初二数学全等三角形压轴几何题 易错题提优专项训练试题

初二数学全等三角形压轴几何题易错题提优专项训练试题
一、全等三角形旋转模型
1．探究问题：
(1)方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠BAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．
∵∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．
即∠GAF＝∠________．
又AG＝AE，AF＝AE
∴△GAF≌△________．
∴ _________＝EF，故DE＋BF＝EF．
(2)方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF ＝∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
答案：E
解析：(1)EAF、△EAF、GF；(2)DE＋BF＝EF.
【解析】
【分析】
（1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；
（2）将△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，再证明△AGF≌△AEF，即可得出答案；
【详解】
解：（1）如图①所示；
根据等量代换得出∠GAF=∠FAE，
利用SAS得出△GAF≌△EAF，
∴GF=EF，
故答案为：FAE；△EAF；GF；
(2)DE＋BF＝EF，理由如下：
假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转，m°得到△ABG，如图，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，
∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵，
∴．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠3＝．
即∠GAF＝∠EAF．
∵在△AGF和△AEF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS）．
∴GF＝EF．
又∵GF＝BG＋BF＝DE＋BF，
∴DE＋BF＝EF．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质、以及折叠的性质和旋转变换性质等知识，证得△GAF≌△EAF是解题的关键．
2．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把
∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．
（1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF；
（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由
答案：D
解析：（1）证明见解析；（2）是，2.
【解析】
【分析】
（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA=90°，根据“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可证BE=CF；
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM=FN，就可得到
BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=1
2
BC=2.
【详解】
（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∴∠B=∠C=60°，BD=CD，
∵DF⊥AC，
∴∠DFA=90°，
∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，
∴∠AED=90°，
∴∠DEB=∠DFC，且∠B=∠C=60°，BD=DC，
∴△BDE≌△CDF（AAS）
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．
∵∠A=60°，
∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．
∵∠EDF=120°，
∴∠MDE=∠NDF ．
在△MBD 和△NCD 中，
BMD CND B C
BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△MBD ≌△NCD （AAS ）
BM=CN ，DM=DN ．
在△EMD 和△FND 中，
EMD FND DM DN
MDE NDF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△EMD ≌△FND （ASA ）
∴EM=FN ，
∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN
=2BM=2BD×cos60°=BD=
12
BC=2. 【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN ，DM=DN ，EM=FN 是解决本题的关键． 3．（1）如图1，在OAB 和OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC ，BD 交于点M ． 求：①
AC BD
的值； ②∠AMB 的度数． （2）如图2，在OAB 和OCD 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC 交BD 的延长线于点M ．请判断AC BD
的值及∠AMB 的度数，并说明理由； （3）在（2）的条件下，将OCD 点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD=2，
OB=C 与点M 重合时AC 的长．
答案：A
解析：（1）①1，②40°；（2）AC BD =3，∠AMB=90°，见解析；（3）23或43 【分析】
（1）①根据已知条件证明△COA ≌△DOB ，即可证明AC=BD ；②根据△COA ≌△DOB 可得∠CAO=∠DBO ，根据已知条件可得∠OAB+∠ABO=140°，然后在△AMB 中，根据等角的转换即可得到答案；
（2）根据已知条件证明△AOC ∽△BOD ，可得∠CAO=∠DBO ，进而可得
∠MAB=∠OAB+∠DBO ，最后可得∠AMB=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°；
（3）分两种情况讨论，根据题（2），同理可得OAC OBD △△，90AMB ∠=︒，3AC BD
=，设BD=x ，则3AC x = 用x 表示出AM 、BM 的长，在Rt AMB 中，根据勾股定理222AM BM AB +=列出方程，求解即可．
【详解】 解：（1）①如图1，
∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COA=∠DOB ，
∵OC=OD ，OA=OB ，
∴△COA ≌△DOB （SAS ），
∴AC=BD ， ∴AC BD =1， ②∵△COA ≌△DOB ，
∴∠CAO=∠DBO ，
∵∠AOB=40°，
∴∠OAB+∠ABO=140°，
在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD ）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD ）=180°﹣140°=40°，
（2）如图2，AC BD
=3，∠AMB=90°，
理由是：
在Rt △COD 中，∠DCO=30°，∠DOC=90°， ∴3tan 30OD OC =︒= 同理得：
3tan 303OB OA =︒=， ∴OD OB OC OA =， ∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD ，
∴△AOC ∽△BOD ，
∴AC OC BD OD
=3∠CAO=∠DBO ， 在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM ）
=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°；
（3）AC 的长为3或3
①如图，点C 与点M 重合，
同理可得：OAC OBD △△，
90AMB ∴∠=︒，3AC BD =， 设BD=x ，则3AC x =，
在Rt ODC 中，30OCD ∠=︒，OD=2，
4CD ∴=，
在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，OB=23，
43AB ∴=，
在Rt AMB 中，222AM BM AB +=， 即222(3)(4)(43)x x ++=，
解得：x=2或-4(舍)， AC=323x =；
②如图，点C 与点M 重合，
同理可得：90AMB ∠=︒，
3AC BD =
设BD=x ，则3x ，
在Rt COD 中， 90OCD ∠=︒，OD=2，
4CD ∴=，4BC x =-，
在Rt AOB 中，
30OAB ∠=︒，3OB =
243AB OB ∴==，
在Rt AMB 中，222AM BM AB +=，
即222(3)(4)(43)x x +-=，
解得：x=4或-2（舍），
AC=343
x=，
综上所述，AC的长为23或43．
【点睛】
本题主要考查三角形的综合运用，涉及全等三角形与相似三角形的性质和判定、勾股定理、解一元一次方程、图形旋转证明、特殊角的三角函数值等知识点，难度较大，第（1）题证明△COA≌△DOB是关键，第（2）题证明△AOC∽△BOD是关键，第（3）题要特别注意分情况讨论．
4．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出线段BD与CF的数量关系：；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，若AC=2，CD=1，则
CF= ；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系：；
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
答案：B
解析：（1）BD=CF；（2）221；（3）①CD=CF+BC，②等腰三角形，见解析
【分析】
（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF；
（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到
CF=CD+BC，然后求出答案；
（3）中的①与（1）相同，可证明BD=CF，又点D、B、C共线，故：CD=BC+CF；
②由（1）猜想并证明BD⊥CF，从而可知△FCD为直角三角形，再由正方形的对角线的性质判定△AOC三边的特点，再进一步判定其形状．
【详解】
解：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF ，
在△BAD 和△CAF 中，
AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAD ≌△CAF （SAS ），
∴BD=CF ，
（2）与（1）同理，证△BAD ≌△CAF ；
∴BD=CF ，
∴CF=BC+CD ，
∵AC=AB=2，CD=1，
∴BC ==
∴
CF=1；
（3）①BC 、CD 与CF 的关系：CD=BC+CF
理由：与（1）同法可证△BAD ≌△CAF ，从而可得：
BD=CF ，
即：CD=BC+CF
②△AOC 是等腰三角形
理由：与（1）同法可证△BAD ≌△CAF ，可得：∠DBA=∠FCA ，
又∵∠BAC=90°，AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
则∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠ABD=∠FCA=135°
∴∠DCF=135°-45°=90°
∴△FCD 为直角三角形．
又∵四边形ADEF 是正方形，对角线AE 与DF 相交于点O ，
∴OC=
12
DF ， ∴OC=OA ∴△AOC 是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了等腰三角形、正方形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，一般情况下，要证明两条线段相等，就得证明这两条线段所在的两个三角形全等，关键是掌握图形特点挖掘题目所隐含的条件．
5．如图，在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，过A 作AD BC ⊥于点D ，点E 为直线AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转α，得到线段EF ，连接FC 、FB ，直线AD 与BF 相交于点G ．
（1）（发现）如图1，当60α=︒时，填空： ①
AE BF
的值为___________； ②AGB ∠的度数为___________； （2）（探究）如图2，当120α=︒时，请写出
AE BF
的值及AGB ∠的度数，并就图2的情形给出证明；
（3）（应用）如图3，当90α=︒时，若23,15AB ACE =∠=︒，请直接写出DFG 的面积． 答案：G
解析：（1）1；60°；（2）
3AE BF =∠G =30°，理由见解析；（3）333 【分析】
（1）①根据已知条件可以证明三角形ABC 和三角形EFC 都是等边三角形，然后根据等边三角形的性质证明△AEC ≌△BFC ，即BF =AE 从而得出答案；②根据①中的证明∠ABG =90°，∠BAG =30°，从而计算出∠AGB 的度数；
（2）根据题目已知条件可以计算出3BC =，同理可以证得3CF CE =，再证ECA FCB ∠=∠即△ACE ∽△BCF ，从而得到比值和角的度数；
（3）根据第（2）问的计算结论分E 在AD 上和E 在DA 的延长线上分类讨论求解即可．
【详解】
解：（1）①∵AB =AC ，CE =EF ，∠BAC =∠FEC =60°
∴△ABC 和△EFC 都是等边三角形
∴∠ACB =∠ECF =60°，AC =CB ，CE =CF
∴∠ACE =∠BCF
∴△ACE ≌△BCF
∴A E =BF ，即1AE BF
= ②∵△ACE ≌△BCF
∴∠EAC =∠CBF
由①可知△ABC 是等边三角形
∴AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD
∴∠CAE =∠CBF =30°
∴∠AGB =∠180°-∠CBF -∠BDG =60°
（2）3
AE BF =，理由如下： ∵AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥BC
∴∠ABD =30°=∠ACB
∴BD AB AC CD === ∴
BC =
同理∵∠FEC =120°，EF =EC ∴CF =
∴
BC CF AC CE
=，∠ACB =∠ECF =30° ∴△ACE ∽△BCF
∴∠CAE =∠CBF
∴3
AE AC BF BC == ∵AD ⊥BC ，∠BAC =120°，
∴∠CAE =∠CBF =60°
又∵∠BDG =90°
∴∠G =30°
（3）第一种情况，如图所示，当E 在AD 上时 ∵AB AC ==∠BAC =90°，AD ⊥BC
∴sin 4562BC AD BD CD AB ===
==∠DAC =45° ∵∠ACE =15° ∴∠CED =∠CAD +∠ACE =60° ∴2tan 60
DC DE ==∴AE AD DE =-=
BC CF AC CE
==，∠ACB =∠ECF =45° 又∵AD ⊥BC ，∠BAC =90°，
∴∠CAE =∠CBF =45°
∴△ACE ∽△BCF
∴2BF BC AE AC == ∴()
262232BF =-=- ∵∠ADC =∠BDG
∴∠G =∠ACB =45° ∴223BG BD ==
∴2FG BG BF =-=
过点D 作DM ⊥BG 交BG 于M ，
∵∠G =∠ACB =45°，∠BDG =90° ∴=6DG BD CD ==
∴23DM DG =
= ∴132
DFG S FG DM ==△
第二种情况：当E 在DA 的延长线上时
过点D 作DM ⊥BG 交BG 于M ，
同上可证
2BF BC AE AC
==，6BG BD ==，3DM =∵∠ACE =15°，∠DAC =45°
∴∠DEC =30° ∵AD ⊥CD ，6CD =
∴32tan 30
DC DE ==∴=6DG BD CD ==
326AE DE AD =-=∴2623FB AE ==-
∴6FG BF BG =+=
1332
DFG S FG DM ==△
故答案为：3或33．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，三角函数等知识点，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识点．
6．在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接,DB DC ．
（1）如图1，当60α=︒时，请直接写出线段PA 与线段CD 的数量关系是__________，DCP ∠为______度；
（2）如图2，当120α=︒时，写出线段PA 和线段DC 的数量关系，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，当23AB =13
BP PC +的最小值． 答案：A
解析：（1）PA ＝DC ，60；（2）CD 3PA ．理由见详解；（232【分析】
（1）先证明△ABC ，△PBD 是等边三角形，再证明△PBA ≌△DBC ，进而线段PA 与线段CD 的数量关系，利用全等三角形的性质以及三角形内角和等于180°，解决问题即可；
（2）证明△CBD ∽△ABP ，可得3CD BC PA AB
== （3）过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ，则PN =13
PC ，
过点B 作BG ⊥BA 于点G ，当点B 、P 、N 共线时，BP +PN 最小，即13BP PC +最小，由BGP CNP ∽，得
13
GP NP BP CP ==，结合勾股定理求出GP ，从而得CP ，进而即可求解． 【详解】 （1）①证明： ∵将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，
∴PB ＝PD ，
∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝60°，
∴△ABC ，△PBD 是等边三角形，
∴∠ABC ＝∠PBD ＝60°，
∴∠PBA ＝∠DBC ， ∵BP ＝BD ，BA ＝BC ，
∴△PBA ≌△DBC （SAS ）， ∴PA ＝DC ．
设BD 交PC 于点O ，如图1，
∵△PBA ≌△DBC ，
∴∠BPA ＝∠BDC ，
∵∠BOP ＝∠COD ，
∴∠OBP ＝∠OCD ＝60°，即∠DCP ＝60°．
故答案是：PA ＝DC ，60；
（2）解：结论：CD 3．理由如下：
∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝120°，
∴BC ＝2•AB •cos30°3，BD ═2BP •cos30°3，
∴BC BD BA BP
=3 ∵∠ABC ＝∠PBD ＝30°，
∴∠ABP ＝∠CBD ，
∴△CBD ∽△ABP ，
∴3CD BC PA AB
==
∴CD ＝3PA ； （3） 过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ，则PN =13
PC ， 过点B 作BG CA ⊥于点G ，则BG =AB ×sin ∠BAG =23×sin60°=3，AG = AB ×cos ∠BAG =3． 当点B 、P 、N 共线时，BP +PN 最小，即13
BP PC +
最小， ∵∠BGP =∠CNP =90°，∠BPG =∠CPN ， ∴
BGP CNP ∽，
∴13GP NP BP CP ==， 设GP =x ，则AP =3-x ，BP =3x ，
∴()22233x x +=，解得：x =324
， ∴BP =924，AP =3-324
， ∴CP =AC +AP =23+3-
324=33-324， ∴13
BP PC +最小值=924+13×(33-324)=3+22．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，第（1）（2）题解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，第（3）题的关键是过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =
13
，过点P 作PN ⊥CM 于点N ．
7．如图，ABD △和ACE △都是等边三角形．
（1）连接CD 、BE 交于点P ，求∠BPD ；
（2）连接PA ，判断线段PA 、PB 、PD 之间的数量关系并证明；
（3）如图，等腰ABC中AB＝AC，∠BAC＝α（0＜α＜90），在ABC内有一点M，连接MA、MB、MC．当MA＋MB＋MC最小时，∠ABM＝
（用含α
的式子表示）
答案：D
解析：（1）60
BPD
∠=︒（2）PD PB PA
=+，证明见详解（3）
1
60
2
α
︒-
【分析】
（1）证明()
DAC BAE SAS
≅，得ADC ABE
∠=∠，就可以证明
60
BPD DAB
∠=∠=︒；
（2）在DP上截取PF=PB ，连接BF，证明()
DBF ABP SAS
≅，得DF PA
=，即可证明PD PB PA
=+；
（3）分别以AB和AC为边，向两边作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接BE和CD，交于点M，连接AM，此时MA MB MC
++最小，然后利用等腰三角形ADC，求出ADC
∠的度数，即可得到ABM
∠的度数．
【详解】
解：（1）∵ABD
△和ACE
△是等边三角形，
∴AD AB
=，AC AE
=，60
DAB CAE
∠=∠=︒，
∵DAB BAC CAE BAC
∠+∠=∠+∠，
∴DAC BAE
∠=∠，
在DAC
△和BAE
△中，
AD AB
DAC BAE
AC AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴()
DAC BAE SAS
≅，
∴ADC ABE
∠=∠，
∵ADC DAB ABE BPD
∠+∠=∠+∠，
∴60
BPD DAB
∠=∠=︒；
（2）如图，在DP上截取PF=PB，连接BF，
∵60BPD ∠=︒，PF PB =，
∴PFB △是等边三角形，
∴BF BP =，60FBP ∠=︒，
∴DBA FBP ∠=∠，
∵DBA FBA FBP FBA ∠-∠=∠-∠，
∴DBF ABP ∠=∠，
在DBF 和ABP △中，
DB AB DBF ABP BF BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()DBF ABP SAS ≅，
∴DF PA =，
∵PD PF FD =+，
∴PD PB PA =+；
（3）如图，分别以AB 和AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，
由（2）中的结论可得MD MA MB =+，则当D 、M 、C 三点共线时MA MB MC ++最小，即CD 的长，
由（1）得ADC ABM ∠=∠，
∵AD AB AC ==，60DAC α∠=︒+，
∴()1806016022
ADC αα︒-︒+∠==︒-， ∴1
602ABM α∠=︒-，
故答案是：1602
α︒-．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是做辅助线构造全等三角形来进行证明求解．
8．回答下列问题：
（1）（发现）如图1，点A 为线段BC 外一动点，且4BC =，2AB =．
填空：线段AC 的最大值为 ．
图1
（2）（应用）点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，2AB =，如图2所示，分别以AB ，AC 为边，作等腰直角ABD △和等腰直角ACE ，连接CD ，BE ．
图2
①证明：BE DC =．
②求线段BE 的最大值．
（3）（拓展）如图3，在平面直角坐标系中，直线l ；4y x =+与坐标轴交于点A 、B 两点，点C 为线段AB 外一动点，且2CB =，以AC 为边作等边ACD △，连接BD ，求线段BD 长的最大值并直接写出此时点C 的横坐标．
图3
答案：A
解析：（1）6
（2）①证明见解析．
②3+
（3
）2
【分析】
(1)根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论；
(2) ①由“SAS” 可证△DAC ≌△BAE ，可得BE=DC ；
②由于线段长BE 的最大值=线段DC 的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果，
(3)以BC 为边作等边三角形BCE ，可以证明△ACE ≌△DCB(SAS) ，从而得到BD=AE ，BE=BC ，由AE≤AB+BE ，当且仅当A 、B 、E 三点共线时，AE 取得最大值，即BD 取得最大值，当BD 取得最大值时，①当C 在直线AB 的上方时，过C 作CH ⊥y 轴于H ，作BC 的垂直平分线交BH 于N ，求出CH 的长度，即可求出点C 的横坐标，②当C 在直线AB 的下方时，按同①的方法也可以求出点C 的横坐标．
【详解】
（1）当A 在选段BC 的延长线上时， max 6AC AB BC =+=．
（2）①∵等腰直角AEC 与等腰直角三角形ABD ，
∴AD AB =，AE AC =，90DAB EAC ∠=∠=︒，
∴DAB BAC EAC BAC ∠+∠=∠+∠，
∴DAC EAB ∠=∠，
在DAC △和BAE 中，
DA BA DAC BAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()SAS DAC BAE ≌
△△， ∴BE CD =．
②由①可知，BE DC =，
∵线段BE 的最大值即线段DC 的最大值．
在等腰直角ABD △
中，BD =
=
∵CD BC BD ≤+，
∴当点D 在CB 的延长线上时， CD
取得最大值为3+．
∴线段BE
的最大值为3+
（3）如图，以BC 为边作等边三角形BCE ，
则BC CE =，60BCE ∠=︒．
∵60ACD ∠=︒，
∴ACD ECD BCE ECD ∠-∠=∠-∠， ∴ACE DCB ∠=∠．
在ACE 与DCB 中，
AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()SAS ACE DCB ≌
△△， ∴BD AE =．
对于一次函数4y x =+，令0x =，则4y =， ∴()0,4B ，
令0y =，则4x =-，
∴()4,0A -． ∴22
4442AB =+=，
又∵2BE BC ==，
∴AE AB BE ≤+，
∴当且仅当A 、B 、E 三点共线时， AE 取得最大值，即BD 取得最大值为422+；
当BD 取得最大值时，
①当C 在直线AB 的上方时
过C 作CH y ⊥轴于H ，
∵45ABO HBE ∠=∠=︒，60CBE ∠=︒，
∴15CBH CBE HBE ∠=∠-∠=︒， 作BC 的垂直平分线交BH 于N ，
∴CN BN =，15NCB NBC ∠=∠=︒， ∴30CNB ∠=︒，
在Rt CHN △中，设CH x =．则3HN x =，
2CN x =，
∴2BN x =， ∴(
)
32BH HN BN x =+=
+，
在Rt BHC △中，22222HC BH BC +==， ∴(
)
2
2
2322x x ⎡
⎤++=⎣
⎦
，
整理得()
2
2
7434x x ++=，
223x =-， (
)
12312
x =
-，(
)
22312
x =-
-（舍），
∴62
CH -=
， ∴点C 的横坐标为
26
-． ②当C 在直线AB 的下方时，
过C 作CL ⊥y 轴于L ， ∵∠ABO=45°，∠CBE=60°， ∴∠CBL=180°-∠CBE−∠ABO=75°， ∴∠BCL=15°，
作BC 的垂直平分线交BL 于M ， ∴CM=BM ，∠MCB=∠MBC=15°， ∴∠LMB=30°，
在Rt △CLB 中，设BL=y ．则3，BM=2y ， ∴CM=2y ，
∴3+2)y ， 在Rt △BLC 中，BL 2+CL 2=BC 2=22， ∴)
2
2
2322y y ⎡
⎤+=⎣
⎦
，
整理得(2
27434y y ++=，
223y =
)
12312
y =，)
22312
y =-
（舍去），
62
2
BL =
∴CL=
)
32BL 26+所以点C 26
+综合以上可得点C 26-26
+【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判.定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
9．探究：（1）如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若∠B ＝28°，则∠ACD 的度数是 ．
拓展：（2）如图②，∠MCN ＝90°，射线CP 在∠MCN 的内部，点A 、B 分别存CM 、CN 上，分别过点A 、B 作AD ⊥CP 、BE ⊥CP 于点D 、E ，若AC ＝CB ，则AD 、DE 、BE 三者间的数量关系为 ．请说明理由；
应用：（3）如图③，点A 、B 分别在∠MCN 的边CM 、CN 上，射线CP 在∠MCN 的内部，点D 、E 在射线CP 上，连结AD 、BE 、AE ，且使∠MCN ＝∠ADP ＝∠BEP ．当AC ＝BC 时，△
≌△ ；此时如果CD ＝2DE ，且S △CBE ＝6，则△ACE 的面积是 ．
答案：D
解析：（1）28° （2）DE ＝AD ﹣BE ；理由见解析 （3）ACD ；CBE ；9 【分析】
（1）利用直角三角形的两锐角互余，即可得出结论；
（2）利用同角的余角相等判断出∠CAD ＝∠BCE ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，即可得出结论；
（3）利用等式的性质判断出∠ADC ＝∠CEB ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，得出S △ACD ＝S △CBE ，再求出S △ADE ＝3，即可得出结论． 【详解】
解：探究：∵CD ⊥AB ， ∴∠CDB ＝90°， ∵∠B ＝28°，
∴∠BCD ＝90°﹣∠B ＝68°， ∵∠ACB ＝90°，
∴∠ACD ＝90°﹣∠BCD ＝28°， 故答案为：28°； 拓展：(2)∵∠MCN ＝90°， ∴∠ACD+∠BCE ＝90°， ∵AD ⊥CP ，BE ⊥CP ， ∴∠ADC ＝∠BEC ＝90°， ∴∠ACD+∠CAD ＝90°， ∴∠CAD ＝∠BCE ， 在△ACD 和△CBE 中，
ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACD ≌△CBE （AAS ）， ∴CD ＝BE ，AD ＝CE ， ∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ，
故答案为：DE ＝AD ﹣BE ；
应用：(3)∵∠MCN ＝∠ACD+∠BCD ，∠MCN ＝∠ADP ， ∴∠ADP ＝∠ACD+∠BCD ， ∵∠ADP ＝∠ACD+∠CAD ， ∴∠CAD ＝∠BCE ， ∵∠ADP ＝∠BEP ， ∴∠ADC ＝∠CEB ， 在△ACD 和△CBE 中，
ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACD ≌△CBE （AAS ）， ∴S △ACD ＝S △CBE ， ∵S △CBE ＝6， ∴S △ACD ＝6， ∵CD ＝2DE ， ∴S △ACD ＝2S △ADE ， ∴S △ADE
＝
1
2
S △ACD ＝3， ∴S △ACE ＝S △ACD +S △ADE ＝9， 故答案为：ACD ，CBE ，9． 【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，同角的余角相等，等式的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACD ≌△CBE 是解本题的关键．
10．如图1，ABC ∆中，CA CB =，ACB α∠=，D 为ABC ∆内一点，将CAD ∆绕点
C 按逆时针方向旋转角α得到CBE ∆，点,A
D 的对应点分别为点,B
E ，且,,A D E 三点
在同一直线上．
（1）填空：CDE ∠=______（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若60α=︒，请补全图形，再过点C 作CF AE ⊥于点F ，然后探究线段
CF ，AE ，BE 之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若90α=︒，52AC =ABEC 面积的最大值______．
解析：（1）1802α-；（2）23
3AE BE CF =+；证明见解析；（3）25(21)2
+． 【分析】
（1）由旋转的性质可得CD CE =，DCE α∠=，即可求解；
（2）由旋转的性质可得AD BE =，CD CE =，60DCE ∠=︒，可证CDE ∆是等边三角形，由等边三角形的性质可得3
3
DF EF CF ==
，即可求解； （3）如图3中，过点C 作CF BE ⊥交BE 的延长线于F ，设AE 交BC 于J ．证明
90ACJ BEJ
，推出点E 在以AB 为直径的圆上运动，即图中BC 上运动，当
CE
EB 时，四边形ABEC 的面积最大，此时EC EB =，分别求出ABC ∆，BCE ∆的面
积即可解决问题． 【详解】
解：（1）如图1中，
将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角α得到CBE ∆
ACD BCE ∴∆≅∆，DCE α∠= CD CE ∴=
1802CDE α
︒-∴∠=．
故答案为：1802
α
︒-．
（2）23
3
AE BE CF =+
理由如下：如图2中，
将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角60︒得到CBE ∆
ACD BCE ∴∆≅∆
AD BE ∴=，CD CE =，60DCE ∠=︒
CDE ∴∆是等边三角形，且CF DE ⊥
3DF EF CF ∴==
AE AD DF EF =++ 23
3
AE BE CF ∴=+
． （3）如图3中，过点C 作CW
BE 交BE 的延长线于W ，设AE 交BC 于J ．
CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转90︒得到CBE ∆，
CAD CBE ，
CAD CBE ∴∠=∠， AJC BJE ，
90ACJ
BEJ
，
∴点E 在以AB 为直径的圆上运动，即图中BC 上运动，当CE
EB 时，四边形ABEC
的面积最大，此时EC EB =，
CD CE =，90DCE ∠=︒， 45CED ∴∠=︒， 90AEW AEB ， 45CEW ， CF EW ， 45WCE CEW ，
CW
EW ，设CW
EW
x ，则2EC EB x ==
，
在Rt BCW 中，2
2
2BC CW BW ，
2
2
2(2)(52)x x
x ，
2
25(2
2)2
x ，
2
1
225(21)
2
BCE
S
BE CW x ，
25212521
1
52522
2
2
ABC
BCE
ABEC
S S
S
四边形．
【点睛】
本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟悉相关性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 11．（1）ABC 和CDE △是两个等腰直角三角形，如图1，其中
90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD 、BE ，求证：ACD △≌BCE ．
（2）ABC 和CDE △是两个含30°的直角三角形，中90ACB DCE ∠=∠=︒，
∠=CAB CDE ∠30=︒，CD AC <，CDE △从边CD 与AC 重合开始绕点C 逆时针旋
转一定角度()0180αα︒<<︒．
①如图2，DE 与BC 交于点F ，交AB 于G ，连接AD ，若四边形ADEC 为平行四边形，求
BG
AG
的值． ②若12AB =，当点D 落在AB 上时，求BE 的长．
答案：A
解析：（1）见解析；（2）①13BG AG =；2123sin 12cos αα
+ 【分析】
（1）利用SAS 证明即可；
（2）①连接CG ，根据平行四边形的性质推出//AD CE ，求出120ADE ∠=︒，得到
90ADC ADE CDE ∠=∠-∠=︒，根据30CAB CDE ∠=∠=︒证得A 、D 、G 、C 四
点共圆，从而得到90AGC ADC ∠=∠=︒，利用直角三角形中30度角的性质求出
3AG CG =， 3CG BG =，即可求出答案；
②先证明ACD △∽
BCE ，由此推出∠DBE=90°，得到DBE 为直角三角形，设
BE a =，则3AD a =，123BD a =-，过D 点作DH AC ⊥于H ，利用30A ∠=︒
得到3sin 302DH AD a =︒=
，由ACD α∠=，得到3sin 2sin HD a
CD αα
==
，由此求出cos30sin CD a
DE α
=
=︒，由勾股定理得222DE BE BD =+，即
()
2
2
2222
1231443243sin a a a a a a α=+-=++-，解方程求出a.
【详解】
（1）∵
ABC 和CDE △是两个等腰直角三角形，
∴AC BC =，CD CE =，ACB DCE ∠=∠， ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB ， ∴ACD BCE ∠=∠，
在ACD △和BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ACD △≌
BCE （SAS ）．
（2）①连接CG ，如图所示， ∵四边形ADEC 为平行四边形， ∴//AD CE ，
∴180ADE CED ∠+∠=︒，
∵90903060CED CDE ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴120ADE ∠=︒，
∴90ADC ADE CDE ∠=∠-∠=︒， ∵30CAB CDE ∠=∠=︒， ∴A 、D 、G 、C 四点共圆， ∴90AGC ADC ∠=∠=︒， ∵30CAB ∠=︒，
∴1
2
CG AC =
，3AG CG =，30BCG ∠=︒，
∴3CG BG =，即3
3
BG CG =， ∴
1
3
BG AG =；
②∵90ACB DCE ∠=∠=︒， ∴ACB DCB DCE DCB ∠-∠=∠-∠， ∴ACD BCE ∠=∠， ∵30CAB CDE ∠=∠=︒，∴3AC DC
BC CE
==， ∴ACD △∽
BCE ，∴CAD CBE ∠=∠，
∴90DBE DBC CBE DBC CAD ∠=∠+∠=∠+∠=︒， ∴DBE 为直角三角形，
设BE a =，∴3AD a =，∴123BD a =-
， 过D 点作DH AC ⊥于H ，30A ∠=︒， 则3
sin 30DH AD a =︒=
， 又∵ACD α∠=，∴3sin HD a
CD α=
=
， 又在Rt CDE △中，30∠=︒CDE ， ∴cos30sin CD a
DE α
=
=︒，
∴在Rt BDE △中，由勾股定理得222DE BE BD =+，
即()
22
2
222
1231443243sin a a a a a a α
=+-=++-，
∴2
2142431440sin a a α
⎛⎫
-
-+= ⎪⎝
⎭
， 解得2
2
576
243576sin 8sin a αα
±
-=
-， 即22243sin 241sin a αα+-= 22243sin 24cos 123sin 12cos αααα
++==， 故BE 的长为2123sin 12cos αα
+.
【点睛】
此题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，旋转的性质，平行四边形的性质，四点共圆，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，是一道较难的几何综合题.
12．如图，直线y ＝﹣x +c 与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点C ，过点B ，C 的抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为A ．
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）P是直线BC上方抛物线上一动点，PA交BC于D．设t＝PD
AD
，请求出t的最大值和
此时点P的坐标；
（3）M是x轴上一动点，连接MC，将MC绕点M逆时针旋转90°得线段ME，若点E恰好落在抛物线上，请直接写出此时点M的坐标．
答案：A
解析：（1）y＝﹣x2+2x+3，A（﹣1，0）；（2）t的最大值为
9
16
，此时P（
3
2
，
15
4
）；
（3）M（933
2
-
，0）或（
933
2
+
，0）．
【分析】
（1）利用待定系数法解决问题即可；
（2）连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过等P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．利用相似三角形的性质构建二次函数解决问题即可；
（3）过点E作EH⊥x轴于H．设M（m，0），利用全等三角形的性质求出点E的坐标（用m表示），再利用待定系数法解决问题即可．
【详解】
解：（1）∵直线y＝﹣x+c与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，
∴0＝﹣3+c，解得c＝3，
∴C（0，3），
∵抛物线经过B，C，
∴
930
3
b c
c
-++=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
2
3
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，得到﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0）；
（2）如图，连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．
∵AE∥PF，
∴△PFD∽△AED，
∴PD
AD ＝
PF
AE
，
∵S△PBC＝1
2
•BC•PF，S△
ACB＝
1
2
•BC•AE，
∴PD
AD ＝PBC
ABC
S
S
∆
∆
，
∵S△ABC＝1
2•AB•OC＝
1
2
×4×3＝6，
∴t＝PD
AD ＝
6
PBC
S
∆＝
2
111
33(23)33
222
6
m m m
⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯
＝﹣
1
4
m2+
3
4
m＝﹣
1
4
（m﹣3
2
）2+
9
16
，
∵﹣1
4
＜0，
∴m＝3
2时，t有最大值，最大值为
9
16
，此时P（
3
2
，
15
4
）；
（3）如图，过点E作EH⊥x轴于H，
∵∠COM＝∠EHM＝∠CME＝90°，
∴∠EMH+∠CMH＝90°，∠EMH+∠MEH＝90°，
∴∠MEH ＝∠CMO ，
∵MC ＝ME ，
∴△COM ≌△MHE （AAS ），
∴OC ＝MH ＝3，OM ＝EH ，设M （m ，0），则E （m ﹣3，﹣m ），
把E （m ﹣3，﹣m ）代入y ＝﹣x 2+2x +3，可得﹣（m ﹣3）2+2（m ﹣3）+3＝﹣m ， 整理得，m 2﹣9m +12＝0，
解得m ＝9332-或933+， ∴M （9332-，0）或（9332
+，0）． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合题，涉及全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用数形结合的思想，在二次函数图象上构造全等三角形或相似三角形，利用几何的性质进行点坐标的求解．
13．问题：如图（1），点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠MAN ＝45°，试判断 BM 、MN 、ND 之间的数量关系．
（1）研究发现
如图1，小聪把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°至△ABG ，从而发现BM 、MN 、DN 之间的数量关系为 （直接写出结果，不用证明）
（2）类比引申
如图2，在（1）的条件下，AM 、AN 分别交正方形ABCD 的对角线BD 于点E 、F ．已知EF ＝5，DF ＝4．求BE 的长．
（3）拓展提升
如图3，在（2）的条件下，AM 、AN 分别交正方形ABCD 的两个外角平分线于Q 、P ，连接PQ ．请直接写出以BQ 、PQ 、DP 为边构成的三角形的面积．
答案：B
解析：（1）BM +DN ＝MN ，理由见解析；（2）BE ＝3；（3）以BQ 、PQ 、DP 为边构成的三角形的面积为36．
【分析】
（1）结论是：BM +DN ＝MN ，如图1，利用三角形AND 旋转90º得三角形ABG ，∠DAN=∠BAG ，可证∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠MAN ，利用SAS 证△AMN ≌△AMG 即可；
（2）如图2，按同样方法△AFD顺时针旋转90º，使AD与AB重合，得△ABF′，连结EF′，△BEF′是直角三角形，用勾股定理求EF′=5，再证△AEF≌△AEF即可；
（3）如图3，由（2）可得BD=12，可求正方形边长，构建△P′AQ，P′B=DP，将△ADP顺时针转90º，AD与AB重合，得△BQP′，连OP′，可证△BQP′是直角三角形，可证PQ=P′Q，
再证△ABQ∽△PDA，将△P′BQ面积=1
2
BQ•BP′=
1
2
BQ•DP=
1
2
AD•AB可求．
【详解】
（1）如图1，BM+DN＝MN，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝∠BAD＝90°，
小聪把△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABG，
由旋转可得：BG＝DN，AN＝AG，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG+∠ABM＝90°+90°＝180°，
因此，点G，B，M在同一条直线上，
∵∠MAN＝45°，
∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝45°，
∴∠GAM＝∠MAN，
∵AM＝AM，
∴△AMN≌△AMG（SAS），
∴MN＝GM，
∵GM＝BM+BG＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN；
故答案为：BM+DN＝MN；
（2）如图2，把△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABF'，连接EF'，
∴AF ′ ＝AF ，∠DAF ＝∠BAF '，∠ABF ′ ＝∠ADF ＝45°，BF ′ ＝DF ＝4，
∵∠ABE ＝45°，
∴∠EBF ′ ＝45°+45°＝90°，
∵AE ＝AE ，
同理得△EAF ≌△EAF '（SAS ），
∴EF '＝EF ＝5，
在Rt △EBF '中，由勾股定理得：BE ＝()()22
22EF +BF =5-4=3''＝3； （3）由（2）知：BE ＝3，EF ＝5，DF ＝4，
∴BD ＝3+4+5＝12，
由勾股定理得：AB 2+AD 2＝BD 2，
∵AB ＝AD ，
∴AB 2＝72，
如图3，把△ADP 绕点A 顺时针旋转90°至△ABP '，连接BP ′，则∠ABP′＝∠ADP ，PD ＝P ′B ，AP ＝AP ′，
∵AM 、AN 分别交正方形ABCD 的两个外角平分线于Q 、P ，
∴∠ADP ＝∠ABQ ＝135°，
∴∠DAP +∠APD ＝45°，
∵∠DAP +∠BAQ ＝45°，
∴∠BAQ ＝∠APD ，
∴△ADP ∽△QBA ，
∴AD PD =BQ AB
， ∴BQ •PD ＝AD •AB ＝72，
∵∠ABP '＝∠ABQ ＝135°，
∴∠QBP '＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∴S △BP 'Q ＝12BQ•BP′＝12BQ•DP ＝12
×72＝36， ∵AP ＝AP '，∠PAQ ＝∠P 'AQ ，AQ ＝AQ ，
∴△QAP ≌△QAP '（SAS ），
∴PQ ＝P 'Q ，
∴以BQ 、PQ 、DP 为边构成的三角形的面积为36．
【点睛】
本题是感知，探究，创新新题型，主要考查了学生对正方形的性质，旋转变换，勾股定理及全等三角形与相似三角形的判定方法的综合运用．关键是灵活掌握所学知识，同时会从感知中学到方法，结合下一图形，找到解决问题的方法，以及突破口，在创新中，注意把给出的问题进行转化，利用转化思想来解决．
14．如图，BC ⊥CA ，BC ＝CA ，DC ⊥CE ，DC ＝CE ，直线BD 与AE 交于点F ，交AC 于点G ，连接CF ．
（1）求证：△ACE ≌△BCD ；
（2）求证：BF ⊥AE ；
（3）请判断∠CFE 与∠CAB 的大小关系并说明理由．
答案：C
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）∠CFE ＝∠CAB ，见解析
【分析】
（1）根据垂直的定义得到∠ACB ＝∠DCE ＝90°，由角的和差得到∠BCD ＝∠ACE ，即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠CBD ＝∠CAE ，根据对顶角的性质得到∠BGC ＝∠AGE ，由三角形的内角和即可得到结论；
（3）过C 作CH ⊥AE 于H ，CI ⊥BF 于I ，根据全等三角形的性质得到AE ＝BD ，S △ACE ＝S △BCD ，根据三角形的面积公式得到CH ＝CI ，于是得到CF 平分∠BFH ，推出△ABC 是等腰直角三角形，即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵BC ⊥CA ，DC ⊥CE ，
∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°，
∴∠BCD ＝∠ACE ，
在△BCD 与△ACE 中，
BC CA ACD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACE ≌△BCD ；
（2）∵△BCD ≌△ACE ，
∴∠CBD ＝∠CAE ，
∵∠BGC ＝∠AGE ，
∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°，
∴BF ⊥AE ；
（3）∠CFE ＝∠CAB ，
过C 作CH ⊥AE 于H ，CI ⊥BF 于I ，
∵△BCD ≌△ACE ，
∴ACE BCD AE BD,
S S ∆∆==，
∴CH ＝CI ，
∴CF 平分∠BFH ，
∵BF ⊥AE ，
∴∠BFH ＝90°，∠CFE ＝45°，
∵BC ⊥CA ，BC ＝CA ，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠CAB ＝45°，
∴∠CFE ＝∠CAB ．
【点睛】
角的和差、对顶角的性质这些知识点在证明全等和垂直过程中经常会遇到，需要掌握。

作辅助线是在几何题里常用的方法，必须学会应用。

15．探究：如图①和②，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=90°，点E 、F 分别在BC 、CD 上，∠EAF=45°．
（1）如图①，若∠B 、∠ADC 都是直角，把ABE △绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合，则能得EF=BE+DF ，请写出推理过程；
（2）如图②，若∠B 、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足数量关系 时，仍有EF=BE+DF ；
（3）拓展：如图③，在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=22D 、E 均在边BC 上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE 的长．
答案：B
解析：（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3
）53
【分析】
（1）根据已知条件证明△EAF ≌△GAF ，进而得到EF=FG ，即可得到答案；
（2）先作辅助线，把△ABE 绕A 点旋转到△ADG ，使AB 和AD 重合，根据（1），要使EF=BE+DF ，需证明△EAF ≌△GAF ，因此需证明F 、D 、G 在一条直线上，即180ADG ADF ∠+∠=︒，即180B D ∠+∠=︒；
（3）先作辅助线，把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ，使AB 和AC 重合，连接DF ，根据已知条件证明△FAD ≌△EAD ，设DE=x ，则DF=x ，BF=CE=3﹣x ，然后再Rt BDF 中根据勾股定理即可求出x 的值，即DE 的长．
【详解】
（1）解：如图，
∵把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合，
∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，BE=DG ，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠DAG+∠DAF=45°，
即∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF 和△GAF 中
AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△EAF ≌△GAF （SAS ），
∴EF=GF ，
∵BE=DG ，
∴EF=GF=BE+DF ；
（2）解：∠B+∠D=180°，
理由是：
如图，把△ABE 绕A 点旋转到△ADG ，使AB 和AD 重合，
则AE=AG ，∠B=∠ADG ，∠BAE=∠DAG ，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠ADG=180°，
∴F 、D 、G 在一条直线上，
和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF 和△GAF 中
AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△EAF ≌△GAF （SAS ），
∴EF=GF ，
∵BE=DG ，
∴EF=GF=BE+DF ；
故答案为：∠B+∠D=180°；
（3）解：∵△ABC 中，AB=AC=2
2，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC=22AB AC +=4，
如图，把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ，使AB 和AC 重合，连接DF ．
则AF=AE ，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE ，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC ﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
在△FAD 和△EAD 中
AD AD FAD EAD AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△FAD ≌△EAD ，
∴DF=DE ，
设DE=x ，则DF=x ，
∵BD=1，
∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x ，
∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，
∴∠FBD=90°，
由勾股定理得：222DF BF BD =+，
22(3)1x x =-+，
解得：x=
53， 即DE=53
． 【点睛】
本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．。