山东省曲阜师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)

;当 ,代入
令
得
,由
,可得消毒有效.
试题解析：(1)当
得到 , 当 时,把 代入得到
,
= (2) 当 令 时 得 时的持续时间为 = , 得
所以空气中每立方米的含药量不低于 所以此次消毒有效.
【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型 也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心 读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造 分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者 (最小者). 21.已知函数 = 在 上不单调
考点：函数与方程． 8.已知函数 = A. 【答案】B 【解析】 是定义在 B. C. 上的减函数且满足 D. ,则 的取值范围是
因为函数 故选 B.
是定义在
上的减函数且满足
,所以
,求解可得
,
【方法点晴】本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽 象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽 的地方，不能掉以轻心） ；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数） ；（3）化 成 后再利用单调性和定义域列不等式组.
2017-2018 学年山东省曲阜师范大学附属中学 高一上学期期中考试数学
一、选择题：共 12 题
1.已知全集 = A. 【答案】A 【解析】 因为全集 = = = ,所以 = .故选 A. B. = C. = ,则 D. =
2.已知函数 A. 【答案】C 【解析】 B.
，在下列区间中，包含 C. D.
【答案】 【解析】
由
可得 =
,则
. 故答案为 .
16.已知幂函数
= 过点
,则满足
的 的取值范围是________.
【答案】 【解析】 ,所以 或 ,则 ,所以 = 上是减函数,所以不等式 或 ,故答案为 .
因为幂函数
过点 等价于
在
求解可得
三、解答题：共 6 题
17.已知 = (1)若 (2)若 【答案】(1) 【解析】 【详解】试题分析：（1)当 ；(2)分 围. 试题解析：(1)当 = = 时, = . 时, 根据交集与并集的定义可求得 ,求 的取值范围. =
;求出 = 得到 =
最小值,即可得出结论.
在 上任取
= 因为 ,所以 , 是 上的增函数 (3)因为 = 因为 所以 为增函数,
=
=
, 只需 , 综上所述, 的取值范围是 【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性 的一般步骤是：（1）在已知区间上任取 （3）判断 区间上是减函数. 的符号， ；（2）作差 可得 ； 可得 在已知 =
是偶函数,则下列结论正确的是
是偶函数,所以函数 = ,又因为函数
的图象关于直线 x=0 对称,所以函数 在 上是增函数,所以
的图象关于直线 . 故选 D.
【方法点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是， 一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区 间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性求解. 12.设 f（x）与 g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数 y=f（x）—g（x）在 x∈[a，b]上有两 个不同的零点，则称 f（x）和 g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若 f（x） =x2—3x+4 与 g（x）=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，则 m 的取值范围为 A. 【答案】A 【解析】 本题的意思是 y=f(x)与 y=g(x)的图像在[0,3]上有两个不同的交点，求 m 的取值范围。作出函数 f(x)在[0，3] B. [—1，0] C. D.
(2)
两种情况讨论，分别列不等式组求解，然后求并集即可求得 的取值范
(2)
= 时,则 或
得 综上所述, 的取值范围是 18.(1) (2) 【答案】(1)3;(2) 【解析】 .
试题分析：(1)直接利用对数的运算法则化简求解即可得结果，化简过程注意避免出现计算错误；(2) 接利用指数的运算法则化简求解即可得结果，化简过程注意根式与分数次幂是否等价. 试题解析：(1)原式= = = =
上的图像， 由 ,故选 A. 得
消y得
,
,直线 g(x)=2x+m 过点（3,4）时，也有两个交点,此时 m=-2.数形结合可知
二、填空题：共 4 题
13.若函数 【答案】 【解析】 函数 在 上的最大值和最小值是 与 这两个数,所以 ，解得 故答案为 . = 在 上的最大值和最小值之和为 ,则 ____________.
(1)求 的取值范围; (2)若 在 上的最大值是最小值的 4 倍,求 的值.
【答案】(1) 【解析】
(2)
或
试题分析：(1)根据二次函数的性质，由 时, 在 上单调递减,在
上不单调可得
;(2)分两种情况讨论，当 ,可求得 的值;当 时,由
上单调递增,由
,可求得 的值.
试题解析：(1) 因为
对称轴为 上不单调,
14.函数
=
的定义域是__________________.
【答案】 【解析】
要使函数
有意义，则
，得
,则
,则函数的定义域为
. 故
答案为
.
【方法点晴】本题主要考查函数的定义域、对数函数的性质，属于中档题. 定义域的三种类型及求法：(1) 已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有 意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数 求出. 15.若 = 则 =___________. 的定义域为 ，则函数 的定义域由不等式
(1)求 关于 的函数解析式; (2)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于 么此次消毒是否有效?为什么? 且持续时间不低于 时才能有效杀灭空气中的病菌,那
【答案】(1) = 【解析】 试题分析：.(1)由题意,当
(2) 此次消毒有效
时,设
,代入
;当
时,把
代入得到
,可得函数解析式;
(2)
时
得 时,设
在已知区间上是增函数，
6.已知函数
A. 是奇函数，且在 R 上是增函数 C. 是奇函数，且在 R 上是减函数 【答案】A 【解析】
分析：讨论函数 详解：函数 奇函数， 又 故选 A.
的性质，可得答案. 的定义域为 ，且 即函数 是
在 都是单调递增函数，故函数
在 R 上是增函数。
点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题. 7.已知方程 A. 【答案】D 【解析】 试题分析：由下图可得 ，故选 D． B. 有两个不等实根, 则实数 的取值范围是（ ） C. D.
零点的区间是（ ）
因为
，
，所以由根的存在性定理可知：选 C.
考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
3.下列函数中,满足 A. 【答案】C 【解析】 由函数满足条件 4.已知 = A. 【答案】C 【解析】 = B. = B.
= =
且是单调递减函数的是 C. D. =
可排除选项 = ,则 C.
；又因为函数
=
是增函数,所以排除选项
，故选 C.
的大小关系是 D.
由指数函数与对数函数持性质可得
,所以，
. 故选 C.
5. A.
= B.
若 C.
= D.
【答案】A 【解析】 因为 = ,所以方程 ，则 B. 是偶函数，且在 R 上是增函数 D. 是偶函数，且在 R 上是减函数 等价于 或 ,求解可得 . 故选 A.
,
所以
,得
所以 的范围是
(2)①当
时,有
此时 = 得到
在 = =
上单调递减,在 = =
上单调递增, ,
解得 = ②当 此时 = 得到 在 =
= 时,有 上单调递减,在 = = 上单调递增,
= 综上所述,得到 22.已知函数 (1)求 的值; (2)判断 =
= 或 且 为自然对数的底数 为奇函数
的单调性并证明. 对一切 都成立,若存在,求出 若不存在,请说明理由.
=
, 当 时, =
可取, 当 时, ,
, . 综上所述, 的取值范围是 20.为了预防甲型 .
流感,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时室内每立方米空气中 燃毕,此时室内空
的含药量 与时间 成正比例,药物燃烧完后满足 ,如图所示,现测得药物 8 气中每立方米的含药量为 6 ,请按题中所供给的信息,解答下列各题.
直
(2)原式= 19.已知 (1)求
= 是定义在 上的奇函数,且当 的解析式; 时, =
(2)解不等式
【答案】(1) 【解析】
=
(2)
.
试题分析：(1)由奇函数可得,当 解析式;(2)当 论. 试题解析：(1)当 , 当 , ;当
时 时,
,
= ;当 时,
,
当
时
,则可得函数的
,分别求解后求并集可得结
所等式
【答案】(1) = 【解析】
(2)
是增函数,见解析(3)
试题分析：(1)由函数函数 ,作差、化简并判断
=
且 为奇函数，由
得到
;(2)在 上任取 =
,且 ,由单
的符号,可得结论;(3)原不等式等价于
调性可得 试题解析：(1) (2) 是增函数, ,且
,即 的定义域为 所以
9.已知 A. 7 B. C.
,则 D.
=
【答案】B 【解析】 因为 ,所以
. 故选 B. 10.已知函数 A. C. 【答案】C 【解析】 因为函数 满足 ,所以 <,则函数 是减函数,所 = 满足 则 的解集是
B. D.
以
可化为 在
,求解可得 上是增函数,函数 = B. D.
或
,故选 C.
11.已知函数 = A. C. 【答案】D 【解析】 因为函数 = 对称,所以