招生国统一考试卷理科数学word含答案试题

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2021年普通高等校招生全国统一考试
数学〔理工农医类〕〔卷〕
本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，第一卷1至2页，第二卷3至9页，一共150分。

考试时间是是120分钟。

在考试完毕之后，将本套试卷和答题卡一起交回。

第一卷〔选择题 一共40分〕
考前须知：
1答第一卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.每一小题在选出答案以后，用钢笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

不能答在试卷上。

一、此题一共8小题。

每一小题5分，一共40分。

在每一小题列出的四个选项里面，选出
符合题目要求的一项。

〔1〕全集∪＝R ，集合A =|x |-2≤x ≤3|，B =|x |x 〈-1或者x 〉4|，那么集合A ∩〔εv B 〕等于
(A)|x |-2≤x 〈4|
〔B 〕|x |x ≤3或者≥4| (C)|x |-2≤x <-1 (D)|x | -1≤x ≤3|
(2)假设a =2a ,b =log,3,c =log,sin
52 ,那么 (A 〕a >b >c
(B)b >a >c (C)c>a>b (D)b >c>a
(3)“函数f (x )(x ∈R)存在反函数〞是“函数f (x )在R 上为增函数〞的
(A)充分而不必要条件
〔B 〕必要而不充分条件 (C)充分必要条件 〔D 〕即不充分也不必要条件
〔4〕假设点P到直线x=－1的间隔比它到点〔2，0〕的烛1，那么点P的轨迹为
〔A〕圆〔B〕椭圆〔C〕双曲线〔D〕抛物线
x-y+1≥0,
〔5〕假设实数x,y满足x+y≥0,那么z=3x+y的最小值是
x≤0,
(A)0 (B)1 (C)3(D)9
(6)数列｜a n｜对任意的p,q∈N m满足a p+q=a p+a q,且a P=-6,那么a p+q等于
〔A〕-165 (B)-33 (C)-30 (D)－21
〔7〕过直线y=x上的一点作圆〔x-5〕2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，综们之间的夹角为
〔A〕30°〔B〕45°(C)60°(D)90°
(8)如图，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1
上。

过点P作垂直平面BB1D1D的直线，与正方体面相关
于M、N，设BP=x,MN=y,那么函数y=f(x)的图象大致是
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数学〔理工农医类〕〔卷〕
第二卷〔选择题 一共40分〕
考前须知：
1. 用钢笔或者圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2. 答卷前将密封线内的工程填写上清楚。

题号 二 15 16 17 18 19 20 总分 分数
得分
评分人 二填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分。

把答案填在题中横线上。

〔9〕(a -i)2=2i,其中I 是虚数单位，那么实数a = 。

〔10〕向量a 与b 的夹角为120°，且｜a ｜=|b |=4,那么b ·〔2a +b 〕的值是 。

〔11〕假设n x x )1(22+
展开式的各项数之和为32，那么n = ,其展开式中的常数项为。

〔用数字答题〕
〔12〕如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C
的坐标分别为〔0，4〕，〔2，0〕，〔6，4〕，那么
f (f (0))= ; =x I f x I ∇-∇+)()(lim。

〔用数字答题〕
〔13〕函数f (x )=x 2=cos x ,对于［－
2
2ππ，］上的任意x 1,x 2,有如下条件：
① x 1>x 2; ②x 21>x 22; ③|x 1|>x 2.
其中能使f (x 1)> f (x 2)恒成立的条件序是 .
(14)某校数学课外小组在坐标纸上，为的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P 1(x 1,y 1)处，其中x 1=1,y 1=1,当k ≥2时， x 1=x x -1+1-5［T 〔
51-k 〕-T 〔5
2-K 〕］ yk =y k+1+T 〔51-k 〕-T 〔52-K 〕
T 〔a 〕表示非负实数a 的整数局部，例如T (2,6)=2,T (0,2)=0.
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2021棵树种植点的坐标应为 。

三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分。

解容许写出文字说明，演算步骤或者证明过程。

〔15〕〔本小题一共13分〕
函数f (x )=sin 2ωx ωx sin(ωx +
2π)(ω＞0)的最小正周期为π. 〔Ⅰ〕求ω的值；
〔Ⅱ〕求函数f(x)在区间[0，
23
π]上的取值范围.
〔16〕〔本小题一共14分〕
如图，在三棱锥P -ABC 中，AC =BC =2，∠ACB =90°，AP =BP =AB ，PC ⊥AC .
〔Ⅰ〕求证：PC⊥AC；
〔Ⅱ〕求二面角B-AP-C的大小；
〔Ⅲ〕求点C到平面APB的间隔.
得分评分人
〔17〕〔本小题一共13分〕
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岁位效劳，每上岗位至少有一名志愿者.
〔Ⅰ〕求甲、乙两人同时参加A岗位效劳的概率；
〔Ⅱ〕求甲、乙两人不在同一个岗位效劳的概率；
〔Ⅲ〕设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位效劳的人数，求ξ的分布列.
得分评分人
〔18〕〔本小题一共13分〕
函数f (x )=
22(1)
x b x --,求导函数f 1 (x ),并确定f (x )的单调区间.
〔19〕〔本小题一共14分〕
菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2+3y 2=4上，对角线BD 所在直线的斜率为l. 〔Ⅰ〕当直线BD 过点〔0，1〕时，求直线AC 的方程；
〔Ⅱ〕当∠ABC =60°，求菱形ABCD 面积的最大值.
〔20〕〔本小题一共13分〕
对于每项均是正整数的数列A:a 1,a 2,…,a n ,定义变换T 1，T 1将数列A 变换成数列T 1〔A 〕：n ,a 1-1,a 2-1,…,a n -1.
对于每项均是非负整数的数列B ：b 1,b 2, …,b m ,定义变换T 2，T 2将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T 2〔B 〕：又定义
S〔B〕=2〔b1+2b2+…+mb m〕+b21+b22+…+b2m.
设A0是每项均为正整数的有穷数列，令A k+1=T2(T1(A k))(k=0,1,2, …)
〔Ⅰ〕假如数列A0为5，3，2，写出数列A2,A2；
〔Ⅱ〕对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S〔T1〔A〕〕=S〔A〕；
〔Ⅲ〕证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S(A k+1)=S(A k).
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数学〔理工农医类〕〔卷〕参考答案
一、选择题〔本大题8小题，每一小题5分，一共40分〕
〔1〕D 〔2〕A 〔3〕B 〔4〕D
〔5〕B 〔6〕C 〔7〕C 〔8〕B
二、填空题〔本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分〕 〔9〕-1 〔10〕0
〔11〕5 10 〔12〕2 -2
〔13〕② 〔14〕〔1，2〕 〔3，402〕
三、解答题〔本大题一一共6小题，一共80分〕
〔15〕〔一共13分〕
解：〔Ⅰ〕
1cos 2()22112cos 222
1sin(2).62x f x x x x x ωωωωπω-=
=-+=-+ 因为函数f (x )的最小正周期为π,且ω＞0, 所以22ππω
= 解得ω=1.
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得f (x )=sin(2x -
6π)+12. 因为0≤x ≤23
π
所以-6π≤2x-6π≤7.6π 所以-12≤sin 〔2x-6
π〕≤1. 因此0≤sin(2x -6π)+12≤32,即f (x )的取值范围为[0，32].
〔16〕〔一共14分〕
解法一：
（I ） 取AB 中点D ，连结PD ，CD.
∵AP =BP ，
∴PD ⊥AB.
∵AC =BC,
∴CD ⊥AB .
∵PD ∩CD =D,
∴AB ⊥平面PCD.
∵PC ∩平面PCD.
∴PC ⊥AB.
〔Ⅱ〕∵AC =BC ，AP ＝BP ，
∴△APC ≌△BPC.
又PC ⊥BC.
∴PC ⊥BC.
又∠ACB =90°,即AC ⊥BC .
且AC ∩PC ＝C ,
∴BC ⊥平面P AC.
取AP 中点E ，连结BE ，CE .
∵AB ＝BP ，
∴BE ⊥AP .
∵EC 是BE 在平面P AC 内的射影.
∴CE ⊥AP .
∴∠BEC 是二面角B -AP-C 的平面角.
在△BCE 中，∠BCE ＝90°，BC ＝2，BE ＝23AB ＝6， ∴sin ∠BEC =.3
6=BE BC ∴二面角B -AP-C 的大小为 aresin
.36 (Ⅲ)由〔Ⅰ〕知AB ⊥平面PCD ，
∴平面APB ⊥平面PCD .
过C 作CH ⊥PD ，垂足为H .
∵平面APB ∩平面PCD ＝PD ，
∴CH ⊥平面APB .
∴CH 的长即为点C 到平面APB 的间隔 ，
由〔Ⅰ〕知PC ⊥AB ，又PC ⊥AC ，
且AB ∩AC ＝A.
∴PC ⊥平面ABC.
CD ⊂平面ABC .
∴PC ⊥CD.
在Rt △PCD 中，CD ＝
,62
3,221===PB PD AB ∴PC ＝.222=-CD PD ∴CH =
.3
32=⋅PD CD PC
∴点C 到平面APB 的间隔 为
.3
3
2 解法二：
〔Ⅰ〕∵AC ＝BC ，AP ＝BP ， ∴△APC ≌△BPC. 又PC ⊥AC . ∴PC ⊥BC. ∵AC ∩BC ＝C ， ∴PC ⊥平面ABC . ∵AB ⊂平面ABC ， ∴PC ⊥AB .
〔Ⅱ〕如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz. 那么C 〔0，0，0〕，A 〔0，2，0〕，B 〔2，0，0〕. 设P 〔0，0，1〕.
∵｜PB ｜＝｜AB ｜＝22， ∴t ＝2，P 〔0，0，2〕. 取AP 中点E ，连结BE ，CE .
∵｜AC ｜＝｜PC ｜，｜AB ｜＝｜BP ｜,
∴CE ⊥AP ，BE ⊥AP .
∴∠BEC 是二面角B-AP-C 的平面角.
∵E 〔0，1，1〕，),1,1,2(),1,1,0(--=--=EB EC ∴cos ∠BEC
.3
3
6
22=
⋅=
EB EC ∴二面角B -AP -C 的大小为arecos
.3
3 〔Ⅲ〕∵AC =BC =PC ，
∴C 在平面APB 内的射影为正△APB 的中心H ，且CH 的长为点C 到平面APB 的间隔 . 如〔Ⅱ〕建立空间直角坐标第C-xyZ. ∵,2HE BH = ∴点H 的坐标为〔
3
2,32,32〕.
.3
3
2=
∴点C 到平面APB 的间隔 为
.3
3
2 〔17〕〔一共13分〕
解：〔Ⅰ〕记甲、乙两人同时参加A 岗位效劳为事件E A ，那么
P 〔E A 〕=.40
1
44233
3-A C A
即甲、乙两人同时参加A 岗位效劳的概率是
.40
1 〔Ⅱ〕记甲、乙两个同时参加同一岗位效劳为事件E ，那么
P 〔E 〕＝.10
1
442344=A C A
所以，甲、乙两人不在同一岗位效劳的概率是
P 〔E 〕=1-P (E )=
.10
9 (Ⅲ)随机变量ξ“ξ=2”是指有两人同时参加A 岗位效劳，那么
P 〔ξ＝2〕＝.4
1
44233
323=A C A C
所以p 〔ξ-1〕＝1-P 〔ξ＝2〕＝
3
.ξ的分布列是
〔18〕〔一共13分〕 解：f ′〔x 〕
=4
2)
1()1(2)2()1(2--⋅---x x b x x =
3
)1(2
22--+-x b x =
.)1()]
1([23
---x b x
令f ′〔x 〕＝0，得x ＝b -1.
当b-1＜1，即b ＜2时，f ′〔x 〕的变化情况如下表：
当b-1＞1，即b ＞2时，f ′〔x 〕的变化情况如下表：
所以，当b ＜2时，函数f (x )在〔-∞，b -1〕上单调递减，在〔b -1，1〕上单调递增， 在〔1，+∞〕上单调递减.
当b ＞2时，函数f 〔x 〕在〔-∞，1〕上音调递减，在〔1,b -1〕上单调递增，在〔b -1，+∞〕
上单调递减.
当b -1＝1，即b ＝2时，f (x )=1
2
-x ，所以函数f (x )在〔-∞，1〕上单调递减，在〔1，+∞〕上单调递减. 〔19〕〔一共14分〕
解： 〔Ⅰ〕由题意得直线BD 的方程为y =x +1.
因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 于是可设直线AC 的方程为y =-x +n .
由2234,x y y x n
⎧+=⎨=-+⎩得2246340.x nx n -+-= 因为A ，C 在椭圆上，
所以△＝-12n 2+64＞0，解得n 设A ，C 两点坐标分别为〔x 1,y 1〕,(x 2,y 2),
那么212121122334
,,,.24
n n x x x x y x n y x n -+===-+=-+ 所以12.2
n y y +=
所以AC 的中点坐标为3.44n n ⎛⎫
⎪⎝⎭
由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫
⎪⎝⎭
在直线y =x +1上， 所以
3144
n n
=+，解得n =-2. 所以直线AC 的方程为2y x =--，即x +y +2=0.
〔Ⅱ〕因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒,
所以.AB BC CA ==
所以菱形ABCD 的面积2
.S =
由〔Ⅰ〕可得22
2
2
1212316
()().2
n AC x x y y -+=-+-=
所以2316)(433
S n n =
-+-＜
所以当n =0时，菱形ABCD 的面积获得最大值〔20〕〔一共13分〕 〔Ⅰ〕解：A 0：5,3,2, T 1(A 0):3,4,2,1 A 1=T 2(T 1(A 0)):4,3,2,1; T 2(A 1):4,3,2,1,0
A 2=T 2(T 1(A 1)):4,3,3,1.
〔Ⅱ〕证明：设每项均是正整数的有穷数列A 为a 1,a 2, …,a n ，
那么1()T A 为n ,a 1-1,a 2-1,…,a n -1,
从而[]112(())22(1)3(1)(1)(1)n S T A n a a n a =+-+-+⋅⋅⋅++-
222212(1)(1)(1).n n a a a ++-+-+⋅⋅⋅+-
又222
1212()2(2),n n S A a a na a a a =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+
所以1(())()S T A S A -
[]12223(1)2()n n n a a a =---⋅⋅⋅-++++⋅⋅⋅+
2122()n n a a a n +-++⋅⋅⋅++
＝2
(1)0,n n n n -+++=
故1(())().S T A S A =
〔Ⅲ〕证明：设A 是每项均为非负整数的数列a 1,a 2, …，a n .
当存在1i j n ≤≤＜，使得a i ≤a j 时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B .那么
()()2()i i i i S B S A ia ja ia ja -=+--
＝()()0.j i i j a a --≤
当存在1≤m ＜n ,使得120n n n a a a ++==⋅⋅⋅==时，假设记数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为C ，那么S (C )=S (A ). 所以2(())().S T A S A ≤
从而对于任意给定的数列A 0，由121(())(0,1,2,)k k A T T A k -==⋅⋅⋅可知
14()(()).k k S A S T A -≤
又由〔Ⅱ〕可知4(())()k k S T A S A =，所以1()()k k S A S A +≤. 即对于k ∈N ,要么有S (A k +1)=S (A k )，要么有1()()k k S A S A +≤-1. 因为S (A k )是大于2的整数，所以经过有限步后，必有
12()()().k k k S A S A S A ++===⋅⋅⋅
即存在正整数K ，当k ≥K 时，1()().k k S A S A +=
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

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