线性代数解题技巧及典型题解析01-2.A 与对角阵相似的解题方法_21
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阵 A 的阶数.
1 k 1
0
0
例2 设 A k
1
l
正交相似于
1
，求
k, l
及正交阵
Q，使
Q1AQ
1
.
1 l 1
2
2
解 由相似矩阵的性质知：0,1, 2 为 A 的特征值，从而 | A| 0,| A E | 0,| A 2E | 0
由 | A| 0，得 k l，由 | A E | 0，得k l 0.
当 A 有 k 重特征值时，这个k 重特征值一定对应有 k 个线性 无关的特征向量，用施密特正交化方法将其化为两两正交的向量 并单位化，就求出正交阵 Q 来了.
1
例3 设3阶实对称矩阵 A的特征值为1，2，2，1=1是A的属于1的特征向量。记
B A5 4A3 E.
1
(1)验证1也是B的特征向量.(2)求B的特征值和特征向量.(3)求B. (1) B1==-21.
1
0 2
当 3 1 时，对应的特征向量为0.
1
1 1 1 1
令
P
2
0
0,
1 ，则 P1AP .
0 2 1
1
矩阵相似对角化的步骤：
(1) 求出 A 的所有特征值 1, 2,…, n ， 若 1, 2,…, n 互异，则 A 与对角阵相似； 若1, 2,…, n中互异的为 1, 2,…, m， 每个i 的重数为 ri，当 r(A- i E)=n- ri时, i=1,2,…m,
所以A的特征值为1,1,1.
2 1 1
4
由于
A
E
k
4
2 0 2
2
k
2 k
1 0
2 0 0
1k
0
0
0
k 2 0
k，
2
0
而 A 与对角阵相似的充要条件为r( A E) 3 2 1
从而k 0 ，即 k 0 时，A与对角阵相似.
1 1
当 1 2 1 时，对应的线性无关的特征向量为2与0
A 与对角阵相似的解题方法
3 2 2
例1
设
A
k
1
k ，问k 取何值时，存在可逆阵P ，使P A1P 为对角阵？
4 2 3
并求 P 及相应的对角阵
.
3 2
2
解 因为| A E| k 1 k
4 2 3
( 1)( 3)( 3) 8 k4 k8( 1) 2 ( k3) 2( 3k)
( 1)2 ( 9) 8( 1) ( 1)2 ( 1),
(2) 设f (x) x5 4x3 1，则B的特征值为：f (1)= 2, f (2)=1, f (2)=1.
1
x1
特征向量:
属于
2的特征向量为
1
1;属于1的特征向量设为
x2
.
1
x 3
x1 x2 x3 0.
1
0
属于1的特征向量2
1 ,3
1
.
0
1
实对称矩阵的相异特征值 所对应的特征向量正交。
0
1
0
0
A
Q
0 0
0 1 0
0 0
0
QT
0
0
1
0 0 0
1 0 . 0
1 1 1
0 0 1
例6 证明n阶矩阵 A 1
1
1 与B
0
0
2 相似.
1 1 1
0
0
n
1 1 1
0 0 0
A 1
1
1
与=
0
0
0 相似.
1 1 1
0
0
n
0 1 1
(3)
B
1
0
1 1
1 0
.
1
0
例4 设3阶实对称矩阵 A的各行元素之和都为3， 1=2 ， =2 1都是方程组AX 0的解.
1
1
(1)求A的特征值和特征向量.(2)求正交矩阵Q和对角阵Λ，QT AQ Λ.
(3)求A及[A (3 / 2)E]6.
(1) 特征值为：3，0，0.
例5 设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且A 0
0
0
0 .
求(1)求A的特征值与特征向量.(2)矩阵A. 1 1 1 1
1 1
令1
0
, 2
0 ,
1
1
则A1 1, A2 2 ,
A的特征值为1 1,2 1,
对应的线性无关的特征向量为1 (1,0,1)T, 2 (1, 0,1)T. 实对称矩阵的相异特征值
1
0
1
特征向量为: 属于0的特征向量为
3
6
1=
21，
2=
1，属于3的特征向量
1
3
1. 1
3
0
3 2
(2)正交矩阵Q
3
2
3 2
3
3
6 6 6
,对角阵Λ=
0
. 0
3 2
6
1 1 1
(3) A 11
1 1
11,[A
(3
/
2)E]6
729 64
E.
1 1 1 1
3
02
0 1
1 2
0
1
02 1
,
则 Q 为正交阵且Q1 AQ
0
2
1
. 2
对于实对称矩阵 A，一定有可逆阵 P，使 P－1AP为对角阵，P 的列向量为 A 的特征向量，对角阵中主对角线上的元素为 A 的特 征值，而且也一定有正交阵 Q，使 Q－1AQ 为对角阵.
当 A 的特征值互异时，其特征向量两两正交，只需将特征向 量单位化，即可求得正交阵 Q；
A 与对角阵相似；否则 A 不能与对角阵相似.
(2) 当 A 与对角阵相似时，求出 A 的 n 个线性无关的特征向量
1, 2, …, n，并令 P=(1, 2, …, n)，则 P 可逆，且 P-1AP=.
当矩阵有重特征值时，我们用定理
A 与对角阵相似的充要条件为 r(A-iE)=n-ri 来判定 A 能否与对角阵相似，其中ri为特征值 i的重数，n 为矩
0 0 1
0 0 0
B
0
0
2
与=
0
0
0
相似.
0
0
n
0
0
n
因为r(A) 2 3,所以| A | 0, 3 0.
所对应的特征向量正交。
令3
x1
x2
为矩阵A的对应于3
x3
0的特征向量，
1T
3
2T 3
0, 0,
x1 x3 0, x1 x3 0,
3
0
1 .
0
1
2
令Q 0
1 2
1 2 0 1 2
0
1
0
QT
AQ
1
0
0
0 1 0
1
故
A
0
1
0 1 0
1
0 .
1
A的属于特征值0，1，2的特征向量依次为1 (1, 0, 1)T , 2 (0,1, 0)T ,3 (1, 0,1)T，它们两两正交，将其单位化，得
P1
1 ,0, 2
1 T 2
,
P20Βιβλιοθήκη 1,0T,P3 1 ,0, 2
1
T
.
2
1
令 Q P1
P
2
P
1 k 1
0
0
例2 设 A k
1
l
正交相似于
1
，求
k, l
及正交阵
Q，使
Q1AQ
1
.
1 l 1
2
2
解 由相似矩阵的性质知：0,1, 2 为 A 的特征值，从而 | A| 0,| A E | 0,| A 2E | 0
由 | A| 0，得 k l，由 | A E | 0，得k l 0.
当 A 有 k 重特征值时，这个k 重特征值一定对应有 k 个线性 无关的特征向量，用施密特正交化方法将其化为两两正交的向量 并单位化，就求出正交阵 Q 来了.
1
例3 设3阶实对称矩阵 A的特征值为1，2，2，1=1是A的属于1的特征向量。记
B A5 4A3 E.
1
(1)验证1也是B的特征向量.(2)求B的特征值和特征向量.(3)求B. (1) B1==-21.
1
0 2
当 3 1 时，对应的特征向量为0.
1
1 1 1 1
令
P
2
0
0,
1 ，则 P1AP .
0 2 1
1
矩阵相似对角化的步骤：
(1) 求出 A 的所有特征值 1, 2,…, n ， 若 1, 2,…, n 互异，则 A 与对角阵相似； 若1, 2,…, n中互异的为 1, 2,…, m， 每个i 的重数为 ri，当 r(A- i E)=n- ri时, i=1,2,…m,
所以A的特征值为1,1,1.
2 1 1
4
由于
A
E
k
4
2 0 2
2
k
2 k
1 0
2 0 0
1k
0
0
0
k 2 0
k，
2
0
而 A 与对角阵相似的充要条件为r( A E) 3 2 1
从而k 0 ，即 k 0 时，A与对角阵相似.
1 1
当 1 2 1 时，对应的线性无关的特征向量为2与0
A 与对角阵相似的解题方法
3 2 2
例1
设
A
k
1
k ，问k 取何值时，存在可逆阵P ，使P A1P 为对角阵？
4 2 3
并求 P 及相应的对角阵
.
3 2
2
解 因为| A E| k 1 k
4 2 3
( 1)( 3)( 3) 8 k4 k8( 1) 2 ( k3) 2( 3k)
( 1)2 ( 9) 8( 1) ( 1)2 ( 1),
(2) 设f (x) x5 4x3 1，则B的特征值为：f (1)= 2, f (2)=1, f (2)=1.
1
x1
特征向量:
属于
2的特征向量为
1
1;属于1的特征向量设为
x2
.
1
x 3
x1 x2 x3 0.
1
0
属于1的特征向量2
1 ,3
1
.
0
1
实对称矩阵的相异特征值 所对应的特征向量正交。
0
1
0
0
A
Q
0 0
0 1 0
0 0
0
QT
0
0
1
0 0 0
1 0 . 0
1 1 1
0 0 1
例6 证明n阶矩阵 A 1
1
1 与B
0
0
2 相似.
1 1 1
0
0
n
1 1 1
0 0 0
A 1
1
1
与=
0
0
0 相似.
1 1 1
0
0
n
0 1 1
(3)
B
1
0
1 1
1 0
.
1
0
例4 设3阶实对称矩阵 A的各行元素之和都为3， 1=2 ， =2 1都是方程组AX 0的解.
1
1
(1)求A的特征值和特征向量.(2)求正交矩阵Q和对角阵Λ，QT AQ Λ.
(3)求A及[A (3 / 2)E]6.
(1) 特征值为：3，0，0.
例5 设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且A 0
0
0
0 .
求(1)求A的特征值与特征向量.(2)矩阵A. 1 1 1 1
1 1
令1
0
, 2
0 ,
1
1
则A1 1, A2 2 ,
A的特征值为1 1,2 1,
对应的线性无关的特征向量为1 (1,0,1)T, 2 (1, 0,1)T. 实对称矩阵的相异特征值
1
0
1
特征向量为: 属于0的特征向量为
3
6
1=
21，
2=
1，属于3的特征向量
1
3
1. 1
3
0
3 2
(2)正交矩阵Q
3
2
3 2
3
3
6 6 6
,对角阵Λ=
0
. 0
3 2
6
1 1 1
(3) A 11
1 1
11,[A
(3
/
2)E]6
729 64
E.
1 1 1 1
3
02
0 1
1 2
0
1
02 1
,
则 Q 为正交阵且Q1 AQ
0
2
1
. 2
对于实对称矩阵 A，一定有可逆阵 P，使 P－1AP为对角阵，P 的列向量为 A 的特征向量，对角阵中主对角线上的元素为 A 的特 征值，而且也一定有正交阵 Q，使 Q－1AQ 为对角阵.
当 A 的特征值互异时，其特征向量两两正交，只需将特征向 量单位化，即可求得正交阵 Q；
A 与对角阵相似；否则 A 不能与对角阵相似.
(2) 当 A 与对角阵相似时，求出 A 的 n 个线性无关的特征向量
1, 2, …, n，并令 P=(1, 2, …, n)，则 P 可逆，且 P-1AP=.
当矩阵有重特征值时，我们用定理
A 与对角阵相似的充要条件为 r(A-iE)=n-ri 来判定 A 能否与对角阵相似，其中ri为特征值 i的重数，n 为矩
0 0 1
0 0 0
B
0
0
2
与=
0
0
0
相似.
0
0
n
0
0
n
因为r(A) 2 3,所以| A | 0, 3 0.
所对应的特征向量正交。
令3
x1
x2
为矩阵A的对应于3
x3
0的特征向量，
1T
3
2T 3
0, 0,
x1 x3 0, x1 x3 0,
3
0
1 .
0
1
2
令Q 0
1 2
1 2 0 1 2
0
1
0
QT
AQ
1
0
0
0 1 0
1
故
A
0
1
0 1 0
1
0 .
1
A的属于特征值0，1，2的特征向量依次为1 (1, 0, 1)T , 2 (0,1, 0)T ,3 (1, 0,1)T，它们两两正交，将其单位化，得
P1
1 ,0, 2
1 T 2
,
P20Βιβλιοθήκη 1,0T,P3 1 ,0, 2
1
T
.
2
1
令 Q P1
P
2
P