2014届高三物理一轮教学案：1.2匀变速直线运动的规律

第2单元匀变速直线运动的规律
[想一想]
如图1－2－1所示，一质点由A 点出发，以初速度v 0做匀变速直线运动，经过时间t s 到达B 点，设其加速度大小为a 。

图1－2－1
(1)若质点做匀加速直线运动，则质点在B 点的速度及AB 间距应如何表示。

(2)若质点做匀减速直线运动，则质点在B 点的速度及AB 间距应如何表示。

提示：(1)v B ＝v 0＋at x AB ＝v 0t ＋1
2at 2
(2)v B ＝v 0－at x AB ＝v 0t －1
2at 2
[记一记]
1．匀变速直线运动
(1)定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动。

(2)分类：
①匀加速直线运动，a 与v 0方向相同。

②匀减速直线运动，a 与v 0方向相反。

2．匀变速直线运动的规律 (1)速度公式：v ＝v 0＋at 。

(2)位移公式： x ＝v 0t ＋1
2at 2。

(3)速度位移关系式：v 2－v 20＝2ax 。

[试一试]
1．一辆汽车在笔直的公路上以72 km/h 的速度行驶，司机看见红色交通信号灯便踩下制动器，此后汽车开始减速，设汽车做匀减速运动的加速度为5 m/s 2。

(1)开始制动后2 s 时，汽车的速度为多大？ (2)前2 s 内汽车行驶了多少距离？
(3)从开始制动到完全停止，汽车行驶了多少距离？
解析：(1)设v 0方向为正方向，由题意得v 0＝72 km/h ＝20 m/s ，a ＝－5 m/s 2，t ＝2 s 根据公式v ＝v 0＋at ，可得2 s 时的速度 v 2＝(20－2×5) m/s ＝10 m/s (2)根据公式x ＝v 0t ＋1
2at 2
可得前2 s 内汽车行驶的距离 x 1＝[20×2＋1
2×(－5)×22] m ＝30 m 。

(3)汽车停止即速度v t ＝0
根据公式v 2－v 20＝2ax ，可得从开始制动到完全停止 汽车行驶的距离x 2＝v 2－v 202a ＝0－2022×(－5) m ＝40 m 。

答案：(1)10 m/s (2)30 m (3)40 m
[想一想]
如图1－2－2所示，一物体在做匀加速直线运动，加速度为a ，在A 点的速度为v 0，物体从A 到B 和从B 到C 的时间均为T ，则物体在B 点和C 点的速度各是多大？物体在AC 阶段的平均速度多大？此过程平均速度与B 点速度大小有什么关系？x BC 与x AB 的差又是多大？
图1－2－2
提示：v B ＝v 0＋aT v C ＝v 0＋2aT v
AC
＝v A ＋v C
2
＝v 0＋aT ＝v B 可见做匀加速直线运动的物体的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度。

又x AB ＝v 0T ＋12aT 2，x BC ＝v B T ＋12aT 2＝v 0T ＋3
2aT 2。

故x BC －x AB ＝aT 2。

[记一记]
1．匀变速直线运动的两个重要推论
(1)Δx ＝aT 2，即任意相邻相等时间内的位移之差相等。

可以推广到x m －x n ＝(m －n )aT 2。

(2)v 2
t ＝v 0＋v t
2
，某段时间的中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度。

v 2
x ＝
v 20＋v 2t
2
，某段位移的中间位置的瞬时速度不等于该段位移内的平均速度。

可以证明，无论匀加速还是匀减速，都有v 2
t ＜v 2
x 。

2．初速度为零的匀变速直线运动中的几个重要结论 (1)1T 末，2T 末，3T 末……瞬时速度之比为： v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n 。

(2)1T 内，2T 内，3T 内……位移之比为： x 1∶x 2∶x 3∶…∶x n ＝1∶22∶32∶…∶n 2。

(3)第一个T 内，第二个T 内，第三个T 内，…，第N 个T 内的位移之比为： x Ⅰ∶x Ⅱ∶x Ⅲ∶…∶x N ＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)。

(4)通过连续相等的位移所用时间之比为：
t 1∶t 2∶t 3∶…∶t n ＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n －n －1)。

[试一试]
2．(2012·佛山一模)如图1－2－3所示，一小球从A 点由静止开始沿斜面向下做匀变速直线运动，若到达B 点时速度为v ，到达C 点时速度为2v ，则x AB ∶x BC 等于( )
图1－2－3
A ．1∶1
B ．1∶2
C ．1∶3
D ．1∶4
解析：选C 由v ＝at ，v B ＝v ，v C ＝2v 可知， t AB ＝t BC ，又v A ＝0，故x AB ∶x BC ＝1∶3。

C 正确。

(1)正、负号的规定：
直线运动可以用正、负号表示矢量的方向，一般情况下，我们规定初速度的方向为正方向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取负值，当v 0＝0时，一般以a 的方向为正方向。

(2)物体先做匀减速直线运动，速度减为零后又反向做匀加速直线运动，全程加速度不变，对这种情况可以将全程看做匀变速直线运动，应用基本公式求解。

[例1] 质点做匀减速直线运动，在第1 s 内位移为6 m ，停止运动前的最后1 s 内位移为2 m ，求：
(1)在整个减速运动过程中质点的位移大小； (2)整个减速过程共用的时间。

[审题指导]
(1)质点匀减速直线运动到停止可看做初速度为零的反向匀加速直线运动。

(2)应用位移公式时注意v 0与a 的符号。

[尝试解题]
(1)设质点的初速度为v 0，加速度大小为a ， 由题意可得：v 0·t 1－12at 2
1＝6 m
12at 2
2
＝2 m ，t 1＝t 2＝1 s 可解得：v 0＝8 m/s ，a ＝4 m/s 2 故x 总＝v 2
02a
＝8 m 。

(2)由v ＝v 0－at ，得：t ＝v 0－v
a ＝2 s 。

[答案] (1)8 m (2)2 s
解决运动学问题的基本思路
画过程示意图―→判断运动性质―→ 选取
正方向―→选用公式列方程 ―→解方程
并加以讨论
(1)刹车类问题：指匀减速到速度为零后即停止运动，加速度a 突然消失，求解时要注意确定其实际运动时间。

如果问题涉及最后阶段(到停止运动)的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动。

(2)双向可逆类：如沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变，故求解时可对全过程列式，但必须注意x 、v 、a 等矢量的正负号及物理意义。

[例2] (2012·合肥模拟)飞机着陆后以6 m/s 2的加速度做匀减速直线运动，其着陆速度为60 m/s ，求：
(1)它着陆后12 s 内滑行的位移x ；
(2)整个减速过程的平均速度(用两种方法求解)； (3)静止前4 s 内飞机滑行的位移x ′。

[审题指导]
(1)确定飞机滑行的总时间。

(2)判断飞机着陆后12 s 内的运动规律。

[尝试解题]
(1)以初速度方向为正方向，则有a ＝－6 m/s 2 飞机在地面滑行最长时间t ＝
Δv a ＝0－60－6
s ＝10 s 所以飞机12 s 内滑行的位移等于10 s 内滑行的位移 由v
2
－v 20＝2ax
可得x ＝－v 202a ＝－602
2×(－6)
m ＝300 m 。

(2)法一：v ＝v t ＋v 02＝0＋60
2 m/s ＝30 m/s
法二：v ＝Δx Δt ＝300
10
m/s ＝30 m/s 。

(3)可看成反向的初速度为零的匀加速直线运动 x ′＝12at 2＝1
2×6×42 m ＝48 m 。

[答案] (1)300 m (2)30 m/s (3)48 m
远离刹车类问题的陷阱
求解汽车刹车类问题时，一定要认真分析清楚汽车的运动过程，一般都是先判断刹车时间或刹车位移，即判定汽车在给定时间内或位移内是否已停止，千万不能乱套公式。

对于多运动阶段问题的分析要注意以下几点：
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段的运动示意图，直观呈现物体的运动过程。

(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量以及中间量。

(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程，同时列出物体各阶段间的关联方程。

(4)匀变速直线运动涉及的公式较多，各公式相互联系，大多数题目可一题多解，解题时要开阔思路，通过分析、对比，根据已知条件和题目特点适当地拆分、组合运动过程，选取最简捷的解题方法。

[例3] 甲、乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。

在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，乙汽车的加速度大小是甲汽车的两倍；在接下来的相同时间间隔内，甲汽车的加速度大小增大为原来的两倍，乙汽车的加速度大小减小为原来的一半。

求甲、乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。

[审题指导] 第一步：抓关键点
第二步：找突破口
每辆车都经历了两个不同的运动阶段，即，第一阶段做初速度为零的匀加速运动；第二阶段以第一阶段的末速度作为初速度做匀加速直线运动。

明白了运动过程后，分别求每段位移，求总位移，即可求出待求量。

[尝试解题]
设汽车甲在第一段时间间隔末(时刻t 0)的速度为v ，第一段时间间隔内行驶的路程为x 1，加速度为a ；在第二段时间间隔内行驶的路程为x 2。

由运动学公式得
v ＝at 0① x 1＝12at 2
②
x 2＝v t 0＋12
(2a )t 2
0③ 设汽车乙在时刻t 0的速度为v ′，在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为x 1′、x 2′。

同样有v ′＝(2a )t 0④ x 1′＝1
2(2a )t 20⑤
x 2′＝v ′t 0＋12
at 2
0⑥
设甲、乙两车行驶的总路程分别为x 、x ′，则有 x ＝x 1＋x 2⑦ x ′＝x 1′＋x 2′⑧
联立以上各式解得，甲、乙两车各自行驶的总路程之比为
x
x′
＝
5
7。

⑨
[答案]5
7
多过程匀变速直线运动的处理方法
多过程的匀变速直线运动，注意分段应用匀变速直线运动的规律列方程的解题策略，这就是数学中的分段函数思想在物理中的应用。

注意设而不解的解题策略，解题过程中设一些未知量，通过加、减或乘、除消元的方法得出需要求得的量。

[典例](16分)驾驶证考试中的路考，在即将结束时要进行目标停车，考官会在离停车点不远的地方发出指令，要求将车停在指定的标志杆附近，终点附近的道路是平直的，依次有编号为A、B、C、D、E的5根标志杆，相邻杆之间的距离ΔL＝12.0 m，如图1－2－4所示。

一次路考中，学员甲驾驶汽车，学员乙坐在后排观察并记录时间，
学员乙与车前端面的距离为s＝2.0 m
①。

假设在考官发出目标停车的指令前，汽车是匀速运动
的，当学员乙经过O点考官发出指令
①
：“在D标志杆目标停车”，发出指令后，学员乙立即
开始计时，学员甲需要经历Δt＝0.5 s的反应时间
②
才开始刹车，开始
刹车后汽车做匀减速直线运动，
③
直到停止。

学员乙记录下自己
经过B、C杆时的时刻t B＝4.50 s，t C＝6.50 s
④。

已知L OA＝44 m。

求：
图1－2－4
(1)刹车前汽车做匀速运动的速度大小v0及汽车开始刹车后做匀减速直线运动的加速度大小a；
(2)汽车停止运动时车头前端面离D杆的距离。

[解题流程]
第一步：审题干，抓关键信息
要确定汽车匀速运动的速度v 0和匀减速运动的加速度大小
⇓
需要研究汽车在O →B 和O →C 的运动过程
⇓
确定两过程中位移关系式
第三步：三定位，将解题过程步骤化
第四步：求规范，步骤严谨不失分 [解] (1)汽车从O 到标志杆B 的过程中： L OA ＋ΔL ＝v 0Δt ＋v 0(t B －Δt )－1
2a (t B －Δt )2①(3分)
汽车从O 到标志杆C 的过程中：
L OA ＋2ΔL ＝v 0Δt ＋v 0(t C －Δt )－1
2a (t C －Δt )2②(3分)
联立方程解得：v 0＝16 m/s ③(2分) a ＝2 m/s 2④(2分)
(2)汽车从开始到停下运动的距离：x ＝v 0Δt ＋v 20
2a
⑤(3分)
可得x ＝72 m ，故车头前端距O 点为74 m 。

⑥
因L OD ＝80 m ，因此汽车停止运动时车头前端面距离D 杆6 m 。

⑦(3分) ——[考生易犯错误]—————————————————
(1)在①②中误将t B 和t C 作为汽车匀减速运动的总时间，而没有考虑t B 和t C 中包含反应
时间Δt，造成失分。

(2)在⑥中误将汽车的位移x＝72 m作为汽车车头前端面距O点的距离，从而得出汽车停止运动时车头前端面距D杆8 m的结果，而实际上，x＝72 m为学员乙距O点的距离，乙离车头前端面的距离为2.0 m。