高中数学集合练习题及答案

高中数学集合练习题及答案
一、单选题
1．设全集{}1,2,3,4U =，{}1,3A =，{}4B =，则()U A B =（ ） A ．{}2,4
B ．{}4
C ．∅
D ．{}1,3,4
2．已知集合{}
1A x y x ==-，{}
2B x x =<，则A B =（ ） A ．R
B ．∅
C ．[]1,2
D ．[)1,2
3．已知集合{}
|21x
A x =>，{}
22B x
y x x ==-∣，则A B =（ ） A ．()0,+∞ B ．(]0,2 C ．(]1,2 D ．[)2,+∞
4．已知全集，集合{|(2)0}A x x x =+<，{|||1}B x x ，则如图所示的阴影部分表示的集
合是（ ）
A ．(2,1)-
B ．[1,0)[1,2)-⋃
C ．(2,1)[0,1]--
D ．[0,1]
5．已知0a >且1a ≠，若集合{}{}
22
,log ||a M x x x N x x x =<=<，且N M ⊆﹐则实数a 的
取值范围是（ ） A ．()1e 0,11,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．()1e
0,1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．()
12e 0,11,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．()
12e 0,1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
6．已知集合{}
2
4A x x =≤，{}1B y y =≥-，则A B =（ ）
A ．∅
B ．[]1,2-
C ．[)2,-+∞
D ．[)1,2- 7．已知集合{1,3}A =，{(3)()0}B x
x x a =--=∣，若A B A ⋃=，则=a （ ） A ．1
B ．1-或1
C ．1或3
D ．3
8．设集合{}02A x x =≤≤，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则()A B C =（ ） A ．{2}
B ．{2，3}
C ．{1，2，3，4}
D ．{0，1，2，3，4}
9．设全集{}U 0|x x =≥，集合2{|}0M x x x =-<，{}|1N x x =≥，则(
)U
M N =（ ）
A ．()0,1
B ．[)0,1
C ．()1,+∞
D ．[)0,∞+
10．设集合{}2,3,4,5A =，{}3,4,6B =，则A B =（ ）．
A ．{}2
B ．{}2,3
C ．{}3,4
D ．{}2,3,4
11．已知集合*1|2cos ,,|24232x n A x x n B x π⎧⎫⎧⎫
==∈=≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
N ，则A B =（ ） A ．{}1,1- B ．{}0,1,2 C ．{}1,1,2-
D ．1,0,1,2
12．已知集合{}21A x x =-<≤，{}2,1,0,1B =--，则A B =（ ） A ．{}2,1,0,1--
B ．{}1,0,1-
C ．{}1,0-
D ．{}2,1,0--
13．已知集合{1,2,3,4,5}A =，()(){}130B x R x x =∈+-≤，则集合A B 等于（ ） A ．{1} B ．{3} C ．{1,2,3} D ．{3,4,5}
14．设集合{|12}A x x =-<<，{|2}B x a x a =-<<，若{|10}A B x x =-<<，则A B ⋃=
（ ） A ．(2,1)- B ．(2,2)- C ．(1,2)-
D ．(0,2)
15．已知集合{}{}|14,|04U x x A x x =-<≤=≤≤，则U
A =（ ）
A ．[-1，0）
B ．[-1，0]
C ．（-1，0）
D ．（-1，0]
二、填空题
16．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是
上底面上其余的八个点，()1,2,,8i i x AB AP i =⋅=则用集合列举法表示i x 组成的集合______．
17．如图，设集合,A B 为全集U 的两个子集，则A B =____________.
18．已知(){}
2
2,1,01M x y x
y y =
+=<≤，(){},,N x y y x b b R ==+∈，如果M
N ≠∅，那
么b 的取值范围是______．
19．某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则只喜欢其中一项运动的人数为________
20．设非空数集M 同时满足条件：①M 中不含元素1,0,1-；②若a M ∈，则11a
M a
+∈-，则下列结论不正确的个数是__________个.
（1）集合M 中至多有2个元素； （2）集合M 中至少有4个元素； （3）集合M 中有且仅有4个元素； （4）集合M 中至多有4个元素.
21．若{}3
1,3,a a ∈-，则实数a 的取值集合为______．
22．已知集合{}
2
430A x x x =-+=，{}30B x mx =-=，且B A ⊆，则实数m 的取值集合
为___________.
23．已知集合{}
()216,x
A x
B a ∞=≤=-，，若A B ⊆则实数a 的取值范围是____.
24．已知集合{}
2
|1A x x ==，{}|10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数=a ______.
25．设集合{}2,3,4U =，对其子集引进“势”的概念；①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大.最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，以此类推.若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列，则排在第6位的子集是_________.
三、解答题
26．已知集合A ={x |2≤|x |≤m }，B ={3|x x -26x +8x >0}，C ={2|x x -2x -15=0}. (1)若A C =A ，求实数m 的最小值; (2)若A B =∅，求实数m 的取值范围.
27．已知集合{}
{}{}2
|60,|15,|1A x x x B x x C x a x a =+-≥=<<=≤<+
(1)求A B
(2)若B C C =，求实数a 的取值范围．
28．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }. (1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围.
29．已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >．
(1)若A B =∅，求a 的取值范围； (2)若A B A =，求a 的取值范围．
30．已知集合(){}
2log 31A x x =->，22112y y B y -⎧⎫⎪⎪
⎛⎫=<⎨⎬ ⎪
⎝⎭⎪⎪⎩⎭
. (1)分别求出集合A 、B ； (2)设全集为R ，求
()R
A B ⋂.
【参考答案】
一、单选题 1．A 【解析】 【分析】
根据补集的概念求出U
A ，再根据并集运算即可求出结果.
【详解】 由题意可知{}2,4U
A =，又{}4
B =，所以(){}2,4U A B =.
故选:A. 2．D 【解析】 【分析】
求函数定义域化简集合A ，解不等式化简集合B ，再利用交集的定义求解作答. 【详解】
由y =1≥x ，则[1,)A =+∞，由2x <解得22x -<<，即(2,2)B =-， 所以[1,2)A B ⋂=. 故选：D 3．B 【解析】
【分析】
先求出集合A ，B ，再根据交集定义即可求出. 【详解】
因为{}|0A x x =>，{}|02B x x =≤≤，所以(]0,2A B =. 故选：B. 4．C 【解析】 【分析】
首先解一元二次不等式求出集合A ，再解绝对值不等式求出集合B ，阴影部分表示的集合为
()A B
A
B ⋃，根据交集、并集、补集的定义计算可得；
【详解】
解：由(2)0x x +<，解得20x -<<，所以}{|(2)0{|20}A x x x x x <-=<<+=， 又{|||1}{|11}B x x x x =-≤≤=≤，所以(2,1]A B =-，[1,0)A B =-， 所以阴影部分表示的集合为()(2,1)[0,1]A B
A B ⋃=--，
故选：C. 5．D 【解析】 【分析】
求出集合M ，再由给定条件，对集合N 分类讨论，构造函数，利用导数探讨函数最小值求解作答. 【详解】
依题意，{}(1)0|{|01}x M x x x x =<<=<-，{}
2
lo |g 0a N x x x =-<，令
2(g )lo a f x x x -=，
当01a <<时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，而2(1)10,()10f f a a =>=-<，则
0(,1)x a ∃∈，使得0()0f x =，
当00x x <<时，()0f x <，当0x x >时，()0f x >，此时{}0|0N x x x M =<<⊆，因此，
01a <<，
当1a >时，若01x <≤，log 0a x ≤，则()0f x >恒成立，N =∅，满足N M ⊆， 于是当1a >时，N M ⊆，当且仅当N =∅，即不等式()0f x ≥对(0,)∀∈+∞x 成立，
2n (l )1x f x x a '-=，由()0f x '=得x =，当0x <<()0f x '<，当
x >
()0f x '>，
则函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，
min 1111ln(2ln )
log ()222ln 2n ln 2l ln a a a a a a
f x f =-=+=，于是得
1ln(2ln )220ln ln a a a +≥，
即1ln(2ln )0a +≥，变形得1
ln 2e
a ≥
，解得12e e a ≥，从而得当12e e a ≥时，()0f x ≥恒成立，N =∅，满足N M ⊆，
所以实数a 的取值范围是01a <<或1
2e e a ≥. 故选：D 【点睛】
思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以利用导数探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题. 6．B 【解析】 【分析】
求出集合A ，利用交集的定义可求得集合A B . 【详解】
因为{}
{}2
422A x x x x =≤=-≤≤，所以[]1,2A B ⋂=-．
故选：B. 7．C 【解析】 【分析】
由A B A ⋃=得到B A ⊆，直接求解即可. 【详解】
因为A B A ⋃=，所以B A ⊆.由题可知，1a =或3. 故选：C. 8．C 【解析】 【分析】
根据集合交、并的定义，直接求出()A B C . 【详解】
因为集合{}02A x x =≤≤，B={1，2，3}，所以{}1,2A B =, 所以()A B C ={1，2，3，4}. 故选：C 9．B 【解析】 【分析】
首先解一元二次不等式求出集合M ，再根据补集、并集的定义计算可得； 【详解】
解：由20x x -<，即()10x x -<，解得01x <<，
所以{}
{}2
10||0M x x x x x -=<=<<，因为{}|1N x x =≥，{}U 0|x x =≥，
所以
{}U
|01N x x =≤<，所以(
){}U
|01M
N x x =≤<；
故选：B 10．C 【解析】 【分析】
依据交集定义即可求得A B 【详解】
{}{}{}2,3,4,53,4,63,4A B ⋂=⋂=
故选：C 11．C 【解析】 【分析】
首先根据余弦函数的性质求出集合A ，再根据指数函数的性质求出集合B ，最后根据交集的定义计算可得； 【详解】 解：因为2cos
3
y x π
=的最小正周期
26
3
T π
π
=
=且1cos
3
2
π
=
， 21cos cos cos 3332ππππ⎛
⎫=-=-=- ⎪⎝
⎭，3cos 13π=-， 41cos cos cos 3332ππππ⎛
⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，51cos cos 2cos 3332ππππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 6cos
13π=，71cos cos 2cos 3332ππππ⎛
⎫=+== ⎪⎝
⎭，，
所以{}*|2cos ,1,1,2,23n A x x n π⎧⎫
==∈=--⎨⎬⎩⎭
N ，
由
122x ≤≤5
12222x -≤≤，所以512
x -≤≤，
所以15|2|122x
B x x x ⎧⎧⎫
=≤≤=-≤≤
⎨⎨⎬⎩⎩⎭
，所以{}1,1,2A B =-； 故选：C 12．B 【解析】 【分析】
由交集定义可直接得到结果. 【详解】
由交集定义可知：{}1,0,1-. 故选：B. 13．C 【解析】
【分析】
先化简集合B ，再利用交集运算求解. 【详解】
解：因为集合{1,2,3,4,5}A =，()(){}{}13013B x R x x x x =∈+-≤=-≤≤， 所以{1,2,3}A B ⋂=， 故选：C ． 14．B 【解析】 【分析】
由{}10A B x x ⋂=-<<，求出0a =，{}20B x x =-<<，由此能求出A B ． 【详解】
集合{}12A x x =-<<，{}2B x a x a =-<<，
{}10A B x x ⋂=-<<，
0a ∴=，{}20B x x ∴=-<<，满足题意
则(2,2)=-A B ． 故选：B ． 15．C 【解析】 【分析】
根据已知集合，应用集合的补运算求U
A 即可.
【详解】
因为{}{}|14,|04U x x A x x =-<≤=≤≤， 所以
{|10.} U
A x x =-<<
故选：C
二、填空题 16．{}1
【解析】 【分析】
由空间向量的加法得：i i AP AB BP =+，根据向量的垂直和数量积得2
2
1AB AB ==，
0i AB BP ⋅=计算即可.
【详解】
由题意得，()2
i i i i x AB AP AB AB BP AB AB BP =⋅=⋅+=+⋅
又
AB ⊥平面286BP P P ，
i AB BP ∴⊥，则0i AB BP ⋅=，
所以2
21i i x AB AB BP AB =+⋅==， 则()1,2,,81i i x AB AP i =⋅==，
故答案为：{}1
17．{}1,2,3,4,5
【解析】 【分析】
由题知{}{}1,2,3,4,3,4,5A B ==，进而求并集即可. 【详解】
解：由题知{}{}1,2,3,4,3,4,5A B ==， 所以{}1,2,3,4,5A B =. 故答案为：{}1,2,3,4,5
18．(1,2⎤-⎦
【解析】 【分析】
数形结合，进行求解. 【详解】
M 是以原点为圆心，1为半径的圆位于x 轴上方部分上的点，N 为直线y x b =+上的点，
如图，当直线过点()1,0时，此时11b =-，当直线与半圆相切时，此时圆心到直线距离111
b d =
=+，解得：22b =±，因为直线与y 轴交点在y 轴正半轴，故22b =，由图可
知：b 的取值范围是(
1,2⎤-⎦.
故答案为：(
2-
19．28
【解析】
【分析】
首先确定喜欢两项运动的人数，进而得到喜欢一项运动的人数. 【详解】
6人这两项运动都不喜欢，∴喜欢一项或两项运动的人数为40634-=人；
∴喜欢两项运动的人数为：2416346+-=人，
∴喜欢篮球的人数为24618-=人；喜欢乒乓球的人数为16610-=人； ∴只喜欢其中一项运动的人数为181028+=人.
故答案为：28. 20．3 【解析】 【分析】 由题意可求出11
,,11,1
a a a a a a -+--+都在M 中，然后计算这些元素是否相等，继而判断M 的元素个数的特点. 【详解】
因为若a M ∈，则
11a
M a +∈-，所以1111111a a M a a a ++
-=-∈+--，1
11111a a M a a
-
-=∈++， 则1
1211211a a a a M a a -+
+==∈--
+； 当1,0,1a ≠-时，4个元素11
,
,11,1
a a a a a a -+--+中，任意两个元素都不相等， 所以集合M 中至少有4个元素．
故可判断出（1）错误，（2）正确，（3）错误，（4）错误， 故答案为：3.
21．{}0,1,3
【解析】 【分析】
根据元素的确定性和互异性可求实数a 的取值. 【详解】
因为{}3
1,3,a a ∈-，故1a =-或3a =或3a a =，
当1a =-时，31a =-，与元素的互异性矛盾，舍； 当3a =时，327a =，符合；
当3a a =时，0a =或1a =±，根据元素的互异性，0,1a =符合， 故a 的取值集合为{}0,1,3. 故答案为：{}0,1,3
22．{}0,1,3
【解析】
【分析】
讨论0m =和0m ≠两种情况，根据包含关系得出实数m 的取值集合.
【详解】
{}
{}24301,3A x x x =-+==∣
当0m =时，B =∅，满足B A ⊆； 当0m ≠时，3B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
，因为B A ⊆，所以31m =或33m =，解得3m =或1m = 即实数m 的取值集合为{}0,1,3.
故答案为：{}0,1,3
23．4a >
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性求出集合A ，再根据A B ⊆列出不等式，即可的解.
【详解】 解：{}
(]216,4x A x ∞=≤=-， 因为A B ⊆，
所以4a >.
故答案为：4a >.
24．0，1或1-
【解析】
【分析】
根据集合间的关系，运用分类讨论的方法求解参数的值即可.
【详解】
根据题意知，{}1,1A =-B A ⊆
B ∴=∅①时，0a =；
B ≠∅② 时，1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
，此时， 11a =或11a =-，解得 1a =或1a =- 故答案为：01，或-1.
25．{}2,4
【解析】
【分析】
根据题意依次按“势”从小到大顺序排列，得到答案.
【详解】
根据题意，将全部的子集按“势”从小到大顺序排列为：
∅，{}2，{}3，{}4，{}2,3，{}2,4，{}3,4，{}2,3,4.
故排在第6的子集为{}2,4.
故答案为：{}2,4
三、解答题
26．(1)5
(2)(],4∞-
【解析】
【分析】
（1）由并集结果得到{3,5}A -⊆，从而得到不等式组，求出m 的取值范围，得到m 的最小值；（2）由交集结果分A =∅与A ≠∅进行分类讨论，求出m 的取值范围.
(1)
由题有{3,5}C =-，若A C A ⋃=，则{3,5}A -⊆，则 可知2325m m ⎧≤-≤⎪⎨≤≤⎪⎩
，解得：5m ≥，所以m 的最小值为5. (2)
()()()(){|240}0,24,B x x x x =-->=⋃+∞，由A B =∅，则
①当A =∅时，2m <；
②当A ≠∅时，2m ≥，有{|22}A x m x x m =-≤≤-≤≤或，从而有24m ≤≤
综上：数m 的取值范围是(],4∞-.
27．(1){}25A B x x ⋂=≤<
(2)14a <≤
【解析】
【分析】
（1）先求出集合A 再计算A B 即可；
（2）由B C C =得C B ⊆，列出不等式组，即可求解.
(1)
{}
{2603A x x x x x =+-≥=≤-或}2x ≥，故{}25A B x x ⋂=≤<； (2)
由B C C =得C B ⊆，又C ≠∅，可得115a a >⎧⎨+≤⎩
，解得14a <≤. 28．(1)(],2-∞-
(2)[)0,∞+
【解析】
【分析】
（1）根据集合包含关系列出不等式组，求出实数m 的取值范围；（2）分B =∅与B ≠∅进行讨论，列出不等关系，求出实数m 的取值范围.
(1)
由题意得：2113
m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得：2m ≤-，所以实数m 的取值范围是(],2-∞-； (2)
当B =∅时，21m m ，解得：13
m ≥； 当B ≠∅时，需要满足2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123
m m m <-⎧⎨≥⎩，解得：103m ≤<或∅，即103m ≤<； 综上：实数m 的取值范围是[)0,∞+.
29．(1)[]1,2-
(2)()
(),45,-∞-+∞ 【解析】
【分析】
（1）根据交集的定义，列出关于a 的不等式组即可求解； （2）由题意，A B ⊆，根据集合的包含关系列出关于a 的不等式组即可求解；
(1) 解：∵{}3,{1A x a x a B x x =≤≤+=<-或5}x >，且A B =∅， ∴135
a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得12a -≤≤， ∴a 的取值范围为[]1,2-；
(2) 解：∵{}3,{1A x a x a B x x =≤≤+=<-或5}x >，且A B A =， ∴A B ⊆，
∴31a +<-或5a >，即4a
或5a >， ∴a 的取值范围是()(),45,-∞-+∞.
30．(1){}5A x x =>，{0B y y =<或}2y >
(2)(){}R 5A B x x ⋂=≤
【解析】
【分析】
（1）利用对数函数和指数函数的单调性可分别求得集合A 、B ； （2）求出A B ，利用补集的定义可求得集合
()R A B ⋂. (1)
解：(){}{}{}2log 31325A x x x x x x =->=->=>，
{}
{222112002y y B y y y y y y -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=->=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭或}2y >. (2)
解：由（1）可得{}5A B x x ⋂=>，因此，(){}R 5A B x x ⋂=≤.。