n f x x x f x x x <(或00012
12(,,)(,,,)n n f x x x f x x x >)，则称函
数在点00012(,,,)n x x x 有极大值(或极小值)00012(,,,)n f x x x .极大值、极小值统
称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。

2.2函数的条件极值
定义 2.2.1 函数12(,,
,)n z f x x x =在m 个约束条件12(,,
,)0i n x x x ϕ=
(1,2,
,;)i m m n =<下的极值称为条件极值。

3. 多元函数极值的存在性及判定
定理 3.1（必要条件）若n (2)n ≥元函数12(,,
,)n z f x x x =在点
00012(,,
,)n x x x 存在偏导数，且在该点取得极值，则有00012(,,
,)0i x n f x x x =
(1,2,,)i n =
备注：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点。

定 理 3.2 （充分条件）设n (2)n >元函数12(,,,)n f x x x 在00012(,,,)
n x x x 附近具有二阶连续偏导数，且00012(,,,)n x x x 为12(,,
,)n z f x x x =的驻点.那么当
二次型 00
012,1
()(,,
,)i j n
x x n i j i j g f
x x x ζζζ==
∑
正定时，00012(,,,)n f x x x 为极小值；当()g ζ负定时，00012(,,
,)n f x x x 为极大值；
当()g ζ不定时，00012(,,,)n f x x x 不是极值.
记00012(,,
,)i j ij x x n a f x x x =，并记
11121321
22
2312
k k k kk a a a a a a A a a a ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
， 它称为f 的k 阶Hesse 矩阵.对于二次型()g ζ正负定的判断有如下定理：
定理 3.3若det 0k A > (1,2,
,)k n =，则二次型()g ζ是正定的，此时
00012(,,
,)n f x x x 为极小值；若(1)det 0k k A -> (1,2,
,)k n =，则二次型()g ζ是
负定的，此时00012(,,
,)n f x x x 为极大值.
特殊地，当2n =时，有如下推论：
推论3.1若二元函数00(,)(,)z f x y x y =在点的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 0000(,)0,(,)0x y f x y f x y == 令 000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ===
则 ①当20AC B ->时，0,0,A A <⎧⎨>⎩取极大值
取极小值.
②当20AC B -<时，没有极值.
③当20AC B -=时，不能确定，需另行讨论.
4. 多元函数条件极值的解法
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.
求目标函数12(,,
)n f x x x 在条件函数12(,,
)0,(1,2,
,,)k n x x x k m m n ϕ==≤
组限制下的极值，若12(,,)n f x x x 及12(,,
)k n x x x ϕ有连续的偏导数，且Jacobi
矩阵
11
1122221
212n n m m m n x x x x x x J x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭的秩为m ，则可以用拉格朗日乘数法求极值.
首先，构造拉格朗日函数
12112121
(,,,,,,)(,,
)(,,
)m
n m n k k n k L x x x f x x x x x x λλλϕ==-∑
然后，解方程组0,1,2,,0,,2,i
k
L
i n x L k i m λ∂⎧==⎪∂⎪⎨∂⎪==⎪∂⎩
从此方程组中解出驻点的坐标00012(,,)i n P x x x (1,2,
,)i k =，所得驻点是函数
极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.
定理4.2.1（充分条件） 设点000012(,,
,)n x x x x =及m 个常数12,,,m λλλ
满足方程组 100m
i i i k k k
l
L f
x x x ϕλϕ=∂∂∂⎧=-=⎪
∂∂∂⎨⎪=⎩∑ (1,2,,;1,2,,)k n l m ==，
则当方阵 20,12(,,,)m k l n n
L
x x x λλλ⨯⎛⎫
∂ ⎪∂∂⎝⎭
为正定（负定）矩阵时，0x 为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此
0()f x 为满足约束条件的条件极小（大）值.
例4.2.1求函数m n p u x y z =在条件x y z a ++=(0,0,0,0m n p a >>>>)下的极值. 分析:通过求简单函数的极值点从而达到求复杂函数极值点的方法,是在实际解题中经常使用的.
解 先求ln ln ln ln ()v u m x n y p z x y z a λ==+++++-
令00
x y
z m
F x n F y p
F z x y z a λλλ⎧'=+=⎪⎪
⎪'=+=⎪⎨⎪'⎪=+=⎪⎪++-=⎩得驻点,,ma na pa P m n p m n p m n p ⎛⎫ ⎪++++++⎝⎭
又由 222222,,,0xy xz yz x y z m n p
F F F F F F x y z
''''''''''''=-
=-=-===, 2222222(,,)0P P
m n p
d F x y z dx dy dz x y z ⎡⎤=-++<⎢⎥⎣⎦
故P 为v 即u 的极大值点, 此时()m n p m n p
m n p
P m n p a u m n p ++++=++.
说明：以上介绍的方法为解多元函数条件极值的常用方法，但在实际解题过程中，我们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题，如标准量代换法、不等式法、二次方程判别式法、梯度法、数形结合法.
5. 多元函数极值的应用
多元函数条件极值在不等式证明、物理、生产销售、证券投资分析、多元统计分析学里判别分析和主成分分析等问题上都有广泛的应用.下面只讨论条件极值在不等式证明、物理学、生产销售上的应用.
5.1 不等式证明
例5.1.1证明不等式：ln 0,(1,0)y e x x x xy x y +--≥≥≥. 证 令(,)ln y f x y e x x x xy =+--，则只需证明
函数(,)f x y 在区域{(,)|1,0}D x y x y =≥≥上存在最小值0， 对于1x ≥，令(,)0y y f x y e x =-=， 得ln y x =，且当0ln y x ≤<时，(,)0y f x y <
当ln y x >时，(,)0y f x y >.
由一元函数取极值的第一充分判断法，ln y x =为最小值点， 即在曲线ln y x =上(,)f x y 取得最小值， 最小值ln (,ln )ln ln 0x f x x e x x x x x =+--=. 故在D 上(,)0f x y ≥，即ln 0y e x x x xy +--≥.
5.2 物理学中光的折射定律证明
例5.2.1设定点A 和B 位于以平面分开的不同光介质中，从A 点射出的光线折射后到达B 点，已知光在两介质中的传播速度分别为1v ，2v ，求需时最短的传播方式.
解 设A 到平面的距离为a ，B 到平面的距离为b ，（如图），
CD d =，光线从A 点射到M 点所需时间为
1cos a
v α
，
光线从M 点射到B 点所需时间为
2cos b
v β
且CM MD d +=，即tan tan a b d αβ+=
问题转化为函数12(,)cos cos a b
f v v αβαβ
=+在条件
tan tan b d αβ+=下的最小值. 作拉格朗日函数112(,,)(tan tan )cos cos a b
L a b d v v αβλλαβαβ
=
+++-
令 11221122
2sin 0,cos cos sin 0,cos cos tan tan 0.a a L v b b L v L a b d αβλαλααβλββαβ⎧'=+=⎪⎪
⎪'=+=⎨⎪⎪'=+-=⎪⎩
由此解得112
sin sin v v αβ
λ-=
=，即光线的入射角与折射角应满足：
1
2
sin sin v v αβ=（光的折射定律）时光线传播时间最短.
5.3 生产销售
在生产和销售商品的过程中，销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增加，但同时也使消费者的购买欲望下降，造成销售量下降，导致厂家消减产量.但在规模生产中，单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的，因此销售量、成本与售价是相互影响的.厂家要选择合理的销售价格才能获得最大利润.
5.3.1 用条件极值得出生产成本最小化方案
例5.3.1.1设生产某产品需要原料A 和B ，它们的单价分别为10元、15元，用
x 单位原料A 和y 单位原料B 可生产22208x xy y -+-单位的该产品，现要以最低
成本生产112单位的该产品，问需要多少原料A 和B ？ 【分析】由题意可知，成本函数(,)1015C x y x y =+.
该问题是求成本函数在条件22208112x xy y -+-=下的条件极值问题， 利用拉格朗日常数法计算.
解 令22(,)1015(208112),F x y x y x xy y λ=++-+--
解方程组 2210220015162002081120f
x y x f
y x y
x xy y λλλλ∂⎧=-+=⎪∂⎪∂⎪=-+=⎨∂⎪⎪-+--=⎪⎩ 2,2()4,y y x ⇒==-⇒=舍去
这是实际应用问题，所以当原料A 和B 的用量分别为4单位，2单位时，成本最低.
5.3.2利用条件极值得出利润最大化方案
例5.3.2.1为销售产品作两种方式广告宣传，当宣传费分别为,x y 时，销售量是
200100510x y S x y =
+++，若销售产品所得利润是销量的1
5
减去广告费，现要使用广告费 25万元，应如何分配使广告产生的利润最大，最大利润是多少？ 解 依题意，利润函数为
1402025255510x y
S x y
π=-=
+-++ 且 25x y +=
设 402025(25)510x y
F x y x y
λ=
+-++-++ 令 22
2000(5)2000(10)25x y F x F y x y λλ⎧'=+=⎪+⎪
⎪
'=+=⎨+⎪
⎪+=⎪⎩
得 15100.5x y λ=⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
依题设，存在最大利润，又驻点唯一，因此两广告分别投入15万元和10万元利润最大.
例 5.3.2.2 一家电视机厂在对某种型号电视机的销售价格决策时面对如下数据：
（1）根据市场调查，当地对该种电视机的年需求量为100万台； （2）去年该厂共售出10万台，每台售价为4000元；
（3）仅生产1台电视机的成本为4000元；但在批量生产后，生产1万台时成本降低为每台3000元.
问：在生产方式不变的情况下，每年的最优销售价格是多少？ 数学模型建立如下：
设这种电视机的总销售量为x ，每台生产成本为c ，销售价格为v ， 那么厂家的利润为 (,,)()u c v x v c x =-
根据市场预测，销售量与销售价格之间有下面的关系：
,0,0,av
x Me M α-=>> 这里M 为市场的最大需求量，α是价格系数（这个公式也反映出，售价越高，
销售量越少）.同时，生产部门对每台电视机的成本有如下测算： 00ln ,,,0,c c k x c k x =->
这里0c 是只生产1台电视机时的成本，k 是规模系数（这也反映出，产量越大即销售量越大，成本越低）.于是，问题化为求利润函数 (,,)()u c v x v c x =-
在约束条件 0ln av
x Me c c k x -⎧=⎨=-⎩ 下的极值问题.
作Lagrange 函数
0(,,,,)()()(ln ),av L c v x v c x x Me c c k x λμλμ-=-----+
就得到最优化条件
00,(1)0,(2)0,(3)0,(4)ln 0.(5)
c av v x av L x L x M e k L v c x x Me c c k x μλαλμ--=--=⎧⎪=-=⎪⎪⎪
=---=⎨⎪
⎪-=⎪-+=⎪⎩
由方程组中第二和第四式得到 =1λα，即1
=
λα
将第四式代入第五式得到 0(ln )c c k M v α=-- 再由第一式知 x μ=-.
将所得的这三个式子代入方程组中第三式，得到
01
((ln ))0,v c k M v k αα
----+=
由此解得最优价格为 0*
1
ln 1c k M k v k
α
α-+
-=
-。

只要确定了规模系数k 与价格系数α，问题就迎刃而解了.
现在利用这个模型解决本段开始提出的问题.此时1000000M =，04000c =. 由于去年该厂共售出10万台，每台售价为4000元，因此得到
ln ln ln1000000ln100000
0.000584000
M x v α--===；
又由于生产1万台时成本就降低为每台3000元，因此得到
040003000
108.57ln ln10000c c k x --===.
将这些数据代入*v 的表达式，就得到今年的最优价格应为
*1
4000108.57ln1000000108.57
0.00058439210.00058108.57
v -+
-=≈-⨯（元/台）.
参考文献：
[1] 唐军强.用方向倒数法求解多元函数极值[J].科技创新导报，2008，（15）：246-247
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