一类推广的φ-(h,e)-凹算子不动点性质及其应用

(1)可得到
+ —1) )+ A %-0-xA(x ! e
2)
定理1 设P是正规的,A是增加的0-(h,e)凹算子，且存在
t0h+ !t0 —1 )e % Ah %
t—10(-，一1 h)h + '010(t0，一1 h)— 1(, (3)
那么A在Ph,中具有唯一的不动点xk.此外，对于
任何 20 5 Ph,，构造序列 2 — A2n-1 , " = 1,2，…，
* — *(h,e,4)> 0 $. -. ph % 4 + e % *h }.
注记1[19] 如果e — 0,然后Ph, — Ph.此外，
Ph ? Ph,.但是对于某些e,h,不是P的子集，因 此Ph和Ph,不同.
引理1[19] 如果4J 5 Phe存在0<' <1, * > 1 ,使得+ ('— 1)%4 % *J + ( * — 1).
然后可得到当n 1 Q时,2”一 xk ||1 0.
证明 因为Ah 5 Ph.e, h5Ph.e.从引理1中，
可以取一个充分小的t 5 (0,1),通过(3)可知，由
于0(— , h)> t0，可以找到正整数k，使得
) 9 (0th k 1 •
(4)
t0
t0
取 x” 一 th +(n — 1)e,% — tnh + (一n — 1)e,n
01、x—1 ) Ax —1 + ( 0 ( t0 , xk-1 ) — 1) e 9
0 ( 10 ,x k—1 )〔0 ( t ,x k—# ) Ax k—# +
(0 ( 10 , x—# "— 1 )e] + ( 0 ( 10 , xk-1 ) — 1) e 9 …9 0 ( 10 , x—1)0 ( 10 , xk—# )…0 ( t0 , x1 ) Ax 1 + [0 ( t ,xk—)0 ( t ,xk—)…0 ( 1 x 0, 1 )—1]e 9 0 ( 10 , x—1)0 ( 10 , xk—)…0 ( 10 , h ')Ah +
关键词：凹算子；分数阶微分方程；单调迭代；解的存在性；解的唯一性
中图分类号：O175
文献标识码：A
开放科学(资源服务)标识码(OSID)：
锥映射上的不动点定理受到了人们广泛关注.
李在文献［1］中通过引入N凹算子，统 理了 N
凹，U0 -凹
子，得
动点的存在 性及迭
代收敛性.这些 对 下来研究非Байду номын сангаас性算子方
是十
的.李给岀的定义是设9O -
P»是
子，若存在函数0：(0,叮—
(0, 1］,满足当 0 <-< 1 时,-<0(, 4)使
A.(t4 )9 0 --，4 ')A4， 0 < - % 1
成立，则称A是旷凹算子.在文献'］中，Jleii和
Samet考虑了算子方程4 — Ax + 40，在Banach空
间中，给岀了递 子
子的不动点定理，并
且讨论了不动点的存在性和两点边
正解的
性.
以上文献均
的是锥映射［N17］.波兰学者
Wardowski［18］在混 调算子研究中，先定义新
的运算，给岀(e,U)-凹-凸算子的定义，最终得到
非线性算子方程正解的存在 性.2017年Zhai 等［19］给岀了 N(h,e)凹算子的定义，即：设A： Phe 10是一个给定的算子•对于任意的4 5 Phe , 2 5 (0,1),存在 0(2)>2 使得
1#，…，容易得到:
xn —t0xn—1 + (t0 —1)e&
Jn — t一1 J— + (一1 — 1)e,n — 1,2,….(5)
设 @0 — t0 h+ (t — 1 ) e F0 — t一k h + (一k — 1)e,n —1,，…，此外，根据A的定义和(3)〜(5)有
AU0 — Ax — A !t0x —1 + !t0 — 1 )e ) 9
1,41 5 P ,2 5 P 时，恒有 141 + 42 || 9 $，则称锥 P 是正 的#
定义3[19] 设e 5 P,%e%h,定义集合Ph
—4 5 0| 4〜h.
新的 -
Ph, — 4 5 E\^ + e 5 Ph }, 可以看出h 5 Phe,且
Ph, — 4 5 0 I
— '(h,e,4)> 0,
1) 其中0关于x递减.
收稿日期:2019-03-14. 基金项目：山西省自然科学基金项目(201601D011003). * 通讯联系人.E-mail： sangyanbin@ 126. com.
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华中师范大学学报(自然科学版)
第54卷
注记2 如果在(1)中e — 0,则A(-x)9
0(-,x)Ax.也就是说,A是广义凹算子.因此，广义 凹算子可以说是N(h,e)-凹算子的特例.另外，从
1预备知识 定义1'2］ 设0是实Banach空间，如果P是
0中某个非空凸闭集，并且满足下面两个条件： 1) 4 5 P & 2 9 0=24 5 P;
2) 4 5 P, —4 5 P=4 — 0,0 表示 0 中零元
素；则称P是0中 锥• 定义 2'2]如果 >$>0,使当 || 41 || — 4 || 2 || —
A (24 + (2 — 1 )e) 9 0(2 )A4 + (0(2)— 1)e. 运用Banach空间中的半序方法，建立了解的存在
性定理，从而将锥映射 至非锥映射［1N21］. 接下来对0 ( 2)添加参数4,将其变为0 ( 2,4),
继续研究推广的歹(h,e)-凹算子非线性分数阶微
方边
的存在 性#
一类推广的凹算子不动点性质及其应用
陈娟，桑彦彬*
(中北大学理学院，太原030051)
0 摘 要：该文主要定义了一类非锥映射的
凹算子，然后应用单调迭代方法，建立了该算
子不动点的存在唯一性定理.作为应用，得到了一类具有两点边界条件的分数阶微分方程非平凡
解的存在性和唯一性，进而构造了逼近唯一解的迭代序列.
第54卷第2期 2020年4月
华中师范大学学报(自然科学版)
JOURNAL OF CENTRAL CHINA NORMAL UNIVERSITY(Nt Si )
Vol54 No2 Apr 2020
DOI：10. 19603/j. cnki. 1000-1190. 2020. 02. 004
文章编号：1000-1190(2020)02-0181-06
此外，可以取一个小的* 5 (0,1)使得 ry + (丁 ——1)e % 4 % *—1 j + (* —1 ——1 )e.
2主要结果
定义4 设A：Ph, 10是一个给定的算子.对 于任意的 4 5 Ph, ,2 5 (0,1),存在 0(2,4)5 (2,1 [使得 A(2：r + (2 — 1))9 0(2、4Ah +(0(2,4)—1)e,