湖南省衡阳县第四中学高二数学上学期期末复习试题(3)文

衡阳县四中2014年高二上学期期末复习文科测试题三
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 1、下列命题中，假命题是（ D ）
A ．2,30x x R -∀∈>
B ．00,tan 2x R x ∃∈=
C ．020,log 2x R x ∃∈<
D ．2,(2)0x N x *∀∈-> 2、不等式2
3520x x +-≤的解集是（ C ）
A ．{|3x x >或1}2x <
B ．1
{|3}2
x x -
≤≤ C ．{|3x x ≥或1
}2
x ≤ D ．R
3、等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若12345,9a a a a +=+=，则10S 的值为（ B ） A ．55 B ．65 C ．60 D ．70
4、在ABC ∆中，若2
221()4
ABC S a b c ∆=
+-，那么C 等于（ B ） A ．3π B ．4π C ．23π D ．34
π
5、一元二次方程2
210(0)ax x a ++=≠有一个正跟和一个负根的充分不必要条件是（ C ） A ．0a < B ．0a > C ．1a <- D ．1a > 6、下列结论中正确的是（ A ） A ．当0x >且1x ≠时，1
lg 2lg x x
+
≥
B ．当0x >2
≥ C ．当2x ≥时，函数1
y x x
=+
的最小值为2 7.已知x>0，y>0，且＝1，若x ＋2y>m 2
＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( D )．
A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)
B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C ．(－2,4)
D ．(－4,2)
8．已知点(3,2)A , F 为抛物线2
2y x =的焦点, 点P 在抛物线上, 使PA PF +取得最小值, 则最小值为 （ D ） A ．
32 B ． 2 C ．52 D ． 72
9、设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是 （ A ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10. 已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为（ C ） A
．
C ．
D ．2
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

. 11. 在正项等比数列{}n a 中，6lg lg lg 963=++a a a ，则111a a 的值是_______10000
12.曲线21y x =+在点()1,2P 处的切线方程为 . 2y x =
13.设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ， 233,7S S ==，则公比q =__________.2
14、如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座 灯塔P 的南偏西75距灯塔68海里的M 处，下午2时到达 这座灯塔的东南方向N 处，则该船航行的速度为 海里/小时
１5．给出以下四个命题：
①已知命题:,tan 2p x R x ∃∈=；命题2
:,10q x R x x ∀∈-+≥．则命题p q 且是真命题；
②；命题“若1m ≤，则022
=+-m x x 有实根”的逆否命题； ③命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ④命题2
"11"x ≥≥则x 的逆命题．
其中正确命题的序号为___________．（把你认为正确的命题序号都填上）①②③
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）
设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且 B a b sin 2=
（1）求A 的大小；
（2
）若1b c ==，求a 。

解：（Ⅰ）由B a b sin 2=
，根据正弦定理得:B A B sin sin 2sin =，
因为在三角形中0sin ≠B ， 所以2
2
sin =A ， 由ABC ∆为锐角三角形，得4
A π
=．………………………………………………6分 （Ⅱ）根据余弦定理，得
A bc c b a cos 2222-+=
2π
61)21)cos 44,
=+-=
所以 2a =. ……………………………………………………………12分
17、（本小题满分12分）
公差不为零的等差数列{}n a 中，37a =，且249,,a a a 成等比数列 （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n a
n b =，求数列{}n b 的前n 项和n S
解：（Ⅰ）由数列{}n a 为公差不为零的等差数列，设其公差为d ，且0d ≠.
∵249,,a a a 成等比数列，
∴2429a a a =⋅，即2111(3)()(8)a d a d a d +=++．
整理得 2
13d a d =.∵0d ≠，∴13d a =.……①
∵37a =，∴127a d +=.……②
由①②解得 11,3,a d == ∴1(1)332n a n n =+-⨯=-.
所以{}n a 的通项公式是32n a n =-. ………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知32
2
n n b -=，
∵
3(1)2
1
32
2
8
2
n
n
n
n
b
b
+-
+
-
==，∴{}
n
b是等比数列，且公比为8，首项
1
2
b=，
∴
2(18)2(81)
187
n n
n
S
--
==
-
. …
（4分）
则满足的关系为5x 6y 5010x 20y 140x 0y 0+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≥≥⎩，即：6x y 105x 2y 14x 0y 0⎧+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥≥⎪
⎩
，，（6分）
作出不等式表示的平面区域，
当z=200x+300y 对应的直线过两直线6x y 105
x 2y 14
⎧+=⎪
⎨⎪+=⎩的交点（4，5）时， 目标函数z=200x+300y 取得最低为2300元．（12分）
20、（本小题满分13分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>经过点3(1,)2M ，且离心率为12
（1）求椭圆C 的方程； （2）设直线1
:()2
l y kx m k =+≤
与椭圆C 相较于,A B 两点， 以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OPAB ，顶点P 恰好在椭 圆C 上，O 为坐标原点，求OP 的取值范围。

解：(Ⅰ)由已知：222
21
4
a b e a -=
=，…① 又点3
(1,)2M 在椭圆上，所以
22
1914a b +=，…② 联立①②解方程组，得224, 3.a b == 故
椭
圆
C
的方程为
22
1.43
x y +=…………………………………………………5分 (Ⅱ)由22,
14
3y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩消去y ，化简整理得 222(34)84120k x kmx m +++-=
因为直线l 与椭圆C 相交于A B 、两点,
所以222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->，……③ ……7分
设点,,A B P 的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、
、， 因为OAPB 是平行四边形，所以OP OA OB =+，
即0120121222
86,()23434km m
x x x y y y k x x m k k
=+=-
=+=++=++.……………9分 由于点P 在椭圆C 上，所以22
00 1.43
x y += 从而222
2222
16121(34)(34)
k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式．
又||OP ===
因为1
||2k 0≤≤，得23434k +≤≤，有2
33
443
k +≤≤1||OP .
综上，所求||OP 的取值范围是.………………………………………………13分
21．（本小题满分13分）设函数x b ax x x f ln )(2++=，曲线)(x f y =过点P （1，0），且在P 点处的切线的斜率为2， （1），求b a ,的值。

（2）证明：22)(-≤x x f
21、（1）x b
ax x f +
+='21)(,由条件知⎩⎨⎧='=2)1(0)1(f f 即⎩
⎨⎧=++=+22101b a a
∴3,1=-=b a ……………………………………………………………………5分
（2）证明：)(x f 的定义域为),0(+∞，由（1）知.ln 3)(2x x x x f +-= 设.ln 32)22()()(2x x x x x f x g --=--= 则x
x x x x x g )
32)(1(321)(+--=+
--=' 当10<<x 时，0)(>'x g ，∴)(x g 单调增加，
当1>x 时，0)(<'x g ，∴)(x g 单调减少，而0)1(=g 故当0>x 时，0)(≤x g 。

即22)(-≤x x f …………………………………………………………………………12分。