2022届四川省内江市高三下学期4月第三次模拟考试数学(文)试题(含答案)

内江市高中2022届第三次模拟考试题
数学（文科）
1.本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答第Ⅰ卷时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫来的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。

3.考试结束后，监考员将答题卡收回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.
1.已知集合{
A x y ==，{}0,1,2,3
B =，则A B ⋂=（ ）
A.{}3
B.{}2,3
C.{}1,2,3
D.{}0,1,2,3
2.若复数z 满足()11z i i +=-，则z 的虚部为（ ） A.i -
B.1-
C.i
D.1
3.设0.1
2a =，0.2
12b -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，2log 0.3c =，则（ ） A.a b c >>
B.a c b >>
C.b c a >>
D.b a c >>
4.四川省现在的高考模式仍要分文理科，某中学在统计高一学生文理科选择意愿时，抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高条形图：
根据这两幅图中的信息，下列结论中正确的是（ ） A.样本中的女生数量少于男生数量
B.样本中有文科意愿的学生数量多于有理科意愿的学生数量
C.样本中的男生偏爱理科
D.样本中的女生偏爱文科
5.三棱锥A BCD -的侧视图、俯视图如图所示，则（ ）
A.三棱锥A BCD -的体积为3
B.AC BD ⊥
C.平面ABC ⊥平面BCD
D.平面ABC ⊥平面ACD
6.已知在等比数列{}n a 中，133a a +=，356a a +=，则13a a =（ ） A.2
B.4
7.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在11111+
+
+⋅⋅⋅
表达式中“…”既代表无
限次重复，但原式却又是个定值，它可以通过方程1
1x x
+
=解
得12x +=，类比上述方法，
则=（ ）
A.
1
2
B.
1
2
D.2
8.已知抛物线C ：2
4y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，M 是抛物线C 上的点.若MF x ⊥轴，则以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为（ ） A.2
C.1
D.
2
9.设n S 为数列{}n a 的前n 项和.若2
n S n n a =-+，则“0a =”是“4262a a a =+”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
10.若函数()sin 2cos2f x a x x =+的图象关于直线6
x π
=对称，则()f x 的最大值为（ ）
C.2
11.已知函数()f x 满足：对任意x R ∈，1122f x f x ⎛⎫
⎛⎫+
=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，当[)1,0x ∈-时，()31x f x =-
，则
()3log 90f =（ ）
A.19
-
B.
19
C.1727
-
D.
1727
12.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥底面ABCD ，12AA AB =，M 、
N 分别是棱1BB 、1DD 上的动点，且1DN B M =，则下列结论中正确的是（ ）
A.直线1A C 与直线MN N 可能异面
B.三棱锥11A C MN -的体积保持不变
C.直线AC 与直线MN 所成角的大小与点M 的位置有关
D.直线AD 与直线MN 所成角的最大值为
3
π 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知向量()1,1a =，()0,2b =，若()()
22a b a b λ-+∥，则λ=______. 14.曲线sin x
y x
=
在x π=处的切线方程是______. 15.已知()2,0A -，()2,0B ，若曲线()00,0x y x y a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
+-=>>
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
上存在点P 满足2PA PB -=，则b
a
的取值范围是______. 16.已知函数
()21log 22x x f x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，数列
{}
n a 是公差为2的等差数列，若
()()()()112233440a f a a f a a f a a f a +++=，则数列{}n a 的前n 项和n S =______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
2021年某省约有23万文科考生参加高考，除去成绩在600分及以上的2013人与成绩在400分以下的109600人，还有约11.87万文科考生的成绩集中在区间[)400,600内，其成绩的频率分布如下表所示：
（1）请估计该次高考文科考生成绩在[)400,600内的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若在分数段[)480,520和[)520,560的考生中采用分层抽样的方法抽取5名考生进行电话访问，再从被电话访问的5名考生中随机抽取3名考生进行问卷调查，求进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数低于520分的概率
18.（本小题满分12分）
如图，在ABC △中，2AC =，120ACB ∠=︒，D 是边AB 上一点. （1）若CAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，求BD 的长；
（2）若D 是边AB 的中点，ABC △的面积为CD 的长.
19.（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABFE 是正方形，四边形ABCD 是梯形，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，平面ABFE ⊥平面ABCD ，22AB AD BC === （1）证明：BE ∥平面CDF ； （2）求三棱锥F CDE -的体积.
20.（本小题满分12分）
已知点()2,0A -，()2,0B ，直线PA 与直线PB 的斜率之积为1
2
-，记动点P 的轨迹为曲线C （1）求曲线C 的方程；
（2）设D 为曲线C 上的一点，线段AD 的垂直平分线交y 轴于点E ，若ADE △为等边三角形，求点D 的坐
标
21.（本小题满分12分） 设函数()ln a f x x ex
=+
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当2a =时，证明：()1x f x e
>
. 请考生在第22、23题中任选一题作答。

并用2B 铅笔将所选题号涂黑.如果多做，则按所做的第
一题计分.
22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 32sin x y α
α
=⎧⎨
=+⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4x πρ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；
（2）已知点()2,0P ，直线l 与曲线C 交于点A 、B ，弦AB 的中点为Q ，求PQ PA PB
⋅的值.
23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()2223f x x x =++- （1）求不等式()7f x >的解集；
（2）已知0a >，0b >22
241
ab b
a b +≥
++
内江市高中2022届第三次模拟考试题 数学（文科）参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1.C
2.B
3.D
4.C
5.B
6.A
7.D
8.B
9.A 10.C 11.D 12.B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13.4- 14.11y x π
=-+ 15.( 16.2
4n n -
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每
个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.解：（1）该次高考文科考生成绩在
[)
400,600内的平均分的估计值为
4200.214600.265000.275400.185800.08486.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
（2）∵分数段[)480,520和[)520,560的考生人数的比为0.27:0.183:2=
∴按分层抽样方法在分数段[)480,520的考生中应抽取3535
⨯=名，记为1a ，2a ，3a . 在分数段[)520,560的考生中应抽取
2
525
⨯=名，记为1b ，2b . ∵从上述5名考生中随机抽取3名的所有结果为()123,,a a a ，()121,,a a b ，()122,,a a b ，()131,,a a b ，()132,,a a b ，
()112,,a b b ，()231,,a a b ，()232,,a a b ，()212,,a b b ，()312,,a b b 共10种
其中至少有2名分数低于520分的结果为()123,,a a a ，()121,,a a b ，()122,,a a b ，()131,,a a b ，()132,,a a b ，
()231,,a a b ，()232,,a a b 共7种.
∴进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数低于520分的概率7
10
P =
18.解：（1）∵120ACB ∠=︒，2AC =，CAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形 ∴2CD =，30BCD ∠=︒，15B ∠=︒，
∴()sin sin 4530sin 45cos30cos 45sin 304
B =︒-︒=︒︒-︒︒=. ∵在BCD △中，由正弦定理知sin sin BD CD
BCD B
∠=
∴sin sin CD BCD
BD B
∠⋅=
=
（2）∵1
sin 2
ABC S CA CB ACB ∠=
⋅⋅=△4sin BC CA ACB =
=⋅∠. ∵D 是边AB 的中点， ∴()
1111
2222
CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB =+=+
=+-=+
∴(
)
2
221
1124222CD CA CB
CA CB CA CB =
+=
++⋅==
∴CD =
19.解：（1）证明：如图，过D 点作DG AB ∥交BC 的延长线于点G ，连接EG 、FG ，设EG 交DF 于H 点，连接CH .
∵BG AD ∥，AB DG ∥，∴四边形ABGD 为平行四边形 ∴AB DG ∥ ∵EF AB ∥
∴四边形EFGD 为平行四边形 ∴H 为线段EG 的中点 ∵2AD BC BG ==
∴在BEG △中，CH 为中位线，故BE CH ∥. 又∵CH ⊂平面CDF ，BE ⊄平面CDF ∴BE ∥平面CDF .
（2）∵由（1）知BE ∥平面CDF ，
∴点B 到平面CDF 的距离与点E 到平面CDF 的距离相等. ∴F CDE E CDF B CDF F BCD V V V V ----===.
∵平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE ⋂平面ABCD AB =，FB AB ⊥ ∴FB ⊥平面ABCD . ∴111112122332323F BCD BCD V S FB BC AB FB -⎛⎫
=
⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
△， 20.解：（1）设点P 的坐标为()(),0x y y ≠ ∵直线PA 与直线PB 的斜率之积为1
2
- ∴12PA PB
k k ⋅=-，即1222
y y x x ⨯=-+-.
化简得22
142
x y += ∴曲线C 的方程为()22
1042
x y y +=≠. （2）设()00,D x y ，()0,E t ，线段AB 的中点为Q
∵()2,0A -，
∴002,2
2x y Q -⎛⎫
⎪⎝⎭，直线AD 的斜率002AD y k x =
+，直线QE 的斜率0
0222
QE y t k x -=- ∵1AD QE
k k ⋅=-∴0
00021222
y t y x x -⨯=--+，整理得2
000422y x y t -⎛⎫-=
⎪⎝⎭
又∵2200
142
x y += ∴2
0002y y t y ⎛⎫-
=- ⎪⎝⎭，得02y t =-，故00,2y E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
又∵ADE △为等边三角形，有AD AE =
=2
20003404y x x ++=
∴2
00532120x x ++=，解得02
5
x =-
或06x =-（舍去）. 将02
5
x =-代入2200142x y
+=，解得0y
=或0y =
∴点D 的坐标为2,55⎛-
⎝
⎭或2,55⎛-- ⎝⎭
. 21.解：（1）()()2
0ex a
f x x ex =
'->. ①当0a ≤时，()0f x '>，故()f x 在()0,+∞上单调递增 ②当0a >时 ∵若0,
a x e ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭，则()0f x '<；若,a x e ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '> ∴()f x 在0,
a e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减，在,a e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增
∴综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增 当0a >时，()f x 在0,
a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,a e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增.
（2）证明：当2a =时，()2ln f x x ex
=+
要证()1x
f x e >
即证2
ln x x x x e e
>-.
令()()ln 0g x x x x =>，则()ln 1g x x ='+
∵当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>
∴()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增
∴()11g x g e e
⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭
. 令()()20x x h x x e e =
->，则()
1x
x
h x e ='- ∵当()0,1x ∈时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞时，()0h x '< ∴()h x 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减 ∴()()1
1h x h e
≤=-. ∴()()1
g x h x e ≥-
≥ 又∵()1g x e ≥-与()1
h x e
≤-取等时的x 值不同
∴()()g x h x >，即2
ln x x x x e e
>-对0x >成立，得证.
22.解：（1）由2cos 32sin x y αα
=⎧⎨
=+⎩消去参数α，得曲线C 的普通方程为()2
234x y +-=.
由sin 4x πρ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
sin cos 2x x ρρ+=. 将cos sin x y ρα
ρα
=⎧⎨
=⎩代入上式得20x y +-=
∴直线l 的直角坐标方程为20x y +-=. （2）∵点()2,0P 在直线20x y +-=上
∴直线l
的参数方程可为222
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）① 将①式代入曲线C ：()2
234x y +-=
，得2
90t -+=.
设点A 、B 对应的参数分别为1t ，2t
，则12129
t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
∴12
12218
t t PQ PA OB t t +==⋅. 23.解：（1）当1x <-时()41f x x =-+，故()7f x >可化为417x -+>，得3
2
x <- 当3
12
x -≤≤时，()5f x =，故()7f x >无解 当3
2
x >
时，()41f x x =-，故()7f x >可化为417x ->，得2x >. 综上，不等式()7f x >的解集为322
x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩
⎭
或.
（2）∵()()()222322235f x x x x x =++-≥+--=
≥
又∵
()
)222
22222424241
2155ab b ab b
ab b b b
a b ab b a +++=≤==++++++
22
241
ab b
a b +≥
++，得证.。