安徽省淮南第二中学高二数学下学期期中试题文

淮南二中2019届高二下数学（文科）期中试题
满分:150分 考试时间:120分钟
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合{}
23,,,4A i i i = （i 是虚数单位），{}
1B x R x =∈≤ ，则A
B 等于（ ）
A. {}1-
B. {}1
C. {},1,i i --
D. φ 2．若复数z 满足12iz i =+,则在复平面内, z 对应的点的坐标是（ ）
A. ()1,2
B. ()1,2-
C.()2,1
D. ()2,1- 3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若p :0x x =是()f x 的极值点 ()0:0,q f x ='则（ ）
A. p 是的q 充分必要条件
B. p 是q 的充分不必要条件
C. p 是q 的必要不充分条件
D. p 是q 的既不充分也不必要条件
4．设曲线x
y ax be =+在()0,1处的切线与直线5y x =+垂直，则=a b +（ ）
A. -1
B. 1
C. 0
D. -2 5．下面是关于复数2
1z i
=
-+的四个命题：其中真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i -+ 4:p z 的虚部为i -
A.23,p p
B.12,p p
C.,p p 24
D.,p p 34 6．下面四个推理中，属于演绎推理的是（ ）
A ．观察下列各式：2
749=,3
7343=,472401=,…，则2015
7的末两位数字为43.
B ．观察()2
2'=x x ，()4
3
4'=x x ，()cos sin '=-x x ，可得偶函数的导函数为奇函数.
C ．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应.
D ．在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2，则它们的面积比为1:4.类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为1:8. 7.已知命题:p x R $?，使得5sin 2
x =；命题2
:R,10q x x x ∀∈-+>，则以下判断正确的是( )
①命题“p q Ù”是真命题；②命题“p q Ú”是假命题； ③命题“()
p q 刭”是真命题；④命题“()p q 儇”是假命题.
A ．②④
B ．②③ C.③④ D ．①②③ 8．下列命题中正确的是（ ）
A. 命题“1sin ,00>∈∃x R x ”的否定是“1sin ,≤∈∃x R x ”
B. “若0xy =，则0x =或0y =”的逆否命题为“若0≠x 或0≠y ，则0≠xy ”
C. “若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy =，则0≠x 且0≠y ”
D. 若p
∧(¬q )为假，p ∨(¬q )为真，则,p q 同真或同假
9．若关于x 的不等式21321x x a a -+-≤--在R 上的解集为非空，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 1a ≤-或3a ≥
B. 0a <或3a >
C. 13a -≤≤
D.
13a -<<
10．设z 是复数, 则下列命题中的假命题是（ ）
A. 若2z R ∈，则z R ∈
B. 若20z <, 则z 是虚数
C. 若复数z 满足1
R z
∈,则z R ∈； D. 若z 是纯虚数, 则20z <
11．已知函数()y xf x '=-的图象如图（其中()f x '是函数()f x 的导函数）,下面四个图象中,()y f x =的图象可能是（ ）
12．定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<满足()()()
1f b f a f x b a
-'=
-，
()()()
2f b f a f x b a
-'=
-，则称函数()f x 是[],a b 上的“双中值函数”，已知函数
()322f x x x m =-+是[]0,a 上“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．11,
84⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,168⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．11,64⎛⎫
⎪⎝⎭
二、填空题（每题5分，满分20分，请将答案填在答题纸上）
13．在极坐标系中，圆1ρ=上的点到直线()
cos 6ρθθ+=的距离的最大值是 ．
14.我们知道：在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为d ，
通过类比的方法，可求得：在空间中，点()1,1,1-到平面2230x y z +++=的距离为 ． 15.若()25f x x t x =-+-的最小值为3, 则实数t 的值是 ． 16．已知a R ∈，函数()9
f x x a a x
=+-+在区间[]19，上的最大值是10，则a 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）命题:p x R ∀∈,不等式2
230x mx m ++->恒成立；q ：实数m
满足
()()
30m a m a -≤-，其中0a >， （1）当1a =， p 且q 为真时，求实数m
的取值范围；
（2）若¬p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围.
18．（本小题满分12分）已知函数()1f x x x a =--+. （1）求不等式()f x x a ≥+的解集；
（2）若方程()0f x x +=有二个不同的解，求实数a 的值.
19．（本小题满分12分）（1）用反证法证明：已知实数,,,a b c d 满足1a b c d +++=，求证：
,,,a b c d 中至少有一个数不大于
1
4
；（2）设a ，b ，c 为ABC ∆的三边长，求证：111a b c a b c
+>+++.
20.（本小题满分12分）设函数()ln f x x =，()()g x ax a R =∈ (1)令()()()F x f x g x =-，讨论函数()F x 的单调性； (2)当()()f x g x <在()0,+¥上恒成立时，求a 的取值范围.
21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2x cos y sin θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参
数），直线l
的参数方程为11x y a ⎧=-⎪⎪
⎨
⎪=--⎪⎩
（t 为参数）. （1）若0a =，求直线l 被曲线C 截得的线段的长度；
（2）若1a =，求曲线C 上的点M 到直线l 的最大距离，并求出此时点M 的坐标.
22．（本小题满分12分）已知函数2()(,)mx
f x m n R x n
=
∈+，在1x =处取得极值2. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()ln g x ax x =-，若对于任意的11[,2]2
x ∈，总存在唯
一的211
[,]2x e e
∈，使得21()()g x f x =，求实数a 的取值范围.
淮南二中2019届高一下学期数学期中试题参考答案一．选择题:（每题5分，共计60分）
二.填空题:（每题5分，共计20分）
13. 4 14. 4
3
15. 4或16 16. 8
a
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）
解：（1）
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
（2）由()0f x x +=得1a x x x -=--+，
则方程()0f x x +=有二个不同的解等价于函数y a =-的图象和 函数1y x x x =--+的图象有二个不同交点，
因为1y x x x =--+1,01,011,1x x x x x x +≤⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
，画出其图象，如图所示，
结合图象可知，函数y a =-的图象和函数1y x x x =--+的图象 有二个不同交点时，则有=1a -或=0a -，所以1a =-或=0a .
19. （本小题满分12分）
（1）假设a b c d 、、、 都大于1
4
，则1a b c d +++>，这与已知1a b c d +++=矛盾． 故
a b c
、、中
至
少
有
一
个
不
大
于
1
4
．...................................................6分 （2）证明：∵,,0a b c >，∴10a +>，10b +>，10c +> 要证明
111a b c a b c
+>+++ 只需证()()()()1111a b c b a c +++++()()11c a b >++ 即证()()11a b c bc b a c ac +++++++()1c a b ab >+++ 即证2a ab b abc c +++> ∵a ，b ，c 是ABC ∆的三边长
∴0a >，0b >，0c >且a b c +>，0abc >，20ab > ∴2a ab b abc c +++>成立 ∴
111a b c a b c
+>+++成立............................................................12分 20．（本小题满分12分） 解：（1） .
21．（本小题满分12分）解：
解：（1）21.（1）.
由在处取得极值，故，即，解得：
，
经检验：此时在处取得极值，故
....................................4分
由（1）知，故在上单调递增，在上单调递减，由
- 11 -
，，
故的值域
为
，..............................................6分
依题意： ，记，
①当时，
，单调递减，依题意有
得，故此时. ②当时,,当时,；当时，，依题意有：，得，这与矛盾.
③当时，，单调递增，依题意有，无解.
综上所述:的取值范围是
. ..................................................12分。