第1章 第3节 全称量词命题与存在量词命题-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)

第三节全称量词命题与存在量词命题
一、教材概念·结论·性质重现
1．全称量词和存在量词
量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃
2.全称量词命题和存在量词命题及其否定
名称
形式
全称量词命题存在量词命题
结构对M中任意一个x，有p(x)成
立
存在M中的一个x，使p(x)
成立
简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)
否定∃x∈M，p(x)∀x∈M，p(x)
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x∈R，x2＜0”．(√)
(2)“长方形的对角线相等”是存在量词命题．(×)
(3)∃x∈R，x2＋1＝0．(×)
(4)写存在量词命题的否定时，存在量词变为全称量词．(√)
(5)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，p(x)的真假性相反．(√)
2．(2020·烟台期末考试)命题“∀x∈R，x2－x＋1＞0”的否定是()
A．∀x∈R，x2－x＋1≤0
B．∀x∈R，x2－x＋1＜0
C．∃x∈R，x2－x＋1≤0
D．∃x∈R，x2－x＋1＜0
C解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，所以本题命题的否定为“∃x∈R，x2－x＋1≤0”．故选C.
3．若命题“∀x∈R，x2＋mx＋2≥0”为真命题，则m的取值范围是() A．(22，＋∞)
B．(－22，22)
C．[－22，22]
D．(－∞，－22]∪[22，＋∞)
C解析：∀x∈R，x2＋mx＋2≥0为真命题，等价于f (x)＝x2＋mx＋2的图象与x轴有一个交点或没有交点，故Δ＝m2－8≤0，解得－22≤m≤2 2.
考点1全称量词命题、存在量词命题的否定——基础性
1．(2021·淄博市部分学校高三检测)命题“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是()
A．∃x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．∃x(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
D．∀x(0，＋∞)，ln x＝x－1
C解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，将结论加以否定，所以命题的否定为“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”．
2．命题“∀x＞0，x
x－1
＞0”的否定是()
A．∃x＜0，
x
x－1
≤0
B．∃x＞0，0≤x≤1
C．∀x＞0，
x
x－1
≤0
D．∀x＜0，0≤x≤1
B解析：因为
x
x－1
＞0，所以x＜0或x＞1，所以
x
x－1
＞0的否定是0≤x≤1，
所以命题的否定是∃x ＞0，0≤x ≤1.故选B ．
3．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x
2
D 解析：“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．
全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
考点2 全称量词命题、存在量词命题的真假判断 ——基础性
1．下列四个命题中的真命题是( ) A ．∀n ∈R ，n 2≥n
B ．∃n ∈R ，∀m ∈R ，m ·n ＝m
C ．∀n ∈R ，∃m ∈R ，m 2<n
D ．∀n ∈R ，n 2<n
B 解析：对于选项A ，令n ＝1
2，即可验证其不正确；对于选项C ，D ，可
令n ＝－1加以验证，均不正确．故选B ．
2．下列四个命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0 C ．∃x ∈R ，lg x ＜1
D ．∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2
D 解析：A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π4，所以－
2≤sin x ＋cos x
≤2，所以D 错误．故选D ．
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称量词命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 存在量词命题
真 存在一个对象使命题真 否定为假 假
所有对象使命题假
否定为真
考点3 全称量词命题、存在量词命题的应用——应用性
(1)已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围
是( )
A ．(4，＋∞)
B ．(0,4]
C ．(－∞，4]
D ．[0,4)
C 解析：当原命题为真命题时，a >0且Δ＝16－4a <0，所以a >4.故当原命题为假命题时，a ≤4.故选C.
(2)已知 f (x )＝x 2
，g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－m .若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得 f
(x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．
⎣⎢⎡⎭⎪⎫
14，＋∞ 解析：当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0；当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝1
4
－m ．
由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥1
4
.
本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________．
⎣⎢⎡⎭⎪⎫
12，＋∞ 解析：当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m .由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，所以m ≥12
.
根据全称(存在)量词命题的真假求参数的思路
此类问题的本质是恒成立问题或有解问题．一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
1．已知函数f (x )＝2ax －a ＋3.若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
B ．(－∞，－3)
C ．(－3,1)
D ．(1，＋∞)
A 解析：依题意可得f (－1)·f (1)＜0，即(－2a －a ＋3)·(2a －a ＋3)＜0，解得a ＜－3或a ＞1.故选A ．
2．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝x ＋m ，对任意的x 1，x 2∈[1,4]有f (x 1)>g (x 2)恒成立，则实数m 的取值范围是________．
(－∞，0) 解析：f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，当x ∈[1,4]时，f (x )min ＝f (1)＝2，g (x )max ＝g (4)＝2＋m ，则f (x )min >g (x )max ，即2>2＋m ，解得m <0.故实数m 的取值范围是(－∞，0)．。