2018年秋九年级数学上册第1章二次函数1.2二次函数的图象1.2.3二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及特征同步

1.2 第3课时二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象及特征
一、选择题
1．抛物线y＝2x2＋4x＋5的顶点坐标为( )
A．(1，3) B．(1，－3)
C．(－1，－3) D．(－1，3)
2．2017·宁波抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．如果抛物线y＝x2－ax＋1的对称轴是y轴，那么a的值为( )
A．0 B．－2 C．2 D．±2
4．2017·淄博将二次函数y＝x2＋2x－1的图象沿x轴向右平移2个单位，得到的函数表达式是( )
A．y＝(x＋3)2－2 B．y＝(x＋3)2＋2
C．y＝(x－1)2＋2 D．y＝(x－1)2－2
5．已知点A(－3，7)在抛物线y＝x2＋4x＋10上，则点A关于抛物线的对称轴的对称点的坐标为( )
A．(0，7) B．(－1，7)
C．(－2，7) D．(－3，7)
6．设计师以二次函数y＝2x2－4x＋8的图象为灵感设计的杯子如图K－4－1所示．若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为( )
图K－4－1
A．17 B．11
C．8 D．7
二、填空题
7．若抛物线y＝x2＋(a－4)x＋c的顶点在y轴上，则a的值为________．
8．若某条抛物线的顶点坐标为(－3，5)，形状大小、开口方向与抛物线y＝2x2－1完全相同，则此抛物线的函数表达式为____________．
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，则a＋b＋c＝________．
10．用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，列出了如下表格：
那么该二次函数在x＝0时，y＝________．
三、解答题
11．若二次函数y＝ax2＋2x＋a2－1(a≠0)的图象如图K－4－2所示，求a的值．
图K－4－2
12．已知抛物线y＝x2＋4x＋5.
(1)求其顶点坐标及对称轴；
(2)请说明如何平移才能得到抛物线y＝x2. 13．下表给出了某个二次函数的一些取值情况：
(1)请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(2)根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0?
14．当一枚火箭被竖直向上发射时，它的高度h(米)与时间t(秒)的关系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示，经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
15．已知抛物线y＝x2－2 ax＋a2的顶点到x轴的距离为2.
(1)求a的值；
(2)该抛物线通过怎样的平移后经过原点？
16．如图K－4－3，已知抛物线y＝x2－2x＋a的顶点A在直线y＝－x＋3上，直线y＝－x＋3与x轴的交点为B，O为直角坐标系的原点．
(1)求点B的坐标与a的值；
(2)求△AOB的面积．
图K－4－3
17．如图K－4－4，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．
(1)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的表达式；
(2)若M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．
图K－4－4
18如图K －4－5，已知二次函数y 1＝ax 2
＋bx 的图象过(－2，4)，(－4，4)两点． (1)求二次函数y 1的表达式；
(2)将抛物线y 1沿x 轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y 2，直线y ＝m(m ＞0)交抛物线y 2于M ，N 两点．求线段MN 的长度(用含m 的代数式表示)．
图K －4－5
1．[答案] D
2．[解析] A 抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a
，4ac －b 2
4a ，∵－b 2a ＝
－－22＝1＞0，4ac －b 24a ＝4（m 2
＋2）－44
＝m 2
＋1＞0，故此抛物线的顶点在第一象限．故选A. 3．[解析] A ∵抛物线y ＝x 2
－ax ＋1的对称轴是y 轴， ∴－b 2a ＝－－a
2
＝0，解得a ＝0.故选A.
4．[解析] D 二次函数y ＝x 2
＋2x －1＝(x ＋1)2
－2，其图象沿x 轴向右平移2个单位
后，得到的函数表达式为y ＝(x －2＋1)2－2＝(x －1)2
－2.
5．[解析] B 抛物线的对称轴为直线x ＝－4
2×1
＝－2，
设点A 关于抛物线对称轴的对称点的坐标为(x ，7)，则－3＋x
2＝－2，解得x ＝－1，
所以点A 关于抛物线的对称轴的对称点的坐标为(－1，7)．故选B.
6．[解析] B ∵y＝2x 2
－4x ＋8＝2(x －1)2
＋6，∴抛物线的顶点D 的坐标为(1，6)． ∵AB ＝4，∴点B 的横坐标为x ＝3. 把x ＝3代入y ＝2x 2
－4x ＋8，得到y ＝14， ∴CD ＝14－6＝8， ∴CE ＝CD ＋DE ＝8＋3＝11. 7．[答案] 4
[解析] 由抛物线的顶点横坐标公式得x ＝－a －4
2＝0，解得a ＝4.
8．[答案] y ＝2(x ＋3)2
＋5
[解析] ∵所求抛物线的顶点坐标为(－3，5)， ∴可设此抛物线的函数表达式为y ＝a(x ＋3)2
＋5.
又∵它的形状大小、开口方向与抛物线y ＝2x 2－1完全相同， ∴a ＝2.
∴此抛物线的函数表达式为y ＝2(x ＋3)2
＋5. 9．[答案] 0 10．[答案] 3
[解析] 由上表可知函数图象经过点(1，0)和点(3，0)， ∴对称轴为直线x ＝2，
∴x ＝0时的函数值等于x ＝4时的函数值． ∵当x ＝4时，y ＝3， ∴当x ＝0时，y ＝3. 故答案是3.
11．解：∵抛物线y ＝ax 2
＋2x ＋a 2
－1经过点(0，0)，
∴0＝a·02＋2×0＋a 2
－1， ∴a ＝±1.
又∵抛物线的开口向下， ∴a ＝－1.
12．解：(1)y ＝x 2
＋4x ＋5＝(x ＋2)2
＋1，
∴抛物线y ＝(x ＋2)2＋1的顶点坐标为(－2，1)，对称轴为直线x ＝－2.
(2)将抛物线y ＝x 2
＋4x ＋5向右平移2个单位，再向下平移1个单位可得到抛物线y ＝x 2
.
13．解：(1)如图所示．
(2)根据图象知，当x ＜1或x ＞3时，y ＞0.
14．解：∵－b 2a ＝－1502×（－5）＝15，4ac －b 2
4a ＝4×（－5）×10－150
2
4×（－5）＝1135.
故经过15秒时，火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135米． 15．解：(1)由题意得4a 2
－4a
4＝2或－2，
即a 2
－a －2＝0，
解得a 1＝－1，a 2＝2；或a 2
－a ＋2＝0，方程无实数根， 又由a 得a≥0，∴a ＝2.
(2)该抛物线向下平移4个单位后经过原点(答案不唯一)．
16．[解析] (1)根据所给的抛物线的函数表达式，易求其图象顶点的横坐标为1，再把
x ＝1代入y ＝－x ＋3，可求y ＝2，于是可得顶点A 的坐标是(1，2)，再把(1，2)代入y ＝x 2
－2x ＋a ，易求a ＝3.
(2)根据三角形的面积公式进行计算即可．
解：(1)∵y＝x 2
－2x ＋a ， ∴此函数图象的顶点的横坐标为1. 把x ＝1代入y ＝－x ＋3， 可得y ＝－1＋3＝2，
∴二次函数图象顶点A 的坐标是(1，2)． 把(1，2)代入y ＝x 2
－2x ＋a ，可得2＝1－2＋a ， 解得a ＝3.
当y ＝0时，0＝－x ＋3，解得x ＝3， ∴点B 的坐标是(3，0)． (2)过点A 作AE⊥OB 于点E ，
则AE ＝2，S △AOB ＝12OB·AE＝1
2
×3×2＝3.
17．解：(1)把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)分别代入y ＝ax 2
＋bx ＋c 中，得
⎩⎪⎨⎪
⎧4a －2b ＋c ＝－4，
4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝0，
解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1
2
，b ＝1，c ＝0，
∴函数表达式为y ＝－12
x 2
＋x.
(2)由y ＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2
＋12，可得
抛物线的对称轴为直线x ＝1. ∵O(0，0)，B(2，0)，
∴抛物线的对称轴垂直平分OB ， ∴AM ＋OM ＝AM ＋BM.
如图，连结AB 交直线x ＝1于点M ，则此时AM ＋OM 的值最小．
过点A 作AN⊥x 轴于点N.
在Rt △ABN 中，AB ＝AN 2
＋BN 2
＝42
＋42
＝4 2， 因此AM ＋OM 的最小值为4 2.
18解：(1)将(－2，4)，(－4，4)分别代入y 1＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＝4，16a －4b ＝4.解得⎩⎪
⎨
⎪⎧a ＝－1
2，b ＝－3.
∴y 1＝－12
x 2
－3x.
(2)将y 1配方，得y 1＝－12(x ＋3)2
＋92
，
∴抛物线y 1的顶点坐标是⎝
⎛⎭⎪⎫－3，92.此顶点沿x 轴翻折，再向右平移2个单位后的点是
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，－92.
∵翻折、平移后抛物线的开口方向改变，但开口大小不变，∴翻折、平移后抛物线的函
数表达式的二次项系数是1
2
，
∴y 2＝12(x ＋1)2
－92，
即y 2＝12
x 2
＋x －4.
令y 2＝m ，得12x 2
＋x －4＝m ，
即x 2
＋2x －2(4＋m)＝0.
设此方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2， x 1x 2＝－2(4＋m)．
∵x 1，x 2分别是点M ，N 的横坐标，
∴MN ＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2＝4＋8（4＋m ）＝29＋2m.。