山西省太原五中高二数学2月月考试题 理(含解析)新人教

山西省太原五中2013—2014学年度第二学期月考（2月）高三数学
(理)
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题
,2lg
P x R x x
∃∈->
：，命题2
,0
x R x
∀∈>
q：，则( )
A.命题p q
∨是假命题 B.命题p q
∧是真命题
C.命题p q
∧⌝是真命题 D.命题p q
∨⌝是假命题
2.设集合A＝B＝{(,),}
x y x R y R
∈∈
，从A到B的映射
)
,
(
)
,
(:y
x
y
x
y
x
f-
+
→在映射
下，B中的元素为（4，2）对应的A中元素为（）
A．（4，2） B．（1，3） C．（6,2） D．（3,1）【答案】D
【解析】
试题分析：∵从A到B的映射
)
,
(
)
,
(:y
x
y
x
y
x
f-
+
→，∴
4
2
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩，∴
3
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩，
∴B中的元素为（4，2）对应的A中元素为（3,1）. 考点：映射.
3.已知数列5,11,17,23,29,,
L则55是它的第（）项.
A.19
B.20
C.21
D.22
4.复数i i
+12（i 是虚数单位）的虚部是（ ）
A ．i B.i - C ．1 D.1-
5.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积为（ ）3
m ．
A ．37 B.29 C ．27
D.49
【答案】C 【解析】
试题分析：还原的几何体如图, 这是三个半棱长为1的正方体组合成的图形,则
3
77=1=
22V ⨯.
考点：三视图.
6.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）
A ．
()x
f x x =
B.
()(
)2ln
1f x x x
=+-
C ．
()x x x x e e f x e e --+=- D.()22sin 1cos x f x x =
+
【答案】B
【解析】
试题分析：通过程序框图可知，输出的函数是奇函数且有零点，
对于A 答案：
||
()x f x x =
，函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞U 关于原点对称，
||||
()()
x
x
f x f x
x x
-
-==-=-
-，函数为奇函数，而
1,0
||
()
1,0
x
x
f x
x
x
>
⎧
==⎨
-<
⎩，与x轴无交点，所以无零点，所以A错误；
对于B答案：
2
()ln(1)
f x x x
=+-，定义域为R，关于原点对称，7.若
n
x
x⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
2
2
展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．180 B．120 C．90 D．45
8.在△ABC中，若
2
AB AB AC BA BC CA CB
=⋅+⋅+⋅
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，则△ABC是( )
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
【答案】D
【解析】
试题分析：由已知得：∵
2
AB AB AC BA BC CA CB
=⋅+⋅+⋅
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，∴
2AB AB AC BA BC AC BC -•=•+•u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，∴)()AB AB AC BC BA AC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （，∴2AB CB BC •=u u u r u u u r u u u r ，∴2
0AB BC BC •+=u u u r u u u r u u u r ，∴()0BC AB BC +=u u u r u u u r u u u r ，
∴0BC AC •=u u u r u u u r
，即BC AC ⊥，则ABC ∆是直角三角形.
考点：1.向量的运算；2.垂直的充要条件.
9.函数
()sin()(0,0,|
|)
2f x A x A π
ωϕωϕ=+>><
的部分图像如图示，则将()y f x =的图
像向右平移6π
个单位后，得到的图像解析式为（ ）
A ．x y 2sin = B.x y 2cos =
C.
)
322sin(π+
=x y D.
)62sin(π
-=x y
10.已知双曲线22
22:1x y C a b -=的左、右焦点分别是12,F F ，正三角形12AF F 的一边1AF 与
双曲线左支交于点B ，且1
14AF BF =u u u v u u u v
，则双曲线C 的离心率的值是（ ）
A ．123+
B ．1313
C ．1
313+ D ．312
【答案】B 【解析】
试题分析：由已知可知：点A 在y 轴上，设(0,3)A c ，∵1
14AF BF =
u u u r u u u r ，∴124||c BF =u u u r ，
即
1||2c BF =
u u u r ， 在12BF F ∆中，01260BF F ∠=，由余弦定理有
213||c
BF =u u u u r ，由定义有: 21||||2BF BF a -=u u u u r u u u r
，
即131222c c a
-=，∴
1313131c e a +===-. 考点：1.双曲线的标准方程；2.余弦定理.
11.已知函数
()2014sin (01)(),
log 1x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若a 、b 、c 互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则a ＋b ＋c 的取值范围是（ ）
A ．（1，2014）
B ．（1，2015）
C ．（2，2015）
D ．[2，2015] 【答案】C 【解析】
试题分析：∵
()2014sin (01)(),
log 1x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩∴由图像可知: 1a b +=，12014c <<， ∴22015a b c <++<.
考点：1.函数图象2.函数的对称性.
12.设x ，y ∈R ，且满足33(2)2sin(2)2,(2)2sin(2)6,x x x y y y ⎧-++-=⎪⎨
-++-=⎪⎩则x y +=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
∴
111
t -<<，
201
t <<，∴12x <<，23y <<，∴35x y <+<，∴4x y +=.
考点：1.函数图象2.三角函数的性质.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向
量(1,2),(2,)a b λ=-=
r r ，且a r 与b r
的夹角为锐角，则实数λ的取值范围
是 .
14.已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，n S 、n T 分别是它们的前n 项和，且713n n S n T n +=
+，
则251722
8
101216a a a a b b b b ++++++的值为_______________．
15.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形。

∠ACB=900，AC=6，BC=CC1=2，P 是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为___________
16.已知0a >，函数
32
f(x)x ax bx c =+++在区间[2,2]-单调递减，则4a b +的最大值为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，12a =，318a =，
等差数列{}n b 中，1
2b =，且
123123420
a a a
b b b b ++=+++>．
⑴求数列{}n a 的通项公式n a ；
⑵求数列
{}n b 的前n 项和n S ．
【答案】（1）
1
23
n n a -=•；（2）
231
22n S n n
=+. 【解析】
试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式等数学知识，考查学生熟练运用数学公式的能力和计算能力.第一问，利用等比数列的通项公式将
3
a 展开，求出q ，但是得到2个值，利用12320
a a a ++>验证，把不符合题意的情况舍掉，
得
到
3
q =，写出等比
数
列
{}
n a 的
通
项
公
式
；
18.（本小题满分12分）某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表： 分数段（分） [50,70) [70,90) [90,110) [110,130) [130,150) 总计 频数 b 频率
a
0.25
（1）求表中a ，b 的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90,150）内为及格）：
（2）从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.
【答案】（1）0.1a =，3b =，[90,100)范围内的学生人数为4，及格率为65%；（2）分
布列详见解析，
16
7Ex =
.
（2）由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有7人，分数在[100,110)范围内的有4人，
则随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.相应的概率为：P(X=1)=
13
43
4
7
C C
C
=
4
35；P(X=2)=
22
43
4
7
C C
C
=
18
35；P(X=3)=
31
43
4
7
C C
C
=
12
35；P(X=4)=
40
43
4
7
C C
C
=
1
35.
随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P 4
35
18
35
12
35
1
35
E(X)=1×
4
35+2×
18
35+3×
12
35+4×
1
35=7
16
考点：1.茎叶图；2.频率；3.随机变量的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）如图1，等腰梯形ABCD中，E
ABC
AD
AB
BC
AD,
60
,
,
//︒
=
∠
=
是BC的中点，如图2，将ABE
∆沿AE折起，使面⊥
BAE面AECD，连接BD
BC,，P 是棱BC上的动点．
（1）求证：BD
AE⊥
（2）若
,2
=
AB当BC
BP
为何值时，二面角C
ED
P-
-的大小为︒
45
【答案】（1）证明过程详见解析；（2）5
3
=
BC
BP
.
由题ABE ∆,ADE ∆,CDE ∆均为正三角形，∴BO AE ⊥，OD AE ⊥，∵BO DO O =I ,
∴AE ⊥平面BOD ，∴AE BD ⊥.
(2) ∵平面ABE ⊥平面AECD ，BO AE ⊥，平面ABE I 平面AECD AE =，∴BO ⊥平面AECD ，
AE OD DO BO ⊥⊥∴Θ,，所以如图建立空间直角坐标系xyz -O
AB=2,则3==DO BO , B(0,0,3), D(0, 3,0) E(1,0,0), C(2, 3,0)
,2(
=BC 3,3-),)0,3,1(-=ED ,)3,0,1(-=EB
设
m BC
BP
=,
)33,3,2()3,3,2()3,0,0(m m m m BC m OB BP OB OP -=-+=+=+= )33,3,12(m m m EP --=设平面PDE 的法向量为),,z y x n （=,
20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛23,1在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量)1,2(=d ρ
的直线l 交椭圆C 于A 、
B 两点，求证：2
2||||PB PA +为定值．
（2）设)0,(m P （22≤≤-m ），由已知，直线l 的方程是
2m
x y -=
，
由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,
14,)(2122
y x m x y ⇒
042222=-+-m mx x （*） 设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是方程（*）的两个根，
所以有，,22
m x x =+24221-=
m x x ， 所以，
2222212122)()(||||y m x y m x PB PA +-++-=+ ]
)()[(45
)(41)()(41)(222122222121m x m x m x m x m x m x -+-=-+-+-+-=
]22)(2)[(45]2)(2[45221212212212221m x x x x m x x m x x m x x +-+-+=++-+=
5]2)4(2[45
2222=+---=m m m m （定值）．
所以，2
2||||PB PA +为定值．
考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.韦达定理；4.两点间距离公式.
21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =． （I ）求函数()f x 的单调递减区间；
（II ）若
2
()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （III ）过点
2
(,0)A e --作函数()y f x =图像的切线，求切线方程 试题解析：（Ⅰ）'()ln 1f x x =+Q '()0f x ∴<得ln 1x <-
10x e ∴<<
∴函数()f x 的单调递减区间是1
(0,)
e ；
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连结EC 、CD. （Ⅰ）求证：直线AB 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）若tan ∠CED=21
,⊙O 的半径为3，求OA 的长.
【答案】（1）证明过程详见解析；（2）5OA .
【解析】
试题分析：本题主要以圆为几何背景，考查三角形中边和角的关系、相似三角形问题等数学知识，考查学
23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，参数方程为
为参数）
t
t
y
t
x
(
2
1
2
3
2
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
+
=
的直线l，被以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，极坐标方程为
θ
ρcos
2
=的曲线C所截，求截得的弦长．
24. （本小题满分10分）选修45
-：不等式选讲
设函数
()|4|||
f x x x a
=-+-(4)
a<
（1）若(
)f x 的最小值为3，求a 的值； （2）求不等式()3f x x ≥-的解集. 【答案】（1）1a =；（2）R. 【解析】
⑵不等式x x f -≥3)(即不等式x a x x -≥-+-34 )4(<a ，
①当a x <时，原不等式可化为43,x a x x -+-≥- 即 1.x a ≤+
所以，当a x <时，原不等式成立.
②当4≤≤x a 时，原不等式可化为43.x x a x -+-≥- 即 1.x a ≥-所以，当4≤≤x a 时，原不等式成立. ③当4>x 时，原不等式可化为43.x x a x -+-≥-
即
7,3a x +≥
由于4<a 时7
4.3a +>
所以，当4>x 时，原不等式成立.
综合①②③可知： 不等式x x f -≥3)(的解集为R. 考点：1.不等式的性质；2.绝对值不等式的解法.。