广东省汕头市高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质教案 新人教A版必修4

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
一、教学目标：
1、 知识与技能
（1）理解并掌握正弦函数、余弦函数的单调性、最大（小）值； （2）能熟练运用正弦函数、余弦函数的性质解题。

（3）能区别正、余弦函数之间的关系。

2、过程与方法
通过正弦函数、余弦函数在R 上的图像，让学生探索出正弦函数、余弦函数的单调性、最大（小）值；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、 情感态度与价值观
通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点
重点: 正弦函数、余弦函数的单调性、最大（小）值。

难点: 正弦函数、余弦函数的单调性、最大（小）值的应用。

三、教学过程 （一）、复习回顾
周期性：一般地，对于函数f （x ），如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，
都满足f(x+T)= f(x)，那么函数f （x ）就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

奇偶性：正弦函数是奇函数 ，余弦函数是偶函数。

思考：函数的单调性的定义的是如何引入的？
由图像的上升和下降判断函数的单调性，如果函数的图像在定义域的某个区间内是上升的，则说明函数在该区间内是增函数，如果函数的图像在定义域的某个区间内是下降的，则说明函数在该区间内是减函数。

（二）、新课讲授
1、正弦函数、余弦函数的单调性
在正弦函数一个周期上截取一段，观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈［－
23,
2π
π］的图像，从y ＝sin x ，
x ∈［－
2
3,
2π
π］的图象以及表中可看出：
当
x ∈
［－
2π，2
π
］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1. 当x ∈［2
π，23π
］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1.
结合正弦函数的周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－
2π＋2k π，2π
＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2
π
＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.
类似地，从y ＝cos x ，x ∈［－π，π］的图象上可看出：
余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.
例4、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： （1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-
18sin π与⎪⎭⎫
⎝⎛-10sin π （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-
523cos π与⎪⎭
⎫
⎝
⎛-417cos π
分析：本例的两组都是正弦或余弦，只需将角用诱导公式化为同一个单调区间内，然后根据单调性比较大小即可，还要注意判断又没有符号不同的情况。

解：（1）因为
018
10
2
<-
<-
<-
π
π
π
，
正弦函数y=sinx 在区间［－
0,2
π］上是增函数，所以
…
⎪⎭⎫ ⎝⎛-18sin π>⎪⎭
⎫ ⎝⎛-10sin π (2) 53cos 523cos
523cos πππ==⎪⎭⎫
⎝
⎛-
4cos 417cos
417cos πππ==⎪⎭
⎫
⎝⎛-。

因为ππ
π
<<
<
5
340，且函数y=cosx,x []π,0∈是减函数，所以
53cos π>4
cos π
即
⎪⎭⎫ ⎝⎛-523cos π>⎪⎭
⎫
⎝⎛-417cos π.
课堂训练：利用三角函数的单调性，比较下列各组中两个三角函数值的大小： （1）0
250sin 与0
260sin （2）⎪⎭⎫
⎝⎛815cos π与⎪⎭
⎫
⎝⎛914cos π （3）0
515cos 与0
530cos （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛-
754sin π与⎪⎭
⎫
⎝⎛-863sin π
2、 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
思考：观察正弦函数、余弦函数的图像，正、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？
从正弦函数、余弦函数的单调性（图像的波峰和波谷）可以知道： 正弦函数当且仅当x ＝2k π＋2π ,k ∈Z 时取得最大值1，当且仅当x ＝2k π－2
π
, k ∈Z 时取得最小值-1。

余弦函数当且仅当x ＝2k π,k ∈Z 时取得最大值1，当且仅当x ＝（2k ＋1）π, k ∈Z 时取得最小值-1。

例3、下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么。

(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ； (2)y ＝—3sin2x ，x ∈R
分析：通过本例直接巩固所学的正弦、余弦的性质。

解：(1)使函数y ＝cosx ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cosx ，x ∈R 取得最大值的x 的集合
｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝使函数y ＝cosx ＋1，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数y ＝cosx ，x ∈R 取得最小值的x 的集合
｛x ｜x ＝（2k+1）π，k ∈Z ｝
函数y ＝cosx ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2;最小值是-1+1=0.
(2)令z ＝2x ，使函数y ＝—3sinz ，z ∈R 取得最大值的z 的集合是
｛z ｜z ＝—
2
π
＋2k π，k ∈Z ｝ 由2x ＝z ＝—2
π
＋2k π， 得x ＝—
4
π
＋k π 因此使函数y ＝—3sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是
｛x ｜x ＝—
4
π
＋k π，k ∈Z ｝ 同理，使函数y ＝—3sin2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是
｛x ｜x ＝
4
π
＋k π，k ∈Z ｝
函数y ＝—3sin2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是—3
课堂练习:求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值各是多少.
（1）、R x x y ∈=,s i n 2；
（2）、R x x
y ∈-=,3
c
o s 2.
四、课堂小结
1、重点掌握正弦函数、余弦函数的单调性；
2、重点掌握正弦函数、余弦函数的最值。

五、课外作业
课本 P46 A组 4、5。