_2020—2021学年苏科版数学八年级下册 专题训练(三) 特殊平行四边形中的折叠问题

专题训练(三) 特殊平行四边形中的折叠问题
1.如图3-ZT-1,在菱形ABCD中,∠A=120°,E是AD上的点,沿BE折叠△ABE,点A恰好落在BD上的点F处,连接CF,则∠BFC的度数是()
图3-ZT-1
A.60°
B.70°
C.75°
D.80°
2.[2020·连云港]如图3-ZT-2,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上的点A'处.若∠DBC=24°,则∠A'EB等于()
图3-ZT-2
A.66°
B.60°
C.57°
D.48°
3.如图3-ZT-3,将矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的点G处,点C落在点H处.已知∠DGH=30°,连接BG,则∠AGB= °.
图3-ZT-3
4.如图3-ZT-4,将边长为8 cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是()
图3-ZT-4
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
5.如图3-ZT-5,在菱形纸片ABCD中,AB=AD=4,∠A=60°,将该纸片翻折,使点A落在CD边的中点E处,折痕为FG,点F,G分别在边AB,AD上,则GE的长为.
图3-ZT-5
6.把一张矩形纸片ABCD按图3-ZT-6所示的方式折叠,使点A与点E重合,点C与点F重合(E,F 两点均在BD上),折痕分别为BH,DG.
(1)求证:△BEH≌△DFG;
(2)若AB=6 cm,BC=8 cm,求线段FG的长.
图3-ZT-6 7.如图3-ZT-7,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形ABCD沿AC折叠,则重叠部分△AFC的面积为()
图3-ZT-7
A.12
B.10
C.8
D.6
8.[2019·长春]如图3-ZT-8,有一张矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6.先将矩形纸片ABCD折叠,使边AD落在边AB上,点D落在点E处,折痕为AF;再将△AEF沿EF折叠,AF与BC相交于点G,则△GCF的周长为.
图3-ZT-8
9.[2019·滨州]如图3-ZT-9,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将△BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F作FG∥CD交BE于点G,连接CG.
(1)求证:四边形CEFG是菱形;
(2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG的面积.
图3-ZT -9
10.[2019·桂林] 将矩形ABCD 按如图3-ZT -10所示的方式折叠,BE ,EG ,FG 为折痕,若顶点
A ,C ,D 都落在点O 处,且点
B ,O ,G 在同一条直线上,同时点E ,O ,F 在另一条直线上,则AD
AB 的值
为 ( )
图3-ZT -10
A .6
5
B .√2
C .3
2
D .√3
11.如图3-ZT -11,在矩形ABCD 中,点E ,F 分别在边AB ,BC 上,且AE=1
3AB ,将矩形ABCD 沿直线
EF 折叠,点B 恰好落在AD 边上的点P 处,连接BP 交EF 于点Q ,对于下列结
论:①EF=2BE ;②PF=2PE ;③FQ=4EQ ;④△PBF 是等边三角形.其中正确的是 ( )
图3-ZT -11
A .①②
B .②③
C .①③
D .①④
12.已知:如图3-ZT -12,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ,P 为正方形的边AD 上的一点(不与点A ,D 重合),将正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在点P 处,点C 落在点G 处,PG 交DC 于点H ,折痕为EF ,连接BP ,BH. (1)求证:∠APB=∠BPH ;
(2)当点P 在边AD 上移动时,△PDH 的周长是否发生变化?请判断并证明你的结论.
图3-ZT-12 13.[2019·盐城]如图3-ZT-13①所示是一张矩形纸片,按以下步骤进行操作:
(Ⅰ)将矩形纸片沿DF折叠,使点A落在CD边上的点E处,如图②;
(Ⅱ)在第一次折叠的基础上,过点C再次折叠,使得点B落在边CD上的点B'处,如图③,两次折痕交于点O;
(Ⅲ)展开纸片,分别连接OB,OE,OC,如图④.
【探究】
(1)求证:△OBC≌△OED;
(2)若AB=8,设BC为x,OB2为y,求y关于x的关系式(不必写出自变量的取值范围).
图3-ZT-13
1.C[解析]∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,∠A+∠ABC=180°,BD平分∠ABC.
∵∠A=120°,∴∠ABC=60°,
∴∠FBC=30°.
根据折叠的性质可得AB=BF,∴FB=BC,
∴∠BFC=∠BCF=(180°-30°)÷2=75°.
故选C.
2.C[解析]由折叠的性质可得△BAE≌△BA'E,所以∠ABE=∠A'BE,∠EAB=∠EA'B.由矩形
ABCD可得∠ABC=∠BAE=90°,且题目中已知∠DBC=24°,可以得到∠ABE=∠
A'BE=33°,所以∠A'EB=180°-∠A'BE-∠EA'B=57°.故选C.
3.75[解析]由折叠的性质可知GE=BE,∠EGH=∠ABC=90°,∠EBG=∠EGB,∴∠EGH-∠EGB=
∠EBC-∠EBG,
即∠GBC=∠BGH.
∵AD∥BC,∴∠AGB=∠GBC,
∴∠AGB=∠BGH,
∵∠DGH=30°,∴∠AGH=150°,
∴∠AGB=1
∠AGH=75°.
2
4.A[解析]设CN=x cm,则DN=(8-x)cm,由折叠的性质,知EN=DN=(8-x)cm,
BC=4 cm.在Rt△ECN中,由勾股定理,可知EN2=EC2+CN2,即(8-x)2=16+x2,而EC=1
2
整理,得16x=48,解得x=3.故选A.
5.2.8[解析]如图,过点E作EH⊥AD交AD的延长线于点H.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AD=AB=CD=4,
∴∠HDE=∠A=60°.
∵E是CD的中点,∴DE=1
CD=2.
2
在Rt△DHE中,DE=2,HE⊥DH,∠HDE=60°,
∴DH=1
2DE=1,HE=√DE 2-DH 2=√22-12=√3,
由折叠的性质可得,AG=GE ,
∴在Rt △HGE 中,GH=AD-AG+DH=4-GE+1=5-GE ,
由勾股定理,得GE 2
=GH 2
+HE 2
, 即GE 2
=(5-GE )2
+3, 解得GE=2.8.
6.[解析] (1)如图,先根据矩形的性质得出∠ABD=∠BDC ,再由图形折叠的性质得出∠1=∠2,
∠3=∠4,∠A=∠BEH=90°,∠C=∠DFG=90°,进而可得出△BEH ≌△DFG ; (2)先根据勾股定理得出BD 的长,进而得出BF 的长,由图形翻折变换的性质得出
CG=FG ,设FG=x cm,则BG=(8-x )cm,再利用勾股定理即可求出x 的值.
解:(1)证明:如图.
∵四边形ABCD 是矩形, ∴AB=CD ,∠A=∠C=90°,AB ∥CD , ∴∠ABD=∠BDC.
∵△BEH 是由△BAH 翻折而成的, ∴∠1=∠2,∠A=∠HEB=90°,
AB=BE.
∵△DGF 是由△DGC 翻折而成的, ∴∠3=∠4,∠C=∠DFG=90°,CD=DF , ∴∠2=∠3,BE=DF.
在△BEH 和△DFG 中,{∠BEH =∠DFG ,
BE =DF ,∠2=∠3,
∴△BEH ≌△DFG.
(2)∵四边形ABCD 是矩形,AB=6 cm,BC=8 cm,∴AB=CD=6 cm,
∴BD=√BC 2+CD 2=√82+62=10(cm).
由(1)知DF=CD ,CG=FG ,
∴BF=10-6=4(cm).
设FG=x cm,则BG=(8-x )cm . 在Rt △BGF 中,BG 2
=BF 2
+FG 2
, 即(8-x )2
=42
+x 2
, 解得x=3,即FG=3 cm .
7.B [解析] 依题意可证得△AD'F ≌△CBF ,
∴△AD'F 与△CBF 的面积相等.
设BF=x ,则在Rt △AD'F 中,(8-x )2
=x 2
+42
,解得x=3,∴AF=5,
∴S △AFC =1
2×5×4=10.
8.4+2√2 [解析] 由折叠的性质可知∠A=45°,AD=DF ,
∴FC=2,∠AFC=45°, ∴CG=2,∴FG=2√2, ∴△GCF 的周长为4+2√2.
9.解:(1)证明:由题意可得,△BCE ≌△BFE ,
∴∠BEC=∠BEF ,FE=CE. ∵FG ∥CE ,∴∠FGE=∠BEC , ∴∠FGE=∠FEG , ∴FG=FE ,∴FG=CE.
又∵FG ∥CE ,∴四边形CEFG 是平行四边形. 又∵FE=CE ,∴四边形CEFG 是菱形.
(2)∵在矩形ABCD 中,AB=6,AD=10,BC=BF ,
∴∠BAF=∠D=90°,AD=BC=BF=10, ∴AF=8,∴DF=2.
设EF=x ,则CE=x ,DE=6-x. 在Rt △DEF 中,有EF 2
=DF 2
+DE 2
,
∴22+(6-x )2=x 2,
解得x=10
3,∴CE=10
3,
∴四边形CEFG 的面积是CE ·DF=103×2=20
3.
10.B [解析] 由折叠的性质可得AE=OE=DE ,CG=OG=DG ,
∴E ,G 分别为AD ,CD 的中点.
设CD=2a ,AD=2b ,
则AB=2a=OB ,DG=OG=CG=a ,BG=3a ,BC=AD=2b.
∵∠C=90°,
∴在Rt △BCG 中,CG 2+BC 2=BG 2,
即a 2
+(2b )2
=(3a )2
,
∴b 2=2a 2,即b=√2a , ∴b
a =√2,∴AD
AB 的值为√2.
故选B .
11.D [解析] ∵AE=13AB ,∴BE=2AE.
由翻折的性质,得PE=BE ,∴PE=2AE ,
∴∠APE=30°,∴∠AEP=90°-30°=60°, ∴∠BEF=1
2(180°-∠AEP )=1
2×(180°-60°)=60°, ∴∠EFB=90°-60°=30°, ∴EF=2BE ,故①正确; ∵BE=PE ,∴EF=2PE. ∵EF>PF ,
∴PF<2PE ,故②错误;
由翻折的性质,得EF ⊥PB ,
∴∠EBQ=∠EFB=30°, ∴BE=2EQ ,EF=2BE , ∴FQ=3EQ ,故③错误;
由翻折的性质,得∠EFB=∠EFP=30°, 且BF=PF ,
∴∠BFP=30°+30°=60°, ∴△PBF 是等边三角形,故④正确.
综上所述,正确的结论是①④.故选D .
12.解:(1)证明:由折叠的性质,得PE=BE ,
∴∠EBP=∠EPB.
由题易知∠EPH=∠EBC=90°,
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP ,
即∠PBC=∠BPH. 由题易知AD ∥BC ,
∴∠APB=∠PBC ,∴∠APB=∠BPH.
(2)△PDH 的周长不变,为定值8. 证明:过点B 作BQ ⊥PH ,垂足为Q.
由(1)知∠APB=∠BPH.
在△ABP 和△QBP 中,{∠APB =∠QPB ,
∠A =∠BQP ,BP =BP ,
∴△ABP ≌△QBP (AAS), ∴AP=QP ,AB=QB.
由题易知AB=BC ,
∴BC=QB.
又由题易知∠C=∠BQH=90°,
∴△BCH 和△BQH 均为直角三角形.
又∵BH=BH ,
∴Rt △BCH ≌Rt △BQH , ∴CH=QH ,
故△PDH 的周长为PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.
13.解:(1)证明:由折叠的性质,得AD=DE ,∠BCO=∠DCO=∠ADO=∠CDO=45°,
∴BC=DE ,∠COD=90°,OC=OD.
在△OBC 和△OED 中,{OC =OD ,
∠OCB =∠ODE ,BC =DE ,
∴△OBC ≌△OED (SAS).
(2)如图,过点O 作OH ⊥CD 于点H.
由(1)得△OBC ≌△OED ,∴OE=OB.
∵BC=x ,∴AD=DE=x , ∴CE=8-x.
∵OC=OD ,∠COD=90°, ∴CH=1
2CD=1
2AB=1
2×8=4,OH=
12
CD=4,
∴EH=CH -CE=4-(8-x )=x-4.
在Rt △OHE 中,由勾股定理得OE 2
=OH 2
+EH 2
, 即OB 2
=42
+(x-4)2
,
∴y 关于x 的关系式为y=x 2-8x+32.。