复变函数与积分变换重点公式归纳

复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲
第⼀章复变函数
⼀、复变数和复变函数
()()()y x iv y x u z f w ,,+== ⼆、复变函数的极限与连续
极限 A z f z z =→)(lim 0
连续 )()(lim 00
z f z f z z =→
第⼆章解析函数
⼀、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。

⼆、柯西——黎曼⽅程掌握利⽤C-R ⽅程-==x y
y
x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。

掌握复变函数的导数：
y
x y x y y x x v iv iu u v iu y f
i iv u x f z f +==-=+-=??=+=??=
1)('
三、初等函数
重点掌握初等函数的计算和复数⽅程的求解。

1、幂函数与根式函数
θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数
n
k z i n n e
r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数
2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x
z
+==
性质：（1）单值.（2）复平⾯上处处解析，z
z
e e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数
ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）
性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:k
k z z 1
iz 2sin --=
性质：（1）单值（2）复平⾯上处处解析（3）周期性（4）⽆界5、反三⾓函数（了解）
反正弦函数 )1(1
sin 2z iz Ln i
z Arc w -+=
= 反余弦函数 )1(1
cos 2-+=
=z z Ln i
z Arc w 性质与对数函数的性质相同。

6、⼀般幂函数：
]
)arg 2([ln i z k z s sLnz
s e
e
z ++==π（k =0、±1…）
四、调和函数与共轭调和函数：
1) 调和函数:0),(2
=?y x u
2) 已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部）
有三种⽅法：a ）全微分法
b ）利⽤C-R ⽅程
c ）不定积分法
第三章解析函数的积分⼀、复变函数的积分
()++-=l
l
l
udy vdx i vdy udx f dz z 存在的条件。

⼆、复变函数积分的计算⽅法 1、沿路径积分：
()?c
dz z f 利⽤参数法积分，关键是写出路径的参数⽅程。

2、闭路积分： a)
()?c
利⽤参数积分⽅法
三、柯西积分定理：
()0=?c
dz z f
推论1：积分与路径⽆关
()dz z f dz z f z z c
=21
)(
推论2：利⽤原函数计算积分
)()()(122
1
z F z F dz z f z z -=?
推论3：⼆连通区域上的柯西定理()()??=2
1
c c dz z f dz z f
推论4：复连通区域上的柯西定理()()?∑?==k
c n
k c
dz z f dz z f 1
四、柯西积分公式： ()ξξξπd z
f i z f c ?-=
21)( ()
()002c f z dz if z z z π=-?
五、⾼阶导数公式：
()ξξξπd z f i n z f
c n n ?+-=
1
)
()(2!)( 解析函数的两个重要性质：
沿路径积分()?c
dz z f 1）利⽤参数法积分 2）利⽤原函数计算积分。

闭路积分 ()?c
dz z f 利⽤留数定理计算积分。

第四章解析函数的级数
⼀、幂级数及收敛半径：
∑∞
=-0
)
(n n
n b z a
1、⼀个收敛半径为R （≠0）的幂级数，在收敛圆的和函数)(z f 是解析函数，在这个收敛圆，这个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：
()()∑∞
=-=1
'n n
n b z na z f R b z <-
()()1
00
1
+∞
=∞
=∑?∑
+=-=n n z
l
n n n
n z
z n a dz b z a dz z f R b z <-
2、收敛半径的计算⽅法
1）⽐值法：1/lim +∞
→=n n n a a R
2）根值法：n n n a R ∞
→=lim /1
)(z f ()()n n n n n
n b z n b f b z a -=-=∑
∑∞
=∞=0
!
)( 1）展开式是唯⼀的。

故将函数在解析点的邻域中展开幂级数⼀定是Taylor 级数。

2 ) 收敛半径是展开点到)(z f 的所有奇点的最短距离。

3）展开式的系数可以微分计算： ()!
n b f a n n = 4）解析函数可以⽤Taylor 级数表⽰。

2、记住⼀些重要的泰勒级数：
1）
∑∞
==-011n n
z z 2）∑∞==0!
n n z n z e 3）()∑∞
=++-=
)
12()!12(1sin n n n
z
n z 4）()∑∞
=-=
2)!
2(1cos n n n z n z
三、罗兰（Laurent ）级数
如果函数)(z f 在圆环城21R b z R <-<解析，则)(z f =
∑∞
-=-x
n n
n
b z
c )
( ()()
dz b z z f i c l n n ?+-=
121π（n =0、±1、±2……）
3、注意展开的区域，在展开点的所有解析区域展开。

四、孤⽴奇点
1、定义：若b 是)(z f 的孤⽴奇点，则)(z f 在δ<-
)(z f =
()()()∑∑∑-∞
=∞
=∞-∞
=-+-=-10
n n n
n n
n n
n n b z c b z c b z c
2、分类：
孤⽴奇点??
==-1]),([Re ,::0]),([Re ,:c
b z f s b z f s ⽆穷多负幂项本性奇点有限负幂项极点⽆负幂项可去奇点把函数在奇点的去⼼邻域中展开为罗兰级数，求解C-1
3、极点留数计算
a) 如果b 是)(z f 的⼀阶极点，则)()(lim ]),([Re z f b z b z f s b
z -=→
b) 如果b 是)(z f 的m 阶极点，则
()()()][lim !11]),([Re 11z f b z dz
d m b z f s m
m m b z --=--→
c) 如b 是()()()
z Q z P z f =
的⼀阶极点，且P(b)≠0，那么
()()()()b Q b P b z Q z P s ',Re =??
d) ]0,1
)
1([Re ]),([Re 2
z
()z zf C z f s z ∞
→--=-=∞lim ]),([Re 1
关系：全平⾯留数之和为零。

()[]()[]0,Re ,Re 1
=∞+∑∑∞
=z f s b z f s k k
本章重点：函数展开成Taylor 级数，并能写出收敛半径。

函数在解析圆环城展开成Laurent 级数。

孤⽴奇点（包含∞=z 点）的判定及其留数的计算。

第五章留数定理的应⽤
⼀、
()θθθπ
d R ?
20
cos ,sin
条件：（1）R(sin θ，cos θ) 为cos θ与sin θ的有理函数（2）R (? ) 在[0，2π] 或者 [-π，π] 上连续。

令θ
i e z =，则i z z 2sin 1--=θ，2cos 1-+=z z θ，iz
dz
d =θ。

()()dz z f iz dz
z z iz z R d R z z ??
===
+-=1
22120
21,21cos ,sin θθθπ
()[]∑==n
k k
z z f s i
1
,Re 2π
1
注意留数是计算单位圆中的奇点。

⼆、
∞
-dx x f
条件：（1） ()()
()
x Q x P x f =
()()x Q x P ,是x 的多项式。

（2） ()0≠x Q
（3）分母阶次⽐分⼦阶次⾄少⾼⼆次则
()()[]∑?
=∞
∞-=n
R k b z f s i dx x f 1
,Re 2π k b 是)(z f 在上半平⾯的奇点。

三、
()dx e x R x i α?
∞
∞
- （0>α）
条件：（1）()()()
x Q x
P x R =，且()x Q ⽐()x P ⾄少⾼⼀阶，（2）()0≠x Q ，（3）0>α
()()[]
∑?
=∞
∞
-==
n
k k z i x
i b e z R s i dx e x R I 1
,Re 2ααπ 0Im >k b
()?
-=I xdx x R Re cos α，()?∞∞
-=I xdx x R Im sin α
重点关注第⼀和第三种类型第七章 Fourier 变换
⼀、傅⽴叶变换
()()dt e x f F t j ωω-∞
∞
-?
=
()()ωωπ
ωd e F x f t j ?
∞
∞
-=
21
⼆、δ函数的傅⽴叶变换()[]()1==-∞
∞
-?dx e
x x x
j ωδδ.
()x d e x j δωπ
ω=?
∞
∞
-21
三、⼀些傅⽴叶变换及逆变换()ωπδω+=
i x H 1
)]([ ?2
1)(]1[1-=-x H i ω
四、性质：?
=a F a ax f ω1
2、 ?
()[]()ωωF e x x f x j 0
0±=± 延迟性质
()[
]
()00ωωω±=F x f e
x
j 位移性质
3、微分性质
()[])('ωωF j x f = ? [])(')(ωF x jxf =- ? ()
()[
]
)()(ωωF j x f
n
n = ? ()[
]
n
n n
d F d x f x j ω
ω)
()(=- 4、积分性质
())(1
0ωω
F j dx x f x x =
由Fourier 变换的微分和积分性质，我们可以利⽤Fourier 变换求解微积分⽅程。

四、卷积和卷积定理
τττd x f f x f x f )()()(*)(2121-=?
∞
∞
-
)()()](*)([2121ωωF F x f x f =
)(*)(21
＊
五、三维Fourier 变换及反演
本章重点：利⽤定义计算Fourier 变换第⼋章 Laplace 变换
⼀、拉普拉斯变换
()[]()()p F dt e x f x f pt ==-∞
⼆、⼏个重要的拉普拉斯变换及逆变换()[]p
t H 1
=
()t H p =
-11
[]
α
α p e t 1
=
± ?t e p αα =±-11
[]2
2cos αα+=p p t ?
t p p ααcos 221
=
+- ?[]22sin α
αα+=p t ?
t p αααsin 221
=?
+- ?1
!
][+=m m p m t ?()1][=t δ
四、拉普拉斯变换的性质
1、?
()[]()p F e t t f pt 0
0-=-
2、?[
]
()0)(0p p F t f e t
p ±=
3、?()[]()()0'f p pF t f -=
()[]()()()0'02f pf p F p t f
u
--=
()
()[]
()n
u n
dp p F d t f t =
4、?()()p F p
dt t f t
1
=
()()∞=
ρ
dp p F dt t t f 五、卷积：()()()()τττd t f f t f t f t -=
2
01
21*
()()[]()()p F p F t f t f 2121*=
六、Laplace 反演
()()()[]
∑?=∞+∞-==n n n pt pt
j j p e p F s dp e p F j t f 1
,Re 21ββπ七、Laplace 逆变换（1）部分分式法（2）卷积定理
（3）Laplace 反演公式（留数定理）（4）利⽤Laplace 变换的性质
⼋、利⽤Laplace 变换求解微积分⽅程
（1）对⽅程取Laplace 变换，得到象函数的代数⽅程（2）解代数⽅程，得到像函数的表达式（3）求像函数的拉普拉斯逆变换
拉⽒逆变换
本章重点：利⽤定义和性质计算Laplace 变换。

计算Laplace 逆变换。

利⽤Laplace 变换求解微积分⽅程。