【人教A版】2012高三数学(文)《绿色通道》一轮复习第8章8-5课件

【例 4】 椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的两个焦点
为 F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，且 PF1⊥F1F2，|PF1|＝43，
|PF2|＝134.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若直线 l 过圆 x2＋y2＋4x－2y＝0 的圆心 M，交椭圆 C 于 A，B 两点，且 A，B 关于点 M 对称，求直线 l 的 方程
则63mm＋＋n2＝n＝1，1
① ②
①、②两式联立，解得mn＝＝1319.， ∴所求椭圆方程为x92＋y32＝1.
• 运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法 建立关于a、b的方程组，先定型、再定量，
若位置不确定时，考虑是否两解，有时为 了解题需要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝ 1(m>0，n>0，m≠n)，由题目所给条件求 出m、n即可.
• (2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2， y2)．
• 已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5，所 以圆心M的坐标为(－2,1)，从而可设直线l 的方程为：
• y＝k(x＋2)＋1，
• 代入椭圆C的方程得：
• (4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27 ＝0.
B.1x62 ＋1y22 ＝1
C.4x82 ＋6y42 ＝1
D.6x42 ＋4y82 ＝1
解析：∵y2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴mx22＋ny22＝1 的右焦点为(2,0)，∴m>n 且 c＝2. 又 e＝12＝m2 ，∴m＝4. ∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12. ∴椭圆方程为1x62 ＋1y22 ＝1. 答案：B
• 因为A，B关于点M对称，
所以x1＋2 x2＝－148＋k2＋9k92k＝－2， 解得 k＝89， 所以直线 l 的方程为 y＝89(x＋2)＋1， 即 8x－9y＋25＝0. (经检验，所求直线方程符合题意)
解法二：(1)同解法一． (2)已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5， 所以圆心 M 的坐标为(－2,1)， 设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)． 由题意 x1≠x2， x921＋y421＝1① x922＋y422＝1② 由①－②得：
|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|， ∴ 原 式 ＝ (|P7F| ＋ |P7F′|) ＋ (|P6F| ＋ |P6F′|) ＋ (|P5F| ＋ |P5F′|)＋12(|P4F|＋|P4F′|)＝7a＝35.
【例 2】 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴 是短轴的 3 倍，并且过点 P(3,0)，求椭圆的方程；
2．已知方程|mx|－2 1＋2－y2m＝1，表示焦点在 y 轴上
的椭圆，则 m 的取值范围为
()
A．(－∞，32)
B．(1,2)
C．(－∞，0)∪(1,2)
D．(－∞，－1)∪(1，32)
|m|－1>0 解析：2－m>0
2－m>|m|－1
m>1
①当
m>0
时，m<2 m<32
• 解：∵|PA|＋|PA′|＝m，|AA′|＝2，
• |PA|＋|PA′|≥|AA′|，∴m≥2.
• (1)当m＝2时，P点的轨迹就是线段AA′.
• ∴其方程为y＝0(－1≤x≤1)．
• (2)当m>2时，由椭圆的定义知，点P的轨 迹是以A、A′为焦点的椭圆．
• ∵2c＝2,2a＝m，
∴a＝m2 ，c＝1，b2＝a2－c2＝m42－1. ∴点 P 的轨迹方程为mx422＋m42y－2 1＝1.
(a>b>0)
(a>b>0)
－ a ≤x≤ a
，－b
≤y≤.b
－ a ≤y≤ a ， － b ≤x≤称轴， 原点 是椭圆的对 称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的 中心．
顶点
椭圆的对称轴与椭圆的交点叫做椭圆的 顶点．
离心率 e＝
1．已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶
第五节
椭圆
考纲 要求
热点 提示
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆的定义、标准方程及简单的几何性质． 3．会用椭圆的定义解题． 4．会求椭圆的方程.
1.对椭圆的考查 (1)椭圆的定义的灵活运用． (2)利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率求值问题． (3)求椭圆的标准方程． 2．椭圆是圆锥曲线中最重要的内容之一，因而是高考命 题的热点，主要考查椭圆的定义，椭圆的性质，借助椭圆 的形式把几何条件转化为代数形式的变形能力.
所以(a－c2c)2＋4((aa＋－cc))22＝1，整理得 c2＋10ac－3a2 ＝0，即 e2＋10e－3＝0，解得 e＝2 7－5.故填 2 7－ 5.
• 本题考查椭圆、两直线的位置关系等基础 知识，同时考查考生运算求解能力和方程
思想的运用．试题设计的思路非常明确，
就是求出两条直线的交点坐标后，根据中 点坐标公式求出点M的坐标，代入椭圆方 程得到一个关于a，c的齐次方程，从而转 化为关于离心率的方程解决.
• 思路分析：(1)可根据椭圆定义来求椭圆方 程；
• (2)解法一：设斜率为k，表示出直线方程， 然后与椭圆方程联立，利用根与系数的关 系及中点坐标公式求解；
• 解法二：设出A、B两点坐标，代入椭圆方 程，作差变形，利用中点坐标公式及斜率 求解(即点差法)．
解法一：(1)因为点 P 在椭圆 C 上， 所以 2a＝|PF1|＋|PF2|＝6，a＝3. 在 Rt△PF1F2 中， |F1F2|＝ |PF2|2－|PF1|2＝2 5， 故椭圆的半焦距 c＝ 5， 从而 b2＝a2－c2＝4， 所以椭圆 C 的方程为x92＋y42＝1.
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且 经过两点 P1( 6，1)、P2(－ 3，－ 2)，求椭圆的方程．
• 思路解：分(1)析若焦：点利在用x 轴待上定，设系方数程法为ax求22＋椭by22＝圆1(方a>b程>0．)．
∵椭圆过 P(3,0)，∴3a22＋0b22＝1. 又 2a＝3×2b，∴a＝3，b＝1，方程为x92＋y2＝1. 若焦点在 y 轴上，设方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)．
• 思路分析：关键是找到a，c所满足的方程， 根据点M在椭圆上解决．
解：设 F(c,0)，则 c2＝a2－b2.由题意得：直线 A1B2 的方程为：－xa＋by＝1，直线 B1F 的方程为：cx＋－yb＝ 1.二者联立解得：T(a2－acc，b(aa－＋cc))，
则 M 点坐标为(aa－cc，b2((aa＋ －cc)))，又 M 点在椭圆ax22＋ by22＝1(a>b>0)上，
答案：3x62 ＋y92＝1.
【例 3】 (2009·江苏卷)如下图所示，在平面直角 坐标系 xOy 中，A1，A2，B1，B2 为椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0) 的四个顶点，F 为其右焦点，直线 A1B2 与直线 B1F 相交 于点 T，线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点， 则该椭圆的离心率为__________．
答案：3
变式迁移 1 如右图，把椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的长轴 AB 分成 8 等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于 P1、P2、……、P7 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则|P1F|＋|P2F|＋……＋|P7F|＝__________.
解：设椭圆右焦点为 F′，由椭圆的对称性知，|P1F| ＝
(2)设 M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆焦点 F1、 F2 的坐标分别为(0，－c)，(0，c)．又点 M 与点 F1、 F2 的距离的和等于常数 2a(2a>2c>0)，则椭圆的标准方 程是：ay22＋bx22＝1(其中 b2＝a2－c2，a>b>0)．
3.椭圆的简单几何性质
标准 方程
范围
解：(1)设 F1(－c,0)， 则 xM＝－c，yM＝ba2， ∴kOM＝－abc2.
∵kAB＝－ba，O→M与A→B是共线向量，
∴－abc2＝－ba，∴b＝c，故
e＝
2 2.
(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ， ∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c， cosθ＝r12＋2rr221－r2 4c2＝(r1＋r2)22－r12rr21r2－4c2 ＝ra1r22－1≥(r1＋a22r2)2－1＝0， 当且仅当 r1＝r2 时，cosθ＝0， ∴θ∈[0，2π]．
4．已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F(－2 3，0)，
且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是
__________．
c＝2 3
解析：由已知得a＝2b
，
a2＝b2＋c2
解得 a2＝16，b2＝4.
答案：1x62 ＋y42＝1
• 5．若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1,0)， A′(1,0)的距离和为定值m，试求点P的轨迹 方程．
，∴1<m<32.
m<－1
②当 m<0 时，m<2
，∴m<－1.
2－m>－m－1
∴m 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，32)． 答案：D
3．设椭圆mx22＋ny22＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线 y2
＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 ( )
A.1x22 ＋1y62 ＝1
∵椭圆过点 P(3,0)，∴0a22＋3b22＝1 又 2a＝3×2b，∴a＝9，b＝3. ∴方程为8y12 ＋x92＝1. ∴所求椭圆的方程为x92＋y2＝1 或8y12 ＋x92＝1.
(2)设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)． ∵椭圆经过 P1、P2 点，∴P1、P2 点坐标适合椭圆方 程，
【例 1】 (2009·上海卷)已知 F1、F2 是椭圆 C：ax22＋by22 ＝1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2， 若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝__________.
• 思路分析：本题中，△PF1F2是一个面积等 于9的直角三角形，分析这个三角形的特 点解解：决设．椭圆的焦点坐标为(±c,0)，根据椭圆定义和
变式迁移 3 已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的长轴、 短轴端点分别为 A、B，从椭圆上一点 M(在 x 轴上方) 向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 F1，向量A→B与 O→M是共线向量．
(1)求椭圆的离心率 e； (2)设 Q 是椭圆上任意一点，F1、F2 分别是左、右 焦点，求∠F1QF2 的取值范围．
• 1．椭圆的定义 • 平面内与两个定点F1、F2距离的和等于常
数2a(2a> • |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse)．这两
个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的 距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程 (1)设 M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆焦点 F1、F2 的坐标分别为(－c,0)，(c,0)．又点 M 与点 F1、F2 的距离 的和等于常数 2a(2a>2c>0)，则椭圆的标准方程是：ax22＋by22 ＝1(其中 b2＝a2－c2，a>b>0)．
变式迁移 2 (2009·广东卷)已知椭圆 G 的中心在 坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 23，且 G 上一点 到 G 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为 __________．
解析：由题意设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，根
据椭圆定义 2a＝12，即 a＝6.又ac＝ 23，得 c＝3 3，故 b2＝a2－c2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为3x62 ＋y92＝1. 故填3x62 ＋y92＝1.
点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC
边上，则△ABC 的周长是
()
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
解析：设椭圆的另一焦点为 F，则由椭圆的定义知 |BA|＋|BF|＝2 3，且|CF|＋|AC|＝2 3，所以△ABC 的 周长为|BA|＋|BF|＋|CF|＋|AC|＝4 3.
答案：C
△PF1F2 是 一 个 面 积 等 于 9 的 直 角 三 角 形 ， 有
|PF1|＋|PF2|＝2a， |PF1|·|PF2|＝18， |PF1|2＋|PF2|2＝4c2.
第一式两端平方并把第二、三两
式代入，可得 4c2＋36＝4a2，即 a2－c2＝9，即 b2＝9，
即 b＝3.故填 3.