2019最新高中数学 第二章阶段复习课 第2课 随机变量及其分布学案 新人教A版选修2-3

第二课随机变量及其分布
[核心速填]
(建议用时5分钟)
1．离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列出，则称X为离散型随机变量．
2．条件概率的性质
(1)非负性：0≤P(B|A)≤1.
(2)可加性：如果是两个互斥事件，
则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
3．相互独立事件的性质
(1)推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)×P(A2)×…×P(A n)．
(2)对于互斥事件A与B有下面的关系：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
4．二项分布满足的条件
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
(4)随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．
5．超几何分布与二项分布的概率计算
(1)超几何分布：P(X＝k)＝C k M C n－k
N－M
C n N
(其中k为非负整数)．
(2)二项分布：P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
6．期望与方差及性质
(1)E(X)＝X1·P1＋X2·P2＋…＋X n P n.
(2)D(X)＝(X1－E(X))2·P1＋(X2－E(X))2·P2＋…＋(x n－E(X))2·P n.
(3)若η＝aξ＋b(a，b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b.
(4)D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．
(5)D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.
7．正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈68.27%.
(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈95.45%.
(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈99.73%.
[体系构建]
[题型探究]
率是在什么条件下发生的概率．
求条件概率的主要方法有： (1)利用条件概率公式P (B |A )＝
P AB
P A
；
(2)针对古典概型，可通过缩减基本事件总数求解．
在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.
【导学号：95032213】
[解] 设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB .
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为
n (Ω)＝A 25＝20.
根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 1
3×A 1
4＝12. 于是P (A )＝
n A
n Ω＝1220＝35
.
(2)因为n (AB )＝A 2
3＝6， 所以P (AB )＝
n AB n Ω＝620＝3
10
.
(3)法一(定义法)：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率
P (B |A )＝P AB
P A ＝3
1035
＝12
.
法二(直接法)：因为n (AB )＝6，n (A )＝12， 所以P (B |A )＝
n AB n A ＝612＝1
2
.
AB P B ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫或B |＝P AB P A 求AB
n A
求解．其中(2)常用于古典概型的
1．抛掷5枚硬币，在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下，问：正面朝上数恰好是3枚的条件概率是多少？
[解] 法一(直接法)：记至少出现2枚正面朝上为事件A ，恰好出现3枚正面朝上为事件B ，所求概率为P (B |A )，事件A 包含的基本事件的个数为n (A )＝C 2
5＋C 3
5＋C 4
5＋C 5
5＝26，
事件B 包含的基本事件的个数为n (B )＝C 3
5＝10，P (B |A )＝n AB n A ＝n B n A ＝1026＝5
13
.
法二(定义法)：事件A ，B 同上，则 P (A )＝C 2
5＋C 3
5＋C 4
5＋C 5
525
＝26
32， P (AB )＝P (B )＝C 3
525＝10
32，
所以P (B |A )＝
P AB P A ＝P B P A ＝5
13
.
清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运
用相应公式求解．
特别注意以下两公式的使用前提：
(1)若A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，反之不成立． (2)若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )，反之成立．
一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．
(1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率． (2)有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率． (3)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数ξ的分布列和期望.
【导学号：95032214】
[解] 设事件A 为“第1次取出的是白球，第3次取到黑球”，B 为“第2次取到白球”，
C 为“第3次取到白球”，
(1)P (A )＝
C 1
416C 15
＋C 13C 1
6C 14A 29
＝2
3
.
(2)因为每次取出之前暗箱的情况没有变化，所以每次取球互不影响， 所以P (C －
)＝
610＝35
. (3)设事件D 为“取一次球，取到白球”，则P (D )＝25，P (D －)＝3
5，这3次取出球互不
影响，
则ξ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，25，
所以P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25k
⎝ ⎛⎭
⎪⎫353－k
(k ＝0,1,2,3)．E (ξ)＝3×25＝6
5
.
提醒：有放回地依次取出3个球，相当于独立重复事件，即ξ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，25，则可根据独立重复事件的定义求解．
2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独
立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P (ξ≤1)．
[解] (1)设“甲胜A ”为事件D ，“乙胜B ”为事件E ，“丙胜C ”为事件F ，则D －，E －
，F －
分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式，知P (D －)＝0.4，P (E －)＝0.5，P (F －
)＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有DE F －，D E －F ，D －
EF ，DEF .
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率
为P ＝P (DE F －)＋P (D E －F )＋P (D －
EF )＋P (DEF )＝
0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3.
P (ξ＝0)＝P (D －E －F －
)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，
P (ξ＝1)＝P (D －E －F )＋P (D －E F －)＋P (D E －F －
)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋
0.6×0.5×0.5＝0.35，
所以P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝0.45.
2．应用范围：均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛，如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等．
3．求解思路：应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列．对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算．计算概率时要结合事件的特点，灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解．若离散型随机变量服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接代入公式计算其数学期望与方差．
一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有
1,2,2,3,3,3六个数字)
(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列．
(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E (ξ)，
D (ξ)．
[解] (1)由已知，随机变量η的取值为：2,3,4,5,6.设掷一次正方体骰子所得点数为η0，则η0的分布列为：
P (η0＝1)＝16，P (η0＝2)＝13
， P (η0＝3)＝1
2
，
所以η的分布列为：
P (η＝2)＝16×16＝136
， P (η＝3)＝2×16×13
＝19
， P (η＝4)＝2×16×12
＋13×13＝518， P (η＝5)＝2×13×12
＝13. P (η＝6)＝12×12
＝14.
(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设其发生的概率为p ，由(1)知，p ＝14
， 因为随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，14， 所以E (ξ)＝np ＝10×14＝5
2
，
D (ξ)＝np (1－p )＝10×14×34＝158
.
3．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来
自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；
(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． [解] (1)由已知，有P (A )＝C 22C 2
3＋C 23C 2
3C 4
8＝635. 所以，事件A 发生的概率为
635
. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k
3
C 48(k ＝1,2,3,4)．
所以，随机变量X 的分布列为
随机变量X 的数学期望E (X )＝1×14＋2×7＋3×7＋4×14＝2
.
(1)掌握正态分布曲线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率．
正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，曲线与x 轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ、σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
设X ～N (10,1)．
(1)证明：P (1＜X ＜2)＝P (18＜X ＜19)． (2)设P (X ≤2)＝a ，求P (10＜X ＜18).
【导学号：95032215】
[解] (1)证明：因为X ～N (10,1)，所以，正态曲线φμ，σ
(x )关于直线x ＝10对称，
而区间(1,2)和(18,19)关于直线x ＝10对称，
所以⎠⎛1
2φ
μ，σ
(x )dx ＝⎠⎛18
19φ
μ，σ
(x)dx
即P (1＜X ＜2)＝P (18＜X ＜19)．
(2)因为P (X ≤2)＋P (2＜X ≤10)＋P (10＜X ＜18)＋P (X ≥18)＝1，
P (X ≤2)＝P (X ≥18)＝a ， P (2＜X ≤10)＝P (10＜X ＜18)，
所以，2a ＋2P (10＜X ＜18)＝1， 即P (10＜X ＜18)＝1－2a 2＝1
2
－a .
4．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22
)，且正态分布密度曲线如图2­2所示．若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是( )
图2­2
A ．997
B ．954
C ．819
D ．683
D [由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P (58.5<X ≤62.5)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 7，
从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 7≈683.]。