【学海导航】届高考数学第一轮总复习 第11单元《计数原理》同步训练 理 新人教B版

第十一单元计数原理
第63讲两个计数原理与排列、组合的基本问题
1.从2,3，…，8七个自然数中任取三个数组成有序数组a，b，c，且a＜b＜c，则不同的数组有( )
A．35组 B．42组
C．105组 D．210组
2.有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是( )
A．12 B．24
C．36 D．48
3.6名学生中选出4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事A种工作，则不同的选派方案共有( )
A．280种 B．240种
C．180种 D．96种
4.某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有( ) A．10种 B．12种
C．15种 D．16种
5.从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为.
6.(2013·威海市模拟)将a，b，c三个字母填写到3×3方格中，要求每行每列都不能出现重复字母，不同的填写方法有______种．(用数值作答)
7.(2013·上海市卢湾区第一次检测)将5,6,7,8四个数填入12
34
9
中的空白处以构成
三行三列方阵，若要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
8.中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单位，分别在图中4个区域内坐定，有4种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否则不受限制，那么不同的着装方法共有多少种？
9.6个学生按下列要求站成一排，求各有多少种不同的站法？
(1)甲不站排头，乙不能站排尾；
(2)甲、乙都不站排头和排尾；
(3)甲、乙、丙三人中任何两人都不相邻；
(4)甲、乙都不与丙相邻．
第64讲排列与组合综合应用问题
1.将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( )
A．10 B．20
C．30 D．40
2.(2013·郑州市第二次质量预测)1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有( )
A．450 B．460
C．480 D．500
3.现有4名教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一道题没有被这4位选中的情况有( )
A．288种 B．144种
C．72种 D．36种
4.四个小朋友围成一个圈做游戏，现有四种不同的颜色衣服(每种颜色衣服数量不限)，要求相邻的两位小朋友穿的衣服颜色不相同，则不同的穿衣方法共有(仅考虑颜色不同)( ) A．96种 B．84种
C．60种 D．48种
5.如图M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有( )
A．8种 B．12种
C．16种 D．20种
6.某公园有甲、乙、丙三条大小不同的游艇，甲可坐3人，乙可坐2人，丙只能坐1人．现在3个大人带2个小孩租游艇，但小孩不能单独坐游艇(即需要大人陪同)，则不同的坐法种数有( )
A．21 B．27
C．33 D．34
7.如果一个正四位数的千位数a、百位数b、十位数c和个位数d满足关系(a－b)(c－d)<0，则称其为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”，那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为.(直接用数字作答)
8.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间三个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，共有多少种坐法．
9.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
第65讲二项式定理
1.(2013·北海市第二次质检)设(x＋2)(2x＋3)10＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )
A．0 B．1
C．6 D．15
2.若(ax－1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值为( )
A．－2 B．2 2
C.3
4 D．2
3.已知(x＋
1
3
x
)n的展开式中，各项系数之和大于8且小于32，则展开式中系数最大的项是( )
A．63
x B.
4
x
C．4x 6
x D.
4
x
或4x
6
x
4.(2013·威海市模拟)设(x－2
x
)6的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，则A∶B
＝( )
A．4 B．－4 C．25 D．－25
5.(2x－1
x
)6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)
6.在(2x－1)4(1＋2x)的展开式中，x3项的系数为.
7.若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝.
8.设m，n∈N，f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋x)n.
(1)当m＝n＝2013时，记f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2013x2013，求a0－a1＋a2－…－a2013；
(2)若f(x)展开式中x的系数是20，则当m、n变化时，试求x2系数的最小值．
9.已知在(3
x－
1
2
3
x
)n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
第十一单元计数原理
第63讲两个计数原理与排列、组合的基本问题
1．A 不同的数组有C37＝35组．
2．B 利用相邻问题捆绑法，间隔问题插空法得：A22A22A23＝24，故选B.
3．B 从事A种工作有4种选择，从事B，C，D工作的有5×4×3＝60种选择，故共有4×60＝240，故选B.
4．C 依题意，可将所有的投放方案分成三类：(1)使用甲原料，有C13×1＝3种投放方案；
(2)使用乙原料，有6种投放方案；(3)甲、乙原料都不使用，有A23＝6种投放方案，所以共有3＋6＋6＝15种投放方案，故选C.
5．112 根据分层抽样，抽取男生1人，女生2人，所以取2个女生1个男生的方法：C28C14＝112.
6．12 先填第一行，则第一行有A33＝6种，第二行第一列有2种，其余2列有唯一1种，第三列唯一确定1种，共有6×2＝12(种)．
7．D 完成这件事情分成两步即可：第一步，从5,6,7,8四个数字中选两排在第一，二行的末尾并且小数排在第一行，大数排在第二行，共有C24＝6种；第二步，从5,6,7,8四个数字中余下两个数字选两排在第一，二列的末尾并且小数排在第一列，大数排在第二列，共有C22种，于是这种排列的方法共有6种，故选D.
8．解析：若每个区域服装颜色不相同，则有C14·C13·C12·C1＝24种，若Ⅰ、Ⅲ或Ⅱ、Ⅳ同色，另二区域不同色，则有2C14×3×2＝48种；若Ⅰ、Ⅲ与Ⅱ、Ⅳ分别同色，则有C24·A2＝12种．故共有24＋48＋12＝84种．
9．解析：(1)分两类：甲站排尾，有A55种；甲站中间四个位置中的一个，且乙不站排尾，有A14A14A44种．
由分类计数原理，共有A55＋A14A14A44＝504(种)．
(2)分两步：首先将甲、乙站在中间四个位置中的两个，有A24种；再站其余4人，有A44种．由分步计数原理，共有A24·A4＝288(种)．
(3)分两步：先站其余3人，有A33种；再将甲、乙、丙3人插入前后四个空当，有A34种．由分步计数原理，共有A33·A34＝144(种)．
(4)分三类：丙站首位，有A24A33种；丙站末位，有A24A33种；丙站中间四个位置中的一个，有A14A23A33种．
由分类计数原理，共有2A24A33＋A14A23A33＝288(种)．
第64讲排列与组合综合应用问题
1．B 安排方法可分为3＋2及2＋3两类，则共有C25×A2＝20种分法，故选B.
2．C 依题意知1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有A25·A4种(注：A25表示的是从这5位同学中任选2位在两端排列的方法数；A44表示其余四人的排列方法数)，故选C.
3．B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为C34，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为C24，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为A33，即满足题意的情况共有C34C24A33种，故选B.
4．B 若穿两种不同颜色衣服，则应有C24A12＝12种，若穿三种衣服，则应有2×C34A13A22＝48种，若穿四种衣服，则应有A44＝24，故总的不同穿衣的方法为84种，故选B.
5．C 如图，M ，N ，P ，Q 共有6条线段(桥抽象为线段)，任取3条有C36＝20种方法，减去不合题意的4种，则不同的方法有16种，故选C.
6．B 可按照大人带小孩的方式进行分类：当1个大人带2个小孩坐甲游艇时有C13(1＋A22)＝9种坐法，当2个大人带1个小孩坐甲游艇时有C23·C 12＝6种坐法，当1个大人带1个小孩坐甲游艇时有C13C12C12＝12种坐法，因此总共有9＋6＋12＝27种坐法，故选B.
7．3645 构成“彩虹四位数”可以分为两类：一类是a>b 且c<d ，此时共可得到45×45个“彩虹四位数”；一类是a<b 且c>d ，此时共可得到36×45个“彩虹四位数”(首位不能为0)，据加法原理得：正四位数中“彩虹四位数”的个数为3645.
8．解析：“间接法”：从非前排的中间的三个座位的20个座位中选2个坐这两人共有A220种坐法，而前排两人相邻有2×3A 2种坐法，后排两人左右相邻有11A22种坐法，故共有A220－2×3A 2－11A22＝346种．
9．解析：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24种测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．
所以共有不同测试方法A46·A 24·A 4＝103680种．
(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法A14·(C 16·C 3)A44＝576种．
第65讲 二项式定理
1．B 令x ＝－1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，故选B.
2．D (ax －1)5的展开式中含x3的项为C25(ax)3(－1)2＝10a3x3，由题意得10a3＝80，所以a ＝2，故选D.
3．A 由条件可得8<2n<32，所以n ＝4，又二项式中两项系数均为1，所以展开式中系数最大的项就是二项式系数最大项，即为C24(x)2(13x )2＝63x ，故选A. 4．A Tk ＋1＝Ck 6x6－k(－2x
)k ＝Ck 6x6－3k 2(－2)k ， 令6－3k 2
＝3，即k ＝2，所以T3＝C26x3(－2)2＝60x3， 所以x3的系数为A ＝60，二项式系数为B ＝C26＝15，所以A ∶B ＝60∶15＝4，故选A.
5．－160 通项Tr ＋1＝Cr 6(2x)6－r(－1x
)r ＝Cr 626－r(－1)rx3－r ，由题意知3－r ＝0，r ＝3，
所以二项展开式中的常数项为T4＝C3623(－1)3＝－160.
6．16 C24×22×2×(－1)2＋C34×23×(－1)×1＝48－32＝16.
7．70 因为(1＋2)5＝C05(2)0＋C15(2)1＋C25(2)2＋C35(2)3＋C45(2)4＋C55(2)5＝41＋292，由已知得a ＝41，b ＝29，所以a ＋b ＝70.
8．解析：(1)令x ＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2013＝(1－2)2013＋(1－1)2013＝－1.
(2)因为2C1m ＋C1n ＝2m ＋n ＝20，
所以n ＝20－2m ，则x2的系数为
22C2m ＋C2n ＝4×m m－1 2＋n n－1 2＝2m2－2m ＋12
(20－2m)(19－2m)＝4m2－41m ＋190， 所以当m ＝5，n ＝10时，f(x)展开式中x2的系数最小，最小值为85.
9．解析：(1)通项公式
Tr ＋1＝Cr n x n －r 3(－12)rx －r 3＝Cr n (－12)rx n －2r 3
， 因为第6项为常数项，则r ＝5时，有n －2r 3
＝0， 所以n ＝10.
(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12
(n －6)＝2， 所以所求的系数为C210(－12)2＝454
. (3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 10－2r 3∈Z
0≤r≤10r ∈Z .
令10－2r 3＝k(k ∈Z)，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32
k ， 因为r ∈Z ，所以k 应为偶数，
所以k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8，
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C210(－12)2x2，C510(－12)5，C810(－12
)8x －2.。