2021高二上半期理科数学试题

2021高二上半期理科数学试题
高二理科数学
命题人：数学教研组 谢 彬
注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150
分，考试时刻120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。

1．4>x 是<x 14
1
的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又非必要条件
2．过点（1，2）且方向向量为（3，5）的直线的方程为
A ．3x －5y ＋7＝0
B ．5x －3y ＋1＝0
C ．3x －5y －1＝0
D ．5x －3y －7＝0 3．若a,b 是任意实数且a>b 则
A. 22a b >
B. 1b
a
< C. ()lg 0a b -> D.
1122a b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
4．直线l ：)0(034≠=++m a my ax ，过点（1，－1），那么l 的倾斜角为
A ．41
arctan B ．)41arctan(- C ．4
1
arctan -π D ．4arctan -π 5．已知0,10a b <-<<，那么
A ．2
a a
b ab >> B ．2
ab ab a >> C ．2
ab a ab >> D ． 2
ab ab a >> 6．函数4
y ax x
=+
（0x >，0a >）的最小值为12，则a 的值是 A ．3 B ．4 C ．9 D ．12 7．下列四个命题中的真命题是
A .通过定点0P 0(x ，0)y 的直线都能够用方程00()y y k x x -=-表示
B .通过任意两个不同点1P 1(x ，1)y 、2P 2(x ，2)y 的直线都能够用方程
121121()()()()y y x x x x y y --=--表示
C .不通过原点的直线都能够用方程
1x y
a b
+=表示 D .通过定点(0A ，)b 的直线都能够用方程y kx b =+表示 8． 若2
1()22f x x x =-+
，2
1()2
g x x =-，则()f x 与()g x 的大小关系是： A ．()()f x g x > B ．()()f x g x < C ．()()f x g x = D ．随x 值变化而变化
9．取直角坐标系内的两点()()111222,,,P x y P x y ，
使121,,,7x x 依次成等差数列，121,,,8y y 依次成等比数列，若12,P P 两点关于直线l 对称，则直线l 的方程为
A.10x y -+=
B.10x y --=
C. 250x y --=
D. 70x y +-=
10．设集合{(A x =，)|y x ，y ，1x y --是三角形的三边长}，则所表示的平面区域（不
含边界的阴影部分）是
11．若不等式
3
42+++x x a
x ＞0的解集为{|31x x -<<-或2}x >，则a 的值为
A ．2
B ．－2
C ．21
D ．－2
1
12．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：07=-+y x 和2l ：05=-+y x 上移
动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为
A ．23
B ．32
C ．33
D ．24
马尔康中学校2007～2008（上）半期考试
高 二 数 学
班级___________姓名____________成绩________________
第Ⅰ卷答题卡
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分，只填结果，不要过程）
13．过点P(－1,2) 且与直线3210x y -+=垂直的直线方程是_______.
14．已知x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则2z x y =+
的最大值为_______.
15．设1
(,0)2A ，1(0,)3B ，已知点(P x ，)y 在线段AB （不含端点）上运动，
则
y
x 11+ 的最小值是_________
16．在R 上定义运算⊗，)1(y x y x -=⊗，若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x
恒成立，则a 取值的集合是__________________
三、解答题：本大题6个小题，共74分.解答要写出必要的文字说明、推理过程或运算步骤. 17．（本小题12分）一直线过点A ()3,4-，且在两坐标轴上的截距之和为12，求此直线方程。

18．（本小题12分，每小题各6分）
证明不等式: (1)
2> (2) 已知0,0,0a b c >>>且2abc =
，求证：(1)(1)(1)a b c +++> 19．（本小题12分）ABCD 是平行四边形，已知点A ()1,3-和C ()3,2-，点D 在直线31x y -=上移动，求点B 的轨迹方程。

20．（本小题12分）
直线2y x =是ABC ∆中C ∠的平分线所在直线，若A 、B 坐标分别
为(4,2)A -、
(3,1)B ，试求点C 的坐标，并判定ABC ∆的形状。

21．（本小题12分）
某工厂打算建筑一座底面为矩形ABCD 且面积为200平方米的三级污
水处理池(如图所示)。

由于受地势限制，矩形的长与宽都不能超过16
米。

已知池的外墙建筑单价为每米400元，中间两隔墙建筑单价为每
米248元，池底建筑单价为每平方米80元。

(1)试求总造价y (元)与矩形长x (米)之间的函数关系式=()y f x ； (2)求=()y f x 的最小值及其相应的x 值。

D
A
B
C
22．（本小题14分）
已知二次函数()()2
0f x ax bx c a =++>的图象与x 轴有两个不同
的交点,若()0f c =,且0x c <<时,()0f x >
(1)试比较
1
a
与c 的大小;(2)证明:21b -<<-.
马尔康中学校2007～2008（上）半期考试参考答案
高 二 数 学
一、选择题（理）：
二、填空题
13．2340x y +-= 14．3 15．5+ 16．1
32
2a
a ⎧⎫-
<<⎨⎬⎩
⎭
三、解答题：本大题6个小题，共74分.解答要写出必要的文字说明、推理过程或运算步骤.
17．解：依题意可知，该直线在x 轴，
y 轴上的截距都不为0，因此可设所求直线方程为1x y
a b
+=，
因为直线在两坐标轴上的截距之和为12，12a b ∴+= （4分）
又因为直线过点(3,4)A -
，34
1a b
-∴+=， （8分）
解方程组12
341a b a b +=⎧⎪
-⎨+=⎪⎩
得49163a a b
b =-=⎧⎧⎨⎨
==⎩⎩或， 1141693x y x y ∴+=+=-或， （10分） 化为一样式得4160
x y -+=或390x y +-=。

（12分）
18．
()1分析法 ()2证明：∵
0,0,0a b c >>>
∴1a +≥（当且仅当1a =时取等号） （1分）
1b +≥（当且仅当1b =时取等号） （2分）
1c +≥（当且仅当1c =时取等号） （3分）
∴(1)(1)(1)a b c +++≥1a b c ===取等号）， （4分）
又∵2abc =，∴取不到等号， （5分） ∴28)
1)(1)(1(>+++c b a （6分）
19．解：分别设00(,),(,)B x y D x y ，因为ABCD 为平行四边形，AB
CD ∴=， （4分）
又因为
(1,3),(3,2)A C --，因此0000134
325x x x x y y y y
+=--=--⎧⎧⎨
⎨-=-=-⎩⎩解得， （8分） 因为点D 在直线31x y
-=上，()()4351x y ∴----=，
化简得所求直线方程为3200x y -+= （12分）
20． 解：设点C 的坐标为00(,2)x x ，则00224AC
x k x -=
+，0021
3
BC x k x -=- （2分）
由题意
22
1212AC BC
AC BC
k k k k --=++ （4分）
即000000002221
22
43
22211212
43x x x x x x x x ---
-+-=--+++- 整理得0022x x -=，解得02x = （7分）
∴点C 的坐标为(2,4) （8分） ∵2|
|50AB =，2||40AC =，2||10BC = ∴ABC ∆为直角三角形。

（12分）
注：其它解法参照给分。

21． (1)若以AB 为长x ，则
324()80016000f x x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
； （4分）
且016
12.516200
016x x x <≤⎧⎪⇒≤≤⎨<≤⎪⎩
（6分） 若以AD 为长x ，现在
10000
()16(81)16000f x x x
=+
+，不合题意。

（7分） 故所求函数为
324()80016000f x x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭ （12.516x ≤≤）
； （8分） (2) 函数
324()80016000f x x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭ （12.516x ≤≤）
在区间
[]12.5,16上单调递减 （10分）
∴当x =16时，min ()45000f x = （12分）
22． 解：（1）由题知：方程
()0
f x =有两个不等实根
又()0f c =
c ∴为
()0f x =的一根 （2分）
则另一实根x 满足：c
cx
a
=
（根与系数关系） （3分） 1
x a
∴=
则10f a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（4分） 假设1
0c a
<
< 由题0x c <<时，()0f x >， 则
10f a ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
与10f a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
矛盾 因此 1
c a
> （7分） （2）
()0f c = 20ac bc c ∴++=
1b ac ∴=-- （9分 ） 又0,0a c >> 1b ∴<- （I ） （10分）
()f x 图象的对称轴为
11222
111
2c
b a
c a x a a a a a
+--=-=-=
+
<=
2b ∴>-（I I ） （13分）
综合()()I II 知： 21b -<<- （14分）。