高一数学下学期期末考试试题含解析试题 9

凉山彝族自治州2021-2021学年高一数学下学期期末考试试题〔含解
析〕
考前须知：全卷一共8页〔试题卷4页，答题卷4页〕，考试时间是是为120分钟，满分是100分；请将自己的、姓名、考号写在答题卷密封线内，答题只能答题卷上，答题时用蓝黑墨水笔〔芯〕书写。

在在考试完毕之后以后，只将答题卷交回。

第一卷〔一共60分〕
一、选择题：〔每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕
1.在△ABC中，a=3，b=5，sinA=1
3
，那么sinB=( )
A. 1
5
B.
5
9
C.
3
D. 1
【答案】B 【解析】
试题分析：由正弦定理得355
sin
1sin9
3
B
B
=∴=
，应选B．
考点：正弦定理的应用
(1,2),(1,0)
a b
==，那么a与b夹角的余弦值为〔〕
B. 1
2
C.
1
3
D. 1
【答案】A 【解析】
根据向量的夹角公式，准确运算，即可求解，得到答案. 【详解】由向量(1,2),(1,0)a b ==，
那么a 与b 夹角的余弦值为21cos ,5
1a b a b a b
⋅⨯=
=
=
+,应选A. 【点睛】此题主要考察了向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的夹角公式，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.
{}n a 中，1713a a a π++=，那么212cos()a a +的值=〔〕
A. B. 12
-
C.
12
【答案】B 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质，求得73
a π
=
，再由2127cos()cos 2a a a +=，即可求解.
【详解】根据等差数列的性质，可得171373a a a a π++==，即73
a π
=，
那么212721
cos()cos 2cos
32
a a a π+===-，应选B. 【点睛】此题主要考察了等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值的计算，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.
A ，
B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ,且6
C π
=
，12a b +=，面积的最大值为〔〕 A. 6 B. 8
C. 7
D. 9
【答案】D 【解析】
由利用根本不等式求得ab 的最大值，根据三角形的面积公式，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，利用根本不等式可得a b +≥，即12≤，解得36ab ≤， 当且仅当6a b ==时等号成立， 又因为6
C π
=
，所以11sin 36sin 9226
ABC S ab C π
∆=
≤⨯⨯=， 当且仅当6a b ==时等号成立，故三角形的面积的最大值为9， 应选D.
【点睛】此题主要考察了根本不等式的应用，以及三角形的面积公式的应用，着重考察了转化思想，以及推理与运算才能，属于根底题.
a ，
b 满足||10a b +=，||6a b -=，那么a b •=〔 〕
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
【答案】A 【解析】 【分析】
将等式进展平方，相加即可得到结论．
【详解】∵|a b +|=，|a b -|=
∴分别平方得2a +2a •2b b +=10，2a -2a •2b b +=6， 两式相减得4a •b =10﹣6＝4， 即a •b =1， 应选：A ．
【点睛】此题主要考察向量的根本运算，利用平方进展相加是解决此题的关键，比拟根底．
ABCD 沿对角线BD 折起，那么三棱锥C ABD -的外接球外表积为〔〕
A. π
B. 12π
C. 8π
D. 4π
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥C ABD -的外接球直径，从而求出外接球的外表积，得到答案.
【详解】由题意，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥C ABD -， 如下图，
那么,,BC CD BA AD OA OB OC OC ⊥⊥===, 三棱锥C ABD -的外接球直径为22BD =，即半径为2R =，
外接球的外表积为2244(2)8R πππ=⨯=，应选C.
【点睛】此题主要考察了平面图形的折叠问题，以及外接球的外表积的计算，着重考察了空间想象才能，以及推理与计算才能，属于根底题.
11
0a b
<<，那么以下不等式中不正确的选项是〔〕 A. a b ab +< B. 2b a
a b
+> C. 2ab b >
D. 22a b <
【答案】C 【解析】
【分析】
根据不等式的性质和根本不等式，即可作出判断，得到答案. 【详解】由题意，不等式
11
0a b
<<，可得0b a <<， 那么0a b +<，0ab >，所以a b ab +<成立，所以A 是正确的；
由0b a <<，那么
0,0b a a b >>，
所以2b a a b +≥=，因为a b ，所以等号不成立，
所以
2b a
a b
+>成立，所以B 是正确的； 由b a <且0b <，根据不等式的性质，可得2ab b <，所以C 不正确； 由0b a <<，可得22a b <，所以D 是正确的， 应选C.
【点睛】此题主要考察了不等式的性质的应用，以及根本不等式的应用，其中解答中根据不等式的性质求得,a b 的关系是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.
x ，y 满足约束条件4,
{4,2,
y x y x y ≤+≥-≤-那么目的函数2z x y =-的最小值为〔 〕
A. 4
B. -5
C. -6
D. -8
【答案】D 【解析】
绘制不等式组所表示的平面区域，结合目的函数的几何意义可知，目的函数在点()0,4A 处获得最小值28z x y =-=-. 此题选择D 选项.
9.如图，程度放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为4，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为4的正方形，那么三棱柱的左视图面积为〔〕
A. 83
B. 23 D. 3【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，得出该几何体左视图的高和宽的长度，求出它的面积，即可求解.
【详解】根据题意，该几何体左视图的高是正视图的高，所以左视图的高为4，
⋅=，
又由左视图的宽是俯视图三角形的底边上的高，所以左视图的宽为4sin6023
所以该几何体的左视图的面积为4S =⨯= 应选A.
【点睛】此题考察了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图复原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规那么，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的外表积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
10.{}n a 为递增等比数列47565,6a a a a +==，那么110a a +=〔〕 A.
152
B. 5
C. 6
D.
356
【答案】D 【解析】
【分析】
设数列{}n a 的公比为q ，根据等比数列的性质，得476a a =，又由475a a +=，求得3
q ，进
而可求解110a a +的值，得到答案.
【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，设其公比为q ，
因为566a a =，那么有476a a =，又由475a a +=，且47a a <，
解得472,3a a ==，所以3
7432
a q a =
=， 所以
3
41107
3233533262
a a a a q q +=
+=+⨯=， 应选D.
【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式和等比数列的性质的应用，其中解答中纯熟应用等比数列的性质，准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.
11.在△ABC 中, sin?B sin?C
sinA cos?B cosC
+=+,那么△ABC 为( )
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰三角形或者直角三角形
【答案】C 【解析】
【分析】
直接利用正弦定理余弦定理化简得到222a b c =+，即得解. 【详解】由得sin sin cos cos sin B C
B C A
++=
，由正、余弦定理得
22222222a c b a b c b c
ac ab a
+-+-++=
， 即()()()()2
22a
b c b c b bc c bc b c +-+-+=+，即222a b c =+，
故ABC △是直角三角形. 故答案为：C
【点睛】此题主要考察正弦定理余弦定理解三角形，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理程度.
12.ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，那么()PA PB PC •+的最小值是〔〕 A. 6- B. 3-
C. 4-
D. 2-
【答案】A 【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求
得最小值，即可求解.
【详解】由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如下图的坐标系， 那么(0,23),(2,0),(2,0)A B C -，
设(,)P x y ，那么(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--， 所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y y •+=-⋅-+-⋅-=-+
222[(3)3]x y =+--，
所以当0,3x y ==时，()PA PB PC •+获得最小值为2(3)6⨯-=-， 应选A.
【点睛】
此题主要考察了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.
第二卷〔非选择题一共64分〕
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分，〕
{}n a 中，11a =，32a =，那么公比q =__________．
2【解析】 【分析】
根据题意，由等比数列的性质可得23
1
a q a =
，进而分析可得答案.
【详解】根据题意，等比数列{}n a 中11a =，32a =，那么2
3
1
2a q a =
=， 又由数列{}n a 是正项的等比数列，所以2q =.
【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及注意数列{}n a 是正项等比数列是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.
x '轴，底角为45，两腰和上底长均为１的等腰梯形，那么这个平面图形的面积
是 ． 【答案】22+ 【解析】
如图过点'D 作，''''D E B C ⊥，那么四边形''''A B E D 是一个内角为45°的平行四边形且
''1,''1B E A B ==，'''C E D ∆中，'''45,''''1,''2C E D D E A B C E ∠====那么对
应可得四边形ABED 是矩形且BE 1,AB 2==，CED ∆是直角三角形，
90,2,2CED DE CE ∠===1
222
S BE AB DE CE =⨯+
⨯=
15.在△ABC 中，点M ，N 满足2,AM MC BN NC ==，假设MN x AB y AC =+，那么x ＝________，y ＝________. 【答案】 (1). 12 (2). 16
- 【解析】
特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y
轴，建立直角坐标系，
3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2
A M C
B N ，
1
(2,),(4,0),2MN AB =-=(0,3)
AC =，
那
么
1
(2,)(4,0)(0,3)
2
x y -=+，
111
42,3,,226
x y x y ==-∴==-.
考点：此题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.
16.如图，圆锥形容器的高为h 圆锥内水面的高为1h ，且11
2
h h =
，假设将圆锥形容器倒置，水面高为2h ，那么2h 等于__________．〔用含有h 的代数式表示〕
3
7
【解析】 【分析】
根据水的体积不变，列出方程，解出2h 的值，即可得到答案. 【详解】设圆锥形容器的底面面积为S ，那么未倒置前液面的面积为1
4
S ， 所以水的体积为11117()33424
V Sh S h h Sh =
-⨯⨯-=，
设倒置后液面面积为S '，那么22()h S S h '=，所以2
222
2()h Sh S S h h '=⋅=，
所以水的体积为3222
133Sh V S h h '==，所以3227324Sh Sh h =，解得22
h h =. 【点睛】此题主要考察了圆锥的构造特征，以及圆锥的体积的计算与应用，其中解答中纯熟应用圆锥的构造特征，利用体积公式准确运算是解答的关键，着重考察了空间想象才能，以及推理与运算才能，属于中档试题.
三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕
()()1,,23,a x b x x ==+- ()x N ∈
〔1〕假设a 与b 垂直，求x ； 〔2〕假设||a b ，求. 【答案】〔1〕3〔2〕2 【解析】
试题分析：〔1〕由两向量垂直时坐标满足的关系式，得出关于x 的方程，解方程得x 值；〔2〕由两向量平行时坐标满足的关系式，得出关于x 的方程，解方程得x 值，再由两向量的坐标求出a b -坐标，进一步利用坐标运算求出其模长．
试题解析：〔1〕由得，()()1230x x x ++-=，解得，3x =或者1x =-， 因为x N ∈，所以3x =.
〔2〕假设//a b ，那么()()1230x x x ⋅--⋅+=，所以0x =或者2x =-，
因为x N ∈，所以0x =.
()2,0a b -=-，2a b -=.
点睛：此题主要考察向量的坐标运算,向量的数量积.()()1122,,,a x y b x y ==,那么
121212211212;//;0a b x x y y a b x y x y a b x x y y ⋅=+==⊥=+= 把向量形式化为坐标运算
后,建立等式或者方程可求相关未知量．
{}n a 的前n 项和n S ，且23n s n n =+；
〔1〕求它的通项n a .
〔2〕假设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】〔1〕22n a n =+〔2〕1
2n n T n +=•
【解析】 【分析】
〔1〕由2
S 3n n n =+，利用n a 与n S 的关系式，即可求得数列的通项公式；
〔2〕由〔1〕可得2(1)n
n b n =+，利用乘公比错位相减法，即可求得数列{}n b 的前n 项和.
【详解】〔1〕由2
S 3n n n =+，
当1n =时，11S 4a ==；
当1n >时，22
13(1)3(1)n n n a S S n n n n -=-=+----22n =+，
当1n =也成立，
所以那么通项22n a n =+；
〔2〕由〔1〕可得2(1)n
n b n =+，-
123223242(1)2n n T n =•+•+•+++•，
231222322(1)2n n n T n n +=•+•+
+•++•，
两式相减得23
14(222)(1)2n n n T n +-=+++
+-+
21112(12)4(1)2212
n n n n n -++-=+-+=--
所以数列{}n b 的前n 项和为1
2n n T n +=•.
【点睛】此题主要考察了数列n a 和n S 的关系、以及“错位相减法〞求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是根底，准确计算求和是关键，易错点是在“错位〞之后求和时，弄错等比数列的项数，着重考察了的逻辑思维才能及根本计算才能等.
2()2f x mx mx =--
〔1〕假设对于一实在数()0f x <恒成立，求m 的取值范围；
〔2〕假设对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，求m 的取值范围. 【答案】〔1〕(8,0]-〔2〕2m > 【解析】 【分析】
〔1〕由不等式220mx mx --<恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解； 〔2〕要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，整理得只需2
21
x
m x x >-+恒成立，结合根本不等式求得最值，即可求解.
【详解】〔1〕由题意，要使不等式220mx mx --<恒成立，
①当0m =时，显然20-<成立，所以0m =时，不等式220mx mx --<恒成立；
②当0m ≠时，只需2
080m m m <⎧
⎨∆=+<⎩
，解得80m -<<， 综上所述，实数m 的取值范围为(8,0]-.
〔2〕要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立， 只需22mx mx m x -+>恒成立， 只需(
)
2
12m x x x -+>，
又因为2
2131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝
⎭， 只需2
21x
m x x >-+， 令222211111x y x x x x x x
===-+-++-，那么只需max m y >即可
因为11
22x x x x
+
>•=，当且仅当1x x =，即1x =时等式成立；
因为[1,3]x ∈，所以max 2y =，所以2m >.
【点睛】此题主要考察了含参数的不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考察了分类讨论思想，以及转化思想的应用，属于根底题.
20.如图，在ABC ∆中，2
2
AC BC AB ==
，四边形ABED 是边长为a 的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，假设G ，F 分别是,EC BD 的中点.
〔1〕求证：GF 平面ABC ;
〔2〕求证：平面EBC ⊥平面ACD ; 〔3〕求几何体ADEBC 的体积V . 【答案】〔1〕详见解析(2)详见解析〔2〕3
16
V a =
【解析】
【详解】试题分析：〔1〕如图，连接EA 交BD 于F ，利用正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的断定定理即可证明．〔2〕利用可得：FG ⊥平面EBC ，可得∠FBG 就是线BD 与平面EBC 所成的角．经过计算即可得出．〔3〕利用体积公式即可得出． 试题解析：
〔1〕如图，连接EA ，易知F 为EA 的中点.
因为G ，F 分别是EC 和EA 的中点， 所以GF
AC ，
因为GF ⊄平面ABC ，
AC ⊂平面ABC ，
所以GF
平面ABC .
〔2〕证明：因为四边形ADEB 为正方形， 所以EB AB ⊥.
又因为平面ABED ⊥平面ABC ， 所以BE ⊥平面ABC .所以BE AC ⊥. 又因为222CA CB AB +=，所以AC BC ⊥. 所以AC ⊥平面BCE .从而平面EBC ⊥平面ACD .
〔3〕取AB 中点N ,连接CN ，因为AC BC =， 所以CN AB ⊥，且1122
CN AB a =
=. 又平面ABED ⊥平面ABC ， 所以CN ⊥平面ABED . 因为CABED 是四棱锥，
所以231111
3326
CABED ABED V S CN a a a =
⋅=⋅=. 即几何体ADEBC 的体积3
16
V a =.
点睛：此题考察了正方形的性质、线面，面面平行垂直的断定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、线面角的求法，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．
21.如下图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，53AC =，5CD =，2BD AD =.
〔1〕求cos ADC ∠的值； 〔2〕求ABC ∆的面积. 【答案】〔1〕1cos 2ADC =-
∠〔2753
【解析】 【分析】
〔1〕设AD x =，分别在ACD ∆和ABC ∆中利用余弦定理计算cos A ，联立方程组，求得x 的值，再由余弦定理，即可求解cos ADC ∠的值； 〔2〕由〔1〕的结论，计算1
sin 2
A =
，利用三角形的面积公式，即可求解.
【详解】〔1〕,(0)AD x x =>，那么2BD x =，所以BC =在ACD ∆中，由余弦定理得2222
cos
2AC AD CD A AC AD +-==⋅，
在ABC ∆中，由余弦定理得2222
cos
2AC AB BC A AC AB +-==⋅，
2
2
=5x =，所以5AD =，
由余弦定理得22222251cos 2252
AD CD AC x ADC AD CD x +-+-∠===-⨯⨯⨯⨯
〔2〕由〔1〕求得315AB AD ==，cos
2A == 所以1
sin 2
A =
，
所以111sin 15222ABC S AC AB A ∆=
⨯⨯⨯=⨯⨯=
【点睛】此题主要考察了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理列出方程是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.
22.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足12
33
OC OA OB =
+. 〔1〕求
AC
CB
值；
〔2〕2(1,cos ),(1cos ,cos ),0,,()2||23A x B x x x f x OA OC m AB π⎡⎤⎛
⎫+∈=•-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭假设()f x 的最小值为()g m ，求()g m 的最大值. 【答案】〔1〕2〔2〕1 【解析】
【分析】
〔1〕由1233OC OA OB =+，得2
()3
OC OA OB OA -=-，化简得2AC CB =，即可得到答案；
〔2〕化简函数22
()(cos )1f x x m m =-+-，对实数m 分类讨论求得函数()f x 的最小值，得
到关于m 的分段函数()g m ，进而求得函数()g m 的最大值.
【详解】〔1〕由题意知,,A B C 三点满足12
33
OC OA OB =+， 可得2()3
OC OA OB OA -=-，所以22()33AC AB AC CB ==+，即12
33AC CB =
即2AC CB =，那么2AC CB =，所以
||
2||AC CB =. 〔2〕由题意，函数2222()2||1cos cos 2cos 333f x OA OC m AB x x m x ⎛
⎫⎛
⎫=•-+=+
+-+ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭ 22(cos )1x m m =-+-
因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以cos [0,1]x ∈， 当0m <时，()f x 获得最小值()1g m =，
当01m ≤≤时，当cos x m =时，()f x 获得最小值2
()1g m m =-，
当1m 时，当cos 1x =时，()f x 获得最小值()22g m m =-，
综上所述，2
1
0()101221m g m m
m m m <⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩
，可得函数()g m 的最大值为1， 即()g m 的最大值为1.
【点睛】此题主要考察了向量的线性运算，向量的数量积的坐标性质，以及三角函数和二次函数的性质的综合应用，着重考察了分类讨论思想，以及推理与运算才能，属于中档试题.
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。