高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战5601

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:
1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．
2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效．
4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数z 满足i 1i z =--,则在复平面内,z 所对应的点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 2. 已知U =R ,函数()ln 1y x =-的定义域为M ,集合{}02N x x =<<,则(
)U
M N =( )
A. (],0-∞
B. ()0,1
C. [)1,2
D. [)2,+∞
3. 在等差数列{}n a 中,13a =,1033a a =,则{}n a 的前12项和12S =( ) A. 120B. 132C. 144D. 168
4. 曲线C :ln y x x =在点()e,e M 处的切线方程为( )
A. e y x =-
B. e y x =+
C. 2e y x =-
D. 2e y x =+
5.设变量,x y 满足10020015x y x y y -≤⎧⎪
≤+≤⎨⎪≤≤⎩
,则23x y +的最大值为( )
A. 20
B. 35
C. 45
D. 55
6.已知()()sin 2f x x ϕ=+的图像向右平移12
π
个单位后得到函数()g x 的图像,则“函数()g x 的图像关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称”是“6πϕ=-”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 7．已知函数()(
)22ln e
11x
f x x x =+-+,()2f a =,则()f a -的值为( )
A. 1
B. 0
C.1-
D.2- 8
．已知sin cos θθ+=
,则tan 4πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭( )
A.
12B. 2C. 1
2
± D. 2± 9．若图1的框图所给的程序运行结果为20S =,那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )
A ．9k =？
B ．8k ≤？
C ．8k <？
D ．8k >？
10.某一简单几何体的三视图如图2所示,该几何体的外接球的表面积是( ) A. 13πB. 16πC. 25πD. 27π
11.已知1F ,2F 分别是双曲线C :22
221x y a b
-=(0,0a b >>)的左右两个焦点,若在双曲线C 上存在点P 使
1290F PF ∠=︒,且满足12212PF F PF F ∠=∠,那么双曲线C 的离心率为( )
1B. 212.若函数()()2e ln e 2x x f x x m =++-存在正的零点,则实数m 的取值范围为( ) A. (-∞ B.
)
+∞ C. (),e -∞ D. ()e,+∞
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～24为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13.从某班5位老师中随机选两位老师值班,有女老师被选中的概率为
7
10
,则在这5位老师中,女老师有 _______人.
14.在△ABC 中,A 、B 、C 的对边分别是c b a ,,,且B b cos 是A c C a cos ,cos 的等差中项,则B 的大小为_______. 15.抛物线C :2
4y x =上到直线l :y x =的点的个数为________. 16.在等腰直角△ABC 中,90ABC ∠=︒,2AB BC ==,M 、N 为AC 边上两个动点,且满足MN =则BM BN ⋅的取值范围为________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
图1 正视图 侧视图
俯视图 图2
图3
0 3 6 7 8 84 8
8 89.10.8.7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足21n n a S =-(*
n ∈N ).
(Ⅰ) 求证:数列{}n a 为等比数列； (Ⅱ) 若()21n n b n a =+,求{}n b 的前n 项和n T .
18.(本小题满分12分)
某射击爱好者想提高自己的射击水平,制订了一个训练计划,为了了解训练效果,执行训练计划前射击了
10发子弹(每发满分为10.9环),计算出成绩中位数为9.65环,总成绩为95.1环,成绩标准差为1.09环,执行训练计划后也射击了10发子弹,射击成绩茎叶图如图3所示:
(Ⅰ) 请计算该射击爱好者执行训练计划后射击成绩的中位数、总成绩与标准差； (Ⅱ) 如果仅从已知的前后两次射击的数据分析,你认为训练计划对该射击爱好 者射击水平的提高有无帮助？为什么？
19.(本小题满分12分)
如图4,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AAC C ⊥侧面11ABB A
,1AC AA =,1160AAC ∠=︒, 1AB AA ⊥,H 为棱1CC 的中点,D 为1BB 的中点.
(Ⅰ) 求证:1A D ⊥平面1AB H ； (Ⅱ)
若AB =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴，焦距为2
倍. (Ⅰ) 求椭圆Γ的标准方程；
(Ⅱ)设(2,0)P ,过椭圆Γ左焦点F 的直线l 交Γ于A 、B 两点,若对满足条件的任意直线l ,不等式
PA PB λ⋅≤(λ∈R )恒成立,求λ的最小值.
21.(本小题满分12分)
A
B C
A 1
B 1
C 1
D
H
图4
D
C
B
A
P
图5
设常数0a >,函数()2
ln 1x f x a x x
=
-+. (Ⅰ) 当3
4
a =时,求()f x 的最小值；
(Ⅱ) 求证：()f x 有唯一的极值点.
请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清楚题号. 22.(本小题满分10分)选修41-:几何证明选讲
如图5,四边形ABCD 是圆内接四边形,BA 、CD 的延长线交于点P ,且AB AD =,2BP BC =. (Ⅰ)求证:2PD AB =；
(Ⅱ)当2BC =,5PC =时,求AB 的长.
23.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程选讲
已知直线l 的方程为4y x =+,圆C 的参数方程为2cos 22sin x y θ
θ=⎧⎨=+⎩
(θ为参数),以原点为极点,x 轴正半
轴为极轴,建立极坐标系.
(Ⅰ) 求直线l 与圆C 的交点的极坐标；
(Ⅱ)若P 为圆C 上的动点,求P 到直线l 的距离d 的最大值.
24.(本小题满分10分)选修45-:不等式选讲
已知函数()2f x x a =-+,()4g x x =+,其中a ∈R . (Ⅰ) 解不等式()()f x g x a <+；
(Ⅱ)任意x ∈R ,()()2
f x
g x a +>恒成立,求a 的取值范围.
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A
B =
（A ）{1}（B ）{1
2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
（A ）(31)
-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，
（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8
（4）圆
22
28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-
（B ）3
4-
（C ）3（D ）2
（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π
（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π
12个单位长度，则评议后图象的对称轴为
（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π
12 (k ∈Z)
（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，
若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=
（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=3
5，则sin 2α=
（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–7
25
（10）从区间[]
0,1随机抽取2n 个数
1x ,
2
x ，…，
n
x ，
1
y ，
2
y ，…，
n
y ，构成n 个数对()11,x y ，
()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有
m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
π的近似值为
（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n
（11）已知F1，F2是双曲线E 22
221x y a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，
sin 211
3
MF F ∠=
,则E 的离心率为
（A
B ）
3
2
（C
D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x
+=与()
y f x =图像的交点为
1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1
()m
i i i x y =+=∑
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=
45，cos C=5
13
，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.
（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，
丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如
[][]0.9=0lg99=1，.
（I ）求111101b b b ，，；
（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.
18.（本题满分12分）
某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
1 2 3 4 ≥5 保费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 一年内出险次数
1 2 3 4 ≥5
概率
0.30 0.15 0.20 0.20 0.10
0. 05
（I ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=5
4，
EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=
（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆E:22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N
在E 上，MA ⊥NA.
（I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.
（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数x
x 2f (x)x 2
-=
+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x -->（
）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲
如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.
(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；
(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25.
（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣=，求l 的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x ∣+∣x+∣，M 为不等式f(x)＜2的解集. （I ）求M ；
（II ）证明：当a,b ∈M 时，∣a+b ∣＜∣1+ab ∣。