九年级数学函数及其图象首师大版知识精讲

初三数学函数及其图象首师大版
【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 函数及其图象
［主要内容］ 1. 函数概念
一般地说，设在某个变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一X 围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值和它对应，那么就说y 是x 的函数，其中x 叫自变量。

此定义反映了函数研究的是在同一过程中两个变量之间的一种对应关系，并且这种对应关系是“唯一确定”的对应关系，即如果两个变量之间虽然有一定的相依关系，但这种关系不是“唯一确定”的对应关系，那么这两个变量之间就不存在函数关系。

如果上述对应关系成立，则称y 是x 的函数。

如果上述对应关系不成立，则x 、y 之间不存在函数关系。

（1）变量x 的取值X 围是空集，即x 无值可取。

比如：，空集，不是的函数y x
x y x =
-∈∴12
（2）变量x 的取值X 围不是空集，但对x 的每一个值都没有y 与之对应，或虽然y 有值与
之对应，但对应的y 值不止一个。

如：y 2
= 2x ，当x>0时，y 不唯一；当x<0时，没有y 值与之对应。

∴y 不是x 的函数
2. 自变量取值X 围的求法
对于函数解析式来说，自变量所取的值要使解析式有意义，具体如下： （1）整式中自变量的取值X 围是一切实数；
（2）分式中自变量的取值X 围是使分母不为零的一切实数；
（3）偶次根式中自变量的取值X 围是使被开方数不为负数的一切实数；
（4）若函数式中是由上述几种形式综合而成，则须首先求出式子中各部分的取值X 围，然后再求其公共部分。

3. 函数的常用表示法及其优缺点
函数最常用的表示法有解析法、列表法及图象法。

（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式来表示，这种方法叫解析法。

如：等就叫做函数的解析式。

y x =
+21
它简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，两个变量之间的函数关系，不一定都能用数学式子表示出来，也就是说，不一定都能写出其解析式。

（2）列表法
把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

如平方表等，列表法一目了然，列表中已有的自变量的每一个值，不需计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便，但有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且表中也不容易看出自变量与函数值之间的对应规律。

（3）图象法
图象法形象直观，利用函数图象能表示出函数的变化情况及某些规律、性质，还可用于解方程、不等式等，但是由图象只能观察出近似的数量关系。

因此在解决问题时，常常综合运用这三种表示法。

4. 已知函数解析式判定点是否在函数图象上的方法
点的坐标适合函数解析式点在其图象上。

P x y P x y (,)(,)⇔
点的坐标不适合函数解析式点不在其图象上。

P x y P x y (,)(,)⇔
5. 实际问题中函数解析式的求法
设x 为自变量，y 是x 的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题一样，先列出关于x 、y 的方程，再用含x 的代数式表示y ，最后还要写出自变量x 的取值X 围。

二. 重点、难点：
重点是掌握函数的概念，求自变量x 的取值X 围，函数的图象及函数解析式的求法。

难点是对函数概念的深刻理解、正确认识以及实际问题中解析式的布列和自变量x 的定义域。

【例题分析】
例1. 下列变量间的关系是不是函数关系？ （1）长方形的宽一定，其长与面积； （2）正方形的周长与面积； （3）等腰三角形的底边与面积； （4）矩形的周长和面积。

分析：在判断两个变量间是否存在函数关系，必须严格依据函数定义来检验，关键抓住两个变量间是否存在“一一对应”的关系。

解：（1）长方形的宽一定时，其长取一个确定的值，面积就有唯一确定的值与它对应，所以是函数关系。

（2）正方形的周长有一确定的值，则边长就有唯一确定的值与之对应，从而面积就有唯一确定的值与它对应，所以正方形的周长与面积是函数关系。

（3）当等腰三角形的底边取一确定的值时，其面积并不能确定，所以不是函数关系。

（4）当矩形的周长取一确定的值时，矩形的面积仍可以变化，所以矩形的周长与面积不是函数关系。

通过此例题，我们更进一步提高了对函数定义的认识，从而更准确地把握它。

例2. 判断下列关系式是不是表示y 是x 的函数：
（）；（）；（）；
（）；（）；（）123241252062122
2
y x y x y x y x x x y x y
===--=-+--=-=
解：（1）和（5）是。

因为x 和y 之间是唯一确定的。

（2）中当x>0时，y 不唯一，而当x<0时，没有值与之对应，所以不是函数。

（3）中的x 是空集，即x 不存在，所以不是函数。

（）中且，无解，所以不是函数。

41020-≥-≥x x x （6）与（2）类似，所以也不是函数。

例3. 求下列函数中自变量x 的取值X 围。

()（）；（）；
（）；（）；（）132212213142521
3
3
y x x y x x y x y x x x y x
x
=-+=---=-=+-=- 解：()()()
（）1 y x x x x x x =-+=-+=
---2
1232132112 ∴-≠-≠x x 1020且
∴≠≠x x 12且的一切实数
（），，21202101
21
2
12 -≥-≥⎧⎨⎩≤≥⎧⎨⎪
⎩⎪∴=x x x x x
（3）x 为任意实数。

（），400x x x -≠∴<
（）且，（注意无意义）50000x x x ≥≠∴>︒
例4. 若点（，）在函数的图象上，且当时，。

P 27y ax b x y =+=-=2
35 （1）求a ，b 的值。

()（）如果点，与点，也在图象上，求，的值。

21
27m n m n ⎛⎝ ⎫⎭
⎪ 分析：（1）点在图象上，就是点的横、纵坐标满足函数的解析式。

即将点的横、纵
坐标同时代入中，再由已知条件：当时，得到一个关于、的方程组，解出、的值，同理（）中的两个点的坐标同时代入中，得到一个关于、的方程组，从而解之即可。

y ax b x y a b a b y ax b m n =+=-==+22352 解：（）点（，）在函数上1272
P y ax b =+ ∴4+=<>a b 71 又当时， x y =-=35 ∴+=<>352a b
解<1>、<2>联立方程组得： a b ==-21，
（）由（）知：，2121 a b ==- ∴=-函数为y x 212
点，与点（，）在上1
227212m y x ⎛⎝ ⎫⎭
⎪=- ∴⎛⎝ ⎫⎭⎪-=-=⎧⎨⎪⎩
⎪∴=-=±⎧⎨⎪⎩⎪21212171222
2m n m n ，
例5. 在下列函数中：
()()①，②，③，④，
⑤，⑥，⑦，⑧y x y x y x y x y x y x x
y x y x x
===
==
===⋅2233
3
3
2
回答以下问题：
（1）自变量x 在实数X 围内表示相同函数的有哪些？
（2）自变量x 在非负实数X 围内表示相同函数的有哪些？ （3）自变量x 在正实数X 围内表示相同函数的又有哪些？
分析：在自变量x 的取值X 围内，如果对应的函数的解析式完全相同，则它们就表示相同的函数。

解：（1）∵当x 在实数X 围内①、④、⑤都可以化为y=x ∴它们是相同函数
（2）∵x 在非负实数X 围内，①、②、③、④、⑤、⑦都可化为y=x ∴它们是相同函数
（3）在正实数X 围内，①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧都可以化为y=x ∴它们是相同函数
例6. 已知：如图，矩形ABCD 的周长为12，且AD ＞2AB ，射线AE 交BC 于E ，
tan ∠=
EAB EC x AECD y x 1
2，设的长为自变量，求表示梯形的面积与的函数关系的解析式和它的定义域。

分析：解题的思路是由已知条件在中，设，tan ∠=
==EAB Rt ABE BE k AB 1
2
∆ 2k ，由已知矩形ABCD 周长为12，列出x 和k 的方程，再用含x 的代数式表示k ，最后将k 代入表示梯形AECD 的式子中消去k ，便可找到x 、y 的函数关系式。

解： ABCD B 为矩形，∴∠=︒90
又 tan ∠=
EAB 12
∴=>=在中，设，Rt ABE BE k AB k ∆02 ∵矩形ABCD 周长为12，EC ＝x
()∴+=+=21236AB BC x k ，即：
∴=
-<>k x
631
()()()∴=+⋅=⋅++=+y EC AD AB k x x k k x k 121
222
()即：y k x k =+<>22
将<1>代入<2>再整理得：
y x x =-++598
3
42为所求函数的解析式。

AD AB x k k x k >∴+>>243，， ∴>-∴><>x x x 631，
又，，即： BE k x
>∴>->0063
∴<<>x 62
由<1>、<2>：3<x<6为定义域
例7. 已知：如图，△ABC 中，BC ＝10，高AD ＝6，EFGH 是它的内接矩形，设EF ＝x ，EH ＝y ，
分析：本题的关键是利用相似三角形的相似比等于对应高的比来沟通x 与y 的关系，从而找到y 关于x 的函数式。

解：∵EFGH 是矩形，AD 是BC 边上的高 ∴∆∆AEH ABC ~
∴
=
EH BC AI
AD ∴=
-y x
10610
整理，——解析式∴=-+y x 5
3
10
06<<=EF AD AD ，
∴<<06x ——取值范围
例8. 某电影院共有30排座位，第一排有22个座位，后面每一排比前一排多2个座位，写出每排的座位数y （个）与排数x （排）的函数关系式，并写出函数的定义域。

分析：要想找到y 和x 的函数关系式，需根据已知条件寻找并发现它们之间的特有的变化规律，为此需要列出当x ＝1，2，3……时，分别对应的y 值。

解：()x y ===+-12222211时，
()x y ==+=+-222222221时， ()x y ==+=+-322422231时，
……
()x y x x 时，=+-=+2221220 ∴=+y x y x 与的函数关系式：220
由于电影院的座位共有30排，而且排数是整数还不能为负数，∴自变量x 的定义域应为：1≤x ≤30且x 为整数。

例9. 已知点A （6，0），点P 在第一象限的坐标为（x ，y ），且x ＋y ＝8，设△OPA 的面积为S 。

（1）求S 关于x 的函数表达式，并求自变量x 的取值X 围； （2）当S ＝12时，求点P 的坐标。

分析：（1）首先我们应该依据题意看看符合条件的△OPA 有几个，由于P 点在第一象限，且A （6，0），如图，显然只有一个三角形，符合题意。

之后为求面积S 关于x 的函数表达式，需先确定△OPA 的底和高，OA ＝6，PB ＝y ＞0。

于是较容易求出S 关于x 的解析式。

（2）由已知条件S ＝12及第（1）问求出的S 关于x 的解析式，便可求出x 的值，再将x 的值代
解：（1）如图，过P 作PB ⊥x 轴于B ∵P （x ，y ）在第一象限，∴x>0且y>0 ∴=PB y
x y y x +=∴=-88，
∵A （6，0），∴OA ＝6
()∴=
⋅=⨯⨯==-=-+S OA PB y y x x 121
2
6338324 即关于的函数表达式为：S x S x =-+324 x y x x x >>⎧⎨⎩∴>->⎧⎨⎩<<00080
08，，（取值范围） （）＝时，代入中，得：2123244 S S x x =-+= 将代入中，得：x y x y ==-=484
∴P （4，4）为所求的点P 的坐标
【考点解析】
1. 下列关系式中，不是表示y 是自变量x 的函数的式子是（）
A y x x
B y x
C y x
D y x ....=+=
-==34221
222
解析：由定义知，对于自变量x 在某一X 围内的每一个确定的值，y 都有“唯一确定”的值
与之对应。

而在y 2
=x 中，当x 取一个正值时，y 有两个值与之对应，故y 不是x 的函数。

因此选D 。

点评：本题是2001某某省中考试题。

2. 据调查，苹果园地铁自行车存放处在某星期日的存放量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次元，普通车存车费是每辆一次元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是____________。

分析：本题是实际问题中求函数解析式的问题，对于这类问题，首先要搞清自变量x 和函数y 在实际问题中所代表的意义，然后依题意列出关于x 、y 的方程，再用含x 的代数式表示y ，最后还要写出自变量x 的取值X 围。

解：()y x x =+-020034000.. 变形，整理：
y x =-+011200.——函数关系式 答案为：y x =-+011200.
自变量的取值范围：x x 14000≤≤
点评：本题为2001年石景山中考试题。

3. 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，如图，则y 与x 之间的函数关系式是___________，自变量x 的取值X 围是_____________，当某乘客携带行李100千克，需付行李费___________。

分析：这种数形结合的题，要学会看图，即由图中观察可见图象经过（60，6），（80，10）两个点，于是就可将这两个点同时代入解析式y=ax+b （此为一次函数的解析式）中，通过解方程组，从而将待定系数a 、b 求出，则求出解析式，最后依题意再求出自变量x 的取值X 围。

解：观察可知一次函数的图象经过（60，6），（80，10）两点，可设函数解析式为y=ax+b ，将两点坐标代入有：
6068010156
a b a b a b +=+=⎧
⎨
⎩==-⎧⎨⎪⎩⎪， ∴=
-y x y x 与的函数关系式：1
5
6 令y=0，则x=30
由图象知，自变量x 的取值X 围：x ≥30，求某乘客携带行李100千克，需付行李费，就是求x 取100时的函数值。

即：y x =
-=⨯-=1561
5
100614 ∴需付14元行李费
点评：本题解法并不难，但却给我们提供了一种方法，即由图象获得已知条件，再根据题意求出所要求的问题。

对这种解题方法也希望同学们注意学习并掌握。

【模拟试题】 一. 选择题。

1. 下列关系中，不是函数关系的是（） A. ()y x x =
>0
B. ()y x x =->0
C. ()y x x =±>0
D. ()y x x =
<0
2. 如果每盒圆珠笔有12支，售价18元，那么圆珠笔的总售价y （元）与圆珠笔的支数x （支）之间的函数关系式是（） A. y x =
3
2
B. y x =
2
3
C. y x =12
D. y x =18
3. 已知函数y x x x m
=
--+2442
的自变量x 的取值X 围是全体实数，则m 的取值X 围是
（）
A. m >1
B. m <1
C. m ≥1
D. m ≤1 4. 下列函数中，自变量x 取值X 围是-<≤21x 的函数（）
A. y x x
=++
-121
1 B. y x x =++-121 C. y x x =-++11
2 D. y x x =++-1
21
5. 在函数y x =-1
2
1的图象上的点是（）
A. （-3，-2）
B. （-4，-3）
C. （
321
4
，） D. （51
2
，
） 6. 图象一定经过原点的函数是（）
A. y x =-32
B. y x =
5 C. y x x =-+2
31 D. y x x =+34
7. 函数y x =-36和y x =-+4的图象交于一点，这点的坐标（）
A. --⎛⎝ ⎫⎭⎪5232，
B. 3252，⎛⎝ ⎫⎭
⎪ C. ()-23， D. 5232，⎛
⎝ ⎫⎭
⎪ 8. 若函数y x =-+23，当自变量x 增加1时，其对应的函数值（）
A. 增加1
B. 减少1
C. 增加2
D. 减少2
9. 若y x =-32与y x =+23的函数值同时为正，则x 的取值X 围（）
A. x >-
23 B. x >
2
3 C. x ≥-
32
D. x ≥
23
10. 已知点A （2，2），B （-1，-6），C （0，-4），其中在函数y x =-34的图象上的
点的个数（） A. 0个 B. 1个
C. 2个
D. 3个
二. 填空题。

1. 已知点（2，a ）在函数y x =2
的图象上，则a =________。

2. 若等腰三角形周长为8，腰长为x ，底边长为y ，则写出y 关于x 的解析式___________，自变量x 取值X 围____________。

3. 当x=_______时，函数y x =-32与函数y x
x
=
+1有相同的值。

4. 已知()()x y --=236，若y 是x 的函数，则其解析式________________，自变量x 的取值X 围_____________。

5. 有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的1
3
，若下底长为x ，高为y ，则y 与x 的函数关系式＝____________________。

三. 解答题。

1. 出租车收费按路程计算，4千米内收费10元，超过4千米每增加1千米加收元，求路程≥4千米时，车费y （元）与x （千米）之间的函数关系式，并写出x 的取值X 围。

2. 已知：y x y x 12223=-=-， （1）当y y 123=时，求x 的值； （2）当y y 12>时，求x 的取值X 围。

3. 已知：如图，在矩形ABCD 中，AB BC ==47，，P 是BC 上与B 不重合的动点，过点P 的直线交CD 延长线于R ，交AD 于Q （Q 与D 不重合）且∠=︒RPC 45，设BP x =，
4. 已知：函数f x ax bx x ()=-++5
3
5，其中a 、b 为常数，若f ()57=，求f ()-5的值。

试题答案
一. 选择题。

1. C 2. A 3. A 4. B 5. B 6. D 7. D 8. D
9. B
10. C
二. 填空题。

1. 4
2. y x x =-<<8224，
3. ±
63 4. y x
x x =-≠322，
5. y x
=90
三. 解答题。

1. ()y x x x =+-=+≥1012
412524...，
word
11 / 11 2. 解题点拨：这个问题告诉我们可以用函数的观点认识方程和不等式。

3. y x x =+<<4803，
4. 3。