第五章测量误差及数据处理基本知识
第五章 测量误差的基本知识
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
《测量学》第5章 测量误差基本知识
4 180-00-01.5
5 180-00-02.6
S
m
244 .3 7.0秒 5
m2 3m2 m 3m
-10.3
+2.8 +11.0 -1.5 -2.6 -1.6
106.1
7.8 121 2.6 6.8 244.3
A BC
m m / 3 4.0秒
误差传播定律应用举例
1、测回法观测水平角时盘左、盘右的限差不超 过40秒； 2、用DJ6经纬仪对三角形各内角观测一测回的 限差； 3、两次仪器高法的高差限差。
24
130
中误差 m 1
2 2 .7 n
m2
2 3 .6
n
三、相对误差
某些观测值的误差与其本身 大小有关
用观测值的中误差与观测值之比 的形式描述观测的质量，称为相 对误差（全称“相对中误差”）
T m l
1 l
m
例，用钢卷尺丈量200m和40m两段距 离，量距的中误差都是±2cm，但不 能认为两者的精度是相同的
x l1 l2 ln
已知：m1 =m2 =….=mn=m
n
求：mx
dx
1 n
dl1
1 n
dl2
1 n
dln
mx
(
1 n
)2
m12
(1)2 n
m22
(1)2 n
mn2
1m n
算例：用三角形闭合差求测角中误差
次序 观测值 l
Δ ΔΔ
1 180-00-10.3
2 179-59-57.2
3 179-59-49.0
误差传播定律
应用举例
观测值：斜距S和竖直角v 待定值：水平距离D
第5章 测量误差的基本知识
结论
在观测过程中，系统误差和偶然误差往往是同时存在 的。当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居 于次要地位，观测误差呈现出系统误差的性质；反之， 呈现出偶然误差的性质。因此，对一组剔除了粗差的 观测值，首先应寻找、判断和排除系统误差，或将其 控制在允许的范围内，然后根据偶然误差的特性对该 组观测值进行数学处理，求出最接近未知量真值的估 值，称为最或是值；同时，评定观测结果质量的优劣， 即评定精度。这项工作在测量上称为测量平差，简称 平差。
2 相对误差
对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完全表达观 测结果的质量。 例如，测得某两段距离，一段长200m，另一段长1000m， 观测值的中误差均为±0.2m 。从表面上看，似乎二者精 度相同，但就单位长度来说，二者的精度并不相同。这 时应采用另一种衡量精度的标准，即相对误差。 相对误差：是中误差与观测值之比，是个无量纲数，在 测量上通常将其分子化为1。即用K=1/N的形式来表示。 上例前者的相对中误差为0.2/200=1/1000，后者为 0.2/1000=1/5000。显然，相对中误差愈小（分母愈 大），说明观测结果的精度愈高，反之愈低。
解：水准测量每一站高差： hi ai bi (i 1,2....,n)
则每站高差中误差
m站 m读 m读 m读 2
2 2 2.8m m
观测n站所得总高差 h h1 h2 hn 则n站总高差h的总误差
2
2
m总 m站 n 2.8 nmm
2
第二组观测 观测值 l Δ 0 180°00ˊ00" +1 159°59ˊ59" -7 180°00ˊ07" -2 180°00ˊ02" -1 180°00ˊ01" 179°59ˊ59" 179°59ˊ52" 180°00ˊ00" 179°59ˊ57" 180°00ˊ01" +1 +8 0 +3 -1 24
第五章误差基本知识
现在的位置：课程介绍 >> 理论部分 >> 电子讲稿第五章误差基本知识5.1误差的来源和分类一、定义：观测值与真值之差，记为：X为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值。
为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值。
为观测误差，即真误差。
二、误差的来源1、测量仪器一是仪器本身的精度是有限的，不论精度多高的仪器，观测结果总是达不到真值的。
二是仪器在装配、使用的过程中，仪器部件老化、松动或装配不到位使得仪器存在着自身的误差。
如水准仪的水准管轴不平行视准轴，使得水准管气泡居中后，视线并不水平。
水准尺刻划不均匀使得读数不准确。
又如经纬仪的视准轴误差、横轴误差、竖盘指标差都是仪器本身的误差。
2、观测者是由于观测者自身的因素所带来的误差，如观测者的视力、观测者的经验甚至观测者的责任心都会影响到测量的结果。
举例：如水准尺倾斜、气泡未严格居中、估读不准确、未精确瞄准目标都是观测误差。
3、外界条件测量工作都是在一定的外界环境下进行的。
例如温度、风力、大气折光、地球曲率、仪器下沉都会对观测结果带来影响。
上述三项合称为观测条件a.等精度观测：在相同的观测条件下进行的一组观测。
b.不等精度观测：在不同的观测条件下进行的一组观测。
测量误差的分类根据测量误差表现形式不同，误差可分为系统误差、偶然误差和粗差。
1、系统误差定义：误差的符号和大小保持不变或者按一定规律变化，则称其为系统误差。
如：钢尺的尺长误差。
一把钢尺的名义长度为30m，实际长度为30.005m，那么用这把钢尺量距时每量一个整尺段距离就量短了5mm，也就是会带来-5mm的量距误差，而且量取的距离越长，尺长误差就会越大，因此系统误差具有累计性。
如：水准仪的i角误差，由于水准管轴与视准轴不平行，两者之间形成了夹角i，使得中丝在水准尺上的读数不准确。
如果水准仪离水准尺越远，i角误差就会越大。
由于i角误差是有规律的，因此它也是系统误差。
正是由于系统误差具有一定的规律性，因此只要找到这种规律性，就可以通过一定的方法来消除或减弱系统误差的影响。
第5章 误差基本知识
例如：
水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角 误差或交叉误差。
水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。
3
2、人的原因
观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯 因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来 不同程度的影响。
3、外界条件
例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素 的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏 移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置 不稳定等。 人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
⑤ 随着 n 的增大，m 将趋近于σ 。
17
必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标 准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次 观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为
第一组： +3″, -2″, -4″,+2″,0″,-4″,+3″, +2″, -3″, -1″； 第二组： 0″, -1″, -7″,+2″,+1″,+1″,- 8″, 0″, +3″, -1″.
2
n
lim
n
n
13
•
从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:
1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得 的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三 特性。 • 2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之， △愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△) →0,这就是偶然误 差的第一和第二特性。 • 3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐 点横坐标： △拐=± • 如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内 的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭， 即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差 分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特 征。
第5章测量误差的基本知识
1、仪器 三、观测条件
2、观测者
3、外界条件
仪器的质量，人的水平及外界条件的综合 四、等精度观测 在相同观测条件下进行的观测 五、不等精度观测 观测条件不相同的观测 六、误差的分类（按其对观测结果影响性质的不同） 1、系统误差 在相同观测条件下对某一量进行一系列观测，所出现的误差在大小，符号上表现出一致性或按 一定规律变化的为常数。 2、偶然误差 所出现的误差从表面上看没有规律。 3、系统误差对待方法（检校仪器、用一定的观测方法、加改正数） 七、多余观测：多于必要观测次数的观测。 可以及时发现错误，据所评定精度，提交最后成果精度。 八、偶然误差的物性 在 相 同 观 测 条 件 下 ， 独 立 地 观 测 了 某 测 区 内 365 个 的 全 部 内 角 ， 内 角 和 的 真 误 差
180 ，将正、负误差分开，以误差区间 d 2 对误差个数及频率进行统计。
1、绝对值超过一定限值的误差出现的频率为零 2、小误差出现的频率比大误差出现的频率大 3、正负误差出现的频率相等 4、当观测次数无限增大时，误差的算术平均值→0。 有界性 单峰性 对称性
mx
n
0.71
0.50 0.41 0.35 0.32 0.29
0.20
0.18
0.17
0.16
m 增多观测次数可提高算术平均值的精度
n 25 精度的提高缓慢，提高仪器的等级
四、应用定律注意事项 1、观测值仅含偶然误差。 2、观测值必须相互独立。 3、仅需取两个有效数字。 4、单位统一。 5、有时先取自然对数方便得多。
2 mz (
30 三、举例 1、和差函数
z x1 x2 xn dz dx1 dx2 dxn
测量误差及数据处理
x0
x
相对误差ε是一个无量纲的数据，通常以百分数的形式表
示。相对误差比绝对误差能更好地说明测量的精确程度。例如，
在上面的例子中，ε1＝0.002/20×100%＝0.01%，ε2＝ 0.02/250×100%＝0.008%，可以看出，后者的测量精度更高。
1.2 测量误差的来源
计量器具 误差
计量器具误差是指计量器具本身在设计、制造和使用
（2）随机误差的评定指标
① 算术平均值 。对同一被测量进行n次等精度测量，测
量结果为x1、x2、…、xn，则算术平均值x 为：
x
x1 x2 xn n
1 n
n i1
xi
测量次数n越大，算术平均值 越趋近于真值x0。因此，用
算术平均值 x 作为最后测量结果是可靠的、合理的。
② 标准偏差σ。
用算术平均值 x 表示测量结果虽然可靠，但不能全面反
映测量精度。例如，有两组测得值： 第一组：12.005，11.996，12.003，11.994，12.002； 第二组：11.90，12.10，11.95，12.05，12.00。
两组测得值的算术平均值 x1＝ x2＝12，但第一组测得
值比较集中，第二组测得值比较分散，也就是说，第一组的 每一个测得值比第二组的更接近于算术平均值，第一组测得 值的测量精度比第二组高。此时，算术平均值就不能准确地 反映测量精度了，而常用标准偏差σ来反映测量精度的高低。
源
误差
所引起的误差。环境条件主要包括温度、湿度、气压、振
动和灰尘等，其中，温度对测量结果的影响最大。
测量人员 误差
测量人员误差是指由测量人员的主观因素所引起的误
差。例如，测量人员技术不熟练、测量瞄准不准确、估读 判断错误和测量习惯等引起的误差。
第五章测量误差的基本知识
mC
试求 中误差
5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中 误差
▪ 当观测次数n趋于无穷大时，算术平均值趋 于未知量的真值。当n为有限值时，通常取 算术平均值做为最可靠值。
▪ 利用观测值的改正数vi计算中误差：
m [vv] (n 1)
▪ 算术平均值中误差：
M m [vv] n n(n 1)
例：对某直线丈量了6次，丈量结果如表，求算术
▪ 4相同的观测条件下,一测站高差的中误差为 _______。
▪ 5衡量观测值精度的指标是_____、_______和 ______。
▪ 6对某目标进行n次等精度观测,某算术平均值的中 误差是观测值中误差的______倍。
▪ 7在等精度观测中,对某一角度重复观测多次,观测 值之间互有差异,其观测精度是______的。
第五章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差基本知识
5.1 测量误差与精度 5.2误差传播定律 5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中误 差 5.4非等精度直接观测值的最可靠值及其中 误差
第五章 测量误差基本知识
▪ 主要内容：测量误差的概念、来源、分类 与处理方法；精度概念及评定标准；误差 传播定律；观测值中误差计算；直接观测 值的最可靠值及其中误差
Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差
▪ 经纬仪对中误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 尺长误差和温度误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 下面是三个小组丈量距离的结果，只有（ 测量的相对误差不低于1/5000的要求
）组
▪ Ａ.100m 0.025m； Ｂ.200m 0.040m； Ｃ.150m 0.035m
第五章测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识第五章测量误差的基本知识本章摘要：本章主要介绍测量误差的种类；偶然误差的统计特征和处理⽅法；精度的含义；评定测量精度的指标；不同精度指标表达的意义及其适⽤范围。
§5-1 测量误差及分类摘要内容：学习误差理论知识的⽬的，使我们能了解误差产⽣的规律，正确地处理观测成果，即根据⼀组观测数据，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度；同时，根据误差理论制定精度要求，指导测量⼯作选⽤适当观测⽅法，以符合规定精度。
讲课重点：测量误差的概念、测量与观测值分类、测量误差及其来源、测量误差的种类、偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲课难点：偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲授重点内容提要：⼀、测量误差的概念⼈们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差，这种误差在对变量进⾏观测和量测的过程中反映出来，称为测量误差。
⼆、测量与观测值通过⼀定的仪器、⼯具和⽅法对某量进⾏量测，称为观测，获得的数据称为观测值。
三、观测与观测值的分类1.同精度观测和不同精度观测观测条件：构成测量⼯作的要素包括观测者、测量仪器和外界条件，通常将这些测量⼯作的要素统称为观测条件。
同精度观测：在相同的观测条件下，即⽤同⼀精度等级的仪器、设备，⽤相同的⽅法和在相同的外界条件下，由具有⼤致相同技术⽔平的⼈所进⾏的观测称为同精度观测，其观测值称为同精度观测值或等精度观测值。
反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同（不等）精度观测值。
2.直接观测和间接观测直接观测：为确定某未知量⽽直接进⾏的观测，即被观测量就是所求未知量本⾝，称为直接观测，观测值称为直接观测值。
间接观测：通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观测，观测值称为间接观测值。
（说明：例如，为确定两点间的距离，⽤钢尺直接丈量属于直接观测；⽽视距测量则属于间接观测。
）3.独⽴观测和⾮独⽴观测独⽴观测：各观测量之间⽆任何依存关系，是相互独⽴的观测，称为独⽴观测，观测值称为独⽴观测值。
土木工程测量第5章测量误差的基本知识(精)
第5章测量误差的基本知识内容提示：本章主要介绍了测量误差的概念、来源、分类与处理方法，精度的概念及评定标准，误差传播定律，等精度与非等精度直接观测值的最可靠值及其中误差。
其重点内容包括误差传播定律、观测值中误差计算、直接观测值的最可靠值及其中误差。
其难点为误差传播定律及其应用。
5.1 测量误差与精度5.1.1 测量误差的概念要准确认识事物，必须对事物进行定量分析；要进行定量分析必须要先对认识对象进行观测并取得数据。
在取得观测数据的过程中，由于受到多种因素的影响，在对同一对象进行多次观测时，每次的观测结果总是不完全一致或与预期目标(真值)不一致。
之所以产生这种现象，是因为在观测结果中始终存在测量误差的缘故。
这种观测量之间的差值或观测值与真值之间的差值，称为测量误差(亦称观测误差)。
用l代表观测值，X代表真值，则有Δ=l－X (5-1)式中Δ就是测量误差，通常称为真误差，简称误差。
一般说来，观测值中都含有误差。
例如，同一人用同一台经纬仪对某一固定角度重复观测多次，各测回的观测值往往互不相等；同一组人，用同样的测距工具，对同一段距离重复测量多次，各次的测距值也往往互不相等。
又如，平面三角形内角和为180 ，即为观测对象的真值，但三个内角的观测值之和往往不等于180 ；闭合水准测量线路各测段高差之和的真值应为0，但经过大量水准测量的实践证明，各测段高差的观测值之和一般也不等于0。
这些现象在测量实践中普遍存在，究其原因，是由于观测值中不可避免地含有观测误差的缘故。
5.1.2 测量误差的来源为什么测量误差不可避免？是因为测量活动离不开人、测量仪器和测量时所处的外界环境。
不同的人，操作习惯不同，会对测量结果产生影响。
另外，每个人的感觉器官不可能十分完善和准确，都会产生一些分辨误差，如人眼对长度的最小分辨率是0.1mm，对角度的最小分辨率是60"。
测量仪器的构造也不可能十分完善，观测时测量仪器各轴系之间还存在不严格平行或垂直的问题，从而导致测量仪器误差。
测量学试题及答案第五章_测量误差基本知识
第五章测量误差基本知识一、名词解释观测误差系统误差偶然误差误差传播定律二、填空题1．测量误差产生的原因、、；2．观测误差按误差的性质划分，可分为、、；3．评定观测值精度的标准有、、；三、选择题（）1．下列误差为偶然误差的是A 钢尺尺长不准的量距误差B 水准仪的i角对读数的影响误差C 经纬仪的水准管轴不垂直于竖轴对读数的影响误差D 经纬仪度盘读数的估读误差E 水准尺未立竖直（倾斜）对仪器读数的影响误差F 经纬仪照准目标时的照准误差G 水准仪在水准尺上读数时最后一位数值的估读误差H 钢尺量距时尺子零点对准地面点位的对点误差（）2．下列哪些量是评定观测值精度的标准A极限误差B中误差C相对误差D允许误差（）3．地面上两点间的距离，用钢尺反复丈量，观测值中误差的计算公式为A BC D无法计算四、简答题1、简述偶然误差的四个特性五、计算题1．用钢尺反复丈量地面上A、B两点间的水平距离，观测数据如下：L1＝124.365L5＝124.368L2＝124.372L6＝124.361L3＝124.370L7＝124.366L4＝124.367L8＝124.368计算这组观测值的中误差、算术平均值的中误差和相对误差。
2.用经纬仪反复观测某一角度，得如下一组角度值β1＝28°15′32″β2＝28°15′28″β3＝28°15′37″β4＝28°15′46″β5＝28°15′38″β6＝28°15′40″试求这组观测值的中误差及算术平均值的中误差。
3.一测站水准测量，后视读数为 1.659m，前视读数为 2.163m，水准仪在水准尺上的读数误差均为±2mm，求这一测站的高差及其中误差。
4.如图所示，从已知水准点A到B点进行水准测量，共测了4站，每一站水准仪的读数误差均为±2mm，A点的高程中误差为±8mm，试求B点的中误差。
5.水准仪在水准尺上的读数中误差为±2mm，求：⑴双仪器高法一测站高差中误差⑵三四等水准测量一测站高差中误差6.从已知水准点A到B点进行水准测量，水准仪的读数中误差为±2mm，A点的高程中误差为±8mm；要求B点的中误差不能超过±15mm，试求从A点到B点最多能测多少站？7.求DJ6经纬仪的一测回测角中误差，半测回测角中误差。
第5章-测量误差
证明如下： [] [vv]
n n 1
证明两式根号内相 等
真误差：
11 Xl1 lX1 22 Xl2 lX2 nn Xln lXn
改正数： vv11 xx ll11 v2v2xx ll22 vnvnxx lnn
由上两式得
i vi x X i vi
对上式取n项旳平方和 n 2 2 v vv 其中:v nx l 0
图5-1 误差统计直方图
§5.2 算术平均值原理
一、算术平均值原理
在等精度观察条件下，对某量作一系列观察，取其观察值l i旳算 术平均值，做为真值X旳最可靠估值（最或是值）。
x l X
n
l l1 l2 ln
二、最或是误差（观察值旳改正数） 替代真误差
vi x li
v n x l n l l 0
• ±1、±2、 ±0、±√2
•研究观察值函数误差传播旳规律，称为误差 传播定律。
一、和差函数
•
设Z=X±Y （X、Y不有关）
有观察误差 Z Z ( X X ) (Y Y )
真误差
Z X Y
平方求和 ZZ XX YY 2XY
除以n
ZZ XX YY 2 XY
n
n
n
n
证明两式
根号内相
n 2 2 v vv n 2 vv
等
2
(x
X )2
l
n
nX n
2
l
X 2
n
2
n2
n
2 1 2 n 2 (21 22 2n ) 2i j i, j 1 i j
2
2
n2
n2 0
vv
n n2 n
vv
n n 1
测量误差基本知识
第五章测量误差基本知识5－1 测量误差概述一、测量误差产生的原因对某一个量进行多次重复观测，例如重复观测某一水平角或往返丈量某段距离等，其多次测量的结果总存在着差异，这说明观测值中含有测量误差。
产生测量误差的原因很多，概括起来有下列三个方面：1．仪器的原因测量工作是采用经纬仪、水准仪等测量仪器完成的，测量仪器的构造不可能十分完善，从而使测量结果受到一定影响。
例如，经纬仪的视准轴与横轴不垂直、度盘刻划不均匀，都会使所测角度产生误差；水准仪的视准轴不平行于水准管轴、望远镜十字丝不水平，都会使高差产生误差。
2．观测者的原因由于观测者感觉器官的鉴别能力存在局限性，所以对仪器的各项操作，如经纬仪对中、整平、瞄准、读数等方面都会产生误差。
此外，观测者的技术熟练程度和工作态度也会对观测成果带来不同程度的影响。
3．外界环境的影响测量所处的外界环境(包括温度、风力、日光、大气折光等)时刻在变化，使测量结果产生误差。
例如，温度变化会使钢尺产生伸缩，风吹和日光照射会使仪器的安置不稳定，大气折光会使瞄准产生偏差等。
人、仪器和外界环境是测量工作的观测条件，由于受到这些条件的影响，测量中的误差是不可避免的。
观测条件相同的各次观测称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
二、测量误差的分类测量误差按其对观测结果影响性质的不同分为系统误差和偶然误差两类。
1．系统误差在相同的观测条件下对某一量进行一系列观测，若误差的出现在符号和数值上均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
例如，用名义长度为30.000m，而实际鉴定后长度为30.006m的钢卷尺量距，每量一尺段就有0.006m的误差，其量距误差的影响符号不变，且与所量距离的长度成正比。
所以，系统误差具有积累性，对测量结果的影响较大；另一方面，系统误差对观测值的影响具有一定的规律性，且这种规律性总能想办法找到，因此系统误差对观测值的影响可用计算公式加以改正，或采用一定的测量措施加以消除或削弱。
《测量学》第五章测量误差基本知识
系统误差的来源与消除方法
总结词
系统误差的来源主要包括测量设备误差、环境因素误差和测量方法误差。消除系统误差的方法包括校准设备、改 进测量方法和采用适当的修正公式。
详细描述
系统误差的来源多种多样，其中最常见的是测量设备误差，如仪器的刻度不准确、零点漂移等。此外，环境因素 如温度、湿度和气压的变化也可能导致系统误差。为了消除这些误差，可以采用定期校准设备、选择适当的测量 方法和采用修正公式等方法。
相对测量法
通过比较被测量与标准量之间 的差异来得到被测量的值，并 评估误差。
组合测量法
将被测量与其他已知量进行组 合，通过测量组合量来得到被
测量的值，并评估误差。
测量结果的表示与处理
测量结果的表示
测量结果应包括被测量的值、单位、 测量不确定度以及置信区间等。
异常值的处理
在数据处理过程中，如果发现异常值， 应进行识别、判断和处理，以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量学第五章 测量误差 基本知识
contents
目录
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的估计与处理
测量误差概述
01
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于受到测量仪器、 环境条件、操作者技能等因素的影响 ，使得测量结果与被测量的真实值之 间存在一定的差异。
不确定度的评定方法
不确定度的传递
不确定度的评定方法包括A类评定和B类评 定，其中A类评定基于统计分析，B类评定 基于经验和信息。
在多个量之间存在函数关系时，需要将各 个量的不确定度传递到最终的测量结果中 ，以确保最终结果的准确性和可靠性。
THANKS.
数据修约
根据测量不确定度对数据进行修约， 以确保数据的完整性和一致性。
《测量误差与数据处理》复习资料
《测量误差与数据处理》复习资料一、填空题1、若用L表示观测值，L~表示真值，则观测误差的计算方法为：。
2、测量上传统的直接测量数据为、和。
3、误差椭圆研究的是待定点相对于的精度，相对误差椭圆研究的是任意两个之间相对位置的精度。
（起始点/待定点）4、某测角网共有n个角度观测值，t个必要观测，如按条件平差进行时，此三角网可以列出个条件方程，如按间接平差进行时，此三角网可以列出个误差方程。
5、设某角度观测值的协因数为9，则其观测值的权为。
6、偶然误差的统计规律性是指：、聚中性、和抵偿性。
7、观测误差按其性质不同可以分为系统误差和偶然误差，其中误差在观测或计算过程中可以采用一定的措施消除或消弱，而误差在观测结果中必然存在。
8、观测误差产生的原因可归结为：、、，当观测条件好时，观测质量就会；反之，观测条件差时，观测成果质量就会；如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是。
9、根据观测误差对观测结果影响的性质，可将误差分为和。
10、误差具有累积性，对成果的影响较大，应当设法消除或减弱的。
11、消除系统误差的方法有两种：（1）；（2）。
12、为了提高最后结果的质量，同时也为了检查和及时发现观测值中有无错误存在，通常要，也就是要进行。
13、测量平差的任务是：（1）；（2）。
14、由偶然误差的对称性和抵偿性可知，误差的理论平均值为。
15、若误差的理论平均值不为0，且数值较大，说明观测成果中含有和。
16、在一定观测条件下进行的一组观测，如果分布较为密集，则表示该组观测质量较也就是说，这一组观测精度较。
17、在一定观测条件下进行的一组观测，如果分布较为离散，则表示该组观测质量较也就是说，这一组观测精度较。
18、判定观测误差中粗差的标准是，即超过这个标准的误差就列入粗差，相应的观测值应予以剔除或返工重测。
19、我们把衡量单位长度的精度叫做，一般来说，当观测误差随着观测量的大小而变化时，用 来描述其精度。
20、当观测量i L 和观测量j L 之间误差相关时，描述这种相关程度的指标有 、 。
测量学第五章 测量误差基本知识1
my [ y y ] n
y=?
dy y
§5.4
误差传播定律及其应用
概念
误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值
函数中误差的关系的定律。
倍数函数
函数形式
和差函数
线性函数
一般函数
（一）和差函数
例如：用水准测量测定两点间的高差h=(a-b)，a 为后视读数，b为前视读数，称h为观测值a和b的 函数。 又例如距离 S 分 n 段丈量，各段长度分别为 S1 、 S2 、 … ， Sn ，则 S=S1+S2+….Sn ，称距离 S 是各分 段长度S1，S2、…，Sn的函数 这些数学式都是直接观测值之和或差，因此称为 和差函数。
2
2
2
2
设每个自变量都观测了 多次，i 1,2,3....n
y i
i 1
n
2
n
f1
n
2
(x1 ) i
i 1
n
2
n
1 2
f2
2
(x 2 ) i
i 1
n
2
n
...
n 当n ， lim 2 f 1 f 2
2 f1 f 2
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
第二组观测值的中误差：
(1) 2 2 2 (6) 2 0 2 (1) 2 7 2 12 0 2 (3) 2 (1) 2 m2 3.2 10
S′
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◆测量与观测值
◆观测与观测值的分类
● 观测条件：
人、仪器、客观环境总称观测条件，它们 是引起观测误差的主要因素
● 等精度观测和不等精度观测 ● 直接观测和间接观测 ● 独立观测和非独立观测
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4
2020年4月9日星期四
§6.1 测量误差概述
◆ 测量误差及其来源
● 测量误差（真误差=观测值-真值） l X
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(1) f1x1(1) f2x2(1) fnxn(1)
对Z观测 了k次，
(2) f1x1(2) f2x2(2) fnxn(2)
(d)
有k个式
(k) f1x1(k) f2x2(k) fnxn(k)
对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）
设 xi有真误差 xi ，函数 Z 也产生真误差
对(a)全微分：
dZ
F x1
dx1
F x2
dx2
F xn
dxn
(b)
由于xi和是一个很小的量，可代替上式中的dxi 和dz ：
代入(b)得
F x1
x1
F x2
x2
F xn
xn
(c)
令
xi 的系数为 fi
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F xi
， (c)式为：
分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
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用频率直方图表示的偶然误差统计：
频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
中误差式 S 168.5m 0.2m
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2.线性函数的中误差 设有函数式 Z k1x1 k2 x2 kn xn
xix j K
(g)
由偶然误差的抵偿性知：
i j
lim xix j 0
n
n
(g)式最后一项极小于前面各项， 可忽略不计，则：
2
K
f12
x12 K
f
2 2
x22 K
f
2 n
xn2 K
即
mz2
f12mx21
f
m 2 2
2 x2
f
2 n
mx2n
பைடு நூலகம்
(h)
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衡量精度的标准
• 在测量工作中，常采用以下几种标准评定测 量成果的精度。 – 中误差 – 相对中误差 – 极限误差
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§6.4 衡量精度的指标
1.方差与标准差
由正态分布密度函数
y
x
1
e
xa 2
2 2
n
n
观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：
m 21 22 2n []
n
n
上式中，偶然误差为观测值 与真值X之差：
i= i - X
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P123表5-2
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m1=2.7是第一组观测值的中误差； m2=3.6是第二组观测值的中误差。
2 lim 21 22 2n lim [2 ]
n
n
n n
称为标准差：
lim
[2 ] lim
[]
n n
n n
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测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。
中误差:
观测次数无限多时，用标准差 表示偶然误差的离散情形：
lim []
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偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小 (d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。
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§6.2 测量误差的种类
测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差
1.粗差(错误)——超限的误差
2.系统误差 —— 误差出现的大小、符号相同，或按
规律性变化，具有积累性。
例： 误差
处理方法
钢尺尺长误差ld 钢尺温度误差lt
计算改正 计算改正
水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距)
经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)
图6-1 误差统计直方图
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衡量精度的标准
• 测量成果中都不可避免地含有误差，在测量工作中， 使用“精度”来判断观测成果质量好坏的。所谓精 度，就是指偶然误差分布的密集或离散程度。误差 分布密集，误差就小，精度就高；反之，误差分布 离散，误差就大，精度就低。
• 一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精 度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。 一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。
解： K1=—01.00—02 =5—00—10 ； K2= —02.00—02 = —101—000
K2<K1，所以距离S2精度较高。
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§6.5 误差传播定律
一.一般函数的中误差
设有函数： Z F(x1, x2, , xn )
(a)
xi为独立观测值
|容|=3|m| 或 |容|=2|m|
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3.相对误差(相对中误差)
——误差绝对值与观测量之比。
用于表示距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。
解：对上式全微分：
由中误差式得：
dz
4 14
dx1
9 14
dx2
1 14
dx3
mZ f1mx1 2 f2mx2 2 f3mx3 2
测量的基本任务
高差测量
1.水准仪的使用及其普通 水准测量步骤
2.水准测量成果计算表 （闭合、附合）按距离 调整、按测站数调整
3.水准仪的检校。重点是i 角的校验与校正
角度测量
距离测量
1.测回法测水平角，记录、 计算过程
2.竖直角的观测，记录、计 算
3.盘左、盘右观测法的好处
1.钢尺量距 2.视距测量计算公式 3.直线定向与直线定线
全微分 dz k1dx1 k2dx2 kndxn
中误差式 mZ k12m12 k22m22 kn2mn2 例：设有某线性函数
Z
4 14
x1
9 14
x2
1 14
x3
其中 x1、x2 、x3分别为独立观测值，它们的中误差分
别为m1 3mm, m2 2mm, m3 6mm求Z的中误差 mZ 。
频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近， 对称于y轴。
各条形顶边中点 连线经光滑后的曲 线形状，表现出偶 然误差的普遍规律
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图6-1 误差统计直方图
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2020年4月9日星期四
◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误 差的四个特性：
3.偶然误差的特性
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值(有界性)；
前面章节小结（重点掌握内容）
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1
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测量学
第6章
测量误差及数据处理的基本知识
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本章主要内容
1
测量误差的概念
2
评定精度的标准
3
观测值的精度评定
4
误差传播定律
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3
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§5.1 测量误差概述
正态分布曲线(a=0)
2
式中 a 、 为常数；e =2.72828…
令： x a ，上式为：
x=
y f ()
1
2
e 2 2
2
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标准差 的数学意义
y f ()
1
e
2
2 2
2
y 较小 较大
上式中， 2称为方差：
表示的 x=
离散程度
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n
2
f12 x12
f
2 2
x22
f
2 n
xn2
2
fi f j xix j (f)
(f)式两边除以K，得(g)式：
i, j1
i j
<<前面各项
2
K
f12
x12 K
f