高中物理4、4 机械能守恒定律1教案粤教版必修2

粤教版高中物理必修2第四章 机械能与能源整章教案
第四节 机械能守恒定律
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重点与剖析
一、不同形式的能量可以相互转化
每一种运动形式都对应一种能量形式，通过力做功，不同形式的能量可以相互转化。

例如，动能和重力势能之间通过重力做功实现相互转化，动能和弹性势能之间通过弹力做功实现相互转化。

动能、重力势能、弹性势能统称为机械能。

通过重力和弹力做功，它们之间可以实现相互转化。

二、机械能守恒定律。

（一）、“守恒”的含义：指一个过程中某个量一直保持不变，而并非只是初、末两状态相同。

（二）、我们可以分三个层次来表述机械能守恒定律
1、只有重力做功的情形。

这时弹性势能不不改变。

一个物体系统，在只有重力做功的情形下，系统的动能和重力势能发生相互转化，而总的机械能保持不变。

如果只有一个物体（其实至少还应包括地球），则可表示为： 222211mv 2
1mgh mv 21mgh +=+ 2、只有弹力做功的情形。

这时重力势能不改变。

一个物体系统，在只有弹力做功的情形下，系统的动能和弹性势能发生相互转化，而总的机械能保持不变。

可表示为：
2N 2K 1N 1K E E E E +=+
其中E k1和E k2表示守恒过程中任意两个状态时的动能，E N1和E N2表示守恒过程中任意两个状态时的弹性势能。

3、同时有重力和弹力做功、但其它力不做功的情形。

一个物体系统，如果只有重力和弹力做功，动能、重力势能、弹性势能之间相互转化，而机械能的总量保持不变。

可表示为：
2G 2N 2K 1G 1N 1K E E E E E E ++=++ 或
恒量=++G N K E E E 或
0E E E G N K =++∆∆∆ 其中 1G 2G G 1N 2N N 1k 2K K E E E E E E E E E -=-=-=∆∆∆、、
重力、弹力以外的力做正功，机械能增加；重力、弹力以外的力做负功，机械能减少。

通常在不涉及时间和加速度的情况下，应用机械能守恒定律解题较为简便。

要注意：机械能守恒定律是针对系统而言的，即便我们平时说某个物体具有重力势能，实际上是指由该物体和地球组成的系统所具有的重力势能。

三、运用步骤：
（1） 明确研究对象及要研究的物理过程，分析其受力和做功情况，判定机械能是否守恒。

(2) 根据物体的位置及速度，明确初末状态的动能和势能。

（3） 利用机械能守恒定律列出方程并求解、讨论等。

机械能守恒定律只涉及初末两态的机械能，而不涉及中间运动细节。

不管是直线运动还是曲线运动，是加速还是减速，都可用机械能守恒定律解决。

有了机械能守恒定律。

我们就可以解决动力学中许多用牛顿运动定律难以求解的复杂问题。

问题与探究
问题1 通过本节的学习，你能不能准确理解“守恒”的含义？如下图示，物体由斜面上滑下，运动到水平面上，如果测得物体在A 、D 点的速度大小都相同，能否说物体在AD 间运动时机械能守恒？
“机械能守恒”是一种有限条件的“守恒”，你能准确
地表述机械能守恒的条件吗？（我们即将要学习的普遍意义
的“能量守恒定律”是无条件的“守恒”。

）
探究思路 “守恒”和“初、末状态相等”是不同的，
前者是“恒定不变”，后者只是两个状态时相等。

显然，在CD 段，重力势能不变、动能越来越少，机械能是在减少的。

问题2 请你思考，如果重力和弹力以外的力做了功，那么机械能变化吗？
探究思路 举出具体的例子说明。

比如，对物体自由下落，但阻力恒定的情形，可以直接计算阻力做的功与机械能改变量的关系，并把子此结果推广，进行猜想假设，再论证说明。

典题与精析
例1 在距离地面20m 高处以15m/s 的初速度水平抛出一小球，不计空气阻力，取g ＝10m/s 2，求小球落地速度的大小。

精析：（1）小球下落过程中，只有重力对小球做功，满足机械能守恒条件，可以用机械能守恒定律求解；
（2）应用机械能守恒定律时，应明确所选取的运动过程，明确初、末状态小球所具有的机械能。

解：方法一：取地面为参考平面，抛出时小球具有的重力势能E p1＝mgh ，动能
落地时小球的速度大小为
方法二：本题也这样理解：小球下落过程中减少的重力势能等于小球动能的增加，即： 202mv 2
1mv 21mgh -= 同样可求出落地速度v 的值，而且，这种方法不需要规定零势能面。

绿色通道：请比较：本题如果用运动的合成与分解知识求解，是简单还是复杂？ 当满足守恒条件，要把守恒定律变成具体的数学方程时，可有两种方法：
方法一：按初状态的机械能等于末状态的机械能列方程。

方法二：按减少的能量与增加的能量相等列方程。

方法一必须规定零势能面，方法二则不需要规定零势能面。

无论哪条思路，都要注意，机械能包含了重力势能、弹性势能、动能三种。

例题2 已知山谷间有一轨道ACB ，AC 高度为h 1，BC 高度为h 2。

若有一小车要从A 滑到B ，则在A 处小车的速度至少多大(图4－16)？
精析：小车从A 到B ，如果不考虑轨道上的阻力，机械
能是守恒的。

很明显，小车在A 处的速度越大，它的机械能就越大。

小车只要能滑到B 处，在B 处速度可以是零。

解:设车在A 处时，其重力势能为零，则 图4-16 C A
B
所以在A 处小车的速度至少是
绿色通道：本题是以初始位置为零势能点，方便计算，如果以C 点为零势能点，则A 点的重力势能就不为零、B 点的重力势能也不同，但是不会影响最后的结果。

例题 图4-17所示是游乐园里的滑车，滑车至少要从多高处
冲下才能使它在圆环内顶端滑过？
精析：游乐园中的滑车从倾斜轨道高处下滑时，速度越来越大，
到了圆环底端速度达到最大，接着就沿圆环冲上去，速度逐渐变小。

为了滑车能安全地从圆环顶端通过，滑车在顶端必须要有一定的速度，滑车做圆周运动，因此，本题要考虑用圆周运动规律和能量规律求解。

解析：在圆环顶点，滑车受到重力、弹力的作用，这两个力的合力为N ＋mg ，此合力作为滑车所需的向心力
为使v c 最小，让N=0，则
滑车在运动过程中，只受重力和轨道对它的弹力作用，摩擦力很小可以忽略不计。

弹力方向处处与滑车运动方向垂直，因此弹力做功为零，这样小球在运动过程中机械能是守恒的，即E A =E C ，则
绿色通道：通过本题，你是否觉得，过山车的神秘一扫而光了？甚至你也可以设计制造过山车？想一想，设计制造过山车时，哪些是关键和重点？
例4 一根长为L 的均匀绳索，一部分放在光滑水平桌面上，长为L 1的另一部分自然垂在桌面下，如图4-18所示，开始时绳索静止，释放后绳索将沿桌面滑下，求绳索刚滑离桌面时的速度大小．
精析：绳索下滑过程中，只有重力做功，整根绳索
的机械能守恒．
解：设整根绳索的质量为m ，把绳索分为两部分：
下垂部分的质量为
，在桌面上部分质量为
，选取桌面为零势能参考面．
释放时绳索的机械能
刚离开桌面时绳索的机械能
由机械能守恒定律得
解得
绿色通道：（1）对绳索、链条之类的物体，由于在考查过程中常发生形变，其重心位置相对物体来说并不是固定不变的．能否正确确定重心的位置，常是解决该类问题的关键，一般情况下常分段考虑各部分的势能，并用各部分势能之和作为系统总的重力势能．至于参考平面，可任意选取，但以系统初、末重力势能便于表示为宜．
（2）此题也可运用等效法求解：绳索要脱离桌面时重力势能的减少，等效于将图中在桌面部分移至下垂部分下端时重力势能的减少．然后由k p E E ∆∆=列方程求解．
例4 如图4-19所示，一根轻弹簧和一根细绳共同拉住一个重2N 的小球，平衡时细绳恰为水平，若此时烧断细绳，并且测出小球运动到悬点正下方时弹簧的长度正好等于未烧断细绳时弹簧的长度，试求：小球运动到悬点正下方时向心力的大小。

精析：由于已知量太少，要引入一些分析问题需要的辅助参数。

解 设弹簧原长为L 0，初始状态平衡时弹簧长为L ，令此时弹簧与竖
直方向的夹角为θ，小球的质量为m ，开始为平衡态，有
k(L-L 0)cos θ=mg ①
=2N
图
4-18
图4-19
设小球运动到最底点时速度为v ，由向心力公式有
L
v m 2
=k(L-L 0)-mg ② 未烧断线时的位置和最底点位置时，弹簧的长度相同，所以初、末位置的弹性势能相同，设为E p （从初位置到末位置的整个过程中，弹性势能变不变？）
从初位置到末位置的整个过程用机械能守恒定律有：
E p +mgL(1-cos θ)=2mv 2
1+ E p ∴ 2mg(1-cos θ)=L
v m 2
④ ①、②代入④得
2(1-cos θ)=
11-θ
cos ∴ 060=θ
∴ k(L-L 0)=θcos mg =2mg ∴ 向心力为：F 向=k(l-l 0)-mg=mg=2（N ）
绿色通道：本题是一道综合题，虽然已知数据只有一个，但是由于条件恰到好处，使得问题巧妙地解决了。

该题表面上涉及弹性势能的计算，实际上计算时并不需要。

自主广场
基础达标
1、图4－19表现了撑杆跳运动的几个阶段：助跑、撑杆起跳、越横杆，试定性说明撑杆跳运动员在这几个阶段中能量的转化情况。

图4-20
2、在下面各个实例中，除A 外都不空气阻力，判断哪些机械能是守恒的，并说明理由。

A.伞兵带着张开的降落伞在空气中匀速下落。

B.抛出的手榴弹做抛物线运动。

C.物体沿着光滑的曲面滑下（如图4-21所示）。

D.拉着物体沿着光滑的斜面匀速上升（如图4-22所示）。

E.在光滑水平面上运动的小球，碰到弹簧上，把弹簧压缩后又被弹簧弹回来。

2、解析：(A)机械能不守恒，因为除重力做功外，降落伞还要克服空气阻力做功。

（B ）机械能守恒，因为除受重力外，没有其它力对手榴弹做功。

（C ）机械能守恒，因为除重力做功外，曲面弹力始终与位移垂直，不做功。

（D ）机械能不守恒，因为除重力外，还有拉力对物体做功。

（E ）机械能守恒，因为除弹簧弹力外，没有其实力对小球做功。

归纳：在判定物体机械能是否守恒时，常从两方面来考虑：对于单个的物体来说，要看除重力外，还有没有其它外力做功。

如果没有，机械能守恒；对于两个或几个物体（包括弹簧在内）组成的系统来说，要看系统外有没有非重力做功，系统内有没有机械能与其它形式的的转化。

如果没有，系统的机械能守恒。

3、一个人站在阳台上，以相同的速率υ0分别把三个球竖直向上抛出、竖直向下抛出、水平抛出，不计空气阻力，则三个球落地时的速率：
A 、上抛球最大。

B 、下抛球最大
C 、平抛球最大
D 、三个球一样大
3、答案：D
4、质量为m 的小球，从桌面上竖直抛出，桌面离地高为h ，小球能到达的离地高度为H ，若以桌面为重力势能的参考平面，不计空气阻力，则小球落地时的机械能为：
A ．mgH B. mgh C. mg (H+h ) D. mg (H-h )
4、答案：D
解析：以小球为研究对象，由于小球在运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒。

小球在最高点的机械能为E 1=mg (H-h ),根据机械能守恒定律可得小球落地时的机械能为： E 2=E 1=mg(H-h )。

5、在地面上将质量为m 的小球以初速度v 0斜上抛出。

当它上升到离地面某一高度时，它的势能恰好等于当时的动能。

则这个高度是：（以地面为零势能面）
图
4-21 图4-22
A 、
B 、
C 、
D 、
5、答案：B 解析：设这一高度为h ，此时的速度大小为v ，以地面为零势能面，则依题意和机械能受恒律有：
2mv 2
1mgh = 220mv 2
1mgh mv 21+= 解以上两式得： g
4v h 20= 6、质量为m 的物体，从静止开始以a=g/2的加速度竖直向下运动h 米，下列说法中正确．．的是 ：
Ａ．物体的动能增加了mgh/2 Ｂ．物体的机械能减少了mgh/2
Ｃ．物体的势能减少了mgh/2 Ｄ．物体的势能减少了mgh 。

6、答案：ABD
解析：因向下的加速度小于重力加速度，可判断物体一定受到阻力作用，有牛顿定律可求出阻力为F=mg/2 。

合力做功为mgh/2 ，故A 正确。

阻力做功为 —mgh/2 ，故B 正确。

重力做功mgh ，故D 正确。

7、如图4-23所示，小球m 分别从A 点和B 点无初速地释放，求经过最低点C 时，轻质细绳的张力之比T A ∶T B （阻力不计）：
7、解：对A-C 过程：2
A mv 2
1mgL = 对B-C 过程：2B 0mv 2
160L L mg =
-)cos ( 对两种情形下的C 点有：L
v m mg T 2
A A =- L
v m mg T 2B B =- 联立以上4式可解得： 23T T B A ::= 综合发展
8、一根细绳绕过光滑的定滑轮，两端分别系住质量为M 和m 的长方形物块，且M>m,开始时用手握住M ，使系统处于如图4-24所示状态。

求（1）当M 由静止释放下落h 高时的速度（h 远小于半绳长，绳与滑轮的质量不计）。

（2）如果M 下降h 刚好触地，那么m
上升图4-23
的总高度是多少？
8、解析：（1）对于M 、 m 构成的系统，只有重力做功，由机械能守恒有：
2)(21V m M mgh Mgh +=
- 解得)/()(2m M gh m M V +-=。

（2）M 触地，m 做竖直上抛运动，机械能守恒：
,22
1mgh mV = m 上升的总高度：h m
M M h h H +=+=2,。

**9、 如图4-25所示，竖直轻质橡皮筋上端固定于O ，下端A 与放在水平面上的质量为m = 0.4 kg 的小物块P 相连，P 对水平地面的压力恰为小物块P 的重力的3/4。

紧靠OA 右侧有一光滑的钉子B ，B 到O 点的距离恰为橡皮筋原长。

对P 施加一恒定拉力F = 20N ，使P 从静止开始向右滑行S = 0.40m 后，到达C 点时的速度为v = 4m/s 。

已知P 与水平地面间的动摩擦因数为μ= 0.2，橡皮筋的形变始终在弹性限度内，且形变过程中劲度系数k 保持不变，橡皮筋的弹力T 和伸长量△x 成正比：T=k △x , g = 10 m/s 2，求小物块P 从A 到C 的过程中橡皮筋增加的弹性势能。

9、解析：设物块在位置A 时橡皮筋的伸长量：BA
∵ k Δl 1+43mg=mg ∴ k Δl 1=4
1mg
如图所示，设D 为物块在AC 之间的任一位置，此时橡皮筋的伸长量：BD = Δl 2 ，由图知：Δl 1 = Δl 2sin α
其中α为橡皮筋与水平方向间的夹角。

在位置D ，物块受到地面的支持力为：
N = mg – k Δl 2sin α= mg – k Δl 1 = 4
3mg = 恒量 所以，物块从A 滑到C 的过程中，所受滑动摩擦力大小、方向保持不变：
f=μN=mg μ43 对物块从A 滑到C 的过程，用动能定律得：
图4-24
图4-25
FS –μNS+W 弹 = 2
1m v 2－0 其中W 弹是该过程中橡皮筋的弹力作的功。

由上式有： W 弹 =
21m v 2－FS +μNS =2
1m v 2－FS+mg 43 = －4.2（J ）
所以，橡皮筋增加的弹性势能为：ΔE P = 4.2J。