苏教版数学高二-1.3素材 组合要点精析

组合要点精析
要点精析
1．组合与排列的区别在于虽然都是从n 个不同的元素中取出m 个不同元素，但是排列是要考虑“一定顺序排成一列”，而组合是“并成一组”，即元素之间无前后顺序可言．因此，两个组合只要它们的元素相同就是同一个组合，而不必考虑元素之间的顺序．
2．要分清“组合”与“组合数”是两个不同的概念．组合是一个具体的事件，而组合数是符合条件的所有组合的个数，是一个数．
3．组合数公式有两个：
m n
C =m n m m A A =(1)(2)(1)!n n n n m m ---+和m n C =()!!!n m n m -． 组合数公式的推导应注意以下两点：
⑴遵循从特殊到一般的原则，重点研究了从4个不同元素中取出3个元素的组合数．推导过程呢感中采用了穷举法，将各种情况一一列出．
⑵遵循以退为进的原则，先建立了组合与排列之间的对应关系，依据分步计数原理，把求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数的过程分为两步完成：求组合数；求全排列数．从而利用这种对应关系和已知排列数公式得到组合数公式．这种分步解决问题的思维方法对解决排列组合应用题意义重大．
对于组合数的第一个公式m n
C =m n m m A A =(1)(2)(1)!n n n n m m ---+，它体现了组合数是与相应排列数的关系，当n 确定而m 变化时，组合数与m 的一种函数关系，一般在计算具体的组合数时，常用此公式；第二个公式m n C =()!!!
n m n m -的主要作用有：①当m 、n 较大时，利用此公式计算组合数较为简便；②对含有字母
的组合数的式子进行变形和论证时，常用此式．
4．组合数公式两种形式，在不同条件下各有着独特的效果．事实上，还有许多组合数公式在解题时发挥着简化解题过程，开拓解题思路的作用．下面把这些公式罗列出来，供读者学习时参考．
公式一：kC k
n = nC 11--k n ；
公式二：C m
n =m
n m -+1·C 1+m n ； 公式三：C n
n ＋C n n 1+＋C n n 2+＋…＋C n m n += C 11+++n m n ；
公式四：C n n ＋C n n 1+＋C n n 2+＋…＋C n n 12-= C 12+n n
； 公式五：C 1+m n ＋C 1-m n ＋2C m n = C 12++m n ；
公式六：C 0
k ＋C 11+k ＋C 22+k ＋…＋C k n = C k n 1+；
公式七：(C 1
n )2＋2(C 2
n )2＋…＋n(C n n )2= nC 112--n n ；
公式八：(C 0
n )2＋(C 1n )2＋…＋(C n n )2= C n n 2．
5．组合数的两条性质既可以利用组合数公式进行推导证明，也可以利用解决组合问题的基本思路来推导．
对组合数两个性质的理解：
⑴比如说有5苹果，“任选2个放在盘子里”与“从盘子里任意拿开3个”实际上是一回事．从组合的角度看就是25C =35C ．因此，对于一般情况，则有性质一m n C =n m n C -．
⑵要完成“从n ＋1个不同元素中任取m 个并成一组”这件事，可按某个特殊元素(如元素A)是否被取分成两类．如果取A ，则需从剩下的n 个元素中取出m －1个，有1m n C -种；若不取A ，则从其余n 个元素中取出m 个，有m n C 种．由分类计数原理得性质二：1m n C +=1m n C -＋m n C ．
可以使计算简便；第二条性质1m n C +=1m n C -＋m n C ，常用于对含字母的组合数恒等变
形，或证明等式，其规律是“上标数取大，下标数加1”．
6．解“含有”或“不含有”某些元素的组合问题时，要先将“含有”的这些元素取出，再由另外元素补足；先将“不含有”的这些元素剔除，再从留下的元素中去选取．解“至少”或“至多”组合题时，要谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常直接法中分类庞杂时，可考虑逆向思维，用间接法处理．
二、特别提示
1．解排列、组合应用题，首先以“有序是排列、无序是组合”分清排列、组合两类不同的应用题．具体做法是：先写出一个具体的选择结果，再交换这个结果中任意两个元素的位置，视其结果是否发生变化；若结果变化了(不满足交换律)，说明与顺序有关，是排列问题，否则是组合问题．用交换律来判别属于排列还是组合是一种常用方法．
2．解组合应用题时，要注意正确理解题设中的“有且仅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“都不是”等词语的确切含义．在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”．
m m m。