学案8：3.2.3 直线与平面的夹角~3.2.4 二面角及其度量

3.2.3 直线与平面的夹角~3.2.4 二面角及其度量学习目标
1．理解直线与平面所成角的概念．(重点)
2．会用向量法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)
3．正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点)
基础初探
教材整理1直线与平面的夹角
1．直线与平面所成的角
2．最小角定理
预习自测
1．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－
3 2，
则l与α所成的角为___．
2．P A，PB，PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为60°，则PC与平面P AB所成角的余弦值为________．
教材整理2二面角及其度量
1．二面角的相关概念
(1)二面角及其平面角
设二面角为α，则0°≤α≤180°. 2．直二面角
平面角是 的二面角叫做直二面角． 3．二面角的度量
(1)分别在二面角α-l -β的面α，β内，作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则可以用〈n 1，n 2〉来度量二面角α-l -β.
(2)设m 1⊥α，m 2⊥β，则〈m 1，m 2〉与二面角α-l -β大小 或 ． 预习自测
1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1-BC -A 的余弦值为( ) A.12 B.23 C.22
D.33
2．已知△ABC 和△BCD 均为边长为a 的等边三角形，且AD ＝3
2
a ，则二面角A -BC -D 的大
小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
合作探究
类型1 利用空间角的定义求空间角
例1 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝3，AA 1＝5，试求B 1D 1与平面A 1BCD 1所成角的正弦值．
名师指导
1．作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角．其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算”． 2．用定义求二面角的步骤：
(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)； (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角； (3)解三角形求角． 跟踪训练
1．如图，ABCD 是正方形，V 是平面ABCD 外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝AB ，求二面角A -VB -C 的余弦值．
类型2 利用空间向量求线面角
例2 如图所示，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12
AB ，N 为AB 上
一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．
(1)证明：CM ⊥SN ；
(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小． 名师指导
1．本题中直线的方向向量SN →
与平面的法向量a 的夹角并不是所求线面角θ，它们的关系是sin θ＝|cos 〈SN →
，a 〉|.
2．若直线l 与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
跟踪训练
2．设在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，E ，F 依次为C 1C ，BC 的中点．试求A 1B 与平面AEF 的夹角的正弦值．
探究点求二面角
探究1如何利用向量求二面角的大小？
探究2在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角．
例3如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝
2
2AB.
(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ； (2)求二面角D -A 1C -E 的正弦值． 名师指导
用向量法求二面角的大小，可以避免作出二面角的平面角这一难点，转化为计算两半平面法向量的夹角问题，具体求解步骤如下： (1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； (3)求两个法向量的夹角；
(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角； (5)确定二面角的大小． 跟踪训练
3．如图，在空间直角坐标系Cxyz 中，AB 是圆O 的直径，AC ＝BC ＝22，DC ∥EB ，DC ＝EB ，tan ∠EAB ＝1
4
，求二面角D -AE -B 的余弦值．
课堂检测
1．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为( )
A．
3
3B．
1
2
C．
6
6D．
3
6
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为()
A．－10
5B．
10
5
C．－15
5D．
15
5
3．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________.
4.如图，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝AC＝1，BC＝2，求二面角A-PB-C的余弦值为________．
5.如图，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.
参考答案
基础初探
教材整理1直线与平面的夹角
1．90°0°射影
2．cosθ=cosθ1·cosθ2射影最小的角预习自测
1．【答案】60°
【解析】设l与α所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝
3
2，∴θ＝60°.
2．【答案】
3 3
【解析】设PC与平面P AB所成的角为θ，
则cos 60°＝cos θcos 30°，得cos θ＝
3 3.
教材整理2二面角及其度量
1．(1)其中的每一部分一条直线出发的两个半平面这条直线每个半平面AlB 任取一点O ∠AOB
2．直角
3．(2)相等互补
预习自测
1．【答案】 C
【解析】易知∠A1BA为二面角A1-BC-A的平面角，
cos∠A1BA＝AB
A1B＝
2 2.
2．【答案】 C
【解析】如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，
且AE＝DE＝
3
2a，又AD＝
3
2a，
∴∠AED＝60°，即二面角A-BC-D的大小为60°.
合作探究
类型1 利用空间角的定义求空间角
例1 解：作B1E⊥A1B，垂足为E，又因为A1D1⊥平面ABB1A1，∴A1D1⊥B1E.
由B 1E ⊥A 1B 及B 1E ⊥A 1D 1得B 1E ⊥平面A 1BCD 1， 所以，D 1E 就是D 1B 1在平面A 1BCD 1内的射影， 从而∠B 1D 1E 就是D 1B 1与平面A 1BCD 1所成的角． 在Rt △B 1D 1E 中，有sin ∠B 1D 1E ＝EB 1
D 1B 1
.
D 1B 1＝A 1B 21＋A 1D 2
1＝16＋9＝5，
又S △A 1BB 1＝12A 1B ·EB 1＝12A 1B 1·BB 1，
A 1
B ＝25＋16＝41， ∴EB 1＝
4×541＝2041
，∴sin ∠B 1D 1E ＝44141.
跟踪训练
1．解：取VB 的中点为E ，连接AE ，CE . ∵VA ＝AB ＝BC ＝VC ，
∴AE ⊥VB ，CE ⊥VB .
∴∠AEC 是二面角A -VB -C 的平面角．
设AB ＝a ，连接AC ， 在△AEC 中，AE ＝EC ＝
3
2
a ，AC ＝2a ， 由余弦定理可知cos ∠AEC ＝
⎝⎛⎭⎫32a 2＋⎝⎛⎭
⎫32a 2－(2a )22×32a ×32
a ＝－1
3
，
∴所求二面角A -VB -C 的余弦值为－1
3.
类型2 利用空间向量求线面角
例2 解：设P A ＝1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别 为x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系(如图)．
则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，
又AN ＝1
4AB ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点，
∴N ⎝⎛⎭⎫12，0，0，M ⎝⎛⎭⎫1，0，12，S ⎝⎛⎭⎫1，1
2，0， (1)CM →＝⎝⎛⎭⎫1，－1，12，SN →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0， ∴CM →·SN →＝⎝⎛⎭⎫1，－1，12·⎝⎛⎭⎫－12，－1
2，0＝0， 因此CM ⊥SN . (2)NC →＝⎝⎛⎭
⎫－1
2，1，0， 设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量， ∴CM →·a ＝0，NC →
·a ＝0.
则⎩⎨⎧
x －y ＋1
2
z ＝0，
－1
2x ＋y ＝0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2y ，z ＝－2y . 取y ＝1，得a ＝(2,1，－2)． 因为cos<a ，SN →>＝－1－123×2
2＝－2
2.
∴〈a ，SN →〉＝3
4
π.
所以SN 与平面CMN 所成的角为34π－π2＝π
4.
跟踪训练
2．解：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，B (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,1,0)， 所以A 1B →＝(2,0，－2)，AE →＝(0,2,1)，AF →
＝(1,1,0)． 设平面AEF 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )，
由⎩⎨⎧
n ·AE →＝0，
n ·AF →＝0，
得⎩
⎪⎨⎪
⎧
2b ＋c ＝0，a ＋b ＝0， 令a ＝1，可得n ＝(1，－1,2)． 设A 1B 与平面AEF 的夹角为θ，
所以sin θ＝|cos 〈n ，A 1B →〉|＝|n ·A 1B →||n ||A 1B →|＝3
6，
即A 1B 与平面AEF 的夹角的正弦值为36
. 探究点 求二面角
探究1 【提示】 当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的．
探究2 【提示】 法一 如图，以A 为原点，分别以AC ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．
设P A ＝AB ＝a ，AC ＝b ，连接BD 与AC 交于点O ， 取AD 中点F ，则C (b,0,0)，B (0，a,0)，BA →＝CD →
.
∴D (b ，－a,0)，P (0,0，a )，∴E ⎝⎛⎭⎫b 2，－a 2，a 2，O ⎝⎛⎭⎫b
2，0，0， OE →＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a 2，AC →＝(b,0,0)． ∵OE →·AC →＝0，∴OE →⊥AC →
，
OF →＝12BA →＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，0，OF →·AC →＝0.
∴OF →⊥AC →.
∴∠EOF 为平面EAC 与平面ABCD 的夹角(或补角)． cos 〈OE →，OF →〉＝OE →·OF →
|OE →||OF →|＝22.
∴平面EAC 与平面ABCD 的夹角为45°. 法二 建系如方法一，∵P A ⊥平面ABCD ， ∴AP →
＝(0,0，a )为平面ABCD 的法向量， AE →＝⎝⎛⎭⎫b 2，－a 2，a 2，AC →＝(b,0,0)． 设平面AEC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )．
由⎩⎨⎧
m ·AE →
＝0，m ·AC →＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
b 2x －a 2y ＋a 2z ＝0，
bx ＝0.
∴x ＝0，y ＝z .∴取m ＝(0,1,1)， cos 〈m ，AP →〉＝m ·AP →
|m ||AP →|＝a 2·a ＝2
2.
∴平面AEC 与平面ABCD 的夹角为45°.
例3 (1)证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .
(2)由AC ＝CB ＝2
2
AB ， 得AC ⊥BC .
以C 为坐标原点，CA →，CB →，CC 1→
的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD →＝(1,1,0)，CE →
＝(0,2,1)，CA 1→
＝(2,0,2)．
设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，
则⎩⎨⎧
n ·CD →＝0，
n ·CA 1
→＝0，
即⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.
可取n ＝(1，－1，－1)．
同理，设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面A 1 CE 的法向量，
则⎩⎨⎧
m ·CE →＝0，
m ·CA 1
→＝0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
2y 2＋z 2＝0，
2x 2＋2z 2＝0.
可取m ＝(2,1，－2)．
从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝3
3，
故sin 〈n ，m 〉＝
63
. 即二面角D -A 1C -E 的正弦值为63
. 跟踪训练
3．解：由题可知AB ＝4，tan ∠EAB ＝1
4，可得CD ＝EB ＝1，
∴D (0,0,1)，E (0,22，1)，A (22，0,0)，B (0，22，0)，
则AB →＝(－22，22，0)，BE →
＝(0,0,1)， DA →＝(22，0，－1)，DE →
＝(0,22，0)， 设平面DAE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，
则⎩⎨⎧
n 1·DE →＝0，
n 1
·DA →＝0，
即⎩⎨⎧
22y 1＝0，
22x 1－z 1＝0.
∴y 1＝0，令x 1＝1，则z 1＝22，
∴平面DAE 的一个法向量为n 1＝(1,0,22)． 设平面ABE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，
则⎩⎨⎧
n 2·BE →＝0，
n 2
·AB →＝0，
即⎩⎨⎧
z 2＝0，
－22x 2＋22y 2
＝0，
∴z 2＝0，令x 2＝1，则y 2＝1，
∴平面ABE 的一个法向量为n 2＝(1,1,0)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝12×9＝2
6.
由图可以判断二面角D -AE -B 为钝角， ∴二面角D -AE -B 的余弦值为－26
. 课堂检测 1．【答案】 C
【解析】 取BC 中点M ，连接AM ，OM ， 易知∠OAM 即为AO 与平面ABCD 所成的角， 可求得sin ∠OAM ＝
6
6
.
2．【答案】 B
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，B 1(2,2,2)，E (0,2,1)．
∴BD →＝(－2，－2,0)，BB 1→＝(0,0,2)，BE →
＝(－2,0,1)． 设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵n ⊥BD →，n ⊥BB 1→，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －2y ＝0，2z ＝0，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－y ，z ＝0.令y ＝1，则n ＝(－1,1,0)． ∴cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →
|n ||BE →|＝10
5，
设直线BE 与平面B 1BD 所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，BE →〉|＝10
5.
3．【答案】
15
6
【解析】 两向量夹角与二面角相等或互补，则二面角的余弦值为156
. 4.【答案】
33
【解析】 如图建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)， AP →＝(0,0,1)，AB →＝(2，1,0)，CB →＝(2，0,0)，CP →
＝(0，－1,1)． 设平面P AB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧
m ·AP →
＝0，m ·AB →＝0，
即⎩⎨⎧ (x ，y ，z )·(0，0，1)＝0，(x ，y ，z )·(2，1，0)＝0，解得⎩⎨⎧
y ＝－2x ，z ＝0.
令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)．
设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，
则⎩⎨⎧
n ·CB →
＝0，n ·CP →＝0，
即⎩⎨⎧
(x ′，y ′，z ′)·
(2，0，0)＝0，(x ′，y ′，z ′)·
(0，－1，1)＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝0，
y ′＝z ′.
令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝33.
故二面角A -PB -C 的余弦值为
33
. 5. (1)证明：因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以EF ∥AB ，DC ∥AB .所以EF ∥DC .
又因为EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .
又因为EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ， 所以EF ∥GH .又因为EF ∥AB ，所以AB ∥GH . (2)在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ， 所以∠ABQ ＝90°.又因为PB ⊥平面ABQ ， 所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．
以点B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴、 y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设BA ＝BP ＝BQ ＝2，则E (1,0,1)，F (0,0,1)，Q (0,2,0)，D (1,1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)， 所以EQ →＝(－1,2，－1)，FQ →＝(0,2，－1)，DP →＝(－1，－1,2)，CP →
＝(0，－1,2)． 设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 由m ·EQ →＝0，m ·FQ →＝0，
得⎩
⎪⎨⎪⎧ －x 1＋2y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0，取y 1＝1，得m ＝(0,1,2)． 设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由n ·DP →＝0，n ·CP →＝0，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2－y 2＋2z 2＝0，－y 2＋2z 2＝0，取z 2＝1，得n ＝(0,2,1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝45.
因为二面角D -GH -E 为钝角， 所以二面角D -GH -E 的余弦值为－4
5
.。