5数据处理

2.作图规则
②标明坐标轴和图名
2.作图规则
③标点
2.作图规则
④连线
3.作图举例
(1).直角坐标举例。测得铜电阻与温度对 应的一组数据如表所示，试用直角坐标作 图表示出电阻与温度的函数关系。
测量次数 铜电阻 Rt 温度 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
()
10.20 10.35 10.51 10.64 10.76 10.94 11.08 11.22 11.36 11.53
最小乘数a和b的值是能使各次测 量值误差平方和为最小的那个值。 数学表达式为：
( y
i 1
K
i
y ) min
2
（2）一元线性回归方程（直线拟合）： 函数形式为y=a+bx，则：
a
x xy y x x x2
2
2
b
x y xy x x
2 2

ya x
（3）相关系数γ
I K 1 I K (mA )
I K 5 I K (mA)
解： 根据伏安公式
V R I
①.若按逐项相减，则有
1 n 1 I ( I k 1 I k ) 10 1 k 1
1 I 2 I 1 I 3 I 2 ... I 10 I 9 10 1
次数 1 5.0 10.32 2 10.0 10.51 3 15.0 10.64 4 20.0 10.79 5 25.0 10.94 6 30.3 11.08
(样品：铜 )
7 35.0 11.22 8 40.0 11.36 9 45.0 11.53 10 50.0 11.66
t ( C )
Rt ()
②使用条件：
自变量等间隔变化（对一次逐差必须 是线性关系，否则先进行曲线改直）; 测量数据必须是偶数组数据,否则需要去掉 头，尾或中间的一组。
四、最小二乘法
作图法： 直观、简便。但主观随意性大（粗略） 逐差法： 粗略的近似计算方法（要满足一定条件） 回归分析法： 最准确的计算方法
1.回归分析法定义：
次数 K 1 2 3 4 5 6 7 8
电阻 Rt () 10.35 10.51 10.64 10.76 10.94 11.08 11.22 11.36 温度 t ( C ) 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0
解：
1 k 2 1 t t i 180.0 22.50 k i 1 8 1 k 1 Rt Rti 86.86 10 .86 k i 1 8 1 k 1 tRt t i Rti 1.98 103 248 k i 1 8 1 k 2 1 t 2 t i 5.10 103 638 k i 1 8
用作图的方法确定。两边取对数得：Ln q
Ln q ~ t 曲线，设图线的斜率为 1 作
由此可算出电路参数R和 c。
Rc
截距为 Ln Q 。
2.作图规则
①作图一定要用坐标纸，注意图幅的大小和坐 标轴比例，要根据测量的有效数字与结果的要 求来确定。对计算用图，要求测量数据中的可 靠数字在图上也应是可靠的，即图纸上一小格 对应数据中可靠数字的最后一位，而误差位在 小格之间估计。对示意图就不必在意有效数字 的问题，但要注意图幅大小，坐标比例合适。 纵横坐标轴比例不一定相同，坐标原点也不一 定与变量的零点一致。
最后，得到电阻随温度的变化关系为：
Rt 0.0314 10.20() t
(2).用电势差计校准量程为1mV的毫伏 表，测量数据如下（表中单位均为mV）。 在如图所示的坐标中画出毫伏表的校准曲线， 并对毫伏表定级别。
毫伏表读数 电势差计读数 修正值△U 毫伏表读数 电势差计读数 修正值△U 0.100 0.1050 0.005 0.600 0.6030 0.003 0.200 0.2150 0.015 0.700 0.6970 -0.003 0.300 0.3130 0.013 0.800 0.7850 -0.015 0.400 0.4070 0.007 0.900 0.8920 -0.008 0.500 0.5100 0.010 1.000 1.0070 0.007

y2 y1 x3 x2 x1
C.内插与外推
从图线可得到非测量点的数据。如图所示： *当数据在测量范围内时为内插（X1,Y1） *当数据在测量范围外时为外推（X2,Y2）
利用内插或外推使 测量范围得到了扩 展，并且方便快捷、 避免了复杂的计算。
D.校正曲线
利用校正曲线可以提高仪器的准确度。
a
t tRt Rt t 2 t t2
2
22.50 248 10.86 638 10.2 2 22.50 638
Rt a 10.86 10.24 b 0.028 22.50 t
如果把数据代入计算γ的公式中就可得到γ的值为 0.999。说明它们的线性关系良好。
也可以利用这种分组法计算因变量( I ) 的平均 值
10.04 10.01 10.03 9.93 9.96 I 1.999 mA 25
根据欧姆定律得
V 2.00 R 1.00 103 () I 1.999 10 3
2.有关逐差法的几点说明
①优点：
充分利用测量数据（取平均的效果）
k 2 k
2
1 yi yi k i 1 i 1
k 2 k
2
γ >0 拟合曲线斜率为正 γ <0 斜率为负 γ =0 则x和y无线性关系
(a)
(b)
(c)
(d)
（4）举例
还是以铜电阻~温度关系为例，测得的一组数 据如表所示。已知Rt和t的函数关系为Rt=a+bt， 试用最小二乘法求出a、b。
伏安法测电阻,试用逐差法求出电流I的 最佳值并算出电阻R
次数（K） 电压 V（V） 电流 I（mI） 1 0 0 2.04 9.96 2 2.00 2.04 1.91 9.93 3 4.00 3.95 2.08 10.03 4 6.00 6.03 1.99 10.01 5 8.00 8.02 1.94 10.04 6 10.00 9.96 2.01 7 12.00 11.97 2.01 8 14.00 13.98 2.06 9 16.00 16.04 2.02 10 18.00 18.06
测量单摆的周期T随摆长L的变化，函数关系为： L
L~T曲线为抛物线。
g 4
T2 2
若进行曲线改直作L~T2 曲线。结果将得到一条通过原点的直线。 g 其斜率等于 。由此可算出试验所在地的重力加速度g 2 4 电容的放电过程q Q e
t Rc
式中R，c为未知量，可以
1 t Ln Q Rc
25.0 26.1 1.1
f ( H Z )
E.曲线改直
(1). y ax , a、b为常数。
b
则 lg y b lg x lga, lg y为lg x的线性函数， 斜率为 ，截距为 a。 b lg
(2). y ae
bx
, a、b为常数。
则 ln y bx lna , ln y为x的线性 函数， 斜 率 为 b， 截 距 为 a。 ln
第五节
数 据 处 理
一、列表法
要求： 要把原始数据和必要的
运算过程中的中间结果 引入表中。 必须标明个符号所代表 的物理量的意义，并写 明单位。 表中的数据要正确地反 映测量结果的有效数字。
通过测量温度t和在温度t下铜的电阻Rt来 测量铜的电阻温度系数，得到t与Rt的数 据列表如下：
电阻（ t） 温度（）关系 R ~ t
2
则y 2 p x 1 2 , y为x 1 2的 线 性 函 数 ， 斜 率 为 2 p。
x (6).y ,a、b为常数。 a bx 1 1 1 1 则 a b, 为 的线性函数， y x y x 斜率为a，截距为b。 1 2 (7).S v 0 t at , v 0、a为 常 数 。 2 s 1 s 则 v 0 at, 为t的 线 性 函 数 ， t 2 t a 斜 率 为 ， 截 距 为 0。 v 2
(3). y ab x , a、b为常数。 则 lg y (lgb) x lga, lg y为x的线性函数， 斜率为lgb，截距为 a。 lg
(4).I C , C为常数。
则I C 1

, I为 1 的 线 性 函 数 ，

斜率为 。 C
(5). y 2 px, p为常数。
1 I 10 I 1 10 1
②.若按顺序分为两组（1~5为一组，6~10为一组） 实行对应项相减，其结果如表：
次数（K） 电压 V（V） 电流 I（mI） 1 0 0 2.04 9.96 2 2.00 2.04 1.91 9.93 3 4.00 3.95 2.08 10.03 4 6.00 6.03 1.99 10.01 5 8.00 8.02 1.94 10.04 6 10.00 9.96 2.01 7 12.00 11.97 2.01 8 14.00 13.98 2.06 9 16.00 16.04 2.02 10 18.00 18.06
相关系数：定量描述x、y变量之间线性相关程度的好坏

式中
L xy L xx L yy
k 1 k Lxy x i y i x i y i k i 1 i 1 i 1
k
L xx L yy
1 xi xi k i 1 i 1
由数理统计的方法处理数据，通过计算确定 其函数关系的方法。
步骤： 1.推断函数形式（回归方程）