2022届高三上学期第一次月考数学(河北省大名县第一中学)

2022届高三上学期第一次月考数学（河北省
大名县第一中学）
选择题
已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（）
A.-3
B.-1
C.1
D.3
【答案】C
【解析】
试题分析：，分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，故.
解答题
已知抛物线过点（2,1）且关于轴对称.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知圆过定点，圆心在抛物线上运动，且圆与轴交于两点，设，求的最大值.
【答案】（1）；（2）当时最大值为.
【解析】试题分析：（1）设出抛物线的标准形式，代入已知点坐标即可求解；
（2）（2）设M（a，b），则a2=4b．半径R=，可得M的方程为（x-a）2+（y-b）2=a2+（b-2）2，令y=0，解得x，可得A，B．利用两点之间的距离公式可得：l1，l2．代入利用基本不等式的性质即可得出．
试题解析：
（1）设抛物线方程为：
代入点（2,1），解得p=2,所以有：；
（2）设圆M的圆心坐标为，则①
圆M的半径为
圆M的方程为
令，则
整理得②
由①②解得，
不妨设，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
当时，，
综上可知，当时，所求最大值为.
填空题
设，则函数在上零点的个数为___________个.
【答案】1
【解析】，所以在上单调递增，
因为所以，.
令.
.
所以在单调递增，.
有零点存在定理可知，函数在上有1个零点.
答案为：1.
选择题
设函数，若有且仅有一个正实数，使得对任意的正数都成立，则等于（）
A. 5
B.
C. 3
D.
【答案】D
【解析】令.
令g′(t)=0,则,由此得，
可得即为函数的最大值，
若有且仅有一个正实数,使得()⩾ ()对任意的正数t都成立，
则为函数的最大值,且7是函数g(t)的唯一最大值
∴=7
又∵为正实数，
故=.
故选D.
选择题
若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：选项A中，令具有性质，故选A.
选择题
若实数，满足，则关于的函数图象大致形状是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】原方程可化为，即，由于时，，故排除，当时，排除选项，故选.
填空题
曲线在点处切线的斜率为_________________.
【答案】2
【解析】.
当时，斜率为.
答案为：2.
选择题
已知是定义在R上的以3为周期的偶函数，若，，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为是定义在R上的以3为周期的偶函数，所以.
由，.
所以,解得：.
故选A.
选择题
下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵(x∈R)与(x⩾0)两个函数的定义域不一致，
∴A中两个函数不表示同一函数；
∵两个函数的对应法则不一致，
∴B中两个函数不表示同一函数；
∵，且两个函数的定义域均为R
∴C中两个函数表示同一函数；
f(x)=0，(x=1)两个函数的定义域不一致，
∴D中两个函数不表示同一函数；
故选C.
解答题
（选修4-4 坐标系与参数方程）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C的参数方程为(是参数)，直线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线的距离的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式把直
线l的极坐标方程化为直角坐标方程．利用同角三角函数的基本关系消去α，把曲线C的参数方程化为直角坐标方程．
（2）设点P(2cosα, sinα)，求得点P到直线l的距离，，由此求得d的最大值．
试题解析：(1)∵直线l的极坐标方程为,即
即.
曲线C的参数方程为(α是参数)，利用同角三角函数的基本关系消去α，
可得.
(2)设点P(2cosα, sinα)为曲线C上任意一点，
则点P到直线l的距离，
故当cos(α+β)=−1时,d取得最大值为.
解答题
正三棱柱的底边长为2，分别为的中点.
（1）已知为线段上的点，且，求证：面；
（2）若二面角的余弦值为，求的值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：（I）取B1A1中点为N，连结BN，推导出BN ∥A1F，从而EM∥BN，进而EM∥A1F，由此能证明EM∥面A1FC．（II）以F为坐标原点建立空间直角坐标系，设AA1=a，利用向
量法能求出结果．
试题解析：
证明：(1)取中点为N,连结BN
则BN∥F,又=4M，
则EM∥BN,所以EM∥F，
因为EM⊄面FC, F⊂面FC，
故EM∥面FC.
(2)如图,以F为坐标原点建立空间直角坐标系,设A=a.
则F(0,0,0), (−1,0,a),E(1,0,a2),C(0, ,0)，
(−1, ,), (0, ,0), (2,0,− ), (1, ,−a)，
设平面CF法向量为，
设平面EF法向量为
则,取z=1,得=(a,0,1)，
,取x=1,得=(a, a,4)；
设二面角E−C−F的平面角为θ，
∵二面角E−C−F所成角的余弦值为，
所以
解得
所以.
选择题
已知函数（R）满足，若函数与图像的交点为，则（）
A. 0
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】函数（R）满足，即.
所以的图象关于(0,1)中心对称.
函数的图象也关于(0,1)中心对称，
所以有：；，，……
即.
所以.
则则.
故选B.
选择题
已知命题对任意，总有；“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为命题p对任意x∈R,总有2x>0，根据指数函数的性质判断是真命题；
命题q:“x>1”不能推出“x>2”；但是“x>2”能推出“x>1”所以：“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q是假命题；
所以p∧￢q为真命题；
本题选择D选项.
填空题
若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】试题分析：由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围.
解答题
（选修4-5 不等式选讲）已知函数.
(I)当时，求不等式的解集；
(II)若的解集包含，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）将a=−3代入，分类讨论解不等式即可。

（Ⅱ）根据x的范围去掉绝对值，得|x+a|+2−x≤4−x在[1,2]上恒成立，即−2−x≤a≤2−x在[1,2]上恒成立，解出a的范围即可。

试题解析：
（Ⅰ）当a=−3时，1或x≥4。

解集为：.
（Ⅱ）原命题⇔f(x)≤|x−4|在[1,2]上恒成立⇔|x+a|+2−x≤4−x在[1,2]上恒成立⇔−2−x≤a≤2−x在[1,2]上恒成立⇔−3≤a≤0。

解答题
为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80位性别不同的2016年师范类毕业大学生，得到具体数据如下表：
与教育有关
与教育无关
合计
男
30
10
40
女
35
5
40
合计
65
15
（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”？
参考公式：（）．
附表：
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.023
6.635
（2）求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；
（3）以（2）中的频率作为概率.该校近几年毕业的2000名师范类大学生中随机选取4名，记这4名毕业生从事与教育有关的人数为，求的数学期望.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）计算观测值，即可得出结论；
（2）由图表中的数据计算这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；
（3）由题意知X服从B(4, ), 计算均值E（X）即可．
试题解析：(1)根据列联表计算观测值
，
因为K2；
(3)由题意知X服从B(4, )，
则E(X)=np=4×.
选择题
命题“R，N,使得”的否定形式是（）
A. R，N,使得
B. R，N,使得
C. R，N,使得
D. R，N,使得
【答案】D
【解析】因为全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题，
所以命题“R，N,使得”的否定形式是R，N,使得.
故选D.
选择题
设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，.
所以
故选A.
填空题
直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为.
【答案】
【解析】
试题分析：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为，曲线与直线在第一象限所围成饿图形的面积是，即围成的封闭图形的
面积为．
解答题
已知函数.
（1）当时，若在区间上的最小值为，求的取值范围；
（2）若对任意，，且恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由题意当a>0时，求导，令f′（x）=0，根据函数的单调性与导数的关系，分类讨论，求得f（x）的最小值，求得a的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）+2x，求导，令当a=0时，，g（x）在（0，+∞）上单调递增，当a≠0时，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．
试题解析：
（1）函数的定义域是.当时，
，
令，得，
所以或.
当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值是；
当时，在上的最小值是，不合题意；
当时，在上单调递减，在上的最小值是，
不合题意，
综上：.
（2）设，即，
只要在上单调递增即可，而，
当时，，此时在上单调递增；
当时，只需在上恒成立，因为，只要，
则需要，对于函数，过定点，对称轴，只需
即，综上，.
填空题
设函数的最大值为，最小值为，则=___________ .
【答案】2
【解析】，令，则为奇函数，
所以的最大值和最小值和为0，又.
有，即.
答案为：2.
选择题
已知函数在处取得极值，若，则的最小值是（）A. B. C. 10 D. 15
【解析】∵
函数在x=2处取得极值
∴−12+4a=0
解得a=3
∴
∴n∈[−1,1]时, 当n=−1时,f′(n)最小，最小为−9当m∈[−1,1]时,
令f′(m)=0得m=0，m=2
所以m=0时,f(m)最小为−4
故f(m)+f′(n)的最小值为−9+(−4)=−13
故选A.
选择题
函数的单调递增区间是（）
A. B. C. 和 D.
【答案】D
【解析】⇒ .
令f′(x)>0⇒−3”的单调递增函数是（）A. B. C. D.
【解析】A. , , ,不满足f(x+y)=f(x)f(y)，故A错；
B. , , ,不满足，故B错；
C. 在R上是单调减函数，故C错。

D. , ,满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(x)在R上是单调增函数，故D正确；故选D.
选择题
已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数的定义域为，则函数中.
解得.
故函数的定义域为
故选B.
选择题
已知，，，则()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：因为所以选C．。