2023年福建省高考数学真题及参考答案

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2023年福建省高考数学真题及参考答案
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}21012,,,,--=M ,{}
062
>--=x x x N ,则M ∩=N (

A .{}1012,,,
--B .{}
2,1,0C .{}2-D .{}
22.已知i
i
z 221+-=
,则=-z z ()
A .i -
B .i
C .0
D .1
3.已知向量()1,1=a
,()1,1-=b .若()()
b a b a μλ+⊥+,则(

A .1
=+μλB .1-=+μλC .1=λμD .1
-=λμ4.设函数()()
a x x x f -=2
在区间()1,0单调递减,则a 的取值范围是(

A .(]2-∞-,
B .[)0,2-
C .(]2,0
D .[)∞+,
25.设椭圆12221=+y a x C :()1>a ,142
22=+y x C :的离心率分别21,e e .若123e e =,则
=a ()
A .3
3
2B .2
C .3
D .6
6.过点()20-,与圆0142
2
=--+x y x 相切的两条直线的夹角为α,则=αsin (

A .1
B .
4
15
C .
4
10D .
4
67.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列;乙:⎭

⎩⎨
⎧n S n 为等差数列,则()
A .甲是乙的充分条件但不是必要条件
B .甲是乙的必要条件但不是充分条件
C .甲是乙的充要条件
D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.已知()31sin =
-βα,61
sin cos =βα,则()=+βα22cos ()
A .
9
7B .91C .91-D .9
7-
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.有一组样本数据621,,x x x ,其中1x 是最小值,6x 是最大值,则(

A .5432,,,x x x x 的平均数等于621,,x x x 的平均数
B .5432,,,x x x x 的中位数等于621,,x x x 的中位数
C .5432,,,x x x x 的标准差不小于621,,x x x 的标准差
D .5432,,,x x x x 的极差不大于621,,x x x 的极差
10.噪声污染问题越来越受到重视,用声压级来度量声音的强弱,定义声压级
lg
20p p
L p ⨯=,其中常数()000>p p 是听觉下线的阈值,p 是实际声压.下表为不同声源的声压级:
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为321,,p p p ,则(

A .21p p >
B .3
210p p >C .0
3100p p =D .2
1100p p <11.已知函数()x f 的定义域为R ,()()()y f x x f y xy f 2
2
+=,则(

A .()00=f
B .()0
1=f C .()x f 是偶函数
D .0=x 为()x f 的极小值点
12.下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(

A .直径为m 99.0的球体
B .所有棱长均为m 4.1的四面体
C .底面直径为m 01.0,高为m 8.1的圆柱体
D .底面直径为m 2.1,高为m 01.0的圆柱体
声源与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车
10
40
三、填空题:本大题4小题,每小题5分,共20分.
13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选修方案共有种(用数字作答).
14.在正四棱台1111D C B A ABCD -中,2=AB ,111=B A ,21=AA ,则该棱台的体积

.
15.已知函数()()01cos >-=ωωx x f 在区间[]π2,0有且仅有3个零点,则ω的取值范围是
.
16.已知双曲线()00122
22>>=-b a b
y a x C ,:的左、右焦点分别为21F F ,,点A 在C 上.
点B 在y 轴上,B F A F 11⊥,B F A F 223
2
-
=,则C 的离心率为.
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知在ABC ∆中,C B A 3=+,()B C A sin sin 2=-.(1)求A sin ;
(2)设5=AB ,求AB 边上的高.
18.如图,在正四棱柱1111D C B A ABCD -中,2=AB ,41=AA .点2222,,,D C B A 分别在棱1111,,,DD CC BB AA 上,12=AA ,222==DD BB ,32=CC .
(1)证明:2222D A C B ∥;
(2)点P 在棱1BB 上,当二面角222D C A P --为150°时,求P B 2.
19.已知函数()()
x a e a x f x
-+=.
(1)讨论()x f 的单调性;
(2)证明:当0>a 时,()2
3ln 2+
>a x f .
20.设等差数列{}n a 的公差为d ,且1>d ,令n
n a n
n b +=2,记n n T S ,分别为数列{}n a ,
{}n b 的前n 项和.
(1)若31223a a a +=,2133=+T S ,求{}n a 的通项公式;(2)若{}n b 为等差数列,且999999=-T S ,求d .
21.甲乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为6.0,乙每次投篮的命中率均为8.0,由抽签决定第一次投篮的任选,第一次投篮的人是甲、乙的概率各为5.0.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i 次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量i X 服从两点分布,且()()i i i q X P X P ==-==011,
n i ,,2,1 =,则()
∑∑
===n
i i n
i i q X E
11
,记前n 次(即从第1次到第n 次投篮)中甲投篮的次数为Y ,求()Y E .
22.在直角坐标系xOy 中,点P 到x 轴的距离等于点P 到点⎪⎭
⎫ ⎝

210,的距离,记动点P 的轨迹为W .
(1)求W 的方程;
(2)已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上,证明:矩形ABCD 的周长大于33.
参考答案
一、选择题12345678C
A
D
D
A
B
C
B
1.解:(][)∞+⋃-∞-∈,,32N ,∴{}
2=⋂N M 2.解:i i i z 2
1
221-=+-=
,∴i z z -=-3.解:()()
b a b a
μλ+⊥+∵,∴()()
()01222=+=+⋅++λμλμμλb b a a ,
∴1
-=λμ4.解:由复合函数的单调性可知()a x x y -=在区间()1,0单调递减,∴12
≥a
,∴a 的取值范围是[)∞+,2.
5.解:由题意得:a a e 121-=
,232=e ,得2
1
12=-a a ,解得332=
a .
6.解:易得()522
2
=+-y x ,故圆心()0,2B ,5
=R 记()20-,A ,设切点为N M ,,则22=AB ,5=
BM ,可得3
=AM 223sin 2sin
=
=∠=AB AM MBA α,2
252cos =α∴4152cos 2sin 2sin ααα=7.解:甲:∵{}n a 为等差数列,设其首项为1a ,公差为d ,则()d n n na S n 2
11++=,

222111d a n d d n a n S n -+=-+=,211d n S n S n n =-++,故⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列,则甲是乙的充分条件;反之,⎭

⎩⎨
⎧n S n 为等差数列,即()()()1111111+-=++-=-++++n n S na n n S n nS n S n S n n n n n n 为常数,设为t ,即
()
t n n S na n
n =+-+11,故()11+⋅-=+n n t na S n n ,
故()()111-⋅--=-n n t a n S n n ,2≥n ,
两式相减有:()tn n a na a n n n 211---=+,即t a a n n 21=-+,对1=n 也成立,故{}n a 为等差数列,∴甲是乙的必要条件综上,甲是乙的充要条件.
8.解:∵()31sin cos cos sin sin =
-=-βαβαβα,6
1sin cos =βα,则21cos sin =βα,故()32
6131sin cos cos sin sin =+=+=+βαβαβα.
()()913221sin 2122cos 2
2=⎪⎭

⎝⎛⨯-=+-=+βαβα.
二、选择题9101112BD
ACD
ABC
ABD
10.解:∵0lg 20lg 20lg
2021020121≥⨯=⨯-⨯=-p p p p p p L L ,∴12
1≥p p
,即21p p >∴A 正确;10lg 203232>⨯=-p p L L ,即2
1
lg 32>p p ,∴21
3210>p p ,∴B 错误;
∵40lg
20033=⨯=p p L ,∴1001020
3==p p
,∴C 正确;405090lg
202121=-≤⨯=-p p L L ,∴2lg 21≤p p ,∴1002
1≤p p
,∴D 正确.11.解:选项A ,令0==y x ,则()()()000000=⨯+⨯=f f f ,故A 正确;选项B ,令1==y x ,则()()()11111f f f ⨯+⨯=,则()01=f 故B 正确;选项C,令1-==y x ,则()()()()()111112
2
-⨯-+-⨯-=f f f ,则()01=f ,
再令1-=y ,则()()()()112
2
-+⨯-=-f x x f x f ,即()()x f x f =-,故C 正确;
选项D,对式子两边同时除以2
2y
x ()
022
≠y x
,得到:
()()()222
2x
x f y y f y x xy f +=,故可设()()0ln 2≠=x x x x f ,故可以得到()⎩⎨⎧=≠=0
,00,ln 2x x x x x f ,故D 错误.
12.解:选项A,球直径为199.0<,故球体可以放入正方体容器内,故A 正确;
选项B,连接正方体的面对角线,可以得到一个正四面体,其棱长为4.12>,故B 正确;选项C,底面直径m 01.0,可以忽略不计,但高为38.1>,3为正方体的体对角线的
长,故C 不正确;选项D,底面直径为32.1<,高为m 01.0的圆柱体,其高度可以忽略不计,故D 正确.
三、填空题13.64;
14.
66
7
;15.32<≤ω;
16.
55
313.解:当从这8门课中选修2门课时,共有161
41
4=C C ;当从这8门课中选修3门课时,共有481
42
42
41
4=+C C C C ;综上共有64种.
14.解:如图,将正四棱台1111D C B A ABCD -补成正四棱锥,则2=
AO ,22=SA ,2
61=
OO ,故()
()
6
67261212313122222121=⋅⋅++=++=
h S S S S V .15.解:令()01cos =-=x x f ω得1cos =x ω,又[]π2,0∈x ,则[]ωπω2,0∈x ,∴ππωπ624<≤,即32<≤ω.
16.解:由B F A F 2232
-=
3
2=,设x A F 22-=,x B F 32=
.由对称性可得
x 3=
,由定义可得,a x 22+=
x 5=,设θ=∠21AF F ,则5353sin ==
x x θ,∴x
a
x 52254cos +=
=θ,解得a x =,∴a x AF 221+=,a AF 22=,在21F AF ∆中,由余弦定理可得54164416cos 2
222=-+=a c a a θ,
即2
2
95a c =可得5
5
3=e .
四、解答题
17.解:(1)由题意得C B A 3=+,∴,π==++C C B A 4,∴4
π=C ∴A C A B -=
--=4

π,∵()B C A sin sin 2=-,∴⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
A A ππ43sin 4sin 2,即A A A A sin 22
cos 22cos 22sin 222+=⎪⎪⎭

⎝⎛-,整理得:A A cos 3sin =又∵1cos sin 2
2
=+A A ,()π,0∈A ∴0sin >A ,∴0cos >A 解得10103sin =
A ,10
10cos =A (2)∵()5
5
2sin cos cos sin sin sin =
+=+=C A C A C A B 由正弦定理可知
C c B b sin sin =,即2
2
5
10103=
b ,解得102=b 设AB 边上的高为h ,∵ch A b
c S 2
1
sin 21==
,∴6sin ==A b h 18.解:以C 为原点,CD 为x 轴,CB 为y 轴,1CC 为z 轴建立空间直角坐标系
则()2,2,02B ,()3,0,02C ,()1,222,A ,()2,0,22D (1)∵()1,2022-=,C B ,()12022,,-=D A ∴=22C B 22D A ,∴2
222D A C B ∥(2)设()t P ,2,0,其中4
2≤≤t ∴()t P A -=1022,,,()t PC --=3,202,,()1,0,222-=C D ,()12,022-=,A D .
设平面22C P A 的一个法向量为()z y x m ,,= ,则⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
22PC m P A m 即()()⎩⎨
⎧=-+-=-+0
32012z t y z t x ,令2=z ,则()2,3,1t t m --=
.
设平面222C A D 的一个法向量为()z y x n '''=,, ,则⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
2222C D n A D n
即⎩⎨
⎧=-'=+'-0
20
2z y z x ,令2=z ,则()2,1,1=n .
∵二面角222D C A P --为150°,
∴2
314
826150cos 2=
+-=
︒⇒=
t t ,解得:1=t (舍去)或3=t .∴1
2=P B 19.解:(1)由题可得()1
-='x
ae x f ①当0≤a 时,()0<'x f ,()x f 在()∞+∞-,单调递减;②当0>a 时,令()0='x f 得a
x ln -=∴当()a x ln ,-∞-∈时,()0<'x f ,()x f 在()a ln ,-∞-单调递减;当()∞+-∈,a x ln 时,()0>'x f ,()x f 在()∞+-,a ln 单调递增.(2)由(1)得当0>a 时,()()a a a f x f ln 1ln 2
min ++=-=.
设()2
1ln 23ln 2ln 12
2
--=⎪⎭⎫ ⎝

+
-++=a a a a a a g ,则()a a a g 1
2-
=',令()0='a g 可得2
2=a ∴当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
∈22,
0a 时,()0<'a g ,()a g 在⎪⎪⎭

⎝⎛22,0上单调递减;当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+∈,22a 时,()0>'a g ,()a g 在⎪⎪⎭

⎝⎛∞+,22上单调递增.∴()02ln 22min >=⎪⎪⎭

⎝⎛=g a g ,故()0>a g ,∴当0>a 时,()23
ln 2+>a x f .20.解:(1)∵31223a a a +=,∴d a a d 2313+==,即d a =1,nd a n =故nd a n =,
∴d n a n n b n n 12+=+=,()21d n n S n +=,()d
n n T n 23+=,
又2133=+T S ,即
2126
3243=⨯+⨯d
d ,即03722
=+-d d ,解得3=d 或2
1=d (舍),
故{}n a 的通项公式为:n a n 3=.
(2)若{}n b 为等差数列,则3122b b b +=,即d
a a d a 24
321322111+⨯+⨯=+⨯⋅

即0232
12
1=+-d d a a ,∴d a =1或d a 21=,
当d a =1时,nd a n =,故()21d n n S n +=
,()d
n n T n 23+=.
又999999=-T S ,即992102
99210099=⨯-⨯d
d ,
即051502
=--d d ,∴50
51=d 或1=d (舍).
当d a 21=时,()d n a n 1+=,d n b n =,故()23d n n S n +=,()d
n n T n 21+=.又999999=-T S ,即992100
99210299=⨯-⨯d
d ,
即050512
=--d d ,∴50
51-=d (舍)或1=d (舍).
综上所述:50
51
=d .
21.解:(1)第二次是乙的概率为6.08.05.04.05.0=⨯+⨯.
(2)第i 次投篮的人是甲的概率为i p ,则第i 次投篮的人是甲的概率为i p -1,则()2.04.012.06.01+=-+=+i i i i p p p p ,构造等比数列()λλ+=++i i p p 52
1,解得3
1-=λ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-
+3152311i i p p ,又211=p ,∴6
1
311=-p ∴1
526131-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-i i p ,则3
1
52611
+



⎝⎛⋅=-i i p .(3)当*
∈N n 时,()352118535
215216121n n p p p Y E n n
n +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+++= .
11
当0=n 时,()0=Y E ,符合上式,故()3521185n Y E n
+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪


⎝⎛-=.22.解:(1)设()y x P ,,∵点P 到x 轴的距离等于点P 到点⎪⎭
⎫ ⎝

210,的距离,
∴2
2
21⎪⎭⎫ ⎝

-+=
y x y ,化简得412+=x y .
故W 的方程为4
1
2
+
=x y .(2)不妨设D B A ,,三点在W 上,且有DA BA ⊥.设⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
41,2
a a A ,设DA BA ,的斜率分别为k
k 1
-,
,由对称性不妨设1≤k ,则直线BA 的方程为:()4
1
2
+
+-=a a x k y 联立()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++-=+=414122
a a x k y x y ,整理可得:02
2=-+-a ka kx x ,则k
x x B A =+∴()()a
k k y y x x AB B A B A 2122
2-+=-+-=
同理可得:a k
k AD 21
112
++
=∴CD AB +a k k 212
-+=a k
k 21
112++
+()
2
3
2221112121k k k k k a k a k k +=⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-+≥设()()31312
3+++=+=
m m m m
m m f ,则()()()2
2
21121
32m m m m m m f +-=
-+=',可知()m f 在⎪⎭⎫ ⎝

210,上单调递减,在⎪⎭
⎫ ⎝⎛02
1,
上单调递增,∴()m f 在()10,上最小值为4
2721=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,∴()32
3
2
≥=+k
f CD AB ,由于两处相等的条件不一致,
∴矩形ABCD 的周长为()
332>+CD AB .。

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