高中数学 2.32.3.2平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算预习导学检测试题 新人教A版必修4

2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.2 平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算预习导学
基础提升
1．若AB →＝()2，3，且点A 的坐标为(1,2)，则点B 的坐标为( )
A ．(1,1) B.()－1，1
C.()3，5
D.()4，4
答案：C
2．已知平行四边形OABC(O 为原点)，OA →＝(2,0)，OB →＝(3,1)，则OC 等于( )
A ．(1,1)
B ．(1，－1)
C ．(－1，－1)
D ．(－1,1)
解析：OC →＝AB →＝OB →－OA →＝(3,1)－(2,0)＝(1,1)，故选A.
答案：A
3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )
A ．－1
2a ＋3
2b B.1
2a －3
2b
C.3
2a －1
2b D ．－32a ＋1
2b
答案：B
4．已知a ＝()1，2，b ＝()2，3，实数x ，y 满足xa ＋yb ＝()3，4，则x ＝________.
答案：－1
5．若将向量a ＝(3，1)按逆时针方向旋转π
2得到向量b ，则b 的坐标为________．
答案：(－1，3)
6．已知平行四边形ABCD 中，A(1,1)，B(6,1)，C(8,5)，则点D 的坐标为________．
答案：()3，5
巩固提高
7．作用于原点的两个力F1＝()2，2，F2＝()1，3，为使它们平衡，需加力F3＝________.
答案：()－3，－5
8．已知A ()2，3，B ()4，－3，点P 在线段AB 的延长线上，且||AP →＝32||
PB →，求点P 的坐标．
解析：设P ()x ，y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且||AP →＝32||
PB →，得 ()x －2，y －3＝32()x －4，y ＋3，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝3x －12， 2y －6＝3y ＋9，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝8， y ＝－15. ∴P 点的坐标为() 8，－15.
9．已知A(－2,1)，B(1,7)，求线段AB 的三等分点P ，Q 的坐标(其中P 距点A 近)．
解析：设P(x ，y)，∵P 为AB 的三等分点，
∴AP →＝13AB →，即(x ＋2，y －1)＝13
(3,6)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝1， y －1＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1， y ＝3. ∴P(－1,3)同理可求Q(0,5)．
10．在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量方法证明PA ＝EF[已知若a ＝(x ，y)，则|a|2＝x2＋y2)]．
证明：建立如右图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a ，
则A(0，a )．设|DP →|＝λ(0＜λ＜2a)，则F ⎝⎛⎭⎫22λ，0，
P ⎝⎛⎭⎫22λ，2
2λ，E ⎝⎛⎭⎫a ，2
2λ，
所以EF →＝⎝⎛⎭⎫2
2λ－a ，－2
2λ，
PA →＝⎝⎛⎭⎫－2
2λ，a －2
2λ，
因为|EF →|2＝λ2－2aλ＋a2， |PA →|2＝λ2－2aλ＋a2，
所以|EF →|＝|PA →|，即EF ＝PA.
11．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试求t 为何值时：
(1)点P 在x 轴；
(2)点P 在y 轴；
(3)点P 在第一象限．
解析：∵OP →＝(1＋3t,3t ＋2)，∴P(1＋3t,3t ＋2)．
(1)若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－2
3；
(2)若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－1
3；
(3)若点P 在第一象限上，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3t>0， 2＋3t>0，t>－1
3.。