高中数学人教B版必修4：双基限时练(31份打包)双基限时

双基限时练(十八)
基 础 强 化
1．下面四个命题：
①对于实数m 和向量a 、b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ； ②对于实数m ，n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b (m ∈R 且m ≠0)，则a ＝b ； ④若m a ＝n a (m ，n ∈R ，且a ≠0)，则m ＝n . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析 ①②③④均正确，故选D. 答案 D
2．将3⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋()2b －a 化成最简式为( ) A ．－43a ＋5
3b B ．－4a ＋5b C.43a －53b
D ．4a －5b 解析 原式＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1－1a ＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1＋23＋2b
＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－4
3a ＋53b ＝－4a ＋5b . 答案 B
3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )
A.23
B.13
C ．－13
D ．－23
解析 解法1：CD →＝CA →＋AD →
＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →) ＝13CA →＋23CB →. ∴λ＝23.
解法2：∵AD →＝2DB →
， ∴D 为AB 的三等分点． 作CE →＝13CA →，BF →＝13BC →，
∴E 为CA 的三等分点，且F 为BC 的三等分点．
∴CF →＝ED →＝23CB →.
又CD →＝CE →＋CF →＝13CA →＋23CB →， 故λ＝23. 答案 A
4．已知A 、B 、C 三点共线，O 是平面上任意一点，且AC →＋2CB →
＝0，
则OC →
＝( )
A ．2OA →－O
B → B ．2OB →－OA →
C ．2OB →－2OA →
D ．2OA →－2OB →
解析 ∵AC →＋2CB →＝0，∴OC →－OA →＋2(OB →－OC →
)＝0， ∴－OC →＝OA →－2OB →，∴OC →＝－OA →＋2OB →. 即OC →＝2OB →－OA →. 答案 B
5．已知P 、A 、B 、C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →
，那么一定有( )
A.PB →＝2CP →
B.CP →＝2PB →
C.AP →＝2PB →
D.PB →＝2AP →
解析 P A →＋PB →＝AC →－PC →
，
∴P A →＋PB →＝AP →，∴PB →＝2AP →
.故选D. 答案 D
6．O 为平面内的动点，A ，B ，C 是平面内不共线的三点，满足OA →＋OB →
＝λOC →
≠0，则O 点轨迹必过△ABC 的( )
A ．垂心
B ．外心
C ．重心
D ．内心 解析 取AB 边的中点D ，则OA →＋OB →＝2OD →＝λOC →
，则三点O ，C ，D
共线，即可得O 点轨迹必过△ABC 的重心，故选C.
答案 C
7．化简：2(3a －2b )＋9(－2a ＋b )＝________. 解析 原式＝(6－18)a ＋(－4＋9)b ＝－12a ＋5b . 答案 －12a ＋5b
8．已知3x ＋2(a －x )＝7a ，且|a |＝2，则|x |＝____. 解析 3x ＋2a －2x ＝7a ， ∴x ＝5a .∴|x |＝5|a |＝10. 答案 10
能 力 提 升
9．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝3
2，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →.
解析 根据题意，画出图形，由数乘向量的几何意义得AC →＝35AB →，BC →＝－25AB →.
答案 35 －25
10．如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →
，M 为BC 的中点，试用a ，b 表示MN →
.
解析 MN →＝MC →＋CN →
＝12BC →＋14CA → ＝12BC →＋14(CB →＋BA →) ＝12BC →－14BC →－14AB → ＝－14AB →＋14BC →＝－14a ＋14b .
11．如图，△ABC 的重心为G ，O 为坐标原点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，试用a ，b ，c 表示OG →
.
解析 AB →＝OB →－OA →＝b －a ，AC →＝OC →－OA →
＝c －a ，设M 为BC 的中点，则
AM →＝12(AB →＋AC →) ＝1
2(b ＋c －2a )． 又G 为△ABC 的重心， 所以AG →＝23AM →＝1
3(b ＋c －2a )，
OG →＝OA →＋AG →＝a ＋13(b ＋c －2a )＝1
3(a ＋b ＋c )．
12．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →
＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →
＝－5e －3f .
(1)将AD →
用e ，f 表示； (2)证明四边形ABCD 为梯形.
解析 (1)根据向量求和的多边形法则，有 AD →＝AB →＋BC →＋CD →
＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f ) ＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .
(2)因为AD →
＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →
，
即AD →＝2BC →，
所以根据数乘向量的定义知，AD →与BC →同方向，且AD →的长度为BC →
的长度的2倍．
所以在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ， 所以四边形ABCD 是梯形．
品 味 高 考
13．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝2
3BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →
，∴λ1＝－16，λ2＝23，∴λ1＋λ2＝1
2.
答案 12。