《曲线坐标系》PPT课件 (2)

坐标曲面： x=C1 y=C2 z=C3
面元 dSx dydz
dSy dxdz
dSz dxdy
体积元dV dxdydz
z
dsz
dsy
dsx
dz dr
dz
dsx
r
dx dy
dsy
o
dy
y
dx
dsz
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
13
• 1.2.3 圆柱坐标系
坐标变量 ,, z
坐标单位矢量
（3）矢量的标积（点积）
A B AB cos
AB B A
AB A B 0 A// B
ex ey ey ez ez ex 0
ex ex ey ey ez ez 1
A B AB
A B Ax Bx Ay By Az Bz
B
A
矢量 A与 B 的夹角
dS h 2 addz 00
2ah
z
S3 S2
例2：对半径为a高度为h的圆
柱表面积分
f (,, z)dS
f(,, z)dS
S
S1 S2 S3
o
S1 a
y
x
S1 f(,, z)dS S2 f(,, z)dS S3 f(,, z)dS
a 2
2 h
0 0
f( , ,0) dd
x
zρ
ez P
e
e
o
φ
y
坐标曲线 ρ曲线： φ曲面与z 曲面的交线 φ曲线： ρ曲面与z曲面的交线 z曲线： ρ曲面与φ曲面的交线
单位切向矢量
e
e
ez
右互 手相 螺垂 旋直
15
•
圆柱坐标系下的场矢量
A e A e A ez Az
B e B e B ez Bz
A B e ( A B ) e ( A B ) ez ( Az Bz )
1637年，笛卡尔(法国，1596~1650)发表了《几何学》， 创立了直角坐标系,为后来牛顿、莱布尼兹发现微积分，为 一大批数学家的新发现开辟了道路。
10
• 1.2.1 直角坐标系
坐标变量 x, y, z
z
x y
z 坐标单位矢量
ex
,
ey
,
ez
dz
dr
r
位置矢量
o
r ex x ey y ez z
球坐标系
z
r
oθ
φ
er
P e e y
r曲线： θ 曲面与φ 曲面的交线
θ曲线： φ曲面与r曲面的交线 φ曲线： r曲面与θ曲面的交线
er , e , e
互相垂直成右手螺旋
29
r x2 y2 z2
arccos(
z
)
x2 y2 z2
0r
φ =C半平面
0
2aracartraccnttaaxnynxyxy
• （拉梅系数、线元、面元、体
积元）
dr ed e d ezdz
d
d
dz
拉梅系数
面元
d
h d 1 dS dldlz ddz
h
d d
dS dldlz ddz
dz hz dz 1
dSz dldl dd
体积元 dV dddz
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例1：求半径为a高度为h的圆 柱侧面的面积。
S
ex er sin cos e cos cos e sin
（圆锥面）
0
ey
er
sin
sin
e
cos
sin
e
cos
ez er cos e sin
r r0
（球面）
er
ex cos cos ey cos sin ez sin
4
（4）矢量的矢积（叉积）
A B en AB sin
A B B A
若
A
B
，则 A B
AB
若 A // B ，则A B 0
A B
B
AB sin
A
矢量A 与B的叉积
ex ey ez A B Ax Ay Az
Bx By Bz
ex ( Ay Bz
Az By )
ey
• er
球e坐x s标in 系co与s直角ey坐sin标 s系in 的变ez换co关s 系
e ex cos cos ey cos sin ez sin
0（圆锥面）
r r0
（球面）
P(r0,0,0 )
e
ex sin( 2
) cos
ey
sin(
2
)sin
ez
cos(
2
dS rdrd dV r 2sindrdd
作业：1.8，1.22计算沿逆时针圆周的线积分
9
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的 交点来确定。
三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系， 称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述 坐标轴的量称为坐标变量。
在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为： 直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
x, y 0
x 0 0 2 x
x 0, y 0
z
r
oθ
φ
er
P e e y
x r sin cos
y r sin sin
z r cos
30
φ =C半平面
e
ex
cos(
2
) ey
sin(
2
)
e ex sin ey cos
x
z
r
oθ
φ
er
P e e y
31
dx
线元矢量
x
dr exdx eydy ezdz
dy
y
牛顿（1643-1727）英国
dr
d
(ex
x)
d
(ey
y
)
d
(ez
z)
d (ex )x exdx d (ey ) y
ey dy
d(ez )z
莱ez布dz尼茨（1646-1716）德11国
【例1】：求xoy面上圆心在坐标原点半径为a沿着逆时针
Bx By Bz
B (C A) C ( A B)
8
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
• 圆柱坐标系
dr ed e d ezdz
• 球坐标系
dr erdr e rd ersind
dS ddz
dSr r 2sindd
dS ddz
dS rsindrd
dSz dd
dV dddz
e , e , ez
坐标曲面
x
ρ曲面：ρ =Const圆柱面 φ曲面：φ =Const半平面
z曲面： z =Const平面
z
zρ ·P(ρ,φ,z)
o
φ
y
14
• 1.2.3 圆柱坐标系
z
坐标单位矢量
e , e , ez
e
e
e ez
e
ez
0
e e ez
e ez e
ez e e
7
A (B C) B (C A) C ( A B) (1.1.12)
ex ey ez
Ax Ay Az
A (B C) A Bx By Bz Bx By Bz
Cx Cy Cz
Cx Cy Cz
Bx By Bz Cx Cy Cz
Ax Ay Az
Cx Cy Cz Ax Ay Az
方向的的圆周曲线的线元矢量。
r ex x ey y
y dr
x a cos
y a sin
ar
dr exdx eydy
x
exa sind eya cosd
[ex
a
cos(
2
)
ey
a
sin(
2
)]d
dr 的方向指向有向曲线的切线方向
12
线元矢量
dr exdx eydy ezdz
e
e
21
0
z
线元矢量
dr ed e d ezdz
r (t) (,, z)
r (t dt) ( d, d, z dz)
x
z
dz r (t)
r (t dt)
d dd
y
d
e
22
线元矢量
dr ed e d ezdz
z
dz e
d d
y
e
x
23
• 圆柱坐标系的微分
ey e sin e cos
z
zρ
ez P
e
e
o
φ
y
e
2
y
e
18
x
• 圆柱坐标系的微分
•
（拉梅系数、线元、面元、体积元）
e ex cos ey sin
e ex sin ey cos
e
ex sin
ey
cos
e
e
ex cos ey sin
e
x
e e 0
x2 y2
0
2aracartraccnttaaxnynxyxy
x, y 0
x 0 0 2
x 0, y 0
zz
z ρ
eexeeceeoxxx sccsoionss(yeey2y cs)ionssineysineez(z是和常ez是2矢)变量矢x量
ex e cos e sin
)
0（半平面）
球坐标系
=C半平面 x
z
r
oθ
φ
er P e
e
y
π/2+θ
x
z
sin θ
er
cosθ
θ
o
φ
e
y
32
er ex sin cos ey sin sin ez cos
e
e
ex cos
ex sin
coseyceoyscoser、sine和 eez
sin 是变矢量
2
2. 矢量的代数运算
（1）矢量的加减法
两矢量的加减在几何上是以这两矢量为 邻边的平行四边形的对角线。
A B
B
A
矢量的加法
交换律 A B B A
结合律 A (B C) (A B) C
B
A
AB
（2）标量乘矢量
B
kA exkAx eykAy ezkAz
矢量的减法
A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz ) 3
C F dl
2 0
e
I
2a
ead
I
y dr
r
x
27
1.2.3 球坐标系
坐标变量 r, ,
坐标单位矢量 er , e , e
（圆锥面）
0
（r球面）r0
er
e PP((rr0,0,,)0 ) e
（半平面） 0
球坐标系
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（圆锥面）
0
（r球面）r0
φ =C半平面
P(r0,0,0 )
x
0（半平面）
1.1 矢量代数
1. 标量和矢量
标量：任一代数量，只用大小描述的物理量。电压、电 流、电荷是标量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用
黑体字母或带箭头的字母表示。电场磁场是矢量。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示：
A eA A eA A
矢量的大小或模： A A
A
矢量的单位矢量： eA A
A
矢量的几何表1 示
常矢量：大小和方向均不变的矢量。
变矢量：大小或方向会改变的矢量。
注意：单位矢量不一定是常矢量。
位置矢量： r ex x ey y ez z
场矢量用坐标分量表示
A(r ) ex Ax (r ) ey Ay (r ) ez Az (r ) A(r ) e A (r ) e A (r ) ez Az (r ) A(r ) er Ar (r ) e A (r ) e A (r )
位置矢量 r e ez z
(ex cos ey sin )
ex
x
ey
y
ez
z
ez z
线元矢量
dr ed e d ezdz
dr d(e ) d(ez z)
d(e ) ed d(ez )z
de
ez dz
e
d
e d
e
e
z e
dz
ed ed ezdz
A B A B A B Az Bz
e e ez A B A A Az
B B Bz
A
B 16
A e A e A ez Az r e r er ezrz e ez z
I x
H (,, z) e 2
z
Az
A(r )
r
o
A e y A e
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• 圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系
0
f(a,, z)adzd
0
a 2
f(,, h)d25 d
00
例3：xoy面上圆心在坐标原点半径为a沿着逆时针方
向的的圆周曲线的线元矢量。
dr ed e d ezdz
y dr
r
x
e ad
F
e
I
2
26
例4：
已知F
e
I
，求沿F着xoy面上以原点为圆
2
心半径为a的的逆时针圆周的第二型曲线积分。
(1.1.7)
—— 分配律
( A B) C A C B C (1.1.11) —— 分配律
A (B C) B (C A) C (A B)
(1.1.12) —— 标量三重积
A (B C) ( AC)B ( A B)C (1.—1.1—3)矢量三重积
( Az Bx
Ax Bz
)
ez
( Ax By
Ay5Bx
)
ex ex 0
ey ex ez
ez ex ey
ex ey ez ey ey 0
ez ey ex
ex ez ey
ey ez ex
ez ez 0
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（5）矢量的混合运算
(A B)C AC B C
z
e e 0
z
z
zρ
ez P
e
e
o
φ
y
e
右手螺2
y
旋
e
19
x
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的 开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按
PCBA
键
开关 键
传统机械按键设计要点： 1.合理的选择按键的类型， 尽量选择平头类的按键，以 防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键设计 间隙建议留0.05~0.1mm，以 防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计 算累积公差，以防按键手感 不良。