2020版高考数学(理)刷题小卷练： 19 Word版含解析

＋2×1×1×cos23π＋2×1×3×cos23π＋2×1×3×cos23π＝4，所以|a＋
b＋c|＝2. 11．[2019·益阳市、湘潭市调研]已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝
2，a＋b＝(1， 3)，记向量 a，b 的夹角为 θ，则 tanθ＝________.
答案：－ 15
Earlybird
A．5
B．－5
C．－ 10
D．－
10 2
答案：B
解析：设菱形 ABCD 的对角线交于点 M，则B→A＝B→M＋M→A，B→M ⊥A→C，M→A＝－21A→C，又A→C＝(
－12A→C2＝－5.
6．[2019·沈阳质量检测]已知平面向量 a＝(－2，x)，b＝(1， 3)，
A．－322 B．－3 5
32 C. 2
D．3 5
答案：C
解析：因为点 C(－1,0)，D(4,5)，所以C→D＝(5,5)，又A→B＝(2,1)，
Earlybird
所以向量A→B在C→D方向上的投影为|A→B|cos〈A→B，C→D〉＝A→B→·C→D＝5152 |CD|
＝3
2
2 .
8．[2019·泰安质检]已知非零向量 a，b 满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则 a
)
A．4
38 B. 9
C．5
13 D. 2
答案：D
解析：根据题意，A→M·A→N＝A→B＋13B→CA→C＋13C→B＝A→B·A→C＋13
A→B·C→B＋13A→C·B→C－19B→C2＝|A→B|·|A→C|cosπ3＋13B→C·(A→C－A→B)－19B→C2＝29
＋29B→C2＝123.故选 D.
－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以A→D·A→C＝2×3＋(－1)×1＝5，故选 A.
3．[2019·安徽蚌埠模拟]已知非零向量 m，n 满足 3|m|＝2|n|，〈m，
n〉＝60°.若 n⊥(tm＋n)，则实数 t 的值为( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
答案：B
解析：∵非零向量 m，n 满足 3|m|＝2|n|，〈m，n〉＝60°，
→
→
→
→→
＝2 3.在△ABC 中，由|BC|＝4，|AB|＝2，|AC|＝2 3，可得|BC|2＝|AB
→ |2＋|AC|2，则△ABC 为直角三角形．故选 C.
8．[2019·福州四校联考]已知向量 a，b 为单位向量，且 a·b＝－21，
向量 c 与 a＋b 共线，则|a＋c|的最小值为( )
7．[2019·上饶模拟]已知向量O→A，O→B的夹角为 60°，|O→A|＝|O→B|
＝2，若O→C＝2O→A＋O→B，则△ABC 为( ) A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：C
解析：根据题意，由O→C＝2O→A＋O→B，可得O→C－O→B＝B→C＝2O→A，
命题的个数为 1.故选 A.
2．已知向量 a＝(1,3)，b＝(2，－5)．若向量 c 满足 c⊥(a＋b)，
且 b∥(a－c)，则 c＝( )
A.181，3136
B.－181，1363
C.181，－1363 D.－181，－3136
答案：A
解析：设出 c 的坐标，利用平面向量的垂直关系和平行关系得出
可得 a2－λ2·b2＝0，即 λ2＝||ab||22＝3522＝295，所以 λ＝±35，选 B.
2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，
A→B＝(1，－2)，A→D＝(2,1)，则A→D·A→C＝( )
A．5 B．4
C．3 D．2
答案：A
Earlybird
解析：因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以A→C＝A→B＋A→D＝(1，
3．[2018·全国卷Ⅱ]已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则 a·(2a
－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
答案：B
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
Earlybird
∵ |a|＝1，a·b＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3. 故选 B.
4．[2019·安徽马鞍山模拟]已知平面向量 a＝(2,1)，b＝(m，－2)，
且 a⊥b，则|a－b|＝( )
A. 5 B．5
C. 10 D．10
答案：C 解析：∵a⊥b，∴a·b＝(2,1)·(m，－2)＝2m－2＝0，∴m＝1，∴b
＝(1，－2)，∴a－b＝(1,3)，则|a－b|＝ 1＋9＝ 10，故选 C.
5．[2019·长郡中学选考]在菱形 ABCD 中，A(－1,2)，C(2,1)，则 B→A·A→C＝( )
6．[2019·广东五校协作体模拟]已知向量 a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)．若
Earlybird
|a＋b|＝|a－b|，则实数 λ 的值为( ) A．－1 B．2
C．1
D．－2
答案：A 解析：根据题意，对于向量 a，b，若|a＋b|＝|a－b|，则|a＋b|2＝
|a－b|2，变形可得 a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即 a·b＝0.又由向量 a ＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)，得 λ(λ＋2)＋1＝0，解得 λ＝－1.故选 A.
与 2a－b 夹角的余弦值为( )
77 A. 7 B. 8
7 57 C.14 D. 14
答案：D
解析：不妨设|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋
2a·b＝1，所以 a·b＝－12，所以 a·(2a－b)＝2a2－a·b＝52，又|a|＝1，|2a
－b|＝ 2a－b2＝ 4a2－4a·b＋b2＝ 7，所以 a 与 2a－b 夹角的余弦
5 值为|aa·|·2|2aa－－bb|＝1×2 7＝5147.
二、非选择题
9．[2019·河南南阳一中考试]已知向量 a，b 的夹角为 120°，且|a|
＝1，|2a＋b|＝2 3，则|b|＝________.
答案：4
解析：∵|2a＋b|＝2 3，|a|＝1，∴(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4 ＋4×1×|b|×cos120°＋b2＝4－2|b|＋b2＝12，整理得 b2－2|b|－8＝0，
解得|b|＝4 或|b|＝－2(舍去)，∴|b|＝4.
10．[2019·长春质量监测]已知平面内三个不共线向量 a，b，c 两 两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.
答案：2
解析：由平面内三个不共线向量 a，b，c 两两夹角相等，可得夹
角均为23π，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9
C.32a－13b D.32a＋13b
答案：A
解析：∵G 为△ABC 的重心，∴A→G＝13(A→B＋A→C)＝13a＋13b，∴C→G
＝C→A＋A→G＝－b＋31a＋13b＝13a－32b.故选 A.
5．[2019·河南天一大联考测试]已知在等边三角形 ABC 中，BC
＝3，B→N＝2B→M＝23B→C，则A→M·A→N＝(
A．1
1 B.2
3
3
C.4
D. 2
答案：D 解析：解法一 ∵向量 c 与 a＋b 共线，∴可设 c＝t(a＋b)(t∈R)，
∴a＋c＝(t＋1)a＋tb，∴(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2.∵向量
a，b 为单位向量，且 a·b＝－21，∴(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2
且|a|＝1，|b|＝2.若平面向量 m 满足 m·a＝m·b＝1，则|m|＝________.
答案：
21 3
解析：如图，设O→A＝a，O→B＝b，A(1,0)，B(－1， 3)．设 m＝(x，
y)，由 m·a＝m·b＝1，
得x－＝x＋1， 3y＝1，
x＝1，
解得y＝2
3
3 .
∴|m|＝
D．4
答案：A
解析：①∵A→B＝－B→A，∴A→B＋B→A＝－B→A＋B→A＝0，∴该命题正
确；②∵数量积是一个实数，不是向量，∴该命题错误；③∵a 与 b
共线，当方向相反时，a·b＝－|a||b|，∴该命题错误；④当 c 与 a 不共
线，且 a·b≠0，b·c≠0 时，(a·b)·c≠a·(b·c)，∴该命题错误．故正确
t2＋t＋1≥ 23，∴|a＋c|的最小值为 23，故选 D. 二、非选择题 9.
如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，AC＝2，D 为 BC 的中点，则A→B·A→D＝________.
答案：6 解析：解法一 由题意知，AC＝BC＝2，AB＝2 2，∴A→B·A→D＝ A→B·(A→C＋C→D)＝A→B·A→C＋A→B·C→D＝|AB|·|A→C|cos45°＋|A→B|·|C→D|＝cos45° ＝2 2×2× 22＋2 2×1× 22＝6. 解法二 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得 A(0,2)，B(－ 2,0)，D(－1,0)，∴A→B＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，A→D＝(－1,0)－(0,2) ＝(－1，－2)，∴A→B·A→D＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6.
两个方程，联立两个方程求解即可．
设 c＝(x，y)，由 c⊥(a＋b)，得 c·(a＋b)＝(x，y)·(3，－2)＝3x－
2y＝0， ①
又 b＝(2，－5)，a－c＝(1－x,3－y)，且 b∥(a－c)，所以 2(3－y)
－(－5)×(1－x)＝0. ②
联立①②，解得 x＝181，y＝3136，所以 c＝181，3136.故选 A.
→→
→→→
→ →→ →
则|BC|＝2|OA|＝4，由AB＝OB－OA，可得|AB|2＝|OB－OA|2＝OB2－
→→
→
→→→ →→ →
2OA·OB＋OA2＝4，故|AB|＝2，由AC＝OC－OA＝(2OA＋OB)－OA＝
O→A＋O→B，得|A→C|2＝|O→A＋O→B|2＝O→A2＋2O→A·O→B＋O→B2＝12，可得|A→C|
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刷题增分练 19 平面向量的数量积及应用
刷题增分练⑲
小题基础练提分快
一、选择题
1．[2019·遂宁模拟]给出下列命题：
①A→B＋B→A＝0；②0·A→B＝0；③若 a 与 b 共线，则 a·b＝|a||b|；
④(a·b)·c＝a·(b·c)．
其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
∴cos〈m，n〉＝12.又∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝tm·n＋n2＝
t|m||n|×12＋|n|2＝3t |n|2＋|n|2＝0，解得 t＝－3.故选 B.
4．[2019·辽宁葫芦岛第六高级中学模拟]已知在△ABC 中，G 为
重心，记 a＝A→B，b＝A→C，则C→G＝( )
A.13a－23b B.31a＋23b
且(a－b)⊥b，则实数 x 的值为( )
A．－2 3 B．2 3
C．4 3
D．6 3
答案：B
解析：由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，即(－3，x－ 3)·(1， 3)＝
－3＋ 3x－3＝0，即 3x＝6，解得 x＝2 3，故选 B.
7．已知A→B＝(2,1)，点 C(－1,0)，D(4,5)，则向量A→B在C→D方向上 的投影为( )
＋t＋1≥34，∴|a＋c|≥ 23，∴|a＋c|的最小值为 23，故选 D.
解法二 ∵向量 a，b 为单位向量，且 a·b＝－21，∴向量 a，b
Earlybird
的夹角为 120°.在平面直角坐标系中，不妨设向量 a＝(1,0)，b＝ －12， 23，则 a＋b＝12， 23.∵向量 c 与 a＋b 共线，∴可设 c＝ t21， 23(t∈R)，∴a＋c＝1＋2t ， 23t，∴|a＋c|＝ 1＋2t 2＋34t2＝
解析：∵|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1， 3)，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋
2a·b＝5＋2a·b＝1＋3，∴a·b＝－12，∴cosθ＝|aa|··b|b|＝－14，∴sinθ＝
1－－142＝ 415，∴tanθ＝csoinsθθ＝－ 15. 12．[2019·湖北四地七校联考]已知平面向量 a，b 的夹角为 120°，
12＋2

3
32＝

21 3.
刷题课时增分练⑲
综合提能力 课时练 赢高分
一、选择题
1．已知|a|＝3，|b|＝5，且 a＋λb 与 a－λb 垂直，则 λ＝( )
3 A.5
B．±35
C．±45
D．±295
答案：B
解析：根据 a＋λb 与 a－λb 垂直，可得(a＋λb)·(a－λb)＝0，整理