2021年高三上学期第三次质量检测数学(文)试题 含答案

2021年高三第三次高考模拟数学（文）试题含答案本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时
间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确
粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字
体工整、笔记清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿
纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷(选择题共60分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知两个集合，则
A. B．C．D．
2.设复数，则
A . B．C．D．
3. 对于实数是成立的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.
A.B．
C．D．
5.如图所示，程序框图的功能是
A．求{}前10项和B．求{}前10项和
C．求{}前11项和D．求{}前11项和
6. 设等比数列的前项和为，则为
A. B.
C. 或
D.
7. 一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体
积为
A.7
3m
3 B.
9
2m
3 C.
9
4
m3 D. 7
2m
3
8. 点在不等式组表示的平面区域内，则取值范围是
A . B．C．D．
9. 点在正方形所在平面外，⊥平面，，则与所成的角是第5题图
第7题图
A．B．C．D．
10.函数的图像大致是
A B C D
11.直线与圆的四个交点把圆分成的四条弧长相等，则
A .或 B. 或C．D．
12.已知函数，对，使得，则的最小值为
A . B．C．D．
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
本卷包括必考题与选考题两部分，第13-21题为必答题，每个考题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13.若是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量方向上的投影为;
14.已知求过原点与相切的直线方程___________;
15.已知是双曲线实轴的两个顶点，是双曲线上的任意一点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率;
16. 已知满足，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得___________.
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (本题满分12分)
在中，已知角的对边分别为，且成等差数列。

（1）若，求的值；
（2）求的取值范围。

18．(本题满分12分)
“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1～8号8扇大
门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流
行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名
字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金。

在一次场外调查中，
发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），
其猜对歌曲名称与否的人数如图所示。

（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）
0.100.050.0100.005
2.706
3.841 6.6357.879
（23名幸运选手，
求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率。

（参考公式：其中）
19. (本题满分12分)
如图，在斜三棱柱中，
侧面底面,侧棱与底面成的角，
，底面是边长为2的正三角形，其重心为点，
是线段上一点，且.
(1)求证：;
(2)求三棱锥的体积。

20. (本题满分12分)
已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与轴交于点C.
（1）求证：成等比数列；
（2）设,试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由。

21. (本题满分12分)
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，若，使得成立，求实数的取值范围；
（3）若方程有两个不相等的实数根，求证：
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22. (本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲.
如图，圆周角的平分线与圆交于点，过点的切线与弦的延长线交于点,交于
点.
（1）求证：;
（2）若四点共圆，且弧与弧相等，
求
23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设点，曲线与曲线交于,求的值.
24. (本题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）若的解集为，求实数的值；
（2）当且时，解关于的不等式
参考答案
1-6 7-12
13. 14. 15. 16.
17.（1）因为成等差数列，所以
因为，即
所以，即----------------------------------------------2分
因为，
所以，即
所以，所以------------------------------6分
（2）由（1）知
C C C C cos 3sin sin 21cos 232=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=--------------------9分 因为，所以
所以的取值范围是-------------------12分
有的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关。

------------- 6分
（2）（2）设事件A 为3名幸运选手中至少有一人在20~30岁之间，由已知得20~30岁之间的人数为2人，30~40岁之间的人数为4人，从6人中取3人的结果有20种，事件A 的结果有16种， ------------- 12分
19.（1）证法（一）：连结并延长，交于点F ，连结
∽,,点F 为BC 中点。

为的重心B B AA GE B B AA GE AB GE FB FE FA FG 111111//,,//3
1面面∴⊄∴==∴-------------------6分 （2）-------------------6分
20．（1）证明：设
联立，则
设则------3分
解得，
由相似比得，所以成等比数列。

（也可以用弦长公式证明）--------6分
（2）由,，得，
，即得：，-------9分
则----------12分
21.（1） ------------ 1分
当时，，函数在上单调递增；
当时，由得；由得，函数在上递增，在上递减 ------------------ 3分
（2）当时，，--------------4分
令得（舍去）
当时， ---------- 6分
① 当时，则显然成立，即
② 当时，则()()()()a a a x g x f g f <-=-=-2
ln max min min βα，即，综上. ----------------- 8分
(3)是方程的两个不等实根，不妨设
()()[]
0ln 2ln 222221121=-------∴x a x a x x a x a x ， 即由（1）可得只要证明即可，
即证，即证 ，设
令，则在上单增，恒成立，得证。

---------------12分
22.（1）与圆相切，
平方,所以-------------5分
（2）弧与弧相等，设，
,
23. （1）-----------4分
（2）将代人直角坐标方程得
-------------------10分
24.（1）因为所以
-------------5分
（2）时等价于
当所以舍去
当成立
当成立
所以，原不等式解集是-----------10分21388 538C 厌p;24151 5E57 幗 `36569 8ED9 軙^ M0[37462 9256 鉖36484 8E84 躄26384 6710 朐。