2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 学案(含答案)

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学案（含答
案）
22.3向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义学习目标
1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.
3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题知识点一向量数乘的定义实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下1|a||||a|.2aa0的方向当0时，与a方向相同；当0时，与a方向相反.特别地，当0或a0时，0a0或00.知识点二
向量数乘的运算律1aa.2aaa.3abab.知识点三
向量共线定理1向量共线定理向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.2向量的线性运算向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有1a2b1a2b.思考共线向量定理中为什么规定a0答案若将条件a0去掉，即当a0时，显然a与b共线1若b0，则不存在实数，使ba.2若b0，则对任意实数，都有ba.1若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.提示当b0，a0时，实数不唯一2若
ba，则a与b共线提示由向量共线定理可知其正确3若a0，则a0.提示若a0，则a0或0.题型一向量的线性运算例
1136ab9a13b________.考点向量的线性运算及应用题点向量的线
性运算答案9a解析36ab9a13b18a3b9a3b9a.2若3xa2x2a4xab0，则x______.考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案
4b3a解析由已知得3x3a2x4a4x4a4b0，所以x3a4b0，所以x4b3a.反思感悟向量线性运算的基本方法1类比法向量的数乘运算类似
于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号.移项.合并同
类项.提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”.“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数2方程法向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运
用运算律，简化运算跟踪训练1计算ab3ab8a.考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算解ab3ab8aa3ab3b8a2a4b8a10a4b.题型二
向量共线的判定及应用命题角度1判定向量共线或三点共线
例2已知非零向量e1，e2不共线1若a12e113e2，b3e12e2，判断向量a，b是否共线考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定向量共线解b6a，a与b共线2若ABe1e2，BC2e18e2，CD3e1e2，求证A，B，D三点共线考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定三点共线证明ABe1e2，
BDBCCD2e18e23e13e25e1e25AB，AB，BD共线，且有公共点B，A，
B，D三点共线反思感悟1向量共线的判断证明是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线2利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用baa0，还要说明向量a，b有公共点跟踪训练2已知非零向量e1，e2不共线，如果ABe12e2，BC5e16e2，CD7e12e2，则共线的三个点是________考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定三点共线答案A，B，D解析ABe12e2，
BDBCCD5e16e27e12e22e12e22AB，AB，BD共线，且有公共点B，A，B，D三点共线命题角度2利用向量共线求参数值例3已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定k的值考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数解ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2e1ke2，则ke1k1e2，由于e1与e2不共线，只能有k0，k10，k
1.反思感悟利用向量共线定理，即b与aa0共线ba，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值跟踪训练3设两个不共线的向量e1，e2，若a2e13e2，b2e13e2，c2e19e2，问是否存在实数，，使dab与c共线考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数解d2e13e22e13e222e133e2，要使d 与c共线，则存在实数k，使得dkc，即22e133e22ke19ke
2.因为e1与e2不共线，所以222k，339k，得
2.故存在实数和，使得d与c共线，此时
2.题型三
用已知向量表示其他向量例4在ABC中，若点D满足BD2DC，则AD等于
A.13AC23AB
B.53AB23AC
C.23AC13AB
D.23AC13AB考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量答案D解析示意图如图所示，由题意可得
ADABBDAB23BCAB23ACAB13AB23AC.跟踪训练4如图所示，四边形OADB是以向量OAa，OBb为邻边的平行四边形又BM13BC，
CN13CD，试用a，b表示OM，ON，MN.考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量解因为BM13BC16BA16OAOB16ab，所以OMOBBMb16a16b16a56b.因为CN13CD16OD，所以
ONOCCN12OD16OD23OD23OAOB23abMNONOM23ab16a56b12a16b.向量的综合应用典例如图，设O是ABC内一点，且满足OA2OB3OC0，则ABC与AOC的面积之比为________答案3解析如图所示，分别取BC，AC边的中点D，E，则OBOC2OD，OAOC2OE，由2可得
OA2OB3OC22ODOE又因为OA2OB3OC0，所以2ODOE0，即OE2OD，所以OD，OE共线，且|OE|2|OD|.所以
SAOC2SCOE223SCDE22314SABC13SABC，所以SABCSAOC
3.素养评析本题主要考查向量共线条件的应用，解题时需充分利用好几何图形，借助几何直观使问题得解，这正体现了数学
中直观想象的核心素养.1下列各式计算正确的有176a42a；
27ab8b7a15b；3a2ba2b2a；442ab8a4b.A1个B2个C3个D4个考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案C解析134正确，2错，7ab8b7a7b8b7ab.2在ABC中，M是BC的中点，则ABAC 等于
A.12AM
B.AMC2AM
D.MA考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案C 解析如图，作出平行四边形ABEC，因为M是BC的中点，所以M也是AE的中点，由题意知，ABACAE2AM，故选
C.3设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2kR与向量ne22e1共线，则Ak0Bk1Ck2Dk12考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案D解析当k12时，me112e2，n2e1e
2.n2m，此时m，n共线4已知P，A，B，C是平面内四点，且PAPBPCAC，则下列向量一定共线的是
A.PC与PB
B.PA与PB
C.PA与PC
D.PC与AB考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定向量共线答案B解析因为PAPBPCAC，所以PAPBPCCA0，即
2PAPB，所以PA与PB共线
5.如图所示，已知AP43AB，用OA，OB表示OP.考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量解
OPOAAPOA43ABOA43OBOA13OA43OB.1实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如a，a是没有意义的2a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的||倍向量a|a|表示与向量a同向的单位向量3向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题。