高考数学课标Ⅱ版§11.2 二项式定理

4
2
8.(2016天津,10,5分)

x2

1 x
8

的展开式中x7的系数为
答案 -56
.(用数字作答)
解析 Tr+1= C8r x16-2r(-x)-r=(-1)-r C8r x16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3C 83 =-56.
9.(2015四川,11,5分)在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是

1 x
5

的展开式的通项公式为Tr+1= C5r
(-1)r·25-r·x5-2r,∴
x

1 x


2x

1 x
5

展开式中的常
数项为x·C 35
(-1)322·x-1+1
x
·C 52
·(-1)2·23·x=-40+80=40,故选D.
评析 本题主要考查二项式的展开式的通项公式和各项系数之和,以及多项式的乘法,属中等 难度题.
2.(2018浙江,14,4分)二项式

3
x

1 2x
8
的展开式的常数项是

.
答案 7
解析 本小题考查二项式定理,二项展开式的通项和相关计算.


3
x

1 2x
8
的展开式的通项Tk+1= C8k
8k
x 3
· 12
k
·x-k= 1
2k
C 8k
84k
2.(2018辽宁鞍山鞍钢三模,8)已知(2x-1)4=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4,则a2= ( ) A.18 B.24 C.36 D.56
答案 B (2x-1)4=[1+2(x-1)]4 =a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4, ∴a2= C24 ·22=24,故选B.
系数和为 1 [f(1)-f(-1)],∴ 1 ×(a+1)×16=32,∴a=3.
2
2
思路分析 给展开式中的x分别赋值1,-1,可得两个等式,两式相减,再除以2得到答案.
6.(2014课标全国Ⅰ,13,5分,0.552)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 案)
答案 -20
.(用数字填写答
答案 D 由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为Tr+1= C5r ·xr,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展 开式中x2的系数为 C52 ,当r=1时,x2的系数为 C15 ·a,所以 C52 + C15 ·a=5,a=-1,故选D.
思路分析 由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中x2的系数为 C52+a· C15 =5,由此解得 a. 4.(2015广东,9,5分)在( x -1)4的展开式中,x的系数为 .

2
x
1 6
1
x 的展开式中,含 x 项的系数为 (
)
A.-60 B.160 C.60 D.64
答案
C
Tr+1= C6r
(2 x
)6-r



1 x
r
=(-1)r26-r C.
∴含 1x 项的系数为(-1)4×22× C64 =60.故选C.
16
解析

x

1 4x
6

的展开式的通项为Tr+1= C6r
x6-r


1 4x
r

=

1 4
r
C6r
x6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以x2的系数
为 C62
×


1 4
2
= 15 .
16
7.(2015重庆,12,5分)
1 x2

(1+x)6,若要得到x2项,可以在

1

1 x2

中选取1,此时(1+x)6中要选取含x2的项,则系数
为 C62
;当在1

1 x2

中选取 x12 时,(1+x)6中要选取含x4的项,即系数为 C64,所以,展开式中x2项的系数
为 C62 + C64 =30,故选C.
11.(2015安徽,11,5分)

x3

1 x
7
的展开式中x5的系数是
.(用数字填写答案)
答案 35
解析 展开式的通项为Tk+1= C7k (x3)7-k·x-k= C7k x21-4k,令21-4k=5,得k=4,则展开式中x5的系数为 C74 =35.
C组 教师专用题组
考点 二项式定理
1 x
5
的展开式中x5的系数是-80,则实数a=
.
答案 -2
解析
Tr+1=a5-r C5r
10 5r
x 2
,令10-
5 2
r=5,解之得r=2,所以a3 C52
=-80,a=-2.
6.(2015天津,12,5分)在

x

1 4x
6

的展开式中,x2的系数为
.
答案 15

x3

2
1
x
5

的展开式中x8的系数是
(用数字作答).
答案 5
2
解析
二项展开式的通项为Tr+1= C5r
(x3)5-r·

2
1
x
r
=
1
2r
C5r
· x153r

r 2
,令15-3r- 2r =8,得r=2,于是展开式中x8的系数为 212 ×C 52
= 1 ×10= 5 .
1.(2011课标,8,5分) x
a x


2
x

1 x
5
的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为
(
)
A.-40 B.-20 C.20 D.40
答案 D 由题意,令x=1,得展开式各项系数的和(1+a)·(2-1)5=2,∴a=1.
∵二项式 2x
3.(2017课标全国Ⅲ,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为 ( ) A.-80 B.-40 C.40 D.80
答案 C 本题考查二项式定理,求特定项的系数. (2x-y)5的展开式的通项为Tr+1= C5r ·(2x)5-r·(-y)r=(-1)r·25-Cr 5r ·x5-ryr.其中x2y3项的系数为(-1)3·22C· 35 =-40,x 3y2项的系数为(-1)2·23·C 52 =80.于是(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为-40+80=40.
(用数字填写答案).
答案 -40 解析 Tr+1= C5r ·(2x)5-r·(-1)r=(-1)r·25-r·C 5r ·x5-r,令5-r=2,则r=3,所以含x2的项的系数是-40.
10.(2015福建,11,4分)(x+2)5的展开式中,x2的系数等于
.(用数字作答)
答案 80
解析 Tr+1= C5r x5-r·2r(r=0,1,…,5),令5-r=2,得r=3,所以x2的系数为C 35 ×23=80.
的展开式中,各项系数之和为A,各项的二项式系数之和为B,若 A =
由题意得Tr+1= C5r
x5-r


2
1
x
r

=

1 2
r

C5r
5 3r
x 2
,
令5- 3r =2,得r=2,所以 2


1 2
r
C5r
=

1 2
2
C52
= 5 .
2
故x2的系数为 5 .
2
方法总结 求二项展开式中的某一项的系数时,直接利用展开式的通项Tr+1= Crnan-rbr进行求解.
方法总结 写出二项展开式的通项,化简通项,解出满足题意的r的值,代入通项是解决此类问 题的通法.
5.(2015课标全国Ⅱ,15,5分,0.433)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .
答案 3
解析 设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的
解析 本题考查二项式定理,求指定项系数,组合数计算,考查运算求解能力. 设(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2. 则a4=b2c2+b3c1= C32 ×12×22+13× C12 ×2=16, a5=b3c2=13×22=4.
5.(2016山东,12,5分)若 ax2
2.(2014四川,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( ) A.30 B.20 C.15 D.10
答案 C 在(1+x)6的展开式中,含x2的项为T3= C62 ·x2=15x2,故在x(1+x)6的展开式中,含x3的项的系 数为15. 3.(2013课标全国Ⅱ,5,5分,0.736)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a= ( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
考点 二项式定理
1.(2018课标全国Ⅲ,5,5分)

x
2

2
5

x 的展开式中x4的系数为
(
)
A.10 B.20 C.40 D.80
答案 C 本题考查二项式定理.


x2

2 x
5

的展开式的通项Tr+1= C5r (x2)5-r·(2x-1)r=2rC 5r
·x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系数为22×C 52
=4
0.故选C.
2.(2017课标全国Ⅰ,6,5分) 1
1 x2

(1+x)6展开式中x2的系数为
(
)
A.15 B.20 C.30 D.35
答案 C 本题考查二项式定理中项的系数问题.
对于1
3.(2017甘肃天水一模,4)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为 ( ) A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4
答案 A (x+i)6的展开式中含x4的项为 C62 x4·i2=-15x4,故选A.
4.(2017吉林三模,5)

x

3 x
n

·x 3
,要使Tk+1为常数,则8 4k
3
=0,∴k=2,
此时T3=
1 22
× C82
=7,故展开式的常数项为7.
思路分析 (1)求出二项展开式的通项.(2)令通项中x的指数为0,得k的值.(3)计算此时的Tk+1.
3.(2017山东,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=
4.(2016课标全国Ⅰ,14,5分)(2x+ x )5的展开式中,x3的系数是
.(用数字填写答案)
答案 10
解析
Tr+1= C5r (2x)5-r·( x
)r=25-rC 5r
5 r
·x 2
,令5-r
2
=3,得r=4,∴T5=10x3,∴x3的系数为10.
思路分析 利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为3,求出r,即可求解x3的系数.
解析 由二项展开式公式可知,含x2y7的项可表示为x· C87 xy7-y·C 86 x2y6,故(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的 系数为C87- C86=C 18 - C82 =8-28=-20.
思路分析 由题意求出(x+y)8中xy7,x2y6项的系数,求和即可. 解后反思 求二项展开式中指定项的系数时,准确利用二项展开式通项公式写出通项是求解 关键.
思路分析 由二项式定理得通项Tr+1= C1r0 x10-rar,由此得到T4= C130 x7a3,解方程 C130 a3=15即可.
B组 自主命题·省（区、市）卷题组
考点 二项式定理
5
1.(2018天津,10,5分)在

x

1 2x

的展开式中,x2的系数为
.
答案 5
2
解析 本题主要考查二项展开式特定项的系数.
答案 6
解析
4r
( x -1)4的展开式通项为Tr+1= C4r ( x )4-r(-1)r=(-1)r·C 4r ·x 2
,令4 r
2
=1,得r=2,从而x的系数为
C24 (-1)2=6.
三年模拟
A组 2016—2018年高考模拟·基础题组
考点 二项式定理
1.(2018辽宁抚顺4月模拟,7)在
7.(2014课标全国Ⅱ,13,5分,0.719)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a= 答案)
答案 1
2
解析 Tr+1= C1r0 x10-rar,令10-r=7,得r=3,
∴ C130
a3=15,即 10 98
3 21
a3=15,∴a3= 1 ,∴a= 1 .
8
2
.(用数字填写
.
答案 4
解析 本题主要考查二项展开式. (1+3x)n的展开式的通项Tr+1= Crn 3rxr,∴含有x2项的系数为 C2n 32=54,∴n=4.
4.(2017浙江,13,5分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=
,a5=
.
答案 16;4