《步步高 学案导学设计》 高中数学北师大版选修22【配套备课资源】第1章 4(一)

时 栏 目
右边＝3nn＋1＝3×11＋1＝14，
开 关
猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即
1×1 4＋4×1 7＋7×110＋…＋3k－213k＋1＝3k＋k 1，
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那么，1×1 4＋4×1 7＋7×110＋…＋3k－213k＋1＋ [3k＋1－2]1[3k＋1＋1]＝3kk＋1＋3k＋113k＋4
§4（一）
问题2 多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能 够被成功推倒，靠的是什么？
本 答 (1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒
课
时 下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．
栏
目 开
所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)
关
给出了骨牌倒下的基础．
§4（一）
3．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过
程如下：
(1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k－1
(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
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§4（一）
探究点一 数学归纳法的原理
本
课 问题1 有一串鞭炮相互连结在一起，点着第1个后，整串鞭炮便
时
栏 一个接着一个响了起来，直到最后一个．
目
开 关
请问：为什么能响到最后一个？
答 因为这些鞭炮之间相互连结着．
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k＋1×[12＋2k＋1]＝(k＋1)2等式也成立．
关 由(1)和(2)可知对任何n∈N*等式都成立．
答 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用
到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，
实质上不是，因为证明n＝k＋1正确时，未用到归纳假 设，而用的是等差数列的求和公式．
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目
开 关
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等
于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
解析 由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命
题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)
＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.
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§4（一）
探究点二 用数学归纳法证明等式
例1 求证：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…
＋21n(n∈N*)．
本 课 时
证明 当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立．
栏 目 开
假设n＝k(k∈N*)时，1－
1 2
＋
1 3
－
1 4
＋…＋
1 2k－1
§4（一）
2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝1－1－a2an＋2
本 (a≠1)”．在验证 n＝1 时，左端计算所得项为
(C )
课 时
A．1＋a
B．1＋a＋a2
栏
目 C．1＋a＋a2＋a3
开
D．1＋a＋a2＋a3＋a4
关
解析 将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.
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S3＝27＋7×110＝130；
S4＝130＋10×1 13＝143.
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§4（一）
可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，
分母可用项数n表示为3n＋1.于是可以猜想Sn＝3nn＋1. 下面我们用数学归纳法证明这个猜想．
本 课
(1)当n＝1时，左边＝S1＝14，
那么，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2
＝kk＋162k＋1＋(k＋1)2
§4（一）
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＝kk＋12k＋61＋6k＋12
＝k＋12k62＋7k＋6
本 课 时 栏
＝k＋1k＋622k＋3
目 开 关
＝k＋1[k＋1＋61][2k＋1＋1]，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
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(2)假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝1k， 则当1n＝k＋1时ak＋1＝1＋akak(已知)
(2)假设当n＝k时猜想成立，则有ak＝22k－k－11， 当n＝k＋1时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1，
本 课 时
∴ak＋1＝12[2(k＋1)－Sk]
栏 目 开 关
＝k＋1－12(2k－22k－k－11)＝22k＋k＋1－1－11 ，
所以，当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)和(2)可知，an＝22n－n－11对任意正整数n都成立.
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§4（一）
问题3 对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝1＋anan，试写出a1，a2， a3，a4并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？
答 a1＝1
本 课 时
a2＝12
栏 目 开
a3＝13
关
a4＝14
猜想an＝1n(n∈N*)． 证明如下：(1)当n＝1时，a1＝1＝11，所以结论成立．
本 课
＝1＋k 1k(代入假设)
时 栏

目 开 关
＝k＋k 1(变形)
k
＝k＋1 1(目标)
即当n＝k＋1时，结论也成立． 由(1)(2)可得，对任意的正整数n都有an＝1n成立．
§4（一）
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§4（一）
问题4 你能否总结出上述证明方法的一般模式？
答 一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下
理解数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学以及日常生
活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯．
填一填·知识要点、记下疑难点
§4（一）
1．数学归纳法
本
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
课 时
①(归纳奠基)证明当n取_第__一__个__值__n_0(_n_0_∈__N_*_)_时命题成立；
本 课
＝k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋k＋11＋k＋2k＋1 1，
时
栏 所以n＝k＋1时，等式也成立．
目
开 关
综上所述，对于任何n∈N*，等式都成立．
小结 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键
在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有
多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时， 等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
本 课 时 栏 目 开 关
§4（一）
【学习要求】
1．了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
本
课 【学法指导】
时
栏 目
“数学归纳法”是继学习分析法和综合法之后，进一步研究
开 关
的另一种特殊的直接证明方法．它通过有限步骤的推理，证
明n取无限多个正整数的情形．通过本节的学习，可以更好地
本 课
＝33kk＋2＋143kk＋＋14
时
栏 目 开
＝33kk＋＋113kk＋＋14
关
＝3k＋k＋11＋1，
所以，当n＝k＋1时猜想也成立．
根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立．
§4（一）
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§4（一）
小结 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是
本 课
列步骤进行：
本 课
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
时
栏 目
(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当
开 关
n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正
整数n都成立．
上述证明方法叫作数学归纳法．
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解 由a1＝2－a1，
得a1＝1；
本 课
由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝32；
时 栏 目
由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝74；
开 关
由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝185.
猜想an＝22n－ n－11.
下面证明猜想正确：
(1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想成立．
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“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完
时
栏 全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是
目
开 关
“归纳——猜想——证明”的基本思想．
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§4（一）
跟踪训练2 数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，
先计算数列的前4项，再猜想an，并证明．
栏
目 开
②(归纳递推)假设__当__n_＝__k(_k_≥__n_0，__k_∈__N_*_)_时__命_题__成__立__，__证__明__
关
_当__n_＝__k_＋__1_时__命__题__也__成__立__．___．
2．应用数学归纳法时特别注意：
(1)用数学归纳法证明的对象是与_正__整__数__n__有关的命题．
§4（一）
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§4（一）
探究点三 用数学归纳法证明数列问题
例2 已知数列1×1 4，4×1 7，7×110，…，3n－213n＋1，…，
计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并
本 用数学归纳法进行证明．
课 时 栏 目
解 S1＝1×1 4＝14；
开 关
S2＝14＋4×1 7＝27；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月13日星期一2021/9/132021/9/132021/9/13 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/132021/9/13September 13, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/13
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跟踪训练1 用数学归纳法证明 12＋22＋…＋n2＝nn＋162n＋1(n∈N*)． 证明 (1)当n＝1时，左边＝12＝1，
本 课
右边＝1×1＋1×6 2×1＋1＝1，
时 栏
等式成立．
目 开
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即
关
12＋22＋…＋k2＝kk＋162k＋1，
－
1 2k
＝
1 k＋1
＋
关 k＋1 2＋…＋21k成立．
那么当n＝k＋1时，
1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋11－1－2k＋1 1
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§4（一）
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1－2k1＋1
＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋[k＋1 1－2k＋1 1]
§4（一）
问题5 用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，如采
用下面的证法，对吗？若不对请改正．
证明：(1)n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．
本 (2)假设n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，
课 时
则当n＝k＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝
栏 目 开
§4（一）
练一练·当堂检测、目标达成落实处
§4（一）
1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时
命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有( C )
本
A．命题对所有正整数都成立
课 时
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整
栏
数都成立
§4（一） •9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/132021/9/13Monday, September 13, 2021
•10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 1:21:18 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/132021/9/132021/9/13Sep-2113-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/132021/9/132021/9/13Monday, September 13, 2021