高考数学复习点拨 巧用线性规划思想解题

巧用线性规划思想解题
当约束条件或目标函数不是线性规划问题，但其几何意义明显时，仍可利用线性规划的思想来解决问题，从而使解题思路拓宽，提高解题能力．
一、 函数问题转化为线性规划问题
例1 如图1，x y ，满足的可行域是图中阴影部分（包括边界）．若函数2t ax y =-在 点(05)，取得最小值，求a 的取值范围．
解：由图1易得x y ，满足的约束条件为5026000.
x y x y x y +-⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩，
，，≤≤≥≥ 将目标函数2t ax y =-改为斜截式22a t y x =-，2
t -表示直线在y 轴上的截距，欲求t 的最小值，可转化为求2
t -的最大值． 当0a ≥时，显然直线在点(05)，处，2
t -取得最大值； 当0a <时，依题意，12
a -≥，易得20a -<≤． 综上所述，2a -≥时，函数2t ax y =-在点(05)，取得最小值． 二、 方程问题转化为线性规划问题
例2 已知a b +∈R ，，若方程220x ax b ++=与方程2
20x bx a ++=都有实数根， 求a b +的最小值．
解：由题意，得2280440a b b a ⎧-⎪⎨-⎪⎩，，≥≥即228.a b b a ⎧⎪⎨⎪⎩，≥≥ 画出其可行域为如图2所示阴影部分．
令t a b =+，故要求a b +的最小值，即求过可行域
内的点，使得b t a =-在b 轴上截距最小的点的坐
标．由图知，A 点即为所求．
由228.a b b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得42a b ==，． a b ∴+的最小值为6．
三、 不等式问题转化为线性规划问题
例3 已知()3f x x y =-，且11x y -+≤≤，13x y -≤≤，求()f x 的取值范围． 解：如图3，作出不等式组1113x y x y -+⎧⎨-⎩，，
≤≤≤≤
所表示的平面区域，即可行域．
作直线:30l x y -=，把直线l 向右下方平移过
(01)B -，，即直线10x y --=与
10x y ++=的交点时，min ()3011f x =⨯+=；
再把直线l 向右下方平移过(21)A -，即直线30x y --=与10x y +-=的交点时，max ()2317f x =⨯+=，1()7f x ∴≤≤． 说明：本题还可运用整体代换法，先用x y +与x y -的一次组合表示，找出它们之间 的线性关系，然后利用不等式的性质加以解决．
四、 多元问题转化为线性规划问题
例4 已知ABC △的三边长a b c ，，满足2b c a +≤，2a c b +≤，求b a 的取值范围． 解：由题意，应用22000a b c a b a c b c a b a b c <+⎧⎪<+⎪⎨<+⎪⎪>>>⎩，
，，
，，，
≤≤
令b c x y a a
==，， 上述不等式可化为1212100.
x y x y x y x x y <+⎧⎪<+⎪⎨<+⎪⎪>>⎩，
，，
，≤≤
求出x 的范围即可．
作出可行域如图4，易得2332
x <<， 于是b a 的范围为2332⎛⎫ ⎪⎝⎭，．。