安徽省亳州市高二下学期数学3月月考试卷
安徽省亳州市涡阳县高二数学3月月考试题理
安徽省亳州市涡阳县2016-2017学年高二数学3月月考试题 理注意事项：1．本试题第I 卷（选择题）和第II 卷两部分，全卷共150分,时间120分钟．2．第I 卷必须使用2B 铅笔填涂答题卡相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净． 3．第II 卷必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置，在草稿纸和本卷上答题无效．第I 卷（选择题）一．选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有1个答案正确)1．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中：( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( ) A ．假设三内角都不大于60度 B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度3．某个命题与正整数有关，若当()*n k k N =∈时该命题成立，那么可推得当1n k =+时该命题也成立，现已知当5n =时该命题不成立，那么可推得( ) A.当6n =时，该命题不成立 B.当6n =时，该命题成立 C.当4n =时，该命题成立D.当4n =时，该命题不成立4．若()f x 在R 上可导，2()2()sin 22f x x f x x π'=++，则1()f x dx =⎰( )A.7cos 23π-- B. 111cos 262π-+ C.171cos 262π-- D. 111cos 262π-- 5．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =( )A.18B.19C.164D.1276．函数1sin y x x=-的图象大致是( )A.B.C.D.7．2222π=--⎰-dx x x m,则m 等于( )A ．-1B ．0C ．1D ．28．如右图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于( )A ．23B ．43C ．83D ．1239．正整数按右表的规律排列,则上起第2015行， 左起第2016列的数应为( ) A ．22015 B ．22016 C ．20152016+D ．20152016⨯10．设()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0f x xf x '+>，且(1)0f =，则不等式()0xf x >的解集为( )A ．（－1，0）∪（1，+∞）B ．（－1，0）∪（0，1）C ．（－∞，－1）∪（1，+∞）D ．（－∞，－1）∪（0，1）11．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点,则点P 到直线2y x =-的最小值为( )A ．1BC．2D12．关于函数2()ln f x x x=+，下列说法错误的是( ) A.2x =是()f x 的极小值点B.函数()y f x x =-有且只有1个零点C.存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D.对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.设2()24ln f x x x x =--，则函数()f x 的单调递增区间是 ． 14．如图，函数()()215g x f x x =+的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则()()5'5f f += ．15．已知函数()(]212,0,1f x ax x x=-∈.若函数()f x 在(]0,1上是增函数，则a 的取值范围是 .16．已知函数()f x 的定义域为[]5,1-，部分对应值如表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如右图所示，下列关于()f x 的命题：①函数()y f x =是周期函数；②函数()y f x =在[]0,2上减函数； ③如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值是4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点； ⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0，1，2，3，4． 其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6题，第17题10分，其余每题12分，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知a b c >>，且0a b c ++=<．18．已知函数3()3f x x x =- （1）求函数()f x 的极值；（2）过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程.19.设函数21()2x x f x x e xe =+-. （1）求()f x 的单调区间；（2）若当[2,2]x ∈-时，不等式()f x m >恒成立，求实数m 的取值范围.20．已知数列{}n a 满足11n n a a +-=，11a =，试比较12321111na a a a ++++与*2()2n n N +∈的大小并证明.21．已知函数()ln a f x x x=-. （Ⅰ）若0a >，试判断()f x 在定义域内的单调性； （Ⅱ）若()f x 在[]1,e 上的最小值为32，求a 的值； （Ⅲ）若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，求a 的取值范围.22．设函数()()1011ln <<--+-=a xaax x x f ． （1）求函数()x f 的单调区间； （2）当31=a 时，设函数()9522--=bx x x g ，若对于[][],1,0,2,121∈∃∈∀x x 使()()21x g x f ≥成立，求实数b 的取值范围．。
安徽省高二下学期月考(3月)数学试题(解析版)
一、单选题1．已知函数在处可导，若，则＝（ ） ()f x 0x x =()()00Δ02Δ2Δlim 2Δx f x x f x x x→+--=0()f x 'A ．1 B ．C ．2D ．812【答案】B【分析】利用导数的定义求解． 【详解】. 0()f x '=()()()()0000Δ0Δ02Δ2Δ2Δ2Δ111lim lim 24Δ4Δ42x x f x x f x x f x x f x x xx →→+--+--==⨯=故选：B2．下列结论中正确的是（ ） A ．若，则πcos3y =1πsin 33y '=-B ．若，则 sin(2)y x =()2cos 2y x ='C ．若，则 ()ln 5y x =15y x'=D ．若，则 2e x y =2e x y '=【答案】B【分析】运用求导法则求函数的导数．【详解】A ：是常数，所以，不正确； π1cos 32=0y '=B ：，正确； cos(2)(2)2cos 2y x x x =⋅=''C ：，不正确； 11(5)5y x x x'='⋅=D ：，不正确. 22e (2)2e x x y x '⋅='=故选：B3．在等比数列中，，则（ ） {}n a 151,3a a ==3a =A ．BC ．D ．3【答案】B【解析】由结合等比数列的通项公式求出，最后得出.151,3a a ==2q =3a【详解】设的公比为q ，则，所以，所以(如果利用等比{}n a 44513a a q q ===2q =231a a q ==中项性质求的话，要注意等比数列奇数项的保号性特点). 故选：B .4．若曲线在点(0,)处的切线方程为，则（ ） 2y x ax b =++b 20x y ++=A ．， B ．， 1a =2b =1a =2b =-C ．， D ．，1a =-2b =1a =-2b =-【答案】D【分析】由可知切线的斜率为，所以切线方程为，又切线方程为2y x a '=+k a =()0y b a x -=-，比较系数可得a ，b 的值．20x y ++=【详解】因为，切点为(0,)，2y x a '=+b 所以切线的斜率为，则切线方程为，即， 0|x k y a ='==y b ax -=y ax b =+又切线方程为，即， 20x y ++=2y x =--所以，. 1a =-2b =-故选：D5．要排一份有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，若任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数是（ ） A ． B ． 3588A A 5355A A C ． D ．5356A A 5456A A 【答案】C【分析】运用插空法，先排5个独唱节目，再插入3个舞蹈节目，即可得结果. 【详解】三个舞蹈节目不排在一起，可先排独唱节目，有种排法，55A 将三舞蹈节目排在5个独唱节目间，即从6个空位中选3个空位插入舞蹈节目，有种排法， 36A 根据乘法原理，共有种不同的排法. 5356A A 故选：C 6．若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） 3212()33f x x x =+-1a -5a +a A ．[－5,1) B ．(－5,1) C ．[－2,1) D ．(－2,1)【答案】C【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区(,)内存在最小值，只需极小值点在该区间1a -5a +内，且在端点处的函数值不能超过极小值．【详解】由，令，可得或，2()2f x x x =+'()0f x '=2x =-0x =由得：或，由得：，()0f x '><2x -0x >()0f x '<20x -<<所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，()f x (,2)-∞-(2,0)-(0,)+∞所以函数在处取得极小值，0x =2(0)3f =-令，解得或， ()32122333f x x x =+-=-0x =3x =-若函数在(,)内存在最小值，则，得． ()f x 1a -5a +3105a a -≤-<<+21a -≤<故选：C7．一矩形地图被分割成了4块，小刚打算对该地图的4个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）涂不同颜色．现有5种颜色可供选择（5种颜色不一定用完），则不同的涂色方法种数有（ ）A ．180B ．240C ．80D ．260【答案】D【分析】将图中的地图涂色，最少需要2种颜色，最多可用4种颜色，可对所用颜色的种数分类计数．【详解】四部分分别记为ABCD ，如图所示，由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：第一类，用4种颜色涂色，有种方法．45A 120=第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有种．在涂的过程中，选对顶的两部分（A 、C 或35C B 、D ）涂同色，另两部分涂异色有种选法；3种颜色涂上去有种涂法，根据分步计数原理求12C 33A 得共种涂法．313523C C A 120⋅⋅=第三类，用两种颜色涂色．选颜色有种选法，A 、C 用一种颜色，B 、D 涂一种颜色，有种涂25C 22A 法，故共种涂法．2252C A 20⋅=∴共有涂色方法120+120+20＝260种． 故选：D ．8．如图，方格蜘蛛网是由一簇正方形环绕而成的图形．除最外边的正方形外，每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且将边长分为3:4两部分．现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边正方形的边长为1米，并按由外到内的顺序制作，记由外到内第个正方形的n 边长为，则（ ）（参考数据：） n a 7lg0.155≈A ．由外到内第二个正方形的周长为 57B ．57nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．完整的正方形最多有7个D ．完整的正方形最多有8个 【答案】C【分析】根据条件可得由外到内的正方形的边长依次构成等比数列，再根据等比数列求和公式得这些正方形的周长，列不等式，解得结果.【详解】记由外到内的第个正方形的边长为，则，，，…，n n a 11a =257a =2357a ⎛⎫= ⎪⎝⎭157n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．这个正方形所用铁丝的总长为，n 2151555574141415777717nn n -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭++++=⨯=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦- 令≤，则≥，即≤14，51417n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1357n ⎛⎫ ⎪⎝⎭11475n ⎛⎫ ⎪⎝⎭两边取对数，得≤，则≤，解得≤， 7lg5n 7lg141lg 5=+0.15n 1.15n 273即可制作完整的正方形的个数最多为7，所以C 正确，D 不正确． 而第二正方形的周长应为，，所以A ，B 均不正确.22047a =157n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：C二、多选题9．在数列中，，，则（ ）{}n a 11a =11(1)n n a a n n +-=+A ． B ．374a =353=a C ． D ．121n a n =-+12n a n=-【答案】BD【分析】由递推公式、运用累加法可求出数列的通项公式． 【详解】由得：，，…，1111(1)1n n a a n n n n +-==-++1111n n a a n n--=--121121n n a a n n ---=---，，321123a a -=-21112a a -=-将各式相加得：，则，当时，. 111n a a n -=-12n a n =-3n =315233a =-=故选：BD10．已知定义在R 上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述错误的是()f x ()f x '（ ）A ．()()()f c f b f a >>B ．函数在处取得极小值，在处取得极大值 ()f x x c =x e =C ．函数在处取得极大值，在处取得极小值 ()f x x c =x e =D ．函数的最小值为 ()f x ()f d 【答案】BD【分析】观察导函数的图象，可得的零点，使中的区间，从而确定函()f x '()f x '()0f x '>()0f x '<数的极值点和单调区间，根据函数的单调性比较函数值的大小，通过分析可得函数极大值、极()f x 小值以及最值情况．【详解】由的图象可知，当时，，当时，，()f x '(,)(,)x c e ∈-∞⋃+∞()0f x '>(,)x c e ∈()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． ()f x (),c -∞(,)c e (,)e +∞对于A ，因为，所以，所以A 正确；a b c <<()()()f c f b f a >>对于B ，C ，由单调性可知：为极大值点，为极小值点，所以B 不正确，C 正确； c e 对于D ，由于，则，不是最小值，所以D 不正确. d (,)c e ∈()()()f c f d f e >>()f d 故选：BD ．11．下列等式正确的有（ ）A ．B ．C C m n mn n -=111C C C m m m n n n -+-=-C ． D ．11C C m m n n m n --=122C C 2C C m m m m n n n n --+=++【答案】ACD【分析】利用组合数公式，进行逐项计算判断，也可以通过取特殊值排除错误答!C !()!mn n m n m =-案．【详解】，故A 正确；()()()!!C C !!!!n mmn n n n n m n n m n m m -===--+-令，，则，而，故B 不正确；5n =2m =25C 10=2212125151645C C C C 15411C -+--=-=-=≠，，所以()()()!!C !!1!!m n m n n m m n m m n m ⨯==---()()()()()111!!C 1!11!1!!m n n n n n m n m m n m --⨯-==---+--，C 正确．11C C m m n n m n --=12C 2C C m m m n n n--++=()()()()()!2!!!!1!1!2!2!n n n m n m m n m m n m ++---+--+()()()()()()()!122!2!1!2!!2!!2!n n m n m n n m m n m m m n m m n m m n m -+-+-+-=++-+-+-+()()()()()!12221!2!n n m n m n m m m m m n m ⎡⎤-+-++-++-⎣⎦=-+，故D 正确． ()()()()()()()22!32!122!C !2!!2!!2!m n n n n n n n n m n m m n m m n m ++++++====-+-+⎡⎤+-⎣⎦故选：ACD12．已知函数，函数，下列选项正确的是（ ）3e ,1()e ,1x x x x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩()()g x xf x =A ．点是函数的零点；()0,0()f xB ．，，使()10,1x ∃∈2(1,3)x ∃∈12()()f x f x >C ．若关于的方程有一个根，则实数的取值范围是x ()20-=g x a a 222e e ,,e 82⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．函数的值域为 ()f x )1e ,--+∞⎡⎣【答案】BD【分析】由函数零点的定义可判断A 不正确，根据函数的单调性，结合图像可判断B 与D 是()f x 否正确，根据函数的单调性与极值情况，结合图像可确定a 的取值范围，可判断选项C ． ()g x 【详解】令，可得，是函数的零点，零点是实数0，不是点，A 错()0f x =0x =0x =()f x ()0,0误；因为，当时，，当时，，当时，24(1)e ,1()(3)e ,1x x x f x x x x ⎧+<⎪=≥'⎨-⎪⎩1x <-()0f x '<11x -<<()0f x '>13x <<，当时，，()0f x '<3x >()0f x '>所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递()f x (),1-∞-()-11，13（，）()3,+∞增，且的极小值为和，且， ()f x 1(1)e f --=-3e (3)27f =(1)e f =当时，，当时，，如图，作出函数的图像，0x <()0f x <0x >()0f x >()f x观察图像可知，，，使，所以B 正确；()10,1x ∃∈2(1,3)x ∃∈12()()f x f x >函数的值域为，D 正确；()f x )1e ,--+∞⎡⎣对于C ，由，得，因为，则()20-=g x a ()2g x a =22e ,1()()e ,1x x x x g x xf x x x ⎧<⎪==⎨≥⎪⎩23(2)e ,1()(2)e ,1x xx x x g x x x x ⎧+<⎪=⎨-≥'⎪⎩，令，得或或，当变化时，，的变化情况，如下表()0g x '=2x =-0x =2x =x ()g x '()g xx(,2)-∞- 2- (2,0)-0 (0,1) 1(1,2) 2 (2,)+∞()g x '＋ 0－＋－＋()g x 递增24e 递减 0 递增e 递减2e 4递增如图，当或或时，关于的方程有一个根，所以a 的取值范围是224e 2e 4a <<2a e >20a =x ()20-=g x a ，C 不正确.{}222e e ,,0e 82∞⎛⎫⎛⎫⋃+⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：BD ．三、填空题13．在等差数列中，若，，则数列的通项公式为____________． {}n a 513a =6818a a +={}n a 【答案】223n a n =-+【分析】利用等差数列基本量间的关系和性质，求得公差即可． 【详解】设的公差为，由，得， {}n a d 687218a a a +==79a =所以， 759132752a a d --===--所以，即． ()()551325n a a n d n =+-=--223n a n =-+故答案为：223n a n =-+14．从四棱锥的5个顶点中任选4个，以这4个点为顶点，可以组成________个四面体． 【答案】4【分析】从四棱锥的5个顶点中选出的4个点不共面时，可以组成四面体，用间接法．【详解】从四棱锥的5个顶点中选出的4个不同的点，有＝5种取法， 45C 其中从底面四边形的四个顶点不能组成四面体， 故取出的四点能组成四面体的个数为5－1＝4． 故答案为：415．若函数在上只有一个零点，则的取值范围是__________．()(1)e x f x x a =--(2,)-+∞a 【答案】{}23,1e ∞⎡⎫-+⋃-⎪⎢⎣⎭【分析】问题化为方程只有一个解，等价于的图象与直线只有一个(1)e x x a -=()(1)e x g x x =-y a =交点，结合函数图象可得的取值范围．a 【详解】由题意，方程在上只有一个解， (1)e x x a -=(2,)-+∞令，则，()(1)e x g x x =-()e x g x x '=当时，，当时，， (2,0)x ∈-()0g x '<,()0x ∈+∞()0g x '>即在上单调递减，在上单调递增， ()g x (2,0)-(0,)+∞所以，又，当趋向于时，趋向， min ()(0)1g x g ==-()232e g -=-x +∞()g x +∞当或时，与的图象只有一个交点，即在上只有一个零点， 23ea ≥-1a =-y a =()g x ()f x (2,)-+∞故的取值范围是．a {}23,1e ∞⎡⎫-+⋃-⎪⎢⎣⎭故答案为：{}23,1e ∞⎡⎫-+⋃-⎪⎢⎣⎭16．已知函数，若存在，使得成立，则ln (),()e x xf xg x x x-==12(0,),∈+∞∈R x x ()()12==f x g x k 下列命题正确的有___________． ①当时，0k >121x x +>②当时，0k >212e 2e xx <+<③当时，0k <121+<x x ④当时，的最小值为0k <21e k x x ⋅1e -【答案】①③④【分析】根据可求得在上单调递增，在上单调递减，则可画出的图像；()f x '()f x (0,e)(e,)+∞()f x 利用同构可知等价于，结合图像则可判断① ②③；当时，12()()f x g x k ==2211ln ln e e x x x k x ==0k <可得，，构造函数可判断④． 21e x x =1(0,1)x ∈【详解】解：①， 21ln ()(0)xf x x x -'=>令得，在上递增，且值域；()0f x '>0e x <<()f x (0,e)1(,)e-∞令得，在上递减，且值域；()0f x '<e x >()f x (e,)+∞1(0,e作图如下：当时，由知：若，使得，则， 0k >(1)=0f 1(0,)x ∃∈+∞1()f x k =11x >当时，若，使得，则， 0k <1(0,)x ∃∈+∞1()f x k =101x <<由得：， ()e x g x x -=1()e xxg x -'=令得，在上递增，且值域；()0g x '>1x <()g x (,1)-∞1(,e-∞令得，在上递减，且值域；()0g x '<1x >()g x (1,)+∞1(0,e作出图象如下：()g x当时，由知：若使得，则， 0k >(0)0g =2x ∃∈R 2()g x k =20x >当时， 若使得，则， 0k <2x ∃∈R 2()g x k =20x <∴当时，．故①正确．0k >121x x +>②当时，由得：，即， 0k >()()12==f x g x k 2121ln e x x x x -=2211ln ln e e x x x x =∴可看成的两零点， 21,e x x ln xk x=作出的图象如下： ln xy x=由图象易知：或均可趋向于，故②错误； 1x 2e x +∞③当时，由①的讨论知：，，0k <20x <101x <<．故③正确；121x x ∴+<④当时，此时，由②知：，0k <1(0,1)x ∈21e x x =，则， 21ln x x ∴=2111ln x x k x x ==∴要求的最小值即求的最小值即可， 21e kx x ⋅e k k 令，则，()e (0)k h k k k =<()e e (1)e k k k h k k k '=+=+令，解得：，易知为极小值点，故的最小值为．故④正确． e e 0k k k +=1k =-1k =-()h k 1(1)eh -=-故答案为：①③④．【点睛】关键点点睛：同构找到，通过与的图象及性质判断求解，在处理④时，21e x x =()f x ()g x 要注意消元思想的运用．四、解答题17．某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动．(1)如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？ (2)如果男生甲与女生乙至少有一人参加，有多少种选法？ 【答案】(1)100 (2)140【分析】（1）分两步完成，第一步先选2名男生；第二步再选2名女生，根据乘法原理求得结果；（2）先求出从10人中任选4人的方法数，再减去男生甲与女生乙都不参加的方法数，即得男生甲与女生乙至少有一个参加的选法种数．【详解】（1）第一步，从5名男生中选2人，有种选法；第二步，从5名女生中选2人，有25C 25C 种选法．根据分步乘法计数原理，共有种选法．2255C C 100=（2）从10人中选取4人，有种选法；男生甲与女生乙都不参加，有种选法．410C 48C 所以男生甲与女生乙至少有1人参加，共有种选法．44108C C 140-=18．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式其中3<x <6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，()21063,ay x x =+--每日可售出该商品11千克. (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【答案】(1)2a =(2)当销售价格时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 4x =【分析】（1）设，由题有，据此可得答案； ()f x =()21063ax x +--()511f =（2）设商场每日销售该商品所获得的利润为，则由题可得()g x ，后利用导数可得答案. ()32101507201078g x x x x =-+-【详解】（1）设， ()f x =()21063ax x +--则由题有：. ()5101122af a =+=⇒=（2）设商场每日销售该商品所获得的利润为，则由题可得：()g x ，()()()()()232321063101507201078g x f x x x x x x x =-=+--=-+-其中.则，36x <<()()()2303007203046g x x x x x '=-+=--得在上单调递增，在上单调递减， ()g x ()34，()4,6故当销售价格时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 4x =19．已知函数（）．2()ln f x ax x x =+-R a ∈(1)当时，求函数在区间上的最值；1a =()f x 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若在定义域内仅有一个零点，求的取值范围． ()()g x f x x =-a 【答案】(1)，； max ()2f x =()min 3ln24f x =+(2)．(]1,02e ∞⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭【分析】（1）求出函数的极值点，并求极值和端点处的函数值，可得函数最大值与最小值； （2）分离参数，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象仅有一个交a 2ln ()x h x x=y a =()h x 点，求的取值范围．a 【详解】（1）当时，，则，1a =2()ln f x x x x =+-()()()211x x f x x-+'=当时，当时，11,32x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()0f x '<1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()0f x '>所以，在上单调递减，在上单调递增，则．()f x 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,12⎛⎤⎥⎝⎦()min 13ln224f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭又，＞，所以． 14ln 339f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)2f =13f ⎛⎫⎪⎝⎭max ()(1)2f x f ==（2）由，得，令，则，()()0g x f x x =-=2ln x a x =2ln ()xh x x =212ln ()x h x x -'=令得，令得 ()0h x '>0x <<()0h x '<x >∴在上单调递增，在)上单调递减， ()h x +∞∴，当趋向于时，趋向，当趋向于时，趋向． max 1()e2h x h ==x 0()h x -∞x +∞()h x 0作出函数的图象和直线， 2ln ()x h x x=y a =如图示，在定义域内有且仅有一个零点,即和有且只有一个交点， ()g x 2ln ()x h x x =y a=由图象知，的取值范围是．a (]1,02e ∞⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭20．已知数列的前项和为，若对任意，都有．{}n a n n S *N n ∈23()n n S a n =-(1)求证：数列为等比数列；32n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭(2)记，数列的前项和为，求证：＜1．213n n n n b a a ++={}n b n n T n T 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）利用得，得，依据等比1n n n a S S -=-123()3(1)n n n a a n a n -=---+133322n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭数列的定义进行证明；（2）运用裂项相消法求，即可证明． n T 1n T <【详解】（1）证明：由， 23()n n S a n =-当时，，解得， 1n =1123(1)a a =-13a =当时，，2n ≥1123(1)n n S a n --=-+则， 11122()3()3(1)333n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=---+=--即，所以，， 133n n a a -=+133322n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭又因为，所以数列是首项为，公比为3的等比数列．133930222a +=+=≠32n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭92（2）证明：由（1）可知，，所以，139322n n a -+=⨯3(31)2n n a =-则22111133431129(31)(31)3131(31)(31)4n n n n n n n n n n n n b a a ++++++⨯⎛⎫====- ⎪----⎝⎭--所以 22311111112313131313131n n n T +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ．111122123131n n ++⎛⎫=-=- ⎪--⎝⎭由，有，则，即.*n ∈N 1310n +->121131n +-<-1n T <21．已知函数（为自然对数的底数）．21()e xax x f x +-=e (1)若是函数的极值点，求的值； 3x =()f x a (2)若，讨论的单调性．0a ≥()f x 【答案】(1)；13a =-(2)答案见解析.【分析】（1）可导函数在极值点处的导数为0，求得a 的值后，再进行检验； （2）分和两种情况进行讨论，根据符号，研究的单调性．0a =0a >()f x '()f x 【详解】（1）， 2(21)2(1)(2)()e e x x ax a x ax x f x -+-++-=-'=因为是函数的极值点，所以，3x =()f x (3)0f '=即，解得，()()31320a -+-=13a =-经检验，符合题意，故．13a =-13a =-（2）由（1），，若，则，(1)(2)()e xax x f x +-'=-0a =2()e x xf x -=-'当时，当时，2x <()0f x '>2x >()0f x '<所以在上单调递增，在上单调递减； ()f x (,2)-∞(2,)+∞若，令，解得或，且，0a >()0f x '=1x a=-2x =12a -<当时，当或时，12x a-<<()0f x '>1x a <-2x >()0f x '<所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．()f x 1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,+∞22．设函数，为的导函数．()e kx f x x a =+()f x '()f x (1)当时，若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围； 1k =-0x >()ln f x x x ≥-a (2)当时，设，若，其中，证明：． 1k =()()g x f x '=12()()g x g x =12x x ≠124x x >【答案】(1)11,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(2)证明见解析【分析】（1）当时，存在实数，使得不等式成立，等价于：存在实数1k =-0x >()ln f x x x ≥-，使得不等式成立，构造函数，则等价于，利用0x >ln e x x a x x ≥--()ln e xxx x x φ=--min ()a x φ≥导数求出即可；min ()x φ（2）当时，，则，由此可得函数有极小值点，由函1k =()(1)e x g x x =+()(2)e x g x x '=+()g x 2x =-数单调性可判断在极值点的两侧，不妨假设，则，利用分析法得，()g x 12,x x 12x x <1221x x <-<<-要证明，只需证明，于是构造函数（），利用124x x >224()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭4()()h x g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2<<1x --导数证明在上恒成立即可得证．()0h x >()2,1--【详解】（1）当时，存在实数，使得不等式成立， 1k =-0x >()ln f x x x ≥-等价于：存在实数，使得不等式成立， 0x >ln e xxa x x ≥--设， ()()ln 0e xxx x x x φ=-->，当时，，1111()1(1)e ex xx x x x x φ-⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭0x >110e x x +>所以当时，，当时，， 01x <<()0x φ'<1x >()0x φ'>所以在上单调递减，在上单调递增，()x φ()0,1()1,+∞所以，所以，()()min 111e x φφ==-11e a ≥-即实数的取值范围为；a 11,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）当时，，所以，， 1k =()e x f x x a =+()()(1)e x g x f x x '==+()(2)e x g x x '=+当时，，当时，，<2x -()0g x '<2x >-()0g x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()g x (),2-∞-()2,-+∞所以， ()()2min 120e g x g =-=-<且当时，，当时，， 1x <-()0g x <1x >-()0g x >不妨设，则， 12x x <1221x x <-<<-于是要证明，只需证， 124x x >1242x x <<-因为在上单调递减，故只需证，()g x (),2-∞-124()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭又，所以只需证，， 12()()g x g x =224()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭221x -<<-设，，4()()h x g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2<<1x --则， 4443233448(2)2()()(2)e e e (e 8)x x x xx x x h x g x g x x x x x x -++⎛⎫'''=+=++=+ ⎪⎝⎭设，，则，43()e8x xF x x -=+2<<1x --2437()e24x xF x x x -⎡⎤⎛⎫'=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当时，，， 2<<1x --4e0x x->237024x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭所以，在单调递减，所以，()0F x '<()F x ()2,1--()()20F x F <-=又，所以， 43(2)e 0x x x +<()0h x '>所以在单调递增， ()h x ()2,1--所以，()(2)(2)(2)0h x h g g >-=---=即在上恒成立，4()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭()2,1--又，所以成立，2(2,1)x ∈--224()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭所以．124x x >【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得()()()h x f x g x =-不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。
2023-2024学年安徽省亳州市高二下学期第一次月考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年安徽省亳州市高二下册第一次月考数学试题一、单选题1．函数443y x x =-+在区间[2,3]-上的最小值为A ．72B ．36C ．12D ．0【正确答案】D【分析】先根据给出的函数求出导函数；再令0'>y ，求出单调递增区间，再令0'<y ，求出单调递减区间，确定出函数[2,3]-上的单调性，从而求出最小值.【详解】解：344y x '=-，令0y '=，即3440x -=解得1x =当1x <时，0'<y 当1x >时，0'>y ∴1|0x y y ===极小值，而端点的函数值2|27x y =-=，3|72x y ==，得min 0y =．故选D.本题主要考查了利用导数求函数的最值，关键是确定函数在区间上的单调区间，进而确定最值.2．已知函数()f x 定义域为R ，其导函数为()f x ¢，且()()30f x f x '->在R 上恒成立，则下列不等式定成立的是（）A ．()()310f e f <B ．()()210f e f <C ．()()310f e f >D ．()()210f e f >【正确答案】A 构造函数()()3xf xg x e=，由()()30f x f x '->得()0g x ¢>，进而判断函数()g x 的单调性，判断各选项不等式.【详解】()()3x f x g x e =，则()()()()()()3323333x x xx f x e f x e f x f x g x e e ⋅--=='''，因为()()30f x f x '->在R 上恒成立，所以()0g x ¢<在R 上恒成立，故()g x 在R 上单调递减，所以()()10g g <，即()()3010f f e e<，即()()310f e f <，故选：A.函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.3．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为（）A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )【正确答案】A【分析】求导，借助单调性研究最大值即可【详解】令F (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )，∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上单调递减，∴F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a ).故选：A4．若函数1111πsin20,22y x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，函数223y x =+，则()()221212x x y y -+-的最小值为（）A BC ．2⎝⎭D ．2(π15)72-【正确答案】Dy 1上与直线y 2平行的切线的切点到直线y 2的距离.【详解】由题可得112cos 2y x '=，令11y '=，则11cos22x =，得1π6x =或5π6（舍去），所以1y =223y x =+平行切线对应切点为π1,62⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.则切点到直线2y=又()()221212x x y y -+-最小值为切点π6⎛ ⎝⎭到直线2y 的距离的平方，所以()()221212x x y y -+-故选：D.5．若函数()y f x =满足()()xf x f x '>-在R 上恒成立，且a b >，则（）A ．()()af b bf a >B ．()()af a bf b >C ．()()af a bf b <D ．()()af b bf a <【正确答案】B【分析】构造函数()()g x xf x =，根据导数确定函数单调性，进而判断各选项.【详解】由()()xf x f x '>-，设()()g x xf x =，则()()()0g x xf x f x ''=+>，所以()g x 在R 上是增函数，又a b >，所以()()g a g b >，即()()af a bf b >，故选：B.6．已知函数()sin(2)12f x x π=+，()f x '是()f x 的导函数，则函数2()()y f x f x '=+的一个单调递减区间是（）A ．7[,1212ππB ．5[,]1212ππ-C ．2[,]33ππ-D ．5[,]66ππ-【正确答案】A【分析】由题意，根据三角函数的求导公式以及辅助角公式，整理单角三角函数，根据正弦型函数的单调性，可得答案.【详解】()()22sin 22cos 2212123y f x f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'，令()3222,Z 232k x k k πππππ+≤+≤+∈，得：()7,Z 1212k x k k ππππ+≤≤+∈，∴单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A.7．若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不单调，则实数k 的取值范围是（）A ．(][][),31,13,-∞-⋃-⋃+∞B ．()()3,11,3--⋃C ．()2,2-D ．不存在这样的实数k【正确答案】B【分析】利用导数与函数单调性的关系以及一元二次方程的根进行求解.【详解】由题意得，()23120x x f '=-=在区间()1,1k k -+上至少有一个实数根，又()23120x x f '=-=的根为2±，且()f x '在2x =或2x =-两侧异号，而区间()1,1k k -+的区间长度为2，故只有2或-2在区间()1,1k k -+内，∴121k k -<<+或121k k -<-<+，∴13k <<或31k -<<-，故A ，C ，D 错误.故选：B.8．已知函数()f x 的导函数()f x '满足22()()()f x xf x x x R >'+∈，则对x ∀∈R 都有A ．2()0x f x ≥B ．2()0x f x ≤C ．2[()1]0x f x -≥D ．2[()1]0x f x -≤【正确答案】A【详解】构造函数F (x )=x 2f (x )，则F ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x )=x (2f (x )+xf ′(x ），当x >0时,F ′(x )>x 3>0,F (x )递增；当x <0时,F ′(x )<x 3<0,F (x )递减，所以F (x )=x 2f (x )在x =0时取最小值，从而F (x )=x 2f (x )⩾F (0)=0，故选A.二、多选题9．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数，以下四个函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是凸函数的是（）A ．()sin cos f x x x=+B ．()ln 2f x x x=-C ．()321f x x x =-+-D ．()xf x xe-=-【正确答案】ABC【分析】利用凸函数的定义逐个分析判断即可【详解】解：对于A ，由()sin cos f x x x =+，得()'cos sin f x x x =-，则()f x ''sin cos (sin cos )x x x x =--=-+，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()f x ''sin cos (sin cos )0x x x x =--=-+<，所以此函数是凸函数，所以A 正确；对于B ，由()ln 2f x x x =-，得()'12f x x =-，则()f x ''21x =-，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()f x ''210x =-<，所以此函数是凸函数，所以B 正确；对于C ，由()321f x x x =-+-，得()2'32f x x =-+，则()f x ''6x =-，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()f x ''60x =-<，所以此函数是凸函数，所以C 正确；对于D ，由()x f x xe -=-，得()'x xf x e xe --+=-，则()f x ''(2)x x x x e e e x x e ----=-=+-，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()f x ''(2)0x x e -=->，所以此函数不是凸函数，所以D 不合题意，故选：ABC10．如图是函数()y f x =的导函数()f x '的图像，则下列判断正确的是（）A ．在区间()2,1-上，()f x 单调递增B ．在区间()1,2上，()f x 单调递增C ．在区间()4,5上，()f x 单调递增D ．在区间()3,2--上，()f x 单调递增【正确答案】BC【分析】当()0f x ¢>，则()f x 单调递增，当()0f x '<，则()f x 单调递减，据此可得答案.【详解】由题图知当()()1245,，,x x ∈∈时，()0f x ¢>，所以在区间()()1245,，，上，()f x 单调递增，BC 正确；当()2,1x ∈--时，()0f x '<，当()1,1x ∈-时，()0f x ¢>，所以在区间()2,1--上，()f x 单调递减.在()1,1-上递增，A 错误；当()3,2x ∈--时，()0f x '<，所以在区间()3,2--上，()f x 单调递减，D 错误；故选：BC11．设函数()f x 的定义域为R ，则下列命题中正确的有（）A ．若存在常数M ，使得对任意x ∈R ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值B ．若存在0x ∈R ，使得对任意x ∈R ，且0x x ≠，有()()0f x f x ≤，则()0f x 是函数()f x 最大值C ．若存在0x ∈R ，使得对任意x ∈R ，有()()0f x f x ≤，则()0f x 是函数()f x 的最大值D ．若()21f x +的最大值为2，则()41f x -的最大值也为2【正确答案】BCD【分析】由最大值的定义可判断A 、B 、C ；由()21f x +的最大值为2，可知对任意的实数x 恒有01(41)2412x f x f +⎛⎫-≤=⨯- ⎪⎝⎭，可判断D.【详解】由最大值的定义可知，仅满足对任意的意x ∈R ，有()f x M ≤，还不能确定M 是()f x 的最大值，这是因为还必须在定义域中存在0x 使()0f x M =，才能说明M 是()f x 的最大值，故A 错误.由函数最大值的定义可知B ，C 正确.在D 中，由于()21f x +的最大值为2，所以存在0x 使得()0212f x +=，且对任意的x ∈R 有()212f x +≤.故对任意的实数x 恒有01(41)2412x f x f +⎛⎫-≤=⨯- ⎪⎝⎭，所以()41f x -的最大值也为2，D 正确.故选：BCD.12．若存在过点()0,0O 的直线l 与曲线()3232f x x x x =-+和2y x a =+都相切，则a 的值可以是（）A ．1B ．164C ．132D ．164-【正确答案】AB【分析】根据题意，分点O 是切点与点O 不是切点，两种情况讨论，然后结合切线方程的求解方法，得到相应的切线方程，从而得到a 的值.【详解】由题意可得，()2362f x x x '=-+，因为()0,0在直线l 上，当()0,0O 为()f x 的切点时，则()02f '=，所以直线l 的方程为2y x =，又直线l 与2y x a =+相切，所以220x a x +-=满足440a ∆=-=，得1a =；当()0,0O 不是()f x 的切点时，设切点为()()3200000,320x x x x x-+≠，则()2000362f x x x =-+'，所以32200000032362x x x x x x -+=-+，得032x =，所以3124f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为14y x =-.由214y x y x a⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，得2104x x a ++=，由题意得1Δ4016a =-=，所以164a =.综上得1a =或164a =.故选:AB三、填空题13．函数221f x x ax =++（）在[0]1，上的最小值为1f （），则a 的取值范围为__________.【正确答案】,1]∞--（【分析】求导，根据函数在[0]1，上的最小值为1f （）即可判断函数的单调性，将恒成立转化为函数最值问题求解.【详解】22f x x a '=+（），f x （）在[0]1，上的最小值为1f （），说明f x （）在[0]1，上单调递减，所以当]1[0x ∈，时，0f x '≤（）恒成立，即220.x a +≤所以.a x ≤-所以 1.a ≤-故,1]∞--（14．已知函数241e ln(25)2x y x +=-+，则该函数的图象在2x =-处的切线的倾斜角为__________.【正确答案】3π4【分析】对函数求导数，计算2x =-时的斜率，得倾斜角.【详解】因为()241e ln 252x y x +=-+，所以2424112e e 2222525x x y x x ++=⨯-⨯=-++'，所以2121x y =-=-'=-∣，即切线的斜率为-1，倾斜角为3π4.故答案为.3π415．已知f （x ）=2x 3﹣6x 2+m （m 为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为．【正确答案】﹣37【详解】试题分析：本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为3，进而求出常数m 的值，即可求出函数的最小值．解：由已知，f′（x ）=6x 2﹣12x ，有6x 2﹣12x≥0得x≥2或x≤0，因此当x ∈[2，+∞），（﹣∞，0]时f （x ）为增函数，在x ∈[0，2]时f （x ）为减函数，又因为x ∈[﹣2，2]，所以得当x ∈[﹣2，0]时f （x ）为增函数，在x ∈[0，2]时f （x ）为减函数，所以f （x ）max =f （0）=m=3，故有f （x ）=2x 3﹣6x 2+3所以f （﹣2）=﹣37，f （2）=﹣5因为f （﹣2）=﹣37＜f （2）=﹣5，所以函数f （x ）的最小值为f （﹣2）=﹣37．﹣37利用导数求闭区间上函数的最值．16．已知函数3213221(0)()3236(0)x x x m x f x x m x ⎧+++-≤⎪=⎨⎪+->⎩，若函数()f x 有四个不同的零点，则m 的取值范围为______【正确答案】511(,612【分析】先利用导数求出0x 时，函数()f x 的单调性及极值，再结合题意，建立关于m 的不等式组，解不等式组即可得出答案．【详解】当0x 时，2()32(1)(2)f x x x x x '=++=++，故函数()f x 在(,2)-∞-，(1,0)-单调递增，在(2,1)--单调递减，∴当0x 时，()5()223f x f m =-=-极大值，()11()126f x f m =-=-极小值，(0)21f m =-，由于3213()22132f x x x x m =+++-最多有3个零点，()36f x x m =+-最多只有一个零点，故要使函数()f x 有四个不同的零点，则需520311206210360m m m m ⎧->⎪⎪⎪-<⎨⎪->⎪⎪-<⎩，解得511612m <<．故511(,612．本题考查函数零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的极值及最值，考查推理能力及计算能力，属于中档题．四、解答题17．已知函数21()ln(1)2f x x x x =+-+，求证：当0x >时，()0f x >.【正确答案】证明见解析【分析】利用导数，求函数单调性，证明不等式.【详解】证明：21()ln(1)2f x x x x =+-+，函数定义域为()1,-+∞，21()111x f x x x x'=-+=++，当()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，∴()f x 在()1,-+∞上是增函数.于是当0x >时，()()00f x f >=．18．如图是函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.【正确答案】极小值为()()13,f x f x ，极大值为()2f x ；最小值是()3f x ，最大值为()f b .利用函数的极值和最值的定义，结合题中图象即得结果.【详解】由题图可知，()y f x =在13,x x 处取极小值，在2x 处取极大值，所以极小值为()()13,f x f x ，极大值为()2f x ；比较极值和端点值可知函数的最小值是()3f x ，最大值在b 处取得，最大值为()f b .19．设函数()()32143x f x a x ax b =-+++，其中a ，b ∈R .（1）若函数()f x 在3x =处取得极小值12，求a ，b 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在(1,1)-上只有一个极值点，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）32a =；4b =-（2）见解析；（3）11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）首先对函数求导，根据题意，得到()30f '=，()132f =，得到,a b 所满足的等量关系，求得结果；（2）对函数求导，并进行因式分解得到()()()()221422f x x a x a x a x '=-++=--，比较2a 和2的大小，从而进行分类讨论，进而确定函数的单调区间；（3）函数()f x 在(1,1)-上只有一个极值点，等价于'()0f x =在(1,1)-上只有一个解，结合（2）及零点存在性定理可得()()1,110a f f <⎧⎨-⋅<''⎩，从而求得a 的范围.【详解】（1）因为()()2214f x x a x a '=-++，所以()()396140f a a '=-++=，得32a =.由()15313279433222f b =⨯-⨯+⨯⨯+=，解得4b =-.（2）因为()()()()221422f x x a x a x a x '=-++=--，令()0f x '=，得2x a =或2x =.当1a >时，()f x 的单调递增区间为()(),2,2,a ∞-+∞；当1a =时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；当1a <时，()f x 的单调递增区间为()(),2,2,a -∞+∞.（3）由题意可得()()1,110a f f <⎧⎨-⋅<''⎩，即13(12)(1)(12)0a a a <⎧⎨---⋅--<⎩，化简得1(21)(21)0a a a <⎧⎨+-<⎩，解得1122a -<<，所以a 的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.该题考查的是有关函数与导数的问题，涉及到的知识点有利用导数求函数的极值，利用导数确定函数的单调区间，理解函数的极值的定义是解题的关键，属于中档题目.20．已知函数31()3()3f x x xf a =+'（其中R a ∈），且7()6f a =，求：(1)f （x ）的表达式；(2)曲线y =f （x ）在x =a 处的切线方程.【正确答案】(1)()31332f x x x=-(2)3640x y +-=【分析】（1）运用导数运算公式解得()22a f a '=-，再根据已知条件解得a 的值即可.（2）由（1）可解得切点及切线斜率，再运用点斜式方程写出切线方程即可.【详解】（1）()()23f x x f a =+''，于是有()()()2232a f a a f a f a =+⇒=-'''，所以()231332a f x x x =-，又()76f a =，即331371326a a a -=⇒=-，()31332f x x x =-.（2）由（1）知，1a =-，所以137(1)326f -=-+=，所以切点为71,6⎛⎫- ⎪⎝⎭，切线的斜率()12f a '=-，所以切线方程为()71162y x -=-+，即3640x y +-=.21．已知函数2()(2)ln ()f x x a x a x a R =---∈．(1)求函数()y f x =的单调区间；(2)当1a =时，证明：对任意的0x >，2()2x f x x x +>++e ．【正确答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用导数求单调区间；（2）将不等式等价转化为e ln 20x x -->，利用导数讨论最值即可求解.【详解】（1）由题可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22(2)()2(2)a x a x af x x a x x---'=---=，即(1)(2)()x x a f x x+-'=，(i)若0a ≤，则()0f x '>在定义域(0,)+∞上恒成立，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；(ii)若0a >，令()0f x '>，即20x a ->，解得2a x >,令()0f x '<，即20x a -<，解得02a x <<,所以()f x 在(0,)2a上单调递减，(,)2a +∞上单调递增.综上，0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；0a >时，()f x 在(0,)2a上单调递减，(,)2a +∞上单调递增.（2）当1a =时，2()ln f x x x x =+-，要证明2()2x f x x x +>++e ，只用证明e ln 20x x -->，令g()=e ln 2x x x --，1()=e xg x x'-，令1()=e xg x x '-，即1e xx=，可得方程有唯一解设为0x ，且01x ≠，所以001e xx =，当x 变化时，()g x '与g()x 的变化情况如下，x0(0,)x 0x 0(,+)x ∞()g x '-+g()x 单调递减单调递增所以0min 00001()()e ln 22xg x g x x x x ==--=+-，因为001220x x +-≥-=，因为01x ≠，所以不取等号，即00120x x +->，即min ()0g x >恒成立，所以，e ln 20x x -->恒成立，得证.22．已知函数()ln xf x x=，()(1)g x k x =-．(1)证明：R k ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使1()()+2f xg x ≤成立，求实数k 的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析；(2)实数k 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）若直线()y g x =与曲线()y f x =相切，设切点000,ln x x x ⎛⎫⎪⎝⎭则可得00ln 10x x +-=化简可得01x =，与已知矛盾，完成证明.（2）()()12f x g x ≤+可转化为()11ln 2x k x x --≤，令()()1ln x x k x x ϕ=--，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，()min12x ϕ≤，分类讨论求()x ϕ的最小值即可.【详解】（1）()f x 的定义域为()()0,11,+∞ ，()()2ln 1ln x f x x -'=，直线()y g x =过定点()1,0，若直线()y g x =与曲线()y f x =相切于点000,ln xx x ⎛⎫⎪⎝⎭（00x >且01x ≠），则()000200ln 1ln 1ln x x x k x x -==-，即00ln 10x x +-=①，设()ln 1h x x x =+-，()0,x ∈+∞，则()110h x x+'=>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又()10h =，从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾.所以，R k ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；（2）()()12f x g x ≤+即()11ln 2x k x x --≤，令()()1ln x x k x x ϕ=--，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则2e,e x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f xg x ≤+成立()min 12x ϕ⇔≤，()()222ln 111111ln ln ln 24ln x x k k k x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫=-=-+-=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'.（i ）当14k ≥时，()0'ϕ≤x ，()x ϕ在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为减函数，于是()()()222min e e 12e x k ϕϕ==--，由()22e 1e 122k --≤得12k ≥，满足14k ≥，所以12k ≥符合题意；（ii ）当14k <时，因为1ln t x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为减函数，所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由21124y t k ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()2111ln 24x k x ϕ⎛'⎫=--+- ⎪⎝⎭在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，所以()()()2e e x ϕϕϕ'≤≤''，即()14k x k ϕ-≤'≤-.①若0k -≥，即0k ≤，则()0x ϕ'≥，所以()x ϕ在2e,e ⎡⎤⎣⎦为增函数，于是()()()min 1e e e 1e 2x k ϕϕ==--≥>，不合题意；②若0k -<，即104k <<，因为()e 0k ϕ'=-<，()21e 04k ϕ=->'，()x ϕ'在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，所以存在唯一()20e,e x ∈，使()00x ϕ'=，且当()0e,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ为减函数；当()20,ex x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ为增函数；所以()()()000min 01ln x x x k x x ϕϕ==--，由()00011ln 2x k x x --≤得000001111111ln 212224x x k x x x ⎛⎫⎛⎫≥->-=> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，这与104k <<矛盾，不合题意.综上可知，k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)()a f x ≥恒成立⇔()max a f x ≥；(2)()a f x ≤恒成立⇔()min .a f x ≤。
安徽省亳州市数学高二下学期理数3月月考试卷
安徽省亳州市数学高二下学期理数 3 月月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数 的值为（ ）A.B.C.D.2. （2 分） (2020 高二下·浙江月考) 若曲线 （）在点A.1B.2C.3D.43. （2 分） 已知 R 上可导函数的图像如图所示，则不等式处的切线方程为，则的解集为（ ）A. B. C.第1页共8页D.4. （2 分） 在平面几何中有如下结论：正三角形推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体 （）的内切圆面积为 ，外接圆面积为 ，则，的内切球体积为 ，外接球体积为 ，则为A.B.C.D.5. （2 分） 若函数的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数 t,则称函数为“t 函数”.下列函数中为“2 函数”的是（ ）①②③④A.①②B . ③④C . ①③D . ②④6. （2 分） (2019 高三上·西湖期中) 已知函数A.，是的一个周期B.，是的一个周期C.，是的一个周期第2页共8页，则（ ）D.，最小正周期不存在7. （2 分） 若复数 A.7 B . -7（ a 为实数， i 为虚数单位）是纯虚数，则 a= （ ）C.D. 8. （2 分） (2019 高二下·九台期中) 用反证法证明命题：“若实数 ， 满足 为 0”，其反设正确的是 （ ） A . ， 至少有一个为 0 B . ， 至少有一个不为 0 C . ， 全不为 0 D . ， 全为 09. （2 分） 函数 A.0在上取最大值时，x 的值为（ ）B.，则 ， 全C.D.10. （2 分） 设函数在上的导函数为，在上的导函数为上，恒成立，则称函数上是“凸函数”，则在在 上（上为“凸函数”.已知当 ）时，A . 既没有最大值，也没有最小值第3页共8页， 若在 在B . 既有最大值，也有最小值 C . 有最大值，没有最小值 D . 没有最大值，有最小值 11. （2 分） 已知函数 取值范围是（ ） A. B. C. D.，若，使得成立，则实数 的12. （2 分） 已知偶函数 f（x）满足：f（x）=f（x+2），且当 x∈[0，1]时，f（x）=sinx，其图象与直线 y=在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P1 ， P2…，则等于（ ）A.2B.4C.8D . 16二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高二下·葫芦岛月考) 函数的图像在处的切线方程为________.14. （1 分） (2020·奉贤模拟) 设（ 为虚数单位），若，则实数________15. （1 分） 据某报《自然健康状况》的调查报道，所测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数 据规律，并将最适当的数据填入表中括号内．年龄（岁）3035404550556065…第4页共8页收缩压110115120125130135 ________ 145…（水银柱/毫米）舒张压70737578807385 ________ …（水银柱/毫米）16. （1 分） 函数，则使得三、 解答题 (共 2 题；共 15 分)成立的 的取值范围是________．17. （5 分） 当实数 m 为何值时，，（1） 为实数；（2） 为虚数；（3） 为纯虚数；（4） 复数 z 对应的点在复平面内的第二象限．18. （10 分） (2019 高三上·淮南月考) 已知函数.（1） 若在上单调递增，求实数 的取值范围；（2） 当时，若实数满足，求证：.第5页共8页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、参考答案15-1、第6页共8页16-1、三、 解答题 (共 2 题；共 15 分)17-1、 17-2、 17-3、 17-4、18-1、第7页共8页18-2、第8页共8页。
安徽省高二下学期第三次月考数学(理)试题 Word版含答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案）1．设函数()sin x f x x=，则'()2f π= （ ）A ．2π- B ．2πC ．1D ．﹣12．函数()32392f x x x x =--+在[]2,2-最大值是 （ ）A ．-25B ．7C ．0D ．-203．设函数31()(0)3f x ax bx a =+≠，若0(3)3()f f x '=，则0x 等于 （ ）A.1±B.4．一物体的运动方程为225s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在4秒末的瞬时速度是（ ）A ．8米/秒B ．7米/秒C ．6米/秒D ．5米/秒5．函数2()xe f x x=的导函数为 （ ）A.2()2xf x e'= B.22(21)()xx e f x x -'=C.22()xe f x x'=D.22(1)()xx e f x x -'=6．函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），导函数f ′（x ）在（a ，b ）内的图象如下图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内有极大值点 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7．已知()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，1()ln ()2f x x ax a =->，当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a的值等于（ ） A ．41 B ．31 C ．21D ．1晓天中学2015～2016学年度第二学期第三次月考高二年级理科数学（试题卷）学号： 姓名：8．若函数f(x)＝2x 2－lnx 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不．是单调函数，则实数k的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．[1,2) D.3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为 （ ）A ．1B ．2D 10．已知函数f （x ）对定义域R 内的任意x 都有f （x ）=f （4﹣x ），且当x≠2时其导函数f′（x ）满足（x ﹣2）f′（x ）＞0，若2＜a ＜4则 （ ）A ．f （2a ）＜f （3）＜f （log 2a ）B ．f （log 2a ）＜f （3）＜f （2a）C ．f （3）＜f （log 2a ）＜f （2a ）D ．f （log 2a ）＜f （2a）＜f （3） 11．设函()f x 在定数义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）12．已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+> （其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A ()()34f ππ-<- B ()()34f ππ<C ．(0)2()3f f π> D ．(0)()4f π>二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上） 13．函数x x x f ln )(-=的单调增区间是________.14．使sin y x ax =+在R 上是增函数的a 的取值范围为 .15．若函数[]1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极大值又有极小值,则a 的取值范围是______．16．已知函数()f x （R x ∈）满足()11f =，且()f x 的导数()12f x '<，则不等式()22122x f x <+的解集为 .三、解答题(本大题共70分). 17．(10分)已知函数R x x x x f ∈-=,sin 21)(． （1）试求函数)(x f 的递减区间；（2）试求函数)(x f 在区间[]ππ,-上的最值．18．(12分)已知()xg x e x =-.（Ⅰ）求()g x 的最小值； （Ⅱ）若存在(0,)x ∈+∞，使不等式2()x mx g x ->成立，求m 的取值范围.19．(12分)已知f (x )＝e x－ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．20．(12分)已知函数()ln f x ax x =+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数. （1）求()f x 的单调区间；（2）若0a <，且()f x 在区间(0,]e 上的最大值为2-，求a 的值； （3）当1a =-时，试证明：1|()|ln 2x f x x x >+.21．(12分)已知函数()ln ,()ax f x xe x e a R =+-∈．（Ⅰ）当1a =时，求函数()y f x =的点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）设1()ln g x x e x=+-，若函数()()()h x f x g x =-在定义域内存在两个零点，求实数a 的取值范围．22．(12分)已知函数)(1ln )(R a x x a x f ∈+-=. （1）求)(x f 的单调区间；（2）若0)(≤x f 在),0(+∞上恒成立，求所有实数a 的值； （3）证明：)1,(4)1(1ln 53ln 43ln 32ln >∈-<++⋅⋅⋅+++n N n n n n n .2. 填空题13 . 14 .15 . 16 .3. 解答题 17.18.晓天中学2015～2016学年度第二学期第三次月考高二年级理科数学（答题卷）学号： 姓名：19.20.21.22.参考答案1．C试题分析：∵'2sin cos ()sin x x x f x x -=，则'1()121f π==，故选：C ． 2．B试题分析：()()322392'369f x x x x f x x x =--+∴=--Q ，[]2,2x ∈-，令()0'f x >，得[)2,1--单调递增，(]1,2-单调递减，所以()()max 113927f x f =---++==.3．C试题分析：将3代入函数解析式求出f （3）；求出函数的导函数，将x 0代入求出函数值 f ′（x 0），列出方程求出0x ；2393,f a b f x ax b =+'=+（）,（）2000,33'f x ax b f f x ∴'=+=（）（）（），2009333a b ax b x ∴+=+∴=,故选C4．C试题分析：22dsv t dt==-，∴物体在4秒末的瞬时速度为6米/秒. 5．B试题分析：=-=-=2222'2'2'2)()()(x e x e x x e x e x f x x x x 22(21)xx e x -，故选B.6．B试题分析：函数()x f y =在点0x 处连续且()00='x f ，若在点0x 附近左侧()00>'x f ，右侧()00<'x f ，则点0x 为函数的极大值点，满足定义的点有2个. 7．D试题分析：根据奇函数关于原点对称，()y f x =在(0,2)x ∈内有最大值-1，又'11()()2f x a a x =->，可知当1x a =时取最大值，代入111()ln 1,f a a a a=-⋅=-可得1a =.8．B试题分析：因为f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x －1x ，由f′(x)＝0，得x ＝12.据题意，111210k k k ⎧-<<+⎪⎨⎪-≥⎩，解得1≤k＜32. 9．B试题分析：可设点),(00y x P ，由题意可知，过点P 且与直线2y x =-平行的直线为曲线2ln y x x =-在点P 的切线.由此)1,1(,1,1,012,00000'0P y x x x y x x ∴=∴=∴=-∴==，则点P 到直线2y x =-B. 10．B试题分析：因为函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()()4f x f x =-，()f x ∴ 关于直线2x =对称；又当2x ≠时其导函数()f x '满足()()20f x x '->，所以当2x >时，()()0,f x f x '>在()2,+∞上的单调递增；同理可得，当2x <时，()f x 在(),2-∞单调递减；24a <<，21log 2a ∴<<，224log 3a ∴<-<，又()()()224216,log 4log ,a f a f a f x <<=-在()2,+∞上的单调递增；()()()2log 32a f a f f ∴<<，故选B.11．D试题分析：由函数图象可知()f x 在y 轴左侧为增函数，右侧从左至右依次为增、减、增，利用导函数的性质，可知选D. 12．A试题分析：令()()()()()()()()xx x f x x f x x x f x x f x g x x f x g 2'2'''cos sin cos cos cos cos ,cos -=-==则，由对任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>可得()0'>x g ，即函数()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上为增函数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛-43ππg g 即⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos 43cos 3ππππf f 即⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-432ππf f ；故选A ． 13．(1,)+∞试题分析：函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1'()1f x x=-，当01x <<时'()0f x <，当1x >时，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上递增． 14．[)1,+∞试题分析：sin y x ax =+在R 上是增函数等价于'cos 0y x a =+≥在R 上恒成立, 即cos a x ≥-恒成立,[]cos 1,1x -∈-,1a ≥.15．21>-<a a 或试题分析：)2(363)(2'+++=a ax x x f ，因为[]1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极大值又有极小值，所以0)('=x f 有两个不相等的实根，所以21,0)2(36362>-<∴>+-=∆a a a a 或.16．11-∞-+∞（，）（，）试题分析：设()()12F x f x x =-根据题意可得函数F x （）在R 上单调递减，然后根据()22122x f x <+可得221122x f x f -<-（）（），最后根据单调性可求出x 的取值范围．设()()12F x f x x =-，()111,0222Fx f x f x F x f x '='-'<∴'='-<∴（）（）（）（）， 即函数F （x ）在R 上单调递减，()()()2222211,112222x x f x f x f F x F <+∴-<-∴<（）（），而函数F （x ）在R 上单调递减， 21x ∴>，即11x ∴∈-∞-+∞（，）（，），故答案为：11-∞-+∞（，）（，）17．（I ）Z k k k ∈++-),23,23(ππππ；（2）最大值为2)(ππ=f ，最小值为2)(ππ-=-f ．试题分析：（I ）求导数得：,cos 21)(x x f -=' 令,0)(<'x f 即,0cos 21<-x 得：Z k k x k ∈+<<+-,2323ππππ， ∴函数)(x f 在每个区间Z k k k ∈++-),23,23(ππππ上为减函数．（2）由（I ）知，函数)(x f 在区间),3(),3,(ππππ--上为增函数，在区间)3,3(ππ-上为减函数，∴函数)(x f 在3π-=x 处取极大值623)3(ππ-=-f ，在3π=x 处取极小值236)3(-=ππf ，∵2)(ππ-=-f ，2)(ππ=f ∴函数()f x 在区间[]ππ,-上的最大值为2)(ππ=f ，最小值为2)(ππ-=-f ．18．（Ⅰ）最小值1)1(=f ；（Ⅱ）2ln 2<m ；试题解析：（Ⅰ）∵1)(-='x e x g ,由0)(='x g ，得0=x∴当0<x 时，0)(<'x g ，)(x g 在)0,(-∞上为减函数， 当0>x 时，0)(>'x g ，)(x g 在)，0(∞+上为增函数，∴)(g x 在0=x 时有最小值1)0(g =.（Ⅱ）)0)()((2)(2>-=>-⇔>-x e x g x xg m x x x g mx x x x xe x x m x xe m x -+<⇔->-⇔2222令x xe x x x h -+=2)(2)0(>x则)2)(1()2()2(22)(-+-=-+-=--+='x x x x x e x e e x xe e x x h ∴当2ln >x 时0)(<'x h ,当2ln 0<<x 时0)(>'x h∴2ln )2(ln )(2max ==h x h ,要想存在正数x ,使)(x h m <,则有2ln )(2max =<x h m ∴所求的m 的取值范围是2ln 2<m .19．（1）当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞)．（2）(－∞，0]．(1)∵f (x )＝e x －ax －1(x ∈R)，∴f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )≥0，得e x≥a .当a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立；当a >0时，有x ≥ln a ．综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞)．(2)由(1)知f ′(x )＝e x－a .∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x在R 上恒成立．∵x ∈R 时，e x>0，∴a ≤0， 即a 的取值范围是(－∞，0]．20．（1）单调增区间为1(0,)a -，单调减区间为1(,)a-+∞；（2）a e =-；（3）证明过程详见解析.试题解析：（1）11()ax f x a x x+'=+=当0a ≥时，'()0f x >恒成立，故()f x 的单调增区间为(0,)+∞当0a <时，令'()0f x >解得10x a <<-，令'()0f x <解得1x a>-，故()f x 的单调增区间为1(0,)a -，()f x 的单调减区间为1(,)a-+∞（2）由（I ）知，①当1e a -≥，即1a e ≥-时，()f x 在(]0,e 上单调递增，∴max ()()10f x f e ae ==+≥舍；②当10e a <-<，即1a e<-时，()f x 在1(0,)a -上递增，在1(,)a e -上递减，11max ()()1ln()a a f x f =-=-+-，令11ln()2a -+-=-，得a e =-（Ⅲ）即要证明ln 1|()|2x f x x >+，由（Ⅰ）知当1a =-时，max ()(1)1f x f ==-，∴|()|1f x ≥，又令ln 1()2x x x ϕ=+，21ln ()xx xϕ-'=，故()x ϕ在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，故11()()12x e e ϕϕ≤=+<即证明ln 1|()|2x f x x >+.21．（Ⅰ）(21)(1)y e x =+-；（Ⅱ）20a e-<<．试题解析：（Ⅰ）()y f x =的定义域为(0,)+∞，∵1a =，∴()ln ,(1)0x f x xe x e f =+-=，∴1()(1)x f x x e x'=++，∴(1)21f e '=+， 所以函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(21)(1)y e x =+-（Ⅱ）2111()()()ln (ln )ax axaxx e h x f x g x xe x e x e xe x x x-=-=+--+-=-=在定义域内存在两个零点，即210axx e -=在(0,)+∞有两个零点．令22()1,()2(2)ax ax axax x x e x ax e xe xe ax ϕϕ'=-=+=+ⅰ．当0a ≥时，()(2)0ax x xe ax ϕ'=+>,∴()y x ϕ=在(0,)+∞上单调递增由零点存在定理，()y x ϕ=在(0,)+∞至多一个零点，与题设发生矛盾．ⅱ．当0a <时，(2)0axxe ax +=则2x =-因为(0)1ϕ=-，当x →+∞，()1x ϕ→-，所以要使2()1axx x e ϕ=-在(0,)+∞内有两个零点，则2()0a ϕ->即可，得224a e <，又因为0a <，所以20a e-<<22．（1）当0≤a 时，)(x f 减区间为),0(+∞，当0>a 时，)(x f 递增区间为),0(a ，递减区间为),(+∞a ；（2）1=a ；（3）见解析． 试题解析：（1）)0(1)(>-=-='x xxa x a x f . 当0≤a 时，0)(<'x f ，∴)(x f 减区间为),0(+∞，当0>a 时，由0)(>'x f 得a x <<0，由0)(<'x f 得a x >， ∴)(x f 递增区间为),0(a ，递减区间为),(+∞a .（2）由（1）知：当0≤a 时，)(x f 在),0(+∞上为减函数，而0)1(=f ， ∴0)(≤x f 在区间),0(+∞∈x 上不可能恒成立； 当0>a 时，)(x f 在),0(a 上递增，在),(+∞a 上递减，1ln )()(max +-==a a a a f x f ，令1ln )(+-=a a a a g ，依题意有0)(≤a g ，而a a g ln )(='，且0>a ，∴)(a g 在)1,0(上递减，在),1(+∞上递增，∴0)1()(min ==g a g ，故1=a .（3）由（2）知，当1=a 时，0)(≤x f 在),0(+∞上恒成立，即1ln -≤x x 在),0(+∞上恒成立，当且仅当1=x 时等号成立.令)1,(2>∈=k N k k x ，则有1ln 22-<k k ，即)1)(1(ln 2+-<k k k ，整理得211ln -<+k k k ，当n k ,...,4,3,2=时， 分别有211ln ,,2353ln ,2243ln ,2132ln -<+⋅⋅⋅<<<n n n ， 叠加得4)1(2)1(3211ln 53ln 43ln 32ln -=-+⋅⋅⋅+++<++⋅⋅⋅+++n n n n n ， 即4)1(1ln 53ln 43ln 32ln -<++⋅⋅⋅+++n n n n 得证.。
安徽省亳州市涡阳一中2016-2017学年高二(下)3月月考数学试卷(理科)
2016-2017学年安徽省亳州市涡阳一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有1个答案正确）1．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度3．某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时，该命题不成立B．当n=6时，该命题成立C．当n=4时，该命题不成立D．当n=4时，该命题成立4．若f（x）在R上可导，，则=（）A．B．C．D．5．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则=，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=（）A．B．C．D．6．函数y=sinx﹣的图象大致是（）A．B．C．D．7．，则m等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．如图所示的是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A．B．C．D．9．正整数按下表的规律排列（下表给出的是上起前4行和左起前4列）则上起第2015行，左起第2016列的数应为（）A．20152B．20162C．2015+2016 D．2015×201610．设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，且f（1）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C．D．12．关于函数f（x）=+lnx，下列说法错误的是（）A．x=2是f（x）的极小值点B．函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．设f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则函数f（x）单调递增区间是．14．如图，函数F（x）=f（x）+x2的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f （5）+f′（5）=．15．已知函数f（x）=2ax﹣，x∈（0，1上是增函数，则实数a的取值范围是．16．已知函数f（x）的定义域为，部分对应值如下表．x﹣1045f（x）1221f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：下列关于f（x）的命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）在是减函数；③如果当x∈时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6题，第17题10分，其余每题12分，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求证：＜．18．已知函数f（x）=x3﹣3x（1）求函数f（x）的极值；（2）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．19．设函数f（x）=x2+e x﹣xe x（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．20．已知数列{a n}满足a n﹣a n=1，a1=1，试比较与+1的大小并证明．21．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（Ⅱ）若f（x）在上的最小值为，求实数a的值；（Ⅲ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．22．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1（0＜a＜1）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=时，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈，∃x2∈，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．2016-2017学年安徽省亳州市涡阳一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有1个答案正确）1．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B3．某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时，该命题不成立B．当n=6时，该命题成立C．当n=4时，该命题不成立D．当n=4时，该命题成立【考点】RG：数学归纳法．【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k﹣1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．【解答】解：由题意可知，P（n）对n=4不成立（否则n=5也成立）．同理可推得P（n）对n=3，n=2，n=1也不成立．故选C4．若f（x）在R上可导，，则=（）A．B．C．D．【考点】67：定积分．【分析】先求导，再求导，求出函数的表达式，再根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：f′（x）=2x+2f′（）+2cos2x，∴f′（）=2×+2f′（）+2cosπ，∴f′（）=2﹣π，∴f（x）=x2+2（2﹣π）x+sin2x，∴f（x）dx=（x2+2（2﹣π）x+sin2x）dx=（x3+（2﹣π）x2﹣cos2x）| =（+2﹣π﹣cos2）﹣（0+0﹣）=﹣π﹣cos2，故选：C5．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则=，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=（）A．B．C．D．【考点】F3：类比推理．【分析】平面图形类比空间图形，二维类比三维得到，类比平面几何的结论，确定正四面体的外接球和内切球的半径之比，即可求得结论．【解答】解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a，则AE=，DE=设OA=R，OE=r，则∴R=，r=∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是3：1故正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2之比等于故选C6．函数y=sinx﹣的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3O：函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，通过函数的导数，判断函数的单调性，利用特殊函数值判断图象即可．【解答】解：函数y=sinx﹣是奇函数，排除D，函数y′=cosx+，x∈（0，）时，y′＞0，函数是增函数，排除A，并且x=时，y=1﹣＞0，排除C，故选：B．7．，则m等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】67：定积分．【分析】利用定积分的几何意义计算定积分．【解答】解：y=，即（x+1）2+y2=1，表示以（﹣1，0）为圆心，以1为半径的圆，圆的面积为π，∵，∴表示为圆的面积的二分之一，∴m=0，故选：B8．如图所示的是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A．B．C．D．【考点】63：导数的运算；36：函数解析式的求解及常用方法；7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】由图象知f（x）=0的根为0，1，2，求出函数解析式，x1，x2为导函数的两根，可结合根与系数求解．【解答】解：由图象知f（x）=0的根为0，1，2，∴d=0．∴f（x）=x3+bx2+cx=x（x2+bx+c）=0．∴x2+bx+c=0的两个根为1和2．∴b=﹣3，c=2．∴f（x）=x3﹣3x2+2x．∴f′（x）=3x2﹣6x+2．∵x1，x2为3x2﹣6x+2=0的两根，∴．∴．9．正整数按下表的规律排列（下表给出的是上起前4行和左起前4列）则上起第2015行，左起第2016列的数应为（）A．20152B．20162C．2015+2016 D．2015×2016【考点】F1：归纳推理．【分析】观察图形可知这些数字排成的是一个正方形，上起第2015行，左起第2016列的数是一个2016乘以2016的正方形的倒数第二行的最后一个数字，进而可得答案【解答】解：这些数字排成的是一个正方形上起第2015行，左起第2016列的数是一个2016乘以2016的正方形的倒数第二行的最后一个数字，所以这个数是2016×=2015×2016．故选：D10．设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，且f（1）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【考点】3L：函数奇偶性的性质；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（1）=0得g （1）=0、还有g（﹣1）=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集．【解答】解：设g（x）=xf（x），则g'（x）='=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＞0，∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是增函数，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴g（x）=xf（x）是R上的奇函数，∴函数g（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，∵f（1）=0，∴f（﹣1）=0；即g（﹣1）=0，g（1）=0∴xf（x）＞0化为g（x）＞0，设x＞0，故不等式为g（x）＞g（1），即1＜x；设x＜0，故不等式为g（x）＞g（﹣1），即﹣1＜x＜0．故所求的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）故选A．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C．D．【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x﹣2的最小距离．【解答】解：过点P作y=x﹣2的平行直线，且与曲线y=x2﹣lnx相切，设P（x0，x02﹣lnx0）则有k=y′|x=x0=2x0﹣．∴2x0﹣=1，∴x0=1或x0=﹣（舍去）．∴P（1，1），∴d==．故选B．12．关于函数f（x）=+lnx，下列说法错误的是（）A．x=2是f（x）的极小值点B．函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：f′（x）=，∴（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，∴x=2是f（x）的极小值点，即A正确；y=f（x）﹣x=+lnx﹣x，∴y′=＜0，函数在（0，+∞）上单调递减，x→0，y→+∞，∴函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；f（x）＞kx，可得k＜，令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）=﹣lnx，∴（0，1）上，函数单调递增，（1，+∞）上函数单调递减，∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）=在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4，正确．故选：C．二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．设f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则函数f（x）单调递增区间是2，+∞），故答案为：．若函数f（x）在（0，1上是增函数，f′（x）=2a+≥0在（0，1上是增函数，∴f′（x）=2a+≥0在（0，1上恒成立，∴2a≥﹣2，∴a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．16．已知函数f（x）的定义域为，部分对应值如下表．x﹣1045f（x）1221f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：下列关于f（x）的命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）在是减函数；③如果当x∈时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是②⑤．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；3Q：函数的周期性；51：函数的零点；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．【解答】解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：由图得：①为假命题．函数f（x）不能断定为是周期函数．②为真命题，因为在上导函数为负，故原函数递减；③为假命题，当t=5时，也满足x∈时，f（x）的最大值是2；④为假命题，当a离1非常接近时，对于第二个图，y=f（x）﹣a有2个零点，也可以是3个零点．⑤为真命题，动直线y=a与y=f（x）图象交点个数可以为0、1、2、3、4个，故函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．综上得：真命题只有②⑤．故答案为：②⑤三、解答题（本大题共6题，第17题10分，其余每题12分，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求证：＜．【考点】R6：不等式的证明．【分析】本题宜用分析法证．欲证要证＜a，平方后寻求使之成立的充分条件即可．【解答】证明：因为a＞b＞c，且a+b+c=0，所以a＞0，c＜0，要证明原不等式成立，只需证明＜a，即证b2﹣ac＜3a2，即证b2+a（a+b）＜3a2，即证（a﹣b）（2a+b）＞0，即证（a﹣b）（a﹣c）＞0．∵a＞b＞c，∴（a﹣b）•（a﹣c）＞0成立．∴原不等式成立．18．已知函数f（x）=x3﹣3x（1）求函数f（x）的极值；（2）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，通过导数为0，判断函数的单调性，然后求解函数的极值．（2）设出切点，求出斜率，然后求解切线方程．【解答】解：（1）∵f（x）=x3﹣3x，∴f'（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1）…令f'（x）=0，解得x=﹣1或x=1…列表如下x（﹣∞，﹣﹣1（﹣1，1）1（1，+∞）1）f'（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗…当x=﹣1时，有极大值f（﹣1）=2；当x=1时，有极小值f（1）=﹣2…（2）设切点，∴…∴切线方程…∵切线过点P（2，﹣6）∴，∴x°=0或x°=3…所以切线方程为y=﹣3x或y=24x﹣54…19．设函数f（x）=x2+e x﹣xe x（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数，讨论x＞0，x＜0，导数的符号，注意运用指数函数的单调性，求出单调区间；（2）当x∈时，不等式f（x）＞m恒成立，即为当x∈时，f（x）min＞m，由（1）即可求出最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2+e x﹣xe x．∴f（x）的定义域为R，f'（x）=x+e x﹣（e x+xe x）=x（1﹣e x），当x＜0时，1﹣e x＞0，f'（x）＜0；当x＞0时，1﹣e x＜0，f'（x）＜0∴f（x）在R上为减函数，即f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）．（2）当x∈时，不等式f（x）＞m恒成立，即为当x∈时，f（x）min＞m．由（1）可知，f（x）在上单调递减，∴f（x）min=f（2）=2﹣e2，∴m＜2﹣e2时，不等式f（x）＞m恒成立．20．已知数列{a n}满足a n﹣a n=1，a1=1，试比较与+1的大小并证明．【考点】RG：数学归纳法．【分析】先求出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明即可﹣a n=1，a1=1，【解答】解：a n+1∴数列的通项公式为a n=n，要证≥只要证1+++…+≥，下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，1+=，结论成立，（2）假设n=k时成立，即1++…+≥，则当n=k+1时，1++…+++…+＞++…+，＞+++…+，＞+=，即当n=k+1时，结论成立，综上（1）（2）可知，对一切正整数，都有1+++…+≥21．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（Ⅱ）若f（x）在上的最小值为，求实数a的值；（Ⅲ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的定义域，再求出f′（x）=，从而得出函数的单调区间；（Ⅱ）分别讨论①若a≥﹣1，②若a≤﹣e，③若﹣e＜a＜﹣1的情况，结合函数的单调性，得出函数的单调区间，从而求出a的值；（Ⅲ）由题意得a＞xlnx﹣x3，令g（x）=xlnx﹣x3，得到h（x）=g′（x）=1+lnx﹣3x2，h′（x）=，得出h（x）在（1，+∞）递减，从而g（x）在（1，+∞）递减，问题解决．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（x）的定义域是（0，+∞），且f′（x）=，∵a＞0，∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=，①若a≥﹣1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在上恒成立，此时f（x）在上递增，∴f（x）min=f（1）=﹣a=，∴a=﹣（舍），②若a≤﹣e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在上恒成立，此时f（x）在上递减，∴f（x）min=f（e）=1﹣=，∴a=﹣（舍），③若﹣e＜a＜﹣1，令f′（x）=0，得x=﹣a，当1＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，﹣a）递减，当﹣a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣a，e）递增，∴f（x）min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=，∴a=﹣，综上a=﹣；（Ⅲ）∵f（x）＜x2，∴lnx﹣＜x2，又x＞0，∴a＞xlnx﹣x3，令g（x）=xlnx﹣x3，h（x）=g′（x）=1+lnx﹣3x2，h′（x）=，∵x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（1，+∞）递减，∴h（x）＜h（1）=﹣2＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）递减，∴g（x）＜g（1）=﹣1，∴a≥﹣1时，f（x）＜x2在（1，+∞）恒成立．22．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1（0＜a＜1）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=时，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈，∃x2∈，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）直接利用函数与导数的关系，求出函数的导数，再讨论函数的单调性；（2）利用导数求出f（x）的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g（x）在闭区间上的最大值，然后解不等式求参数．【解答】解：（1）∵函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1（0＜a＜1），所以f′（x）=（x＞0），令h（x）=ax2﹣x+1﹣a（x＞0）当a≠0时，由f′（x）=0，即ax2﹣x+1﹣a=0，解得x1=1，x2=﹣1．当a=时x1=x2，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）单调递减；当0＜a＜时，﹣1＞1＞0，x∈（0，1）时h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；x∈（1，﹣1）时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；x∈（﹣1，+∞）时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．当＜a＜1时，0＜﹣1＜1，x∈（0，﹣1）时h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；x∈（﹣1，1）时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减综上所述：当0＜a＜时，函数f（x）在（0，1）、（﹣1，+∞）单调递减，（1，﹣1）单调递增；当a=时x1=x2，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；当＜a＜1时，函数f（x）在（0，﹣1）单调递减，（﹣1，1）单调递增，（1，+∞）单调递减．（2）a=时，由（1）得函数f（x）在区间（1，2）递增，故函数f（x）在区间上的最小值是f（1）=﹣，原题等价于g（x）在上的最小值小于或等于f（x）在区间的最小值，又∵g（x）=（x﹣b）2﹣b2﹣，x∈，则①b＜0时，g（x）在递增，g（x）min=g（0）=﹣＞﹣，不合题意；②0≤b≤1时，g（x）min=g（b）=﹣b2﹣≤﹣，解得：≤b≤1；③b＞1时，g（x）在递减，g（x）min=g（1）=﹣2b≤﹣，解得：b≥，此时，b＞1，综上，b的范围是b≥．2017年5月27日。
安徽省亳州市涡阳县高二数学3月月考试题理
安徽省亳州市涡阳县2016-2017学年高二数学3月月考试题 理注意事项：1．本试题第I 卷（选择题）和第II 卷两部分，全卷共150分，时间120分钟．2．第I 卷必须使用2B 铅笔填涂答题卡相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净． 3．第II 卷必须使用0。
5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置，在草稿纸和本卷上答题无效．第I 卷(选择题)一．选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分.每小题只有1个答案正确）1．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点。
以上推理中：（ ） A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度"时,反设正确的是( ）A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度3．某个命题与正整数有关，若当()*n k k N =∈时该命题成立，那么可推得当1n k =+时该命题也成立,现已知当5n =时该命题不成立，那么可推得（ ) A 。
当6n =时,该命题不成立 B 。
当6n =时，该命题成立 C 。
当4n =时，该命题成立D.当4n =时，该命题不成立4．若()f x 在R 上可导，2()2()sin 22f x x f x x π'=++，则10()f x dx =⎰（ ）A.7cos23π-- B.111cos262π-+ C.171cos262π--D。
111cos262π--5．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为1S，外接圆面积为2S，则1214SS=,推广到空间中可以得到类似结论:已知正四面体P ABC-的内切球体积为1V，外接球体积为2V,则12VV=（）A.18B.19C.164D.1276．函数1siny xx=-的图象大致是（）A. B.C. D.7．2222π=--⎰-dx xxm,则m等于（ )A．—1 B．0C．1 D．28．如右图是函数32()f x x bx cx d=+++的大致图象,则2212x x+等于（ )A．23B．43C．83D．1239．正整数按右表的规律排列,则上起第2015行，左起第2016列的数应为（ ） A ．22015 B ．22016C ．20152016+D ．20152016⨯10．设()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0f x xf x '+>，且(1)0f =,则不等式()0xf x >的解集为( ）A ．（－1,0)∪（1,+∞）B ．（－1,0）∪（0，1）C ．(－∞，－1)∪（1，+∞)D ．（－∞，－1）∪（0，1）11．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小值为（ ) A ．1B ．2C ．22D ．3 12．关于函数2()ln f x x x=+，下列说法错误的是( ） A 。
安徽省高二数学下学期第三次月考试题 理(含解析)
安徽省2016-2017学年高二下学期第三次月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】 ,选B.2. 函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】 ,所以当时, ; 当时,,因此当时,取最大值,选D.3. 观察下列各式：，，，，，则的末位数字为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】末位数字变化周期为4，而，所以的末位数字为的末位数字1，选A.4. 设离散型随机变量的分布列为：则（）A. B. C. D. b【答案】B【解析】由题意得，选B. 5. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，从而，选C.点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.6. 西北某地根据历年的气象资料显示，春季中一天发生沙尘暴的概率为，连续两天发生沙尘暴的概率为，已知某天发生了沙尘暴，则随后一天发生沙尘暴的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由条件概率得随后一天发生沙尘暴的概率为，选C.7. 某大学的外文系有一个翻译小组，该小组中会法语不会英语的有1人，英语法语都会的有2人，从该小组任取2人，设为选出的人中英语法语都会的人数，若，则该小组的人数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，选B.8. 若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令得；令得，选A.点睛：赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.9. 已知数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，选A.10. 的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，即，从而的系数为,选D.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.11. 用五种不同的颜色给图中六个小长方形区域涂色，要求颜色齐全且有公共边的区域颜色不同，则共有涂色方法（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】D【解析】其中可能共色的区域有AC,AD,AE,AF,BE,BF,CD,CF,DF共9种,故共有涂色方法为 ,选D.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.12. 某竞猜活动有54人参加.设计者给每位参与者1道填空题和3道选择题，答对一道填空题得2分，答对一道选择题得1分，答错得0分，若得分总数大于或等于4分可获得纪念品.假定每位参与者答对每道填空题的概率为，答对每道选择题的概率为，且每位参与者答题互不影响.设参与者中可获得纪念品的人数为，则均值（数学期望）（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得某位参与者得4分的概率为 ,得5分的概率为,所以参与者获得纪念品的概率为 ,因为 ,所以选B.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设是虚数单位，复数的实部与虚部相等，则__________．【答案】【解析】点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为14. 的展开式中常数项为__________．【答案】【解析】常数项为15. 对于任意实数，定义，若，则__________．【答案】【解析】16. 某高三理科班组织摸底考试，六门学科在两天内考完，其中上午考一门，下午考两门，语文安排在第一天的上午，数学和英语必有一门安排在上午，若安排在下午必须安排在第一场，数学和物理不能安排在同一天，则不同的考试安排方案有__________．【答案】【解析】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，用综合法证明：是的充分不必要条件.【答案】见解析【解析】试题分析：先由正弦定理将角的关系转化为边的关系：，去分母整理得.再由余弦定理得，根据基本不等式可得，即得，因此充分性成立，而必要性不成立，只需举一个反例，如3,4,5构成的三角形，3对应的角B满足，但不满足.试题解析：.，而不可逆，故是的充分不必要条件.18. 已知的展开式中第6项为常数项.（Ⅰ）求展开式中的系数；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项.【答案】（1）（2），，.【解析】试题分析：首先写出通项公式并化简得，令，解得.（1）令，求得，由此得到项的系数.（2）依题意有，通过列举的值得出所有的有理项.试题解析：(Ⅰ)由通项公式得，因为第6项为常数项，所以时，有，解得，令，得，故所求系数为 .（Ⅱ）根据通项公式，由题意得 ,令,则，即，因为，所以应为偶数，所以可以取，即可以取2,5,8，所以第3项，第6项，第9项为有理数，它们分别为， , .19. 新一届班委会的7名成员有、、三人是上一届的成员，现对7名成员进行如下分工. （Ⅰ）若正、副班长两职只能由、、三人选两人担任，则有多少种分工方案？（Ⅱ）若、、三人不能再担任上一届各自的职务，则有多少种分工方案？【答案】（1）720（2）【解析】试题分析：（1）先安排正、副班长，再安排其他位置，最后根据分布计算原理求；（2）讨论、、三人不能再担任上一届各自的职务情形：任意一人都不担任原来三个职务；一人担任担任原来三个职务某个职务；两人担任担任原来三个职务某两个职务；三人担任担任原来三个职务；最后根据分类计算原理求.试题解析：（Ⅰ）先确定正、副班长，有种选法，其余全排列有种，共有种分工方案.（Ⅱ）方法一：设、、三人的原职务是、、，当任意一人都不担任职务时有种；当中一人担任中的职务时，有种；当中两人担任中的职务时，有种；当中三人担任中的职务时，有种；故共有种分工方案.方法二：担任职务总数为种，当担任原职务时有种，同理各自担任原职务时也各自有种，而当、、同时担任原职务时各有种；当同时担任原职务时有种，故共有种分工方案.20. 把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们由小大到的顺序排成一个数列.（Ⅰ）求是这个数列的第几项；（Ⅱ）求这个数列的第96项；（Ⅲ）求这个数列的所有项和.【答案】（1）第项.（2）.（3）.【解析】试题分析：（1）可从反面出发：大于的数可分为以下三类：以5开头，以45（2）比第项所表示的五位数大的五位数有开头，以435开头，最后用减即得，个，而以5开头的有（个），所以第项为（3）每位数字之和为，共有（个），所以所有项和为试题解析：（Ⅰ）大于的数可分为以下三类：第一类：以5开头的有（个），第二类：以45开头的有（个），第三类：以435开头的有（个），故不大于的五位数有（个），即是第项.（Ⅱ）数列共有项，项之后还有项。
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安徽省亳州市高二下学期数学3月月考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2016高二下·卢龙期末) 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）
A . 1440种
B . 960种
C . 720种
D . 480种
2. （2分）(2017·海淀模拟) 二项式的展开式的第二项是（）
A . 6x4
B . ﹣6x4
C . 12x4
D . ﹣12x4
3. （2分）(2020·河南模拟) 已知正方形，其内切圆与各边分别切于点E，F，G、H，连接，
，，．现向正方形内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形外，则（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2019高二下·中山期末) 的值等于（）
A . 7351
B . 7355
C . 7513
D . 7315
5. （2分）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）
A . 40种
B . 60种
C . 100种
D . 120种
6. （2分）在二项式的展开式中，各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=72,则展开式中常数项的值为（）
A . 6
B . 9
C . 12
D . 18
7. （2分） (2017高二下·蚌埠期末) 若对于任意实数x，有x4=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3+a4（x﹣2）4 ，则a2的值为（）
A . 4
B . 12
C . 24
D . 48
8. （2分） (2019高三上·赤峰月考) 连续投掷2粒大小相同，质地均匀的骰子3次，则恰有2次点数之和不小于10的概率为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）(2017·昆明模拟) （x2+xy+2y）5的展开式中x6y2的系数为（）
A . 20
B . 40
C . 60
D . 80
10. （2分）(2020·芜湖模拟) 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻.若每一枚钱币正面向上的概率为，则一卦中恰有三个变爻的概率为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2017高三·三元月考) 若的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是（）
A . ﹣270
B . 270
C . ﹣90
D . 90
12. （2分） (2019高二下·大庆期末) 在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2019高二下·荆门期末) 在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于________.
14. （1分） (2019高二下·上海月考) 将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有________种.
15. （1分） (2020高二下·河西期中) 已知离散型随机变量X的分布列为：
X012
P0．5
则常数 ________．
16. （1分） (2018高二上·南通月考) 叙利亚内战接近尾声，中国红十字会相应国际号召，支持叙利亚人民战后重建，为解决现阶段叙利亚人民急需的医疗保障，现拟从北京某知名医院的专职教授的医生6人（其中男医生3人，女医生3人），护士8人（其中男护士2人，女护士6人）中选派医生、护士各三人组成卫生医疗对，要求男医生至少两人，男护士至少一人，则这样的选派方案共有________种．（请用数字作答）
三、解答题 (共6题；共70分)
17. （10分） (2020高二下·武汉期中) 设 .
（1）求；
（2）求及关于的表达式 .
18. （25分）解不等式：＞6．
19. （5分） (2017高二下·桂林期末) 计算：
（1）已知A =6C ，求n的值；
（2）求二项式（1﹣2x）4的展开式中第4项的系数．
20. （10分） (2018高三上·丰台期末) 某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.
根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；
（Ⅲ）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为，求随机变量的分布列和数学期望 .
21. （10分） (2019高三上·玉林月考) 某学校为了选拔学生参加“XX市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试，若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；
（2）该校推荐选拔测试成绩在110以上的学生代表学校参加市知识竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加市知识竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．
22. （10分）(2019·全国Ⅰ卷理) 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。
试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。
对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。
一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。
当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。
为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分：若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分：若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。
甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X。
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效“的概率，则P0=0，P8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2，…，7),其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)。
假设α=0.5，β=0.8。
(i)证明：（i=0,1,2，…，7）为等比数列；
(ii)求P4 ，并根据P4的值解释这种试验方案的合理性。
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共70分)
17-1、
17-2、
18-1、
19-1、
19-2、
20-1、
21-1、
21-2、
22-1、
22-2、
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