高中数学 第三章 概率 2.2 建立概率模型教学案 北师大版必修3-北师大版高一必修3数学教学案

2．2 建立概率模型
“放回〞与“不放回〞
问题
[典例] 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．
(1)假设每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；
(2)假设每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．
[解] (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰好有一件次品〞这一事件，那么A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．
事件A 由4个基本事件组成．因而P (A )＝46＝23
. (2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品〞这一事件，那么B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．
事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49
.
抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对基本事件的总数是有影响的．另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取．
[活学活用]
口袋中有6个除颜色外其余都相同的球，其中4个白球，2个红球，从袋中一次任意取出2球，求以下事件的概率：
(1)事件A ＝“取出的2球都是白球〞；
(2)事件B ＝“取出的2球一个是白球，另一个是红球〞．
解：设4个白球的编号分别为1,2,3,4,2个红球的编号分别为5,6.
从口袋中的6个球中任取2个球的所有基本事件是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个基本事件．
(1)从口袋中的6个球中任取2个，所取的2球全是白球包含的基本事件共6个，分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)． 所以取出的2个球全是白球的概率P (A )＝615＝25
. (2)从口袋中的6个球中任取2个，其中一个是红球，而另一个是白球包含的基本事件共8个，分别是(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)．所以取出的
2个球一个是白球，另一个是红球的概率P (B )＝815
. 建立概率模型解决问题
[典例] 甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求以下事件的概率：
(1)甲在边上；
(2)甲和乙都在边上；
(3)甲和乙都不在边上．
[解] 利用树状图来列举基本事件，如下图．
由树状图可看出共有24个基本事件．
(1)甲在边上有12种情形：
(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，
(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，
(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，(丙，乙，丁，甲)，
(丙，丁，乙，甲)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，乙，甲)．
故甲在边上的概率为P ＝1224＝12
. (2)甲和乙都在边上有4种情形：
(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，丙，乙)，
(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，
故甲和乙都在边上的概率为P＝4
24＝
1 6
.
(3)甲和乙都不在边上有4种情形：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，乙，甲，丙)，
故甲和乙都不在边上的概率为P＝4
24
＝
1
6
.
对于一些比较复杂的古典概型问题，一般可以通过分类，有序地把事件包含的情况分别罗列出来，从而清晰地找出满足条件的情况．在列举时一定要注意合理分类，才能做到不重不漏，结果明了，而树状图那么是解决此类问题的较好方法．
[活学活用]
有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；
(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．
解：将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如下图的图形表示出来．
a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位
a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位
由图可知，所有的等可能基本事件共有24个．
(1)设事件A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上〞，那么事件A 只包含1个基本事件，
所以P (A )＝124
. (2)设事件B 为“这四人恰好都没坐自己的席位上〞，那么事件B 包含9个基本事件，
所以P (B )＝924＝38
. (3)设事件C 为“这四人恰有一位坐在自己的席位上〞，那么事件C 包含8个基本事件，
所以P (C )＝824＝13
. 古典概型的综合应用
[典例] A B C 从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A B C 数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自(2)假设在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
[解] (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150
，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150
＝2. 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2，那么抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区〞，那么事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}共4个．所以P (D )＝415
.
即这2件商品来自相同地区的概率为415
.
(1)概率问题常常与统计问题结合在一起考查，在此类问题中，概率与频率的区别并不是十分明显，通常直接用题目中的频率代替概率进行计算． (2)涉及方程或者函数的有关概率问题，考查的是如何计算要求的事件A 所包含的基本事件的个数，通常需要将函数与方程的知识应用其中．解决此类问题，只需要利用函数、方程知识找出满足条件的参数的X 围，从而确定基本事件的个数，最后利用古典概型的概率计算公式进行计算．
[活学活用]
把一枚骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的
点数为b ，试就方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2解的情况，解答以下各题：
(1)求方程组只有一个解的概率；
(2)求方程组只有正数解的概率．
解：假设第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b 记为有序数值组(a ，b )，那么所有可能出现的结果有：
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)，
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)，
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)，
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)，
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)，
共36种．
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b x ＝6－2b ，2a －b y ＝2a －3，
(1)假设方程组只有一个解，那么b ≠2a ，满足b ＝2a 的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，故适合b ≠2a 的有36－3＝33个．
其概率为：P 1＝3336＝1112
. (2)方程组只有正数解，需满足b －2a ≠0且⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6－2b 2a －b ＞0，
y ＝2a －32a －b ＞0.
分两种情况：当2a ＞b 时，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞32
，b ＜3，
当2a ＜b 时，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜32
，b ＞3.
易得包含的基本事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，
(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，因此所求的概率P 2＝1336
.
[层级一 学业水平达标] 1．集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，那么这两数之和等于4的概率是( ) A.23B.12
C.13
D.16
解析：选C 从A ，B 中各任意取一个数记为(x ，y )，那么有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个基本事件．而这两数之和为4的有(2,2)，(3,1)，共2个基本事件．又
从A ，B 中各任意取一个数的结果是等可能的，故所求的概率为26＝13
. 2．某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课，那么体育课不排在第一节的概率为( )
A.14
B.13
C.12
D.34
解析：选D 我们不考虑语文、数学、历史排在第几节，只考虑体育的排法，体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节，共4个基本事件，因此体育课不排在第一节的
概率为34
. 3．一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球，现有放回地摸球，规定每次只能摸一个球，假设第一次摸到的球的编号为x ，第二次摸到的球的编号为y ，构成数对(x ，y )，
那么所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )
A.316
B.18
C.
118D.16 解析：选A 由题意可知两次摸球得到的所有数对(x ，y )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
共16个，其中满足xy ＝4的数对有(1,4)，(2,2)，(4,1)，共3个．故所求事件的概率为316
. 4．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，那么他们选择相同颜色运动服的概率为________．
解析：所有的基本事件有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，红)，(白，白)，(白，蓝)，(蓝，红)，(蓝，白)，(蓝，蓝)，共9种，其中颜色相同的有(红，红)，(白，白)，(蓝，
蓝)，共3种，故所求的概率为39＝13
. 答案：13
[层级二 应试能力达标]对应配套卷P101
1．从装有两个白球和一个红球的袋中逐个不放回地摸两个球，那么摸出的两个小球中恰有一个红球的概率为( )
A.13
B.23
C.16
D.12
解析：选B 不放回地摸出两球共有6种情况，即(白1，红)，(白2，红)，(白1，白2)，
(白2，白1)，(红，白1)，(红，白2)，而恰有一个红球的结果有4个．所以P ＝23
. 2．在5X 卡片上分别写1,2,3,4,5，然后将它们混合，再任意排列成一行，那么得到的数能被2或5整除的概率是( )
A ．0.2
B ．0.4
C ．0.6
D ．0.8
解析：选C 一个数能否被2或5整除取决于个位数字，故可只考虑个位数字的情况．因为组成的五位数中，个位数共有1,2,3,4,5五种情况，其中个位数为2,4时能被2整除，个
位数为5时能被5整除．故所求概率为P ＝35
＝0.6. 3．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3,4}．假设|a －b |≤1，那么称甲、乙“心有灵犀〞．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀〞的概率为( )
A.58
B.18
C.38
D.14
解析：选A 甲、乙所猜数字的情况有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16种情况，其中满足|a －b |≤1的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，
(4,3)，(4,4)共10种情况，故所求概率为1016＝58
. 4．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，那么所得的两条直线相互垂直的概率是( )
A.318
B.418
C.
518D.618 解析：选C 正方形四个顶点可以确定6条直线，甲、乙各自任选一条共有36个基本事件．两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)，其包括10个基本事件，所以
所求概率等于1036＝518
. 5.如下图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，
其中一个数字被污损，那么甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为
________．
解析：从图中的数据知甲组数据的平均数为88＋89＋90＋91＋925
＝90. 假设甲、乙两组平均数相等，那么有90×5－(83＋83＋87＋99)＝98.
假设甲组的平均成绩超过乙组的平均成绩，那么被污损的数字可为0,1，…，7，共8
种情况，故其概率P ＝810＝45
.
答案：45
6．设集合P ＝{－2，－1,0,1,2}，x ∈P 且y ∈P ，那么点(x ，y )在圆x 2＋y 2
＝4内部的概率为________．
解析：以(x ，y )为基本事件，用列表法或坐标轴法可知满足x ∈P 且y ∈P 的基本事件有25个，且每个基本事件发生的可能性都相等．点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部，那么x ，y ∈{－1,1,0}，用列表法或坐标轴法可知满足x ∈{－1，1,0}且y ∈{－1,1,0}的基本事件有9个．所
以点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为925
. 答案：925
7．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排合影，那么甲站在乙的左边的概率为________． 解析：我们不考虑丙、丁、戊具体站在什么位置，只考虑甲、乙的相对位置，只有甲站
在乙的左边和甲站在乙的右边，共2个等可能发生的结果，因此甲站在乙的左边的概率为12
. 答案：12
8．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，蓝色
球3个．假设从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是16
. (1)求红色球的个数；
(2)假设将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率． 解：(1)设红色球有x 个，依题意得x 24＝16
，解得x ＝4， ∴红色球有4个．
(2)记“甲取出的球的编号比乙的大〞为事件A ，所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白
1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．
事件A 包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，
∴P (A )＝512
. 9．从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：
分组(重量)
[80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 频数(个) 5 10 20 15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；
(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在
[80,85)的有几个？
(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．
解：(1)由题意知苹果的样本总数n ＝50，在[90,95)的频数是20，∴苹果的重量在[90,95)
的频率是2050
＝0.4. (2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取x 个，那么从重量在[95,100)的苹果中抽取(4－x )个．
∵表格中[80,85)，[95,100)的频数分别是5,15，
∴5∶15＝x ∶(4－x )，解得x ＝1.
即重量在[80,85)的有1个．
(3)在(2)中抽出的4个苹果中，重量在[80,85)中有1个，记为a ，重量在[95,100)中有3个，记为b 1，b 2，b 3，任取2个，有：ab 1，ab 2，ab 3，b 1b 2，b 1b 3，b 2b 3，共6种不同方法．记基本事件总数为n ，那么n ＝6，其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件记为A ，
事件A 包含的基本事件为ab 1，ab 2，ab 3，共3个，由古典概型的概率计算公式得P (A )＝36
＝12
.
10．某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．假设S ≤4, 那么该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5
word
11 / 11
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中， 随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B 为“在取出的2件产品中， 每件产品的综合指标S 都等于4〞， 求事件B 发生的概率．
解：(1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：
其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为10＝0.6，从而
可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．
②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，那么事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝615＝2
5
.。