【人教A版】高一数学必修2模块综合检测试卷(1)(Word版,含解析)(数学试卷新课标人教版)

数学人教A 必修2模块综合检测
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 直线I 过点（-1,2）且与直线2x — 3y + 4 = 0垂直，则I 的方程为（ ）
A . 3x + 2y — 1 = 0
B . 2x + 3y — 1= 0
C . 3x + 2y + 1 = 0
D . 2x — 3y — 1= 0
2. 已知直线（a — 2）x + ay — 1= 0与直线2x + 3y + 5= 0平行，则a 的值为（ ）
4
4
A . — 6
B . 6
C .
D .-
5 5
3. 已知点M （— 2,1,3）关于坐标平面xOz 的对称点为A ，关于y 轴的对称点为B ，则|AB| =
（ ）
A . 2
B . 213
C . 2,14
D . 8
4. 如图，在长方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，M , N 分别是棱BB 1, B 1C 1的中点，若/ CMN =90°则异面直线 AD 1和DM 所成角为（
）
A . 30 °
B . 45 °
C . 60 °
D . 90 °
5.
已知水平放置的厶 ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，
其中B'O'= C'O '
73
=1, A'O'=
，那么原厶ABC 中/ABC 的大小是（
）
2
A . 30 °
B . 45 °
C . 60 °
D . 90 ° 6.
若直线y = kx + 1与圆x 2+ y 2 + kx — 2y = 0的两个交点恰好关于 y 轴对称，则k =(
)
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
7. 已知实数x , y 满足2x + y + 5 = 0,那么.x 2 y 2的最小值为(
)
D .
5
x + y — 14= 0的最大距离与最小距离的差是
B . 18
9.把直线y
— x 绕原点逆时针转动，使它与圆 x 2 + y + 2, 3x — 2y + 3= 0相切，则
3
直线转动的最小正角是（
2 2
8 .圆 x + y ( ) 4x — 4y —10= 0上的点到直线
A . 28+6、5
B . 30+6 5
C . 56+12=5
D . 60+12、5
12.
若直
线y = x + b 与曲线y=3-、.4x-x 2有公共点，则b 的取值范围是(
)
A . [- 1, 1+2.2]
B . [1-2,2 , 1 2 2 ]
C . [1 -2、2 , 3]
D . [1 - , 2 , 3] 二、 填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13. 用a ， b ， c 表示三条不同的直线， 丫表示平面，给出下列命题：
①若 a // b , b // c ,贝 U a // c ;②若 a 丄 b , b 丄 c ,贝 U a 丄 c ;③若 a // Y b // Y 贝 U a // b ; ④若a 丄Y b 丄Y 贝U a // b .
其中真命题的序号是 ____________ . 14. _________________ 如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，AB = AD = 3 cm , AA j = 2 cm ，则四棱锥 A —BB 1D 1D 的体积为 cm 3.
2
2
15. ________________________________________________________________________ 已知点 P(x , y)是直线 kx + y + 4= 0(k >0)上一动点，FA , PB 是圆 C : x + y — 2y = 0的两条切线，A , B 是切点，若四边形 FACB 的最小面积是2,贝U k 的值为 _________________________________ . 16. 将一张坐标纸折叠一次，使得点 F(1,2)与点Q(— 2,1)重合，则直线y = x — 4关于折 痕对称的直线为 ____________ .
三、 解答题(本大题共6小题，共74分)
17. (12分)如图，四棱锥 F — ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，/ DAB = 60° AB =2AD , FD 丄底面 ABCD .
(1) 证明FA 丄BD ;
(2) 设PD = AD = 1,求棱锥 D — PBC 的高.
18. (12分)已知两条直线11： ax — by + 4= 0, I 2： (a — 1)x + y + b = 0,求分别满足下列条 件的a , b 的值.
(1)直线l 1过点(—3,— 1)，并且直线h 与直线I 2垂直. ⑵直线I 1与直线I 2平行，并且坐标原点到11, 12的距离相等.
19. (12分)已知线段AB 的端点B 的坐标为(1,3)，端点A 在圆C : (x + 1)2+ y 2= 4上运 动. (1)求线段AB 的中点M 的轨迹；
⑵过B 点的直线I 与圆C 有两个交点E , D ，当CE 丄CD 时，求I 的斜率.
20. (12分)请你帮忙设计2010年玉树地震灾区小学的新校舍，如图，在学校的东北方 有一块地，其中两面是不能动的围墙，在边界
OAB 内是不能动的一些体育设施.现准备在
兀
A .- 3
2 ■:
B . D .
C . 3
10 .已知球的直径 SC = 4, A , 则棱锥S —ABC 的体积为（ ）
2,3
B .
B 是该球球面上的两点,
AB = 2，/ ASC =Z BSC = 45 °
A .
3
3
11 .某三棱锥的三视图如图所示, C .
3
该三棱锥的表面积是
此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，问如何设计，才能使教学楼的面积最大？
21. (12分)如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正△ PAD所在平面互相垂直，M , Q 分别为PC, AD的中点.
(1) 求四棱锥P —ABCD的体积.
(2) 求证：PA //平面MBD .
(3) 试问：在线段AB上是否存在一点N,使得平面PCN丄平面PQB ?若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
22. (14分)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，AB丄平面PAD, AB // CD , PD = AD , E
1
是PB的中点，F是DC上的点且DF = AB , PH PAD中AD边上的高.
2
(1)证明：PH丄平面ABCD ;
⑵若PH = 1 , AD = 2 , FC = 1，求三棱锥 E —BCF的体积;
⑶证明：EF丄平面PAB.
0.
故BD 丄AD.
又PD 丄底面ABCD ，可得 BD 丄PD.所以BD 丄平面FAD.故PA 丄BD. ⑵解：如上图，作 DE 丄FB ,垂足为E. 已知FD 丄底面ABCD , 则FD 丄BC.
由(1)知BD 丄AD ，又BC // AD ，所以BC 丄BD. 故BC 丄平面PBD , 所以BC 丄DE.
则DE 丄平面PBC.
PD = 1，则 BD = . 3 , PB = 2.
PB = PD BD ，得DE = ' ，即棱锥D — PBC 的高为'
2 2
18答案： a(a — 1)+ (— b) 1 = 0,即卩 a 2— a — b = 0.① 又点(—3, — 1)在l 1上, — 3a + b + 4 = 0.② 由①②解得a = 2, b = 2.
a a ⑵•/ l 1 / l 2且l 2的斜率为1 — a , •11的斜率也存在，
=1 — a , b =
b 1 -a
4(a —1)
a
参考答案
1答案：A 2答案：B 3答案：C 410答案 11答案 12答案 13答案 14答案 15答案 16答案
C B C ①④
6 2
x + 7y + 20= 0
17答案：(1)证明：过D 作DF 丄AB 于F ，因为/ DAB = 60° AB = 2AD ，所以/ ADF =30 °
DF
FB = 3 a ，所以 / FDB = 60 °
2
由题设知 根据DE 解: (1) T I 1 丄
1,
a ,
故l1和l2的方程可分别表示为11：(a—1)x+ y+ = 0, I2: (a—1)x+ y+ -
a 1 -a
0.
3
原点到11与12的距离相等,
因为A 在圆C 上,
2
2
所以(2x — 1+ 1) + (2y — 3) = 4,
点M 的轨迹是以'0,-为圆心，1为半径的圆.
I 2丿
⑵设I 的斜率为k ,则I 的方程为y — 3 = k(x — 1)，即kx -y -k + 3 = 0.
因为CE 丄CD , △ CED 为等腰直角三角形，圆心 C(— 1,0)到I 的距离为1- CD =好2 .
V 2
2
2
所以 4k — 12k + 9= 2k + 2.
即 2k 2— 12k + 7 = 0，解得 k = 3一
2
20答案：解：如图建立坐标系，可知 AB 所在直线方程为 —
=1，即x + y = 20.
20 20
设 G(x , y)，由 y = 20— x 可知 G(x,20 — x).
2 2
••• S = [39 — 5 — (20 — x)][25 — (5 + x)] = (14 + x)(20 — x) = — x + 6x + 20 X 14=— (x — 3)
+ 289.
由此可知，当x = 3时，S 有最大值289平方米.
故在线段AB 上取点G(3,17)，过点G 分别作墙的平行线，建一个长、宽都为 17米的正 方形，教学楼的面积最大.
21答案：解：(1) •/ Q 为AD 的中点，△ FAD 为正三角形， • PQ 丄 AD.
•/平面FAD 丄 平面ABCD ，且面FAD n 面ABCD = AD , • PQ 丄平面 ABCD.
T AD = 4, • PQ = 2、3 ,
1 -a
,a = 2 或 a
因此“2,或a ¥
…-2. 3’
19 答案：解：(1)设 A(X i , y i ).
M (X , y),
jx,
2
由中点公式得卜
y
2
=1 .
由点到直线的距离公式得
l_^k 31
,k 2
二 4
1 1 2
/- 32后
四棱锥P — ABCD 的体积 V = — S 正方形 ABCD PQ =—汉 4 x 2 J 3 =
.
3 3
⑵证明：连接 AC 交BD 于点0,连接M0, 由正方形ABCD 知0为AC 的中点， •/ M 为PC 的中点， ••• M 0 // PA.
•/ M0?平面 MBD , FA 二平面 MBD , • FA // 平面 MBD .
⑶存在点N ,当N 为AB 中点时，平面 PQB 丄平面PNC ，证明如下：
•••四边形ABCD 是正方形，Q 为AD 的中点， • BQ 丄 NC.
由⑴知，PQ 丄平面 ABCD , NC?平面 ABCD , • PQ 丄 NC. 又 BQ A PQ = Q , • NC 丄平面PQB. •/ NC?平面 PCN , •平面PCN 丄平面PQB.
22答案：⑴证明：因为AB 丄平面PAD ，所以平面 PAD 丄平面ABCD ;因为PH PAD 中AD 边上的高，所以PH 丄AD ，又平面 PAD A 平面 ABCD = AD , PH?平面PAD ，所以PH 丄 平面ABCD.
1 1
⑵解：因为E 为PB 的中点，所以 E 点到平面 ABCD 的距离为—PH 二一,&BCF =
所以三棱锥E — BCF 的体积V =
1 1
—
2 2
3 2
2 12
⑶证明：取AB 的中点M ，连接 MF , EM ，取PA 的中点N ，连接NE , DN.
因为 AB // CD , DF =】AB , 所以 NEAMDF ,
所以四边形DNEF 为平行四边形, 所以EFDN . 因为PD = AD , 所以DN 丄PA.
又因为AB 丄平面PAD , 所以DN 丄AB.
又 PA A AB = A ,
X CF X
AD 2
所以DN丄平面PAB, 所以EF丄平面PAB.。